Collations for the History of the Infinitesimal Analysis

<113r>

termini residui semper habebunt forman illam quam perprœcedentem Regulam habere debent.

Hæc Regula eodem modo demonstratur ubi \tres vel/ plures habentur quantitates indeterminatæ x, y, z &c.

Hactenus Manuscriptum illud vetus. Inde vero hæc descripsi ut vera Lemmatis hujus origo pateret & quale esset methodi meæ fundamentum illud quod anno 1676 literis transpositis, celavi sententiam in Scholio præcedente expositam involventibus, nempe\id est/ sententiam: Data æquatione quotcun fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.

In Epistolis meis 10 Decem. {illeg} 1672 & 24 Octob. 1676 datis, dixi quantitates surdas methodum meam non morari, et hanc rem \exemplo/ explicui in Analysi mea prædicta. Substitatur uti in æquatione pro quantitate radicali symbolum quodvis, tractetur symbolum ut quantitas radicalis et ejus fluxio.

|♀| < insertion from f 114r > |♀|Si fluxiones pro fluentibus habeantur, operatione repetita prodibunt earium fluxiones, id est, fluentium primarum fluxiones secundœ, & sic deinceps in infinitum. Fluxionibus autem secundis et momentis secundis in hisce Principiorum Libris nonnunquam usus sum, in \In/ Lib. II, Prop. X exempl. 1, fluxionem secundam \Curvaturæ/ vocavi variationem variationis \ejus/, & in ejus dem Libri Prop XIV Cas. 3, momentum secundum \Areœ/ vocavi differentiam momentorum \ejus/. Eorum \Momentorum secundorum/ subsidio Demonstrationem illam Propositionis Keplerianæ quam in Lib. I Prop. XI descripsi, uti locutus sum in Epistola mea 10 Decem 1672 ad Collinium data, ut et variationem Curvaturæ de qua egi in Tractatu quem anno 1671 composui, et curvaturam maximam vel minimam de qua egi in eodem Tractatu ut et in \Manuscripto prædicto/ tractatu quodam parvo quem scripsi sub finem \mense Octobri/ annis 1666; in quo etiam literis punctatis nonnunquam usus sum. < text from f 113r resumes > Si fluxiones pro fluentibus habeantur, operatione repetita prodibunt earum fluxiones, id est, fluentium primarum fluxiones secundæ; & sic deinceps in infinitum. Fluxionibus autem secundis et momentis secundis in hisce Principiorum Libris nonunquam usus sum ut videre licet in Lib. II, Prop. XIV, Cas 3. Earum subsidio inveni tum demonstrationem illam Propositionis Keplerianæ \anno 1671 quam/ in Lib. I, Prop XI descripsi, tum Curvaturam Curvarum multo ante, de qua uti locutus sum in Epistola mea 10 Decemb. 1672 ad Collinium data. Set et in chartis vetustioribus determinando Linearum Curvaturam, nunc literis punctatis nunc alijs symbolis usus sum.

Computationes per fluentium momenta sæpe contrahuntur resolvendo fluentem uno temporis momento fluendo auctam, in seriem convergentem, ut fit in Scholio ad Prop. XCIII Lib. I. Nam termini seriei proportionales sunt fluxionibus et momentis, secundus terminus fluxioni primæ et momento primo, tertius fluxioni secundæ et momento secundo, & sic deinceps; et multiplicati per respective per terminos hujus seriei $1. 1\times 2. 1\times 2\times 3. 1\times 2\times 3\times 4.$ &c vertuntur in momenta, deinde divisi per terminos hujus $\mathrm{o}. \mathrm{o}\mathrm{o}. {\mathrm{o}}^3. {\mathrm{o}}^4$. &c vertuntur in fluxiones. Et ob hanc methodorum affinitatem et harmodniam eas conjunxi et ex utra Analysin unam generalem ab initio conflavi, ut supra.

Ad eandem Analysin pertinet etiam artificium ducendi Curvam Analyticam per puncta quotcun data, et ea ratione interpolandi Series quascun. Nam si verbi gratia Series \aliqua/ vel fluentium vel fluxionum habeantur, sed fluentes vel fluxiones in intermedijs seriei locis non habeantur: per interpolationem Seriei habeburitur eœdem in locis quibuscun. deinde ex lege fluentium sic inventa prodibit lex fluxionum per methodum nostram, et contra. Artificij autem describendi Curvam per puncta data memini in Epistola prædicta, 24 Octobris 1676 data.

At hecterus de Analysi qua usus sum in investigatione rerum quas in hosce Principiorum Libris composui.

<115r>

termini residui semper habebunt formam illam quam per præcedentem Regulam habere debent.

Hæc Regula eodem modo demonstratur ubi tres vel plures habentur quantitates indeterminatæ x, y, z, &c.

Hactenus Manuscriptum illud vetus Inde vero hæc descripsi ut versa Lemmatis hujus origo pateret & quale esset in methodi meæ fundamentum illud quod anno 1676 literis transpositis celavi sententiam in Scholio præcedente expositem involventibus, id est, sententiam: Data æquatione quotcun fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa.

In Epistolis meis 10 Decem. 1672 & 24 Octob. 1676 datis, dixi quantitates surdas methodum meam non morari, et hanc rem exemplo explicui in Analysi mea prædicta.

Hactenus Manuscriptum illud vetus. In alio Manuscripto

In alio Manuscripto Maij 16, 1666 composito, methodum solvendi Problemata per motum complexus fui Propositionibus seotem quarum ullima est Regula jam descripta eliciendi \velocitates motum crescendi/ incrementorum vel decrementorum velocitates \vel decrescendi/ ex æquatione quatitates crescentes vel decrescentes involvente. Et in allo Manuscripto quod mense Octobri ejusdem anni composui, descripsi easdem Propositiones septem et octavam addidi. Septimam vero sequentibus adauxi.

Si in equatione quavis occurat

Ex vetesibus autem Manuscriptis meis hæc descripsi

Hæc autem me temporibus jam descriptis in annis 1665 et 1666 \a me/ inventa fuisse Barrovius noster idoneus est testis; et eju per ea tempora {illeg}|L|ucasianus Matheseos apad Cantabrigenses Professor, idoneus est testis Et ejus testimonius|m| Collinius noster in Epistola sua ad. D Strode 26 Iulij 1672 sic protulit. Mense Septembri – – – – – obtineri queant hactenus Collinius. In|d||e{s}| alijs Epistolis \Collinius in/ Epistola \sua/ ad Iacobum Gregorium 25 Novemb. 1669 Collinius dixit Newtonum antequam ederetur Mercatoris Logarithmotechnia hanc methodum adinvenisse eam ad omnes Curvas generaliter et ad Circulum diversimode applicuisse. Et in Epistola 11 Aug. 1676, ad Davidem Gregorium Iacobi fratem {sic} 11 Aug. 1676 data, a{illeg}|s|serit \affirmavit/ Serierum infinitarū doctriam a Newtono biennium ante{a} excogitatam fuit|s|se quam ederetur Mercatoris Logarithmotechnia, & generaliter omnibus figuris applicatam. Hæc vero \Collinium/ a Barrovio illum didicisse crudas. Et cum hæc \omnia/ ad Tractatum de Quadratura Cu Analysi per Æquationes numero terminorum infinitas spectat a spectent, quem \et uti/. Barrovius \eundem/ legerat |&| intellexerat, et ad Collinium miserat, & inde id inde discas non solum methodum quadra serierum sed etiam Analysin per series \omnem/ in tractatu illo descriptam at adeo methodum fluxionum per series universalem redit|di|tam \expositam/ jam anno 1666 \test{illeg} Barrovio/ inventam et generalem redditam fuisse, me ex eo tempore methodum fluxionum et methodum serierum in unam generalem Analysin conjunxisse.

In Tractatu quem Anno 1671 conscripsi, exposui primùm docui reductionem quantitatum in series convergentes per divisiones & extractionem|s| radicum tam affectarum quam simplicium. Et his præmissis methodum fluxionum exposui et ad solutionem Problematum applicui Propositionibus varijs \pluribus multis/ quarum duæ primæ erant hæ{illeg}.

Prop|b|. 1 Relatione quantitatum fluentium inter se data, fluxionum relationem determinare.

Solutio

Fluentium v, x, y, z fluxionibus dictis l, m, n, r respectivè, Æquationem qua data relatio exprimitur dispone secundum dimensiones alicujus fluentis quantitatis puta x

<115v>

Prob. 2. Exposita {illeg}|Æ|quatione fluxiones quantitatum involvente invenire relationem quantitatum inter se.

{Et} h|H|orum /Problematum\ solutiones pluribus prosecutus fui{illeg} deinde explicui \exposui/ deinde ad aliorum Problematum solutiones applicui exposui \prosecutus sum/ et P solutionem Problematis secunda per methodum serierum generalem reddidi. Et {illeg}i{illeg}s deinde hæc Problemata ad aliorum solutiones adhibui. Et similiter in Epistola hic \in hoc Manuscripto pluribus/ prosecutus sum ut fundamentum methodi meæ generalis, deinde et solutionem Proble ex methodo serierum et methodo fluxionum compositæ; deinde per hanc methodum docui solutiones aliorum Problematum.

Hæc omnia ex veteribus Manuscriptis protuli ut vera Lemmatis hujus origo pateret et quale est|s|et methodi meæ fundamentum illud quod anno 1676 literis transpositis celavi sententiam in Scholio præcedente expositam involventibus, id est, sententiam, Data æquatione quotcun fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, et vice versa.|;| |et quod {illeg}a /Scholium\ illud verbis fusioribus enarratum ita sonabit|

Ex ijsdem manifestum est quod per Scholium illud verbis fusioribus enarratum, ita sonabit. In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G.G. Leibnitio anno 1676 intercedebant, cum significarem me compotem esse Methodi determinandi Maximas et Minimas, ducendi Tangentes, quadrandi figuras curvilineas, solvendi inversas \de/ Tangentibus Problemata, inveniendi Series qua areas Curvarum in Seriebus {illeg}|q|uæ finitæ evadunt ubi area per finitam seriem æquationem exhiberi potest, et similia peragend comparandi areas curvarum cum areis Sectionum Conicarum aliarumve figurarum \simplicissimarum/ cum quibus comparari possunt, & & omnia prope d{imen} fere Problemata solvendi si forte numeralia quædam Diophantæis similia excipiantur, et hanc methodum in literis terminis surdis æque ac in rationalibus procedere, et methodum tangentium Slusij ex eadem nullo negatio \primo intuitu/ profluere et fundamentum hujus methodi satis obvium esse sed illud me quoniam explicare non vacaret me anno 1671 de hac methodo Tractatum scripsisse, et fundamentum ejus satis obvium esse, sed quoniam explicare non vacaret, {illeg} me idem literis transpositis idem celasse hanc sententiam involventibus Data æquatione quotcun fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, et vice versa; fundamentum illud celasse ‡ < insertion from f 116r > ‡ Cum insuper ex literis Gregorij et meis datis 5 Sept. 1670 & 10 Decem 1672 & ad ipsum mense Iunio Anni 1676 missis, methodum Tangentium Slusij tam ex Methodo Tangentium Barrovij quam ex mea {illeg} \tanquam Corollarium/ prompte profluere didicisset & quomodo quantitates surdas effugerem in Analysi mea vidisset \& hanc methodum esse Corollarium particule quoddam vel potius Corollarium methodi meæ/: \generalis et quomodo/ difficultates quantitatum surdarum inter computandum effugerem in Analysi mea vidisset: Vir Clarissimus — < text from f 115v resumes > : Vir Clarissimus mense Iunio anni sequentis, postquam ex in methodum similem ope methodi tangentium Barrovij {illeg} ex quæ Gregorius Methodum Slusij deduxerat, incidisset \præcedentium incidisset vel saltem incidere potuisset/, rescripsit se quo in methodum ejusmodi methodum incidisse et methodum suam communicavit {illeg}|a| mea vix abludentem præterquam in verborum et notarum formulis, et ex ijs quæ de methodo mea didicisset affinitatem inter methodos \simul/ agnovit.

Si fluxiones pro fluentibus habeantur –––––– usus sum.

Computationes per fluentiam momenta ––––– conflavi ut supra.

Ad eandem Analysis –––– 24 Octobris 1676 data.

At hactenus ––––––– composui.

Spectant vero hæc \Cum vero hæc spectent/ ad Tractatum de Analysi per series quem Barrovius legerat intellexerat et ad Collinium {miserat}, et methodus in hoc Tractatu tradita pergat per series et fluxiones conjunctim & ejus {illeg}{e} Area figuræ accurata si possibile sit sin unimus infinite vero propinqua prodire dicatur, et Series quarum ope \hoc/ fit inventæ fuerunt per methodum fluxionum at in Epistola mea 24 Octob 1676 ad Oldenburgum data traditur: unde discas Analysim in Tractatu illo expositam quæ ex methodis serierum et fluxiorum componitur, a me annis aliquot antequam Tractatus ille ad Collinium mitteretur, a me inventam fuisse et generalem reditam fuisse.

Sed Et {illeg}a|si|mili methodo inveni {illeg}|So|lidum minimæ resistentiæ, quod per ipse Leibnitus primum fuit specimen in Lucem editum an] Sed et per momenta momentorum primorum \inveni maximæ et minimæ in momentis primis et per hæc/ \Sed et considerando momenta prima ut quantitates fluentes/ inveni solidum resistentiæ minimæ cujus memini in Scholio ad Prop. XXXIV Lib. II. Et Et hac Et Leibnitus ipse fatetur hoc fuisse specimen primum hujus methodi in Lucem Editum

<117r>

In Propositionibus \②/ investigandis quantitas o ut mom particula temporis \infinite parva/ vel momentum ejus \(ubi dictum vel)/ spectatur & calculus \compendij cau{illeg}|s|a/ per approximationes \sæpe/ procedit, exponendo uti {illeg} c{illeg}|h|ordas & arcus {prescin{illeg}} I{illeg}d{illeg} & quantitas \0/ ut plurimum subintelligitur. In \①/ demonstrandis, quantitas \0/ e{illeg}|s|t \spectatur/ temporis vel quantitatis alterius cujuscun \alternus/ uniformiter fluentis indefinite parva sed finita tamen, spectatur & calculus totus per in finitis quantitatibus per Geometriam Euclidis {illeg} accurate peragitur: et finito calculo, quantitas o evanes diminuitur et evanescit et ex ultimis \quantitatum/ rationibus quantitatum \rationibus simul/ evanescentium veritas Propositionis demonstrandæ (methodo Archimedea) colligitur. ④ Et ubi in æquationibus finitis res non succedit, hæ in infinitas reducuntur, id vel per Regulam Binomij qua fractiones et radices {no} in principio Epistolæ ad Oldenburgum 13 Iunij 1676 e|d|atæ expositam et exemplis illustratam, vel per extractionem radicis vel quantitatis fluentis ex æquatione affecta sive æquatio fluxionem non involvat, ut in Epistola illa & Compendio prædicto exponitur sive eadem fluxionem involvat {illeg} ut in eadem epistola affirmatur & in schemate a D. Wallisio \edito/ [in secundo Operum ejus Volumine \p. 3{illeg}|9|4 {illeg}/] ostenditur et exemplo illustratur. Vel deni gradatim assumendo terminos seriei investigandæ eos per conditiones Phabendo \tanquam cognitos tractando/ donec ex conditionibus Problematis determinari possint Vbi ut in eadem Epistola affirmatur Vbi vero calcas|l|us {sic} procedit in fini ③ {Et a} In hujusmodi calculis sæpe pergitur a quantitatibus fluentibus ad fluxiones, sæpe regreditur a fluxionibus ad fluentes id \vel/ per tres Regulas initio prædicti compendij positas, vel per alias figurarum Quadraturas in Tractatu \de/ quadratura Curvarum expositas. Nam Propositiones in libro illo expositæ illic ejus Libri inventæ fuerunt ante annum 1676, Propositio prima in Epista|o||la| prædicta habetur legitur. prope omnes \spectant ad inversam methodum fluxionum &/ in Epistola præp|d|ict{illeg}|a| memor {illeg}|a|nno 1676 scripta \tanquam in Tractatu illa ante ante que|i|nquennium scripta comprehensæ/ memorantur ideo ante annu{illeg}m illum inventæ fuerunt: |&| spectant autem ad \inversam/ methodum fluxionum ⑤ Et ubi res per Analysin non bene succedit, si Curvæ alicujus{illeg} cujus area desideratur Ordinatæ {non}|ali|quot inveniri possunt, ha{b} habebitur area Curvæ quam proxime per methodum differentialem Newtoni, describendo scilicet Curvam Geometricam Parabolici generis, quæ per terminos Ordinatarum: cujus Problematis solutionem Newtonus in Epistolæ prædicta s|a|nno 166|7|6 scripta se \5/ Et ubi Curvæ per Analysin quadrari non possint methodum invenit describendi Curvam Parabolici generis per terminos Ordinatarum qua pro lubitu acceditur ad quæsitum ut in eadem Epistol affirmatur etiam in eadem Epistola. Et hactenus \hæcus/ Newtonus methodos suas per ea tempora methodos suas provexerat.

Collinius vero, postquam Compendium prædictum a D. Barrovio acceperat, cœpit series pro quadratura circuli{illeg} amicos suos de methodo serierum ibi descripta per literas ædmonere & Liter& hujus generis literæ plura|e|s in Commercio Epistolico impressæ sunt extant. Ex Et Iacobus Gregorius ex serie aliqua quam a Collinio acceperat, postquam multum olei & operæ in ista serie expiscanda impenderat, incidit in methodum serierum Newtoni sub finem anni 1670, & communicatis subinde seriebus {illeg} cum Collinio seriebus pluribus a se computatis, ve{illeg}m \licentiam/ ipsi dedit easdem cum {illeg} amicis suis communicandi, & Collinius perinde series quas vel a Newton{illeg}|o| |vel a Gregorio acceperat liberrime communicabat.|

Interea: D. Leibnitius Londinum profectus, moram ibi trahebat\xit/ {sic} & anno 1671 Hypothesin suam Physicam novam ibi edidit & Regiæ Societati dicavit, & me in Epistola {illeg} dedicatoria meminit commercij quod cum D. Oldenburgo pro habebat Societate illa mediante D. Oldenburgo habebat. Sub initio autem anni 168|7|3 mense Martio migravit inde Lutetiam Parisiorum & in Gallia mansit us ad mensem Septembrem \Octobrem/ anni 1676. [Anno vero 1674 Iulij 15 scripsit ad Oldenburgum se seriem habere Theorema habere cujus ope Are{illeg}|a| circuli vel Sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum; & mox in Epistola 26 Octob 1674 ad Oldenburgum data, hæc fusias repetijt, dicendo se invenisse seriem numerorum valde simplicium cujus summa exacte æquatur circumferentiæ circuli posito diametrum esse unitatem] Anno vero 1663 ineunte cum sibi methodum esse ex quodam differentiarum genere colligendi terminos <118r> rationalium \serierum/ numeralium & a Pellio reprehenderetur quasi methodum Moutoni sibi arrogaret, Apollogiam scripsit ad D Oldenburgum 3 Feb. datam contendens quod ex schedis suis appareret (q monstrare posset inventionem suam et inveniendi modum et occasionem, & \se/ quædam momenti maximi addidisset a{illeg} Moutono & Reginaldo indicta, sed ab \& his argumentis suffultus/ a coinventoris jure minime discessit. Hæc erat {illeg}

Deinde anno 1674 Literas duas ad Oldenburgum dedit Parisijs 15 Iulij et 26 Octobris, asserens in priore se Theorema habere cujus ope Area circuli vel Hyperbolæ sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum, & in posteriore eadem fusius repetendo & affirmando se invenisse seriem numerorum valde simplicium cujus summa exacte æquatur circulo circumferentiæ circuli posito Diametrum esse unitatem. Et quod eadem methodo etiam Arcus cujuslibet cujus sinus datur etiam geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor posset, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem ratione recursu: ut adeo necesse non sit, Arcus rationem ad circumferentiam nosse. Quod in hac Epistola methodus vocatur in priore dicitur Theorema. Ibi dicit se Theorema habere cujus ope Area circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem numerorum rationalium: hic dicit se methoum habere cujus ope \vel |vel|/ Area circuli et ejusdem circumferentia vel Arcus quilibet per ejusmodi seriem exprimi potest id licet ratio arcum|s| ad circumferentiam totam non noscatur, si modo sinus hujus ratio arcus detur. Theorema igitur habuit quod arcus quilibet cujus sinus datur, in serie{illeg} numerorum rationalium exhiberi posset, et per hoc Theo ope Theorematis hujus vel Aream circuli vel Sectoris ejus dati in serie numerorum rationalium exhibebat, et circumferentiam exhibere noverat; cedes & seriem quide Si ratio arcus ad circumferentiam non innotesceret, habebatur arcus solus, si ratio illa innotesceret habebatur etiam circumferentia tota. Theorema autem quo arcus quilibet cujus sinus datur in serie numerorum rationalium haberi potest ejusmodi est. Sit radius=1 & $\mathrm{sinus}=\mathrm{x}$, et arcus erit $\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$. H{illeg}|u|jus Theorematis demonstrationem D. Leibnitius per literas suas \12 Maij 1676/ ad Oldenburgū {illeg}|d|atas postea quæsivit a Collino|i|o, ideo Theorema aliunde acceperat|.|, & Demo Ab hoc Theom|r|etemate deduxerat series numerales sed Theorema ipsum demonstrare nondum potuit:|.| {illeg} demons

Anno proximo

Interea {illeg} Oldenburgus literis D. Leibnitij respondendo, in Epistola 8 Decembris 1674 data, generalem descriptionem \dedit/ methodi Gregorio serierum a Newtono & Gregorio exercitæ, & in epistola 15 Aprilis anno 1675 data series plures a Collinio acceptas ad D. Leibnitium misit in quibus erat series prædicta pro arcu cujus sinus dabatur & series alia pro arcu cujus tangens dabatur. Et D. Leibnitius 12 Maij 1675 rescripsit in hæc verba. Literas tuas multa fruge A{illeg}|l|gebraica reb|p|ertas accepi pro quibi tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc prætur ordinarias curas Merchanicis imprimis negotijs distrahar, non potui examinare series quas misistis, ac cum meis comparare Vibi fecero perscribam tibi sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via quadam sic satis diversas fuisse D. Leibnitius hic agnoscit. Acceperat uli Theomata generalia quorum Demonstrationes ignorabat, invenerat tantum series memerorum rationalium ex aliquo Theoremateme pro arcu cujus sinus datur.

Interea per transmutationem figurarum Barrovianis similem incidit in demonstrationem quandam \{illeg}/ Theorematis pro Arcu cujus Tangens datur et opusculum de hac Quadratura compositum {illeg}b{illeg} ab amicis in Gallia mox communicat sed \ab illo tempore tectum/ materia sub manibus crescente Nam in Actis Eruditorum Anno 1691 {sic} mensis Aprilis Anno 1691 {He|pa|}g 178 ita scripsit: Iam anno 1675 compositum habebam opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore lectum; sed quod materia <119r> sub manibus crescente limare ad editionem non vacavit postquam aliæ occupationes supervenere; præsertim cum nunc prolixius exponere vulgari more quæ Analysis nostra nunc paucis exhibet, non satis operæ pretium videatur. Sensus est quod opusculum anno 1675 & deinceps ab amicis lectum, materia sub manibus crescente & ad Editionem limare non vacavit, præsertim postquam \donec/ aliæ occupationes supervenere quæ magis impedimento fuer{illeg}|u|nt: deinde inventa Analysi differentiali, prolixius exponere non operæ pretium videbatur vulgari more quæ Analysis illa {illeg} nova paucis exhibet, non satis operæ pretium videbatur. {illeg}d S Sub finem anni 1676 & initium sequentis. D. Leibnitius per Angliam et Hollandiam domum redibat et aliæ occupationes mox supervenere: ideo inventa est Analysis differentialis post Annum 1676 completum.

Cum D. Leibnitius series duas pro inveniend earum quas anno s ab Oldenburgo accepisset, acceperat, a Collinio per Mohrum quendam denuo accepisset, & se prius accepisse oblitus est|s|et: scripsit ille ad Oldenburgum postulavit ille Demonstrationem harum serierum per literas 12 Maij 1676 datas. ad Oldenburgum datas. Cum, inquit, Gregorius Georgius Mohr Danus, in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatum sibi a doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter arcum & sinum per infinitas series sequentes: Posito sinu x arcu z, radio 1
$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$
$\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{x}}^9-\mathrm{\&c}$
Hæc, inquam, cum nobis attulerit ille quæ mihi valde ingeniosa videntur, & posterior imprimis series quæ elegantiam singularem habeat, ideo rem gratam mihi feceris Vir Clarissime si demonstrationem transmiseris. Habebis a{b} vicissim mea ab his longe diversa circa hanc rem meditata, de quibus jam aliquot abhinc annis ad te perscripsisse credo, demonstratione tamen non addita quam nunc polio Demonstrationem hic intelligit p{e} seriei pro arcu cujus tangens datur. Anno superiore compositum habebat opusculum de hac Quadraturæ per ha Arithmeticæ per hanc seriem|.| ab amicis Demonstrationem hujus seriei jam promittit, eam{illeg}|q|ꝫ poliebat vulgari \more/ ut post apparuit, ideo An Analysin differentialem nondum inve\ne/rat.

G|I|acobus Gregorius

Sub finem anni 1665 Iacobus Gregorius emortuus est & quæ cum amicis communicaverat in unum corpus sollicitante D. Collinio Leip|b|nitio collecta sunt, et extat Collectio manu Collinij exarata cum hoc Titulo. Excerpta ex Gregorij epistolis cum D. Lebinitio communicanda tibi [i.e. Oldenburgo] postquam perlegerit ille reddenda. In hac Collectione Epistola Exemplar Episolæ|a| Gregorij in Commercio Epistolico p ad Collinium 15 Feb. 1671 data & in Commercio Epistolico impressa p 25, in qua Gregorius seriem pro arcu cujus tangens datur communicaverat. Habetur et Epistola Newtoni ad Collinium 10 Decem Collinium ad L Missa fuit hæc Collectio ad Lebnitium inter post 14 Iunij & ante 11 Aug. 1676. Missam fuisse dicit Collinius in Epistola 11 Aug. 1676 data. Communicanda erat cum amicis Mathematicis, & remittenda, et D. Tschurnhausius eo Tempore Lutetiæ {E} in Epistola 1 Sept 1676 Parisijs data, se vidisse videtur insinuare videtur his verbis. Similia porro quæ in hac re [id est in Methodo serierum Newtoni] præstitit eximius Geometra Newtonus Gregorius memoranda {illeg}{re} \certe/ sunt, et quidem optime famæ ipsius consulturï, <120r> qui ipsius relicta Manuscripta luci publicæ ut exponantur operam navabunt. Certe qu{o}d \quæ/ in hac re præstiterat Gregorius, præstiterat, Tschurnhausius non aliunde cognoscere potuit et memoranda vocare \ac digna luce publica/ qua{illeg}|m| ex collectione {illeg} \e{illeg}/ Man Literarum \scriptorum |scriptorum|/ ejus a se visa.

Cum D. Leibnitius demonstrationem quandam Theorematis pro sinu \inveniendo/ arcu cujus sinus \tangens/ datur{,} invenisset, & postulasset ab Oldenburgo & Collinio demonstrationem {m}|Th|eorematis pro {illeg} arcu cujus tangens \sinus/ datur ut et Theorematis pro Tangente cuj sinu cujus arcus datur; id scripse\est Methodum quo Newtonus series illas invenisset:/ Oldenburgus et Collinius Newtonum enixe rogarunt ut ipse methodum suam describeret cum D. Leibnitio communicandum; & Newtonus subinde methodum suam descripsit in Epistola 13 Iunij 1676 data, et sub finem epistolæ dixit fines Analyseos per ejusmodi infinitas æquationes nullum ampliare: Analysin per ejusmodi æquationes infinitas ad omnia pene problemata (si numeralia quædam Diophanteis similia excipiantur) sese extendere: non tamen omnino universalem evadere nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas: id est per methodos in fluxionibus fundatis.

<121r>

\Historia brevis methodi serierum {illeg} ex Monumentis antiquis deductam,/ Ex Epistola D Iacobi Gregorij ad D Collins 15 Februarij Anno 167$\frac{0}{1}$ data, cujus habetur Autographum.

Ex quo Epistolam ad te dedi, tres a te accepi, unam Decem. 15 alteram Decem. 24, tertiam Ianuarij nuper elapsi datam.

Quod attinet Newtoni methodum universalem aliqua ex parte, ut opinor, mihi innotescit tam quoad Geometricas quam Mechanicas Curvas. Nihilo tamen minus ob series ad me missas gratias habeo, quas ut remunerem, mitto quæ sequuntur.

Sit radius=r, Arcus=a, Tandens=t, Secans=s,

Et erit $\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}+-\mathrm{\&c}$

Erit $\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{3{\mathrm{r}}^3}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$

Et $\mathrm{s}=\mathrm{r}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{r}}+\frac{5{\mathrm{a}}^4}{24{\mathrm{r}}^3}+\frac{61{\mathrm{a}}^6}{720{\mathrm{r}}^5}+\frac{277{\mathrm{a}}^8}{8064{\mathrm{r}}^7}+\mathrm{\&c}$ |NB Exemplar hujus Epistolæ missum fuit Lutetiam Parisiorum mense Iunio 1676 cum D. Leibnitio communicandum. Vers{b}|a|batur \autem/ D. Leibnitius in Anglia annis 1671, 1672 & 1673 us ad mensem Martium. Deinde exemp|

Ex Epistolis quinq quæ leguntur in Libro Episto{illeg}|l|arum Regiæ Societatis N. 7. pag. 93, 110, 216, 235, 189, et quarum prima & \et quinta/ secunda {leg}\reperi/untur

Ex prima 15 Ili|u|lij 1674 /Leibnitij ad Oldenburgum\ data et in Tomo tertio operum Wallisij imppressæ|press\a/| \impressæ in Tomo tertio Operum mathematicorum Wallisij./

Alia mihi Theoremata sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est cujus ope Area Circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rætionalium continue productam in infinitum.

Ex secunda \quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum/ 26 Octob 1674 data.

Ratio Diametri ad circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem (non quidem memeri ad numerum (id enim foret absolute invenisse) sed per rationem Numeri ad totam quandam seriem Numerorum rationalium valde simplicem & Regularem. Eadem methodo [id est eodem Theoremate ] {illeg} generali]. etiam Arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu: ut adeo necesse non sit Arcus rationem ad circumferentiam nosse.

Ex tertia \quæ fuit/ 17|6| Oldenburgi ad Leibnitium 15 Apr 1675 data

Mercatoris Logarithmotechnia ad Barroviam a m quamprimum viderat lucem, ad Barrovium a me fuit transmissa qui observato in ea infinitæ seriei usu ad Logarithmos construendos, rescribebat methodum illam jam aliquandiu a successore suo Newtono

Ex tertia quæ fuit Oldenburgi ad Leibnitium 15 Apr. 1675 data

Posita pro radio unitate, dato x pro sinu ad inveniendum z arcū series hæc est.

$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$ in infinitum. Et extracta radice hujus æquationis methodo symbolica, si dederis z pro \arcu/ ad inveniendum x sinum series hæc est

$\mathrm{x}=\mathrm{z}+\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5+\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$ At hæc series facile continuatur in infinitum. Prioris beneficio ex sinu 30^grad Ceulinij numeri facile struuntur.

Consimiliter si ponas radium R et B sinum arcus Zon{illeg}|a| inter diametrum et Chordam illi parallelam est

$=2\mathrm{RB}-\frac{{\mathrm{B}}^3}{3\mathrm{R}}-\frac{{\mathrm{B}}^5}{20{\mathrm{R}}^3}-\frac{{\mathrm{B}}^7}{56{\mathrm{R}}^5}-\frac{5{\mathrm{B}}^9}{576{\mathrm{R}}^7}-\frac{7{\mathrm{B}}^{11}}{1408{\mathrm{R}}^9}-\mathrm{\&c}$. At eadem series mutatis term{illeg}inis signis termini secundi quarti et sexti &c inservit assignandæ areæ Zonæ æquilateris Hyperbolæ, viz^t

$=2\mathrm{RB}-\frac{{\mathrm{B}}^3}{3\mathrm{R}}-\frac{{\mathrm{B}}^5}{20{\mathrm{R}}^3}-\frac{{\mathrm{B}}^7}{56{\mathrm{R}}^5}-\frac{5{\mathrm{B}}^9}{576{\mathrm{R}}^7}-\frac{7{\mathrm{B}}^{11}}{1408{\mathrm{R}}^9}-\mathrm{\&c}$.

Rursum dato Radio R et sinu verso sive sagitta a, ad inveniendam aream segmenti resect{o} a chorda pone ${\mathrm{b}}^2$ pro $2\mathrm{R}\mathrm{a}$, et erit segmentum <121v> $=\frac{4\mathrm{ba}}{3}-\frac{2{\mathrm{a}}^3}{5\mathrm{b}}-\frac{{\mathrm{a}}^5}{14{\mathrm{b}}^3}-\frac{{\mathrm{a}}^7}{36{\mathrm{b}}^5}-\frac{5{\mathrm{a}}^9}{352{\mathrm{b}}^7}-\mathrm{\&c}$ Et arcus integer=
$=2\mathrm{b}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{3\mathrm{b}}+\frac{3{\mathrm{a}}^4}{20{\mathrm{b}}^3}+\frac{5{\mathrm{a}}^6}{56{\mathrm{b}}^5}+\frac{35{\mathrm{a}}^8}{576{\mathrm{b}}^7}+\mathrm{\&c}$

Duæ hæ series D. Gregorio debentur, quas exhibuit ex eo tempore quo usus est hac methodo; quod ab ipso aliquot post annis factum, postquam scilicet intellexerat D. Newtonum generatim eam applicasse. Exinde quo ad nos misit s|S|eries similes ad Tangentes naturales ex earundem Arcubus, et conversim obtinendum Ex. gr. pone Radium$=\mathrm{r}$, arcum a, tangentem t; erit $\mathrm{t}=\mathrm{a}+$
$\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$
Et conversim ex tangente invenire arcum ejus
$\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}+-\mathrm{\&c}$.

At hoc factum cum vides, facile credideris &c posse eadem {illeg}|M|ethodo æque facile ex arcu &c.

T |NB| Hanc Epistolam D. Leibnitius se accepisse per Epistolam sequentem agnovit sed subinde celavit & oblivioni tradidit, nulla ejus \ejus/ deinceps \vel seri/ vel in Epistolis vel in Actis eruditorum vel alibi serierum hic acceptarum mentione \unquam/ facta; serierum

Ex quarta quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum 20 Maij, 1675, & cujus Autographum extat.

Literas tuas multa fruge Algerbraica refertas accepi pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias Curas mechanicis imprimis negotijs distrahar non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via sic satis singulari.

NB Series acceptas a suis diversas esse D. Leibnitus|iu|s hic agnovit, non ausus eas sibi jam vindicare.

Ex quinta quæ fuit Oldenbur Leibnitij ad Oldenburgum Parisij 28 Decemb. 1675 data, & cuj a Wallisio impressa & cujus autographum extat.

Habebis et a me — meam Quadraturam circuli ejus partium per seriem Numerorum rationalium infinitam, dequa aliquoties scripsi & quam jam plusquam biennio abhinc Geometris hic communicavi.

NB Series quam de qua aliquoties scripsit \(sc. in Epistolis 15 Iulij & 26 Octob 1674)/ dabat arcum ex sinu. Hanc anno 1673 Geometris in Gallia communicare cæpit |ut suam se communicasse hic dicit. Eandem ab Oldenburgo ut seriem Newtoni mense Aprili præcedente accepit suam esse in Literis mensis Maij non ausus {es}|{se}|t dicere.|. Seriem quæ dat arcum ex tangente, quam hoc /hoc\ anno \16{illeg}|{9}|95/ ab Oldenburgo a{illeg}|c|cepit ut supra, Geometris in Gallia ante finem hujus \ut suam/ communicavit cœpit ante finem hujus \ejusdem/ {illeg}|a|nni \communicavit/ ut ipse de se testatus est in Actis Eruditorum Mensis Aprilis Anni 1691 pag 178 testatus est his verbis. Iam anno 1675 compositum habebat|m| opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore Lectum. Eodem anno Ia. Gregorius emortuus est. Anno proximo \D. Leibnitius/ postulavit ab \Oldenburgo et/ Collinio methodum Newtoni investigandi seriem quæ dat Arcum ex sinu & seriem reciprocam quæ dat d sinum ex arcu; id per Epistolam sequentem.

Ex Epistola ........... desiderio meo. NB. {illeg}|Obl|itus est {a}|j|am D. Leibnitius se series hasce {illeg} \ante annum/ Anno præcedente a D. Oldenburgo accepisse, {illeg} et unam earum anno 1674 sibi vindicasse

Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgum, 27 Aug. 1676 data, & a D. Wallisio in lucem edita

Sit QAIF Sector duabus rectis in Centro Q concurrentibus, & curva Conica AIF ad verticem A sive axis extremum perveniente comprehensus. Tangenti verticis AT occurrat tangens IFT Ipum {sic} AT vocemus t, et rectangulum sub semi-latere recto in semilatus transversum sit Vnitas. Erit Sector Hyperbolæ, Circuli vel Elipseos per semilatus transversum divisus $=\frac{\mathrm{t}}{1}\pm \frac{{\mathrm{t}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5}\pm \frac{{\mathrm{t}}^7}{7}+\mathrm{\&c}$ signo ambiguo ± valente + in Hyperbola, - in Circulo vel Ellipsi. Vnde {illeg}|p|osito quadrato circumscripto 1 erit Circulus $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\mathrm{\&c}$. Quæ expressio, jam Triennio abhinc & ultra a me communicata amicis haud dubie {illeg}|o|mnium possibilium simplicissima est maxime afficiens mentem. —

Vicissim ex seriebus Regressuum pro Hyperbola hanc inveni                 Qui seriem

<122v>

Historia brevis methodi serierum {illeg}|e|x Monumentis antiquis deductam.

Hanc methodum \serier{illeg}|u|m a/ Newto Newtonu|o|s in Analysi per æquationes numero terminorum infinitas composito descriptam D. Barrovius mense Iulio anni 1669 cum \ad/ D. Colliniū|o| communicabit \misit/ & Collinius Series e|i|n eadem descriptas mox communicavit D |I.| Gregorius antea cum amicis. Et D. Gregorius sub finem anni 1670 in eandem methodum incidit & initio anni sequentis series plures cum D. Collinio per Epistolas communicavit & licen\{ti}ā/\tiam/ {sic} \simul dedit easdem cum amicus communicandi./ |D Leibniti|Ex|us| Epistola in Anglia versabatur initi annis 1671 1672 & 1673 us ad mensē{m} Martium, deinde Lutetiam Parisiorum profectus, series|m| \Newtoni/ aliqu{a}s ut suas ibi communicavit pro Arcu ex sinu dato ut suam communicare cæpit sed methodum inveniendi hanc seriem postea quæsivit a Collinio per literas suas ad Oldenburgum datas & et i|I|nterea series plures \is/ ab Collinio accepit per Literas \E Literas/ Oldenburgi accepit, et \cum/ earum aliquam \per transmutationem quandam figurarum demonstrare didicit|s|s{illeg}|e|t eandem/ ut suam eodem anno communicavit, celate|i|s L|O|ldenburgi Literis. Vt hæc res res {clar} Vt Monumenta ex quibus hæc desumuntur, {illeg} hac {sunt} jam subjungimus

Et mox \³/series \²/quasdam \\¹/alias/ a Newtono acceptas {illeg}|a|d se transfe{illeg}|r|re conatus est & licet methodum perveniendi ad easdem nondum did{ed}it intelligeret. Monumenta ex quibus hæc desumpta sunt jam subjungimus.

Theorema vel |NB| Methodus generalis \vel Theorema generale/ de quo agitur in hisce duabus Epistolis, dat seriem pro s|S|ectore vel Arcu ex sinu assumpto{illeg}|s|, Et ubi ratio s|S|ectoris ad Circulū totum vel Arcus ad Circumferentiam totam datur, habetur, dat etiam circulū totum vel circumferentiam totam|.| in \Et hæc est/ series numerorum rationalium continue producta{m} in infinitum de qua agitur in his Epistolis.

NB. D. Leibnitius se series \suas/ ab acceptis diversas \esse & se {in} easdem/ ante annos aliquot inve{illeg}nisse prof \incid invenisse/ hic professus asserit, sed series ab hic acceptis diversas nondum protulit.

NB. D. Leibnitius series su se series suas ab accep series acceptas a suis diversas esse hic asserit \{acc}esserit |fatetur|/, se suas ante annos aliquot invenisse \dicit/; at series pro circulo ab acceptis diversas nunquam \nondum/ protulit.

demonstrare didicit ante finem {A}|a|nni hujus, id per transmutationem quandam figurarum, ac Demonstrationem mox communicavit ut ipse in Actis Eruditorum &c.

NB. Hæc scripsit D. Leibniti{illeg}|u|s quasi series nullas anno superiore de quibus hic agitur anno superiore ab Oldenburgo minime accepisset & \quasi/ seriem pro Arcu ex Tangente ali aliquot abhinc Ann{o}|{i}|s ad Oldenbur scripsis set ad Oldenburgum de serie pro Arcu ex Tangente cujus demonstrationem jam nunc poliebat. Hanc seriem Hoc prætextu seriem pro Arcu ex Tangente \ut suam/ remisit ad Oldenburgum per Epistolam sequentem.

|NB| {illeg} D. Leibnitius hic seriem {q} pro arcu ex Tangente quam \se/ anno superiore ex|ab| Oldenburgo accepisse{illeg}s p{illeg} agnoscere debuisset ut id Newtono innotesceret. innotuisset. Hoc

|NB| D. Leibnitius [se anno superiore] {s}|S|eriem pro arcu cujus tangens datur hic descriptam \{illeg}|D|: L|eib| se anno superiore/ ab Oldenburgo accepisse agnoscere debuisset ut id Newtono innotesceret. Cum hoc non fecerit candor ejus in dubium merito vocatur. Dicit quidem se ante tres annos \id est anno 1673/ seriem hanc cum amis|c|is communicasse: quod verum esse potuit. Sed non dicit se Demonstrationem ejus cum ante tres annos cum amicis communicasse. Demonstrationem ejus anno superiore communicare cœpit ut ips{illeg} ex ipsius verbis supra notavimus. Et qui seriem ante tres annos habuit, demonstrat{r}|i|onem vero ante tres annos non habuit, seriem aliunde habuit. D. Leibnitius uti in Anglia diversabatur annis 1671, 1672, {illeg}|&| initio anni 1673 Collinius toto hoc tempore Series Newtoni \& Gregorij/ cum amicis com mathematice doctis \liberrime/ communicabat. {illeg}|E|t hi cum amicis suis easdam proculdubio libere communicabant. \Et D. Leibnitius cum ijsdem commercium habi{ui}t deinde/ {m}|L|eibnitius cum \anno 1673/ in Galliam profectus seri seriem {illeg} {illeg} hujusmodi series|m| \aliquam vel forte plures/ cum amicis ibi communica cœpit sed sine demonstrationibus. Anno 1674 g gloriabatur in Literis ad Oldenburgū \datis/ se seriem quandam habere pro circumferentia circuli vel etiam pro arcu quovis cujus sinus datur licet ratio arcus ad circumferentiam totam non innotesceret. {illeg} Vnicam tantum seriem pro circumferentia circuli tunc gl se ha tunc jactabat; non eam quæ prodit ex tangente data sed eam quæ prodit ex sinu dato; sed demonstrationem \vero sed postea quæsivit ab Oldenburgo utro/ nondum habuit. Si seriem quæ prodit ex tangente tunc demonstrare potuisset, certe hanc prætulisset. Vtram accepit ab Oldnd|b|urgo {sic} mense Aprili anni 1675, neutram tunc sibi vindicare ausus est, sed series suas se habere ab acceptis diversas t{illeg} et quas cum acceptis comparare \velle/ tunc professus est \acceptas {cum} \a/ suis, comparare se/ \distinxit, et/ Eo|A|b eo tempore seriem pro arcu ex sinu dato sibi {illeg} arrogare desi{illeg}t.{)} At in demonstrationem {illeg}|q|uandam particularem seriei pro arcu ex tangente data \jam/ incidens, e{illeg}|a|ndem communicavit cum Gallis eodem anno, et vi demonstrationis huj{illeg}|us| eandem ut suam remisit Oldenburgo et Newtono & in publ lucem tandem emisit celata \Oldenburgi/ Epistola qua ipsam eandem ab Oldenburgo acceperat. That Vt D. Leibnitius <122r> jus habeat in hanc seriem, debet {et} probandum est ipsum eandem habu demonstrare potuis habuiss antequam accepit ab Oldenburgo, eandem demonstrare potuisse ante annum 1675, eandem \et/ habuisse cum \et/ demonstratione|re| \potuisse/ ante annum 1671|.| aliter \Aliter/ jus in eandem non habebit nisi ex dono Collinij et Oldenburgi. {illeg} Non sufficit candorem D. Leibnitij allegare. Nemo prose \ipso/ testis esse \esse/ potest. \Nemo candidus hoc postulabit contra leges gentium./ Proband{illeg} |o| sunt quæ ipse pro se affirmat: præsertim cum in hac ipsa novissimæ Epistola, is series ali quasdam a Neto alias a Newtono acceptas pen \et ab/ methodu|o|m Regressuum se {mi} minime inveniendas, ad se traducere conatut|s| est \fuit/, et & simul postulavit ut Newtonum|s| \Newtonum tamen in eadem s{illeg}l \e{pist}/ \mox/ rogavit ut is/ amplius explicaret quomodo in Methodo Regressuum se gerat, ut cum ex Logarithmo quærit Numerum. Seriem quæ ex Logarithmo dat Numerum suam esse voluit & \mox s{illeg} {illeg}b memoriam lapsus amitter{illeg} sui oblitus/ simul quærit Methodum qua series hæc \ipsa/ inveniri potuit|s|set. Methodum vero Regressuum duplicem Newtonus in literis proximis eo 24 Octob 1676 datis exposuit & D. Leibnitius his lectis & relectis tandem anno 1671 Iulij 12^mo respondit, se \quo/ \²/methodo \¹/Regressuum altera aliquando usum in veteribus suis schedis reperire: sed cum in exemplo quod forte in manus suas sumpserat, nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series ita \prædictas/ pe{x}|r| h{i}sce\anc/ Regressuum method{os}\um/ minime invenerat. Methodos alias non habuit. Probandum est quod methodum \ipsam olim/ unquam \unquam/ invenerat. Vir candidus, Vir \prudens, Vir/ modestus, Vir candidus Vir justus de inventioris jure {illeg} venire proprio testimonio contra leges minime contendet lites movebit. de Inventoris jure \lites/ minime lites movebit. D. Leibnitius {a}|j|us suum in methodum s|S|erierum aut probare debet aut \aut/ renunciare. Com{illeg}

Methodum vero Regressuum Newtonus \duplicem/ in literis proximis 24 Octob. 1676 datis exposuit, Et cum D. Leibnitus addidit inversa de Tangentibus Problemata esse in potestate alia illis difficiliora ad quæ solvenda usus esset duplici \[serierum]/ methodo una concinniori, alia generaliori. Vtr{a} Et utram complexus est hac sententia. Vna methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione Seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collati{illeg}|o|ne terminorum homologorum æquationis resultantis ad eruendos terminos assumptæ seriei.

Leibnitius vero \anno proximo/ Literis hisce lectis et relectis anno proximo respondit se quo |quod| altera Methodorum duarum Methodorum Regressuum \se quo/ aliquando usum esse in veteribus schedis reperite: sed cum in exemplo quod forte in manus incidit suas sumpserat, nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series it{illeg}|a| prædictas per hanc Regressuum methodum minime inve\ne/erat. Et Probandum est quod methodum ipsam olim inve\ne/erat, quod methodum quæ consit|s|tit in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita inverat|ner|at ante annum 1677. Vir prudens, Vir modestus, Vir candidus, Vir justus proprio \nixus/ testimonio de Inventonis jure lites minime movebit. D. Lebnitius \si candidus si probus haberi velit/ jus suum in methodum serierum aut probare debet aut renunciare.

<123r>

Historia brevis {illeg}|M|ethodi serierum ex Monumentis antiquis desumpta.

Methodum s|S|erierum a Newtono in \ejus/ Analysi per Æquationes numero terminorum infinitas descriptam D. Barrovius mense Iulio Anni 1669 ad D. Collinium misit & D. Collinius series in eadem descriptas mox communicare cæpit cum amicis. D. Iacobus Gregorius Abredonenis acceptis aliquot seriebus, sub finem anni 1670 in eandem methodum incidit & initio anni sequentis series plures cum D. Collinio per Epistolas communicavit ei licentiam simul dedit easdem cum amicis communicandi. D. Leibnitius in Anglia versabatur Annis 1671, 1672 & 1673 us ad Mensem Ma{t}|r|tium, deinde Lutetiam Parisiorum profectus, seriem Newtoni pro Arcu ex sinu dato ut suam communicare cœpit, sed methodum inveniendi hanc seriem postea quæsivit a Collinia|o| per literas suas ad Oldenburgum datas. Ite|n|terea series plures is a Collinio accepit per Literas Oldenburgi accepit, et cum earum aliquam per transmutationem quandam figurarum demonstrare didicisset eandem ut suam eodem anno communicavit celatis Oldenburgi Litteris. Et alias quasdam series a Newtono mox acceptas ad se transferre c{illeg}|o|natus est, licet methodum perveniendi ad easdem nondum didicisset. Monumenta Ex quibus omnibus patet inventionem methodi serierum ad D. Leibnitium nullatenus pertinere. Monumenta ex quibus hæc desumpta sunt jam sequuntur.

Ex Epistola D. Iacobi Gregorij ad D. Collins 15 Februarij Anno 1671$\frac{0}{1}$ data, cujus extat Autographum.

Ex quo Epistolam ad te dedi, tres a te accepi, unam Decem 15, alteram Decem. 24, tertiam |21| Ianuarij nuper elapsi datam. Quod attinet Newtoni methodum {in}|un|iversal{a}|e|m, aliqua ex parte, ut opinor, mihi innotescit, tam quoad Geometricas quam quoad Mechanicas Curvas. Nihilo tamen minus ob series ab me missas gratias habeo, quas ut remunerem, mitto quæ sequuntur.

Sit Radius r, Arcus a, Tangens t, secans s, et erit
$\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}+-\mathrm{\&c}$. Erit
$\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3{\mathrm{r}}^3}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$. Et
$\mathrm{s}=\mathrm{r}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{r}}+\frac{5{\mathrm{a}}^4}{24{\mathrm{r}}^3}+\frac{61{\mathrm{a}}^6}{720{\mathrm{r}}^5}+\frac{277{\mathrm{a}}^8}{8064{\mathrm{r}}^7}+\mathrm{\&c}$

NB. Exemplar hujus Epistolæ missum fuit Lutetiam Parisorum mense Iunio Anni 1676, cum D. Leibnitio communicandum, qui uti postulaverat ut Collectanea Gregorij anno superiore emortui eo mitterentur.

Ex Epistolis quin quæ leguntur in Libro Epistolarum Regiæ Societatis N. 7, pag. 93, 110, 216, 235 & 189; et quarum prima secunda et quinta reperiuntur impressæ in Tomo tertio Operum Mathematicorum Wallisij.

Ex primæ quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum 15 Iulij 1674 da\ta/

Alia mihi Theorema sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est, cujus ope Area c|C|irculi vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum.

Ex secunda quæ fuit D. Leibnitij ad D. Oldenburgum 26 Octob. 1674 data

Ratio Diametri ad Circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem non quidem {illeg}|N|umeri ad N{illeg}|um|erum (id enim foret absolute invenisse) sed per rationē Numeri ad totam quandam seriem Numerorum rationalium valde simplicem & Regularem. Eadem methodo [id est, eodem Theoremate generali] etiam arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest, nullo ad <123v> integræ circumferentiæ dimensionem recursu: ut ædeo necesse non sit Arcus rationem ad circumferentiam nosse.

NB. Methodus vel Theorema generale de quo agitur in hisce duabus Epistolis dat seriem pro Sectore vel Arcu ex sinu assumpto, et ubi ratio Sectoris ad circumferentiam totam Circulum totum vel Arcus ad Circumferentiam totam habetur, dat etiam Circulum totum vel Circumferentiam totam. Et hæc est Series numerorum rationalium de agitur in hac|is| Epistola|i|s.

Ex Epistola tertia quæ fuit Oldenbergi ad Leibnitium 15 Apr. 1675 data.

Posita pro radio unitate, dato x pro sinu, ad inveniendum z arcum, series hæc est. $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$ in infinitum. Et extracta radice hujus æquationis methodo symbolica, si dederis z pro arcu, ad inveniendum x sinum series hæc est, $\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{z}}^9+\mathrm{\&c}$. At hæc series facile continuatur in infinitum. Prioris beneficio ex sinu 30^grad. Ceulenij numeri facile continuantur struuntur.

Consimiliter si ponas radium R et B sinum arcus, Zon{æ}|a| inter diametrum et chordam illi parallelam est $=2\mathrm{RB}-\frac{{\mathrm{B}}^3}{3\mathrm{R}}-\frac{{\mathrm{B}}^5}{20{\mathrm{R}}^3}-\frac{{\mathrm{B}}^7}{56{\mathrm{R}}^5}-\frac{5{\mathrm{B}}^9}{576{\mathrm{R}}^7}-\frac{7{\mathrm{B}}^{11}}{1408{\mathrm{R}}^9}-\mathrm{\&c}$. At eadem series mutatis signis termini secundi quarti et sexti &c inservit assignandæ areæ Zonæ æquilateris Hyperbb|o|læ $=2\mathrm{RB}+\frac{{\mathrm{B}}^3}{3\mathrm{R}}-\frac{{\mathrm{B}}^5}{20{\mathrm{R}}^3}+\frac{{\mathrm{B}}^7}{56{\mathrm{R}}^5}-\frac{5{\mathrm{B}}^9}{576{\mathrm{R}}^7}+\frac{7{\mathrm{B}}^{11}}{1408{\mathrm{R}}^9}-\mathrm{\&c}$

Rursum dato Radio R et sinu verso sive sagitta a, ad inveniendam aream segmenti resecti a chorda, pone ${\mathrm{b}}^2$ pro $2\mathrm{R}\mathrm{a}$, et erit segmentum $=\frac{4\mathrm{ba}}{3}-\frac{2{\mathrm{a}}^3}{5\mathrm{b}}-\frac{{\mathrm{a}}^5}{14{\mathrm{b}}^3}-\frac{{\mathrm{a}}^7}{36{\mathrm{b}}^5}-\frac{5{\mathrm{a}}^9}{352{\mathrm{b}}^7}-\mathrm{\&c}$ Et arcus integer$=2\mathrm{b}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3\mathrm{b}}+\frac{3{\mathrm{a}}^4}{20{\mathrm{b}}^3}+\frac{5{\mathrm{a}}^6}{56{\mathrm{b}}^5}+\frac{35{\mathrm{a}}^8}{576{\mathrm{b}}^7}+\mathrm{\&c}$.

{illeg}|D|uæ hæ series |D.| Gregorio debentur, quas exhibuit ex eo tempore quo usus est hac methodo; quod ab ipso aliquot post annis factum, post quam scilet|ic|et intellexerat D. Newtonum generatim eam applicasse. Exinde quo \ad nos/ misit series consimiles ad Tangentes naturales ex earundem arcubus, et conversim, obtinendum. Ex. gr. Pone radium$=\mathrm{r}$, arcum a, tangentem t; erit $\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$. Et conversim ex tangente invenire arcum ejus, $\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}-\mathrm{\&c}$

At hoc factum cum vides, facile credideris, posse eadem methodo æque facile ex Arcu inveniri Sinum vel Tangentum Logarithmicum abs inventione naturalis et conversim. Pronum quo tibi fuerit credere Methodum hanc applicari posse ad rectificationem quarumlibet Curvarum &c particulatim vero ad lineam Quadratricem, & ad inveniendam Aream illius Figuræ: id quod nulla antehac nulla demum cum methodo fuit præstitum. &c.

NB. Hanc Epistolam D. Leibnitius se accepisse \agnovit/ per Epistolam sequentem agnovit, sed eandem subinde celavit quasi non accepisset; nulla ejus deinceps vel in Epistolis vel in Actis Eruditorum vel alibi mentione unquam facta.

Ex Epistola quarta, quæ fuit D Leibnitij ad D Oldenburgū \cum Newtono communicanda/ quæ dabatur 20 Maij 1675 & cujus Autographum extat.

Literas tuas multa fruge Algebraica refertas accepi pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias curas mechanicis imprimis negotijs distrahar non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam. a|N|am aliquot jam anni sunt quod inveni meas via sic satis singulari

NB. D. Leibnitius series acceptas a suis diversas esse hic fatetur, se suas ante annos aliquot invenisse dicit, at series pro circulo ab acceptis diversas nond{illeg}|u|m protulit.

<124r>

Ex Epistola quinta quæ fuit D. Leibnitij {illeg}|a|d D. Oldenburgum {illeg}{t}|qu|æ Parisijs 28 Decem 1675 data fuit et cujus ex|au|tographum extat.

Habebis et a me — meam Quadraturam Circuli ejus partium per seriem numerorum rationalium infinitam, de qua aliquoties scripsi et quam jam plusquam biennio abhinc Geometris hic communicavit.

NB. Series de qua aliquoties scripsit (sc. in Epistolis 15 Iulij & 26 Octob. 1674) dat arcum ex sinu ut supra. Hanc se anno 1673 Geometris in Gallia ut suam communicasse hic dicit. Seriem quæ dat Arcum ex Tangente, quam hoc Anno acceperat ab Oldenburgo ut s{illeg}|upra|, & suam esse tunc minime noverat, demonstrare didicit ante finem anni hujus id per transmutationem quandam figurarum ac Demonstrationem mox communicavit cum amicis ut ipse in Actis Eruditorum Mensis Aprilis Anni 1691 pag. 178 testatus est his verbis. Iam {illeg}|a|nno 1675 compositum habebam Opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore lectum. Eodem anno D. Iacobus Gregorius emortuus est. Anno proximo D. Leibnitius postulabat ab Oldenburgo et Collinio methodum Newtoni investigandi seriem quæ dat sinum ex arcum ex sinu & seriem reciprocam quæ dat sinum ex Arcu; id per Epistolam sequentem.

Ex Epistola D. Leibnitij ad Oldenburg, Parisijs 12 Maij Anno 1676 data, cujus Autographum in Scrinijs Regiæ Societatis asservatur, cum Notis manu Oldenburgi in tergo scriptis.

Cum Georgius Mohr Danus in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatam sibi a Doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter Arcum et Sinum per Infinitas Series sequentes: Posito Sinu x Arcu z Radio 1
$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$
$\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{z}}^9-\mathrm{\&c}$
Hæc INQVAM, cum nobis attula|e|rit illæ, quæ mihi valde ingeniosa videntur, et posterior imprimis series elegantiam singularem quandam singularem habeat, ideo rem gratam {illeg}|m|ihi feceris, vir clarissime, si demonstrationem transmiseris. Habebis vicissim mea ab his longe diversa circa hanc rem meditata, de quibus jam aliquot abhinc Annis ad te perscripsisse credo, Demonstratione tamen non addita quam nunc polio. Oro ut Cl. Collinio multam a me salutem dicas: is facile tibi me|a|teriam suppeditabit satisfaciendi desiderio meo.

NB. Hæc scripsit D. Leibnitius quasi series de quibus hic agitur, anno superiore ab Oldenburgo minime accepisset, et quasi aliquot abhinc annis scripsisset ad Oldenburgum de serie pro Arcu ex Tangente cujus seriei demonstrationem nunc poliebat. Hoc prætextu seriem illam ut suam remisit ad Oldenburgum per Epistolam sequentem

Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgum 27 Aug. 1676, data, et a Wallisio in lucem edita.

Sit QAIF Sector duabus rectis in centro Q concurrentibus, et Curva conica AIF ad verticem A sive Axis extremum perveniente comprehensus. Tangenti verticis AT occurrat Tangens IFT. Ipsum AT vocemus t, et rectangulum sub semi-latere recto in semilatus trans{illeg}|ve|rsum sit Vnitas. Erit Sector Hyperbolæ, Cira|c|uli, vel Ellipseos per semilatus transversum divisus $=\frac{\mathrm{t}}{1}\pm \frac{\mathrm{t}3}{3}+\frac{\mathrm{t}5}{5}\pm \frac{\mathrm{t}7}{7}\mathrm{\&c}$. signo <124v> ambiguo ± valente + in Hyperbola, - in Circulo vel Elli{illeg}|p|si. Vnde posito quadrato circumscripto 1, erit Circulus $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{9}-\mathrm{\&c}$. Quæ expressio, jam triennio abhinc et ultra a me communicata amicis haud dubie omnium possibilium simplicissima est, maxime afficiens mentem. &c

Vicissim ex seriebus Regressuum pro Hyperbol{illeg}|a| hanc inveni. Si sit numerus aliquis Vnitate minor $1-\mathrm{m}$, ejus Logarithmus Hyperbolicul|s| l. Erit $\mathrm{m}=\frac{\mathrm{l}}{1}-\frac{\mathrm{l}\mathrm{l}}{1\times 2}+\frac{{\mathrm{l}}^3}{1\times 2\times 3}-\frac{{\mathrm{l}}^4}{1\times 2\times 3\times 4}+$&c. Si numerus sit major unitate, ut $1+\mathrm{m}$ tunc pro eo inveniendo mihi etiam prodijt Regula quæ in Newtoni Epistola expressa est; scilicet erit $\mathrm{n}=\frac{\mathrm{l}}{1}+\frac{{\mathrm{l}}^2}{1\times 2}+\frac{{\mathrm{l}}^3}{1\times 2\times 3}+\frac{{\mathrm{l}}^4}{1\times 2\times 3\times 4}+\mathrm{\&c}$. Quod Regressum ex Arcubus attinet incideram ego directe in Regulam quæ ex dato Arcu sinum complementi exhibet &c

Sed desideraverim ut Clarissimus Newtonus nonnulla quo amplius explicet; ut — quomodo in Methodo Regressuum se gerat, ut cum ex Logarithmo quærit Numerum. Ne enim explicat quomodo id ex methodo sua derivetur.

NB. Seriem pro arcu cujus Tangens datur hic descriptam D. Leibnitius se anna|o| superiore ab Oldenburgo accepisse agnoscere debuisset ut id Newtono innotesceret. Cum hoc non fecerit candor ejus in dubium merito vocatur. Dicit quidem se ante tres annos, id est anno 1673 seriem hanc cum amicis communicasse; quod versum esse potuit. Sed non dicit se Demonstrationem ejus ante tres annos cum amicis communicasse. Demonstrationem ante tres annos anno superiore communicare cœpit ut ex ipsius verbis supra notavimus: et qui seriem ante tres annos habuit Demonstrationem vero ante tres annos non habuit, seriem aliunde habuit. Vt D. Leibnitius jus habeat in hanc seriem, probandum est ipsum eandem habuisse antequam accepit ab Oldenburgo, eandem demonstrare potuisse antequam annum 1675, eandem et habuisse et demonstrare potuisse ante annum 1671. Aliter jus nullum in eandem habebit nisi ex dono Collinij et Oldenburgi. Non sufficit candorem Leibnitij allegare. Nemo pro se ipso testi esse potest. Nemo candidus hoc postulabit contra leges gentium. Probanda sunt quæ ipse pro se affirmat: præsertim cum in hac ipsa Epistola, is series quasdam \tres/ alias a Newtono acceptas, et abs meth{illeg}|o||{d}o| Regressuum minime inveniendas, tanquam a se prius inventas sibi arrogare conatus fuit, et methodum Regressuum tamen nondum intellexit. Newtonum enim in eadem epistola mox rogavit ut is explicaret quomodo in methodo Regressuum se gerat ut cum ex Logarithmo quærat numerum seriem quæ ex Logarithmo dat Numerum, suam esse voluit, et mox sui oblitus quærit methodum qua series hæc ipsa inveniri potuisset.

Methodum vero Regressuum Newtonus duplicem in Literis proximis 24 Octob. datis exposuit, addidit inversa de Tangentibus Problemata esse in potestate ali illis difficiliora, ad quæ solvenda usus esset duplici methodo [serierum] methodo una concinniore, altera generaliori. Et utram complexus est hac sententia Vna methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collatione terminorum homologorum æquationis resultantis ad eruendos terminos assumptæ seriei.

D. Leibnitius vero anno proximo, Litteris hisce lectis & relectis respondit quod altera duarum methodorum Regressuum se quo aliquando usum esse in veteribus Schedis reperit: sed cum in exemplo quod forte in manus suas sumpserat, nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series ita prædictas per hanc Regressuum methodum minime invenerat. Probandum est quod methodum ipsam olim invenerat, quod methodum quæ consistit in assumptione seriei pro qu{æ}|a|ntitate qualibet incognita, invenerat {illeg}|a|nte annum 1676. Vir prudens, modestus, candidus justus proprio nixus testimonio lites de Inventoris jure lites minime movebit \proprio innixus testimonio/. D. Leibnitius si candidus si probus haberi velit jus suum in methodum serierum aut probare debet aut renun{illeg} Hanc enim ut suam in Actis Eruditorum Anni 1693. pag 178 explicuit. explicuit. explicuit \ut suam edidit/, & N|a| Newtono \primum inv/ inventam f{illeg}|uiss|e nondum agnovit.

<125r>

D. Leibnitius vero anno proximo, Literis hisce lectis et relectis respondit quod se quo aliquando usum esse altera [duarum methodorum] in veteribus schedis reperit: sed cum nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series ita tres prædictas, utpote elegantes, per hanc methodum Regressuum minime invenerat, methodum aliam Regressuum non habuerat. Sed nec ipsum hac methodo in veteribus schedis usum esse concedendum est. Ipse pro se testis esse non potest. Probandum est quod methodum aliquam Regressuum prius invenerat quam a Newtono acceperat. Nam licentia rapiendi aliorum inventa sub candoris prætextu, nemini concedendum est.

Tandem D. Leibnitius in Actis Eruditorum Anni 1693, pag 178 methodum Newtoni solvendi Problemata per assumptionem seriei pro quantitate qualibet incognita in lucem edidit ut suam & a Newtono primum inventam fuisse nondum agnovit. Certe Leibnitius Anno 1676 ubi scripsit multa esse Problemata quæ ad æquationes aut quadraturas reduci nequeunt, {illeg} qualia sunt inversa Tangentium Problemata, hanc methodum non invenerat: Newtonus autem eandem hoc anno in Epistola prædicta descripsit ut supra.

Constat igitur quod D. Leibnitius nulla|u|m habeat jus in methodum serierum. Nam transmutatio figurarum quam jactat non est methodus serierum convergentium. Est Lemma quoddam ad inveniendum momentum areæ per seriem quadrandæ. Et hoc Lemma momentum dedit more vulgari, & post inventionem methodi differentialis nullius amplius fuit usus.

<126r>

Out of M^r Newton's Treatise De \de/ Analysi per æquationes infinitas. communicated \sent/ by D^r Barrow to M^r Collins y^e 31^th of Iuly 1669.

\/ < insertion from f 127r >  Methodum generalem quam de Curvarum quantitate per Infinitam ter{illeg}|m|inorum seriem mensuranda olim excogitaveram, in sequentibus breviter explicatam potius quam accurate demonstratam habes.

Basi AB Curvæ alicujus AD, sit Applicata BD perpendicularis: Et vocetur $\mathrm{AB}=\mathrm{x}$, & $\mathrm{BD}=\mathrm{y}$, & sint a, b, c, &c quantitates datæ, & m, n numeri integri. Deinde

Reg I

Si $\mathrm{a}{\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}=\mathrm{y}$, erit $\frac{\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}\mathrm{x}\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{n}}=\mathrm{are\ae ABD}$. Vt si ${\mathrm{x}}^2=\mathrm{y}$, erit $\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3=\mathrm{ABD}$.

Reg II.

Si valor ipsius y ex pluribus ejusmodi terminis componitur, area etiam componetur ex areis quæ a singulis terminis emanant.

Vt si sit $11+\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{y}$, ac divid|en|\d{o}/ prodibit prodibit $\mathrm{y}=1-{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^6+{\mathrm{x}}^8-\mathrm{\&c}$ Unde {illeg}per Regulam secundam{illeg}, erit {illeg} $\mathrm{ABDC}=\mathrm{x}-\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3+\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5-\frac{1}{7}{\mathrm{x}}^7+\frac{1}{9}{\mathrm{x}}^9-\mathrm{\&c}$

And after many \severa {sic}/ instances of squaring \finding the areas of/ Curves by infinite series he adds. Et hæc de Areis Curvarum investigandis dicta sufficiant &c. < text from f 126r resumes >

Et hæc de area|i|s curvarum investigan{illeg}|d|is dicta sufficiant. Imò cum problemata omnia de Curvarum longitudine, de quantitate et superficis solidorum de centro gravitatis, possunt eo tandem reduci ut quæratur quantitas superficiei planæ lineâ curvâ terminat{{illeg}|æ|}, non opus est quicquam de ijs adjungere. In istis autem quo ego operor modo dicam brevissime

Sit ABD Curv{illeg}|a| quævis et AHKB rectangulum cujus latus AH vel BK est unitas. Et cogita|cogita| rectam DBK uniformiter ab AH motam|motam| areas ABD et AK describere; et quod BK(1) sit MOMENTVM quo AK(x) et BD(y) momen|MOMEN|TVM quo ABD gradatim AVGETVR; et quod ex MOMENTO BD perpe|PERPE|tim\TIM/ dato|DATO|, possis, per præcedentes regulas aream ABD ipso descriptam investigare, sive cum AK(x) MOMENTO 1 descripta conferre.

Iam qua{s} ratione superficies ABD ex MOME{illeg}|N|TO SVO PERPETIM DATO per præcedentes regulas elicitur\ELICITVR/, eâdem quælibet alia QVÆ{illeg}|L|IBET ALIA QVANTITAS EX MOMENTO SVO sic dato DATO ELICIETVR. Exemplo res fiet clarior

Sit ADLE circulus cujus arcus AD longitudo est indaganda. Duto tangente DHT et co{illeg}|m|pleto indefinite parvo rectangulo HGBK et posito $\mathrm{AE}=1=2AC$; erit ut BK sive GH momentum basis AB (x), ad HD momentum arcus AD∷BT.DT∷BD ($\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}$): DC($\frac{1}{2}$)∷1(BK):∷BD(D{illeg}{$\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}$} $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}}$ (DH) Adeo $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}}$ sive $\frac{\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}}{2\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}$ est momentum a MOMENTVM arcus AD. Quod reductum fit $\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{16}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+\frac{5}{32}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-\frac{35}{256}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+\frac{83}{512}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}+$$-\frac{63}{816}{\mathrm{x}}^{\frac{11}{2}}$$+\mathrm{\&c}$. Quare per Regulam secundam, longitudo arcus AD est ${\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}+\frac{63}{2816}{\mathrm{x}}^{\frac{11}{2}}+\mathrm{\&c}$.

Non secus ponendo CB esse x et radium CA esse 1, invenies arcum LD esse $\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\mathrm{\&c}$

Sed notandum est quod unitas ista quæ pro momento ponitur est superficies cum de solidis & linea cum de superficiebus et punctum cum de superficiebus \{lineis}/ (ut in hoc exemplo ) agitur.

And after some more instances of y^e use & extent of this method he adds Nec quicquam hujusmodi scio ad quod hæc methodus is varijs modis sese non extendit — Et quic|qu|id vulgaris Analysis per æquationes ex finito terminorū numero constantes (quando id sit possibile) perficit hæc per æquationes infinitas semper perficiat: ut nil dubitaverim nomen Analysis \etiam/ huic tribuere Ratiocinia quippe in hac non minus certa sunt quam in illa, nec æquationes minus exactæ; licet omnes earum terminos, nos homines et rationis finitæ nec designare ne ita concipere possimus ut quantitates inde desideratas exacte cognoscamus: sicut radices surdæ finitarum æquationum nec numeris nec quavis arte Analytica ita possunt exhiberi ut alicujus quantitas a reliquis distincta exacte cognoscatur. Deni ad Analyticam merito pertinere censeatur cujus beneficio curvarum areæ, \&/ longitudines & (id modo^a[1] fiat) exacte et Geometrice [æquationibus scilicet infinitis in finitas migranti <126v> bus] determinentur. Sed ista narrandi non est locus.

Respicienti duo præ reliquis determinanda demonstranda occurrunt. Sit ita curvæ alicujus [Here write on to the words Quare e contra, si $\mathrm{a}{\mathrm{x}}^{\frac{m}{n}}=\mathrm{y}$, erit $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}\mathrm{a}\mathrm{x}\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{n}}=\mathrm{z}$. Q.E.D.

Hinc in transitu notetur modus quo curvæ tot quot placuerit, quarum areæ sunt cognitæ, possunt inveniri; sumendo nempe quam libet æquationem pro relatione inter aream z et basem x ut inde quæratur {q}|a|pplicata y \[momentum scilicet areæ fluentis z]/. Vt si supponas $\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{z}$, ^b[2]ex calculo invenies $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{y}$. Et sic de reliquis.

Let the Letter of Slusius about tangents in answer to M_r Collins, data|e|d in 1672 or 1673 be added

Ex Epistola D. Old Leibnitij ad D. Oldenburgium \datam Lutetiæ Parisiorum/ 15 Iuly 1674.

Alia mihi Theoremata sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est, cujus ope Area circuli vel sectoris ejus dati, exacte exprimi potest per seriem quandam Numerorum rationalium continue productam in infinitum. Sed et Methodos quasdam habeo Analyticas habeo generales admodum et late fusas quas majoris facio qu{illeg}|a|m Theoremata particularia et exquisita.

Ex Epistola |D.| Leibnitij ad D. Oldenburgium data Lutetiæ Parisiorum 26 Octob 1674

Ratio diametri ad circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem non numeri ad numerum (id enim foret absolute invenisse;) sed per rationem Numeri ad totam quandam seriem numerorum rationalium valde simplicem & regularem. Eadem methodo etiam arcûs cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest.

Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgiam data |Ian vel Feb| 1675

Methodum celeberrimi Newtoni radices æquationum inveniendi per instumentum Credo differre a mea. Ne enim video, in mea, quid aut Logarithimi aut circuli concentrici conferant.

Scripsisti aliquoties, Vestrates omnium Curvarum dimensiones per appropinquationem dare. Velim nosc|s|e, an possint dare Geometrice Dimensionem Curvæ [abs] Ellipsos vel Hyperbolæ quadratura. This Epistole is copied in the books of y^e R. Society & was published by D. Wallis from another copy w^thout a Date.

Ex Epistola D. Leibnitij ad D Oldenburgium data Paris. 16 28 Decem. 1675

Quod D. Tschurnhausium ad nos misisti fecisti pro amico. Multum enim ejus consuetudine delector &c

Mittam et viam meam perveniendi ad radices irrationales altiorum graduum

Habebis et a me Instrumentum Æquationes omnes Geometricas construendi unicum et meam quadraturam Circuli ejus partium per seriem Numerorum rationalium infinitam; de qua aliquoties scripsi, et quam jam plusquam biennio abhinc Geomet{illeg}|ri|s hic communicavi.

<127r>

Out of M^r Newtons treatise de Analysi per Æquationes infinitas.

Out of M^r Newton's first Letter sent to M^r oldenbug 13 Iune 1676 & by M^r Oldenburgh to M^r Leibnitiz 26 Iune following

Ex his videre est quantum fines Analyseos per hujusmodi infinitas æquationes ampliantur: quippe quæ earum beneficio ad omnes|ia| pene dixerim, problemata (si numeralia Diopha|a|nti & similia excipias) sese extendit. Non tamen omnino universalis evadit nisi per ulteriores quasdam methodos e{x}|l|iciendi series infinitas. Sunt enim quædam problemata, in quibus non liceat ad Series Infinitas per divisionem vel Extractionem Radicum simplicium affectarumve, pervenire. Sed quomodo in istis casibus procedens|d|um jam non vacat dicere; ut ne alia quædam tradere quæ circa Reductionem Infinitarum Serierum in finitas ubi rei natura tulerit, excogitavi. Nam parcius scribo quod hæ speculationes diu mihi fastidio esse cœperunt, adeo ut ab ijsdem jam per quin fere annos abstinuerim.

Out of M^r Leibnits answer dated from Paris Aug 27 1676

Mea methodus [reducendi quantitates ad series infinitas] \Mercator Figuras rationales . . . . . ad infinitas series reducere docuit per Divisiones Newtonus autem per radicum extractiones. Mea methodus/ Corollarium est tantum doctrinæ generalis de Transformationibus cujus ope Figura proposita quælibet quacun æquatione explicabilis transmutatur in aliam Analyticam æquipollerntem; talem ut, in ejus Æquatione, ordinatæ dimensio non ascendat ultra c|C|ubum aut Quadratum, aut etiam simplicem d|D|ignitatem, seu Infimum gradum. Ita fiet ut quælibet Figura vel per Extractionem rædicis c|C|ubicæ vel q|Q|uadraticæ, Newtoni more; vel etiam methodo Mercatoris, per simplicem Divisionem ad series infinitas reduci queat . . . . . . . . . . AQCA sit quadrans Circuli: Radius $\mathrm{AQ}=\mathrm{r}$; Abscissa $\mathrm{A}{}_1\mathrm{B}=\mathrm{x}$: Ordinata ${}_1\mathrm{B}{}_1\mathrm{D}=\mathrm{y}$: Æquatio pro circulo $2\mathrm{r}\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}$. Ducatur recta $\mathrm{A}{}_1\mathrm{D}$, producatur donec ipsi QC etiam productæ occurrat in ${}_1\mathrm{N}$: et $\mathrm{Q}{}_1\mathrm{N}$ <127v> vocetur z. Et erit $\mathrm{A}{}_1\mathrm{B}$ seu $\mathrm{x}=\frac{2{\mathrm{r}}^3}{{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{x}}^2}$: et ${}_1\mathrm{B}{}_1\mathrm{D}$ sive $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{z}{\mathrm{r}}^2}{{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. Eodem modo, ducta $\mathrm{A}{}_2\mathrm{D}{}_2\mathrm{N}$: si $\mathrm{Q}{}_2\mathrm{N}=\mathrm{Z}-\mathrm{B}$ (posita scilicet ${}_1\mathrm{N}{}_2\mathrm{N}=\mathrm{B}$) erit $\mathrm{A}{}_2\mathrm{B}=\frac{2{\mathrm{r}}^3}{{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{z}\mathrm{\beta }+{\mathrm{\beta }}^2}-\frac{2{\mathrm{r}}^3}{{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. Sive posita β infinite parva (post destructiones & divisiones,) erit ${}_1\mathrm{B}{}_2\mathrm{B}=\frac{4{\mathrm{r}}^3\mathrm{z}\mathrm{\beta }}{\left[2\right]{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. Habita ergo recta ${}_1\mathrm{B}{}_1\mathrm{D}$, et recta ${}_1\mathrm{B}{}_2\mathrm{B}$ habitur valor rectanguli ${}_1\mathrm{D}{}_1\mathrm{B}{}_2\mathrm{B}$, multiplicatis eorum valoribus in se invicem; habebitur inquam $\frac{8{\mathrm{r}}^5\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{\beta }}{\left[3\right]{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. pro valore Rectanguli ${}_1\mathrm{D}{}_1\mathrm{B}{}_2\mathrm{B}$.^[3]

Sit jam Curvæ ₁P₂P₃P &c natura pro arbitrio {illeg} assumpta talis, ut Ordinata ejus ₁N₁P (ex data Abscissa Q₁N {sioe} 2) sit $\frac{8{\mathrm{r}}^5{\mathrm{z}}^2}{\left[3\right]{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. Ideo, quoniam ${}_1\mathrm{N}{}_2\mathrm{N}=\mathrm{\beta }$, erit rectangulum ${}_1\mathrm{P}{}_1\mathrm{N}{}_3\mathrm{N}{}_3\mathrm{P}{}_2\mathrm{P}{}_1\mathrm{P}\mathrm{P}$ æquale spatio Circulari respondenti ${}_1\mathrm{D}{}_1\mathrm{B}{}_3\mathrm{B}{}_3\mathrm{D}{}_2\mathrm{D}{}_1\mathrm{D}$. Est autem quælibet Ordinata NP rationalis, ex data Abscissa QN; quia posita $\mathrm{QN}=2$, Ordinata NP est $\frac{8{\mathrm{r}}^5{\mathrm{z}}^2}{\left[3\right]{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$ sive $8{\mathrm{r}}^5{\mathrm{z}}^2{\mathrm{r}}^6+3{\mathrm{r}}^4{\mathrm{z}}^2+3{\mathrm{r}}^2{\mathrm{z}}^4+{\mathrm{z}}^6$. Ergo ipsa per infinitam seriem Integrorum exprimi potest dividendo. Et spatium labibus Ordinalis comprehensum æquipollens circulari, infinita serie \numerorum/ rationalium, methodo Mercatoris Quadrari potest.

Sed desideraverim ut Clarissimus Newtonus nonnulla quo amplius explicet Vt originem Theorematis quod initio ponit: Item, Modum quo quantitates p, q, r in suis operationibus invenit; ac deni quomodo in methodo regress{io}num se gerat; ut cum ex Logarithmo quærit numerum. Ne enim explicat quomodo id ex Methodo sua derivetur.

Nondum mihi licuit ejus Literas qua merentur diligentia legere: quoniam tibi 2 vestigio respondere volui. Vnde non satis nunc quidem affirmare ausim annon nonulla eorum quæ suppressit ex sola earum lectione consequi possim. {illeg} Sed optandum tamen foret ipsum ea potius supplere Newtonum.

Quod dicere videmini pleras difficultates (exceptis Problematibus Didphantæis) ad series infinitas reduci: id mihi non videtur. sunt enim multa us adeo mira & implexa, ut ne ab æquationibus pendeant, ne ex Quadraturis. Qualia sunt (ex multis alijs) P{l}|r|oblemata methodi langentium inveræ Quæ etiam Cartesius in potestate non esse fassus est.^[4]

<128bis(r)>

then th{a}|e| own \differential/ tho not essential \necessary/ to the Method. For tho the second Volume of the works of D^r Wallis {w}{illeg} as was published in the year 1693 yet the first Volume was not published till the year 1695 & the Editors of the Acta Eruditorum received both together & gave account of them \both/ in the year 1696. The Marquess de l'Hospital tells us that where D^r Barrow left off th M^r Leibnitz went on & that he improved the Doctors method by shewing how to exclude fractions & surds, but he did not know that I gave M^r Leibnitz notice of this improvement in my Letters of 10 Decem 1672 & 24 Octob. 1676. Had he known this, he would not have thought said that M^r Leibnitz did me justice in acknowledging only that I found the method apart.

<128bis(v)>

Out of a Paper of M{illeg} Acta Eruditorum fo{illeg}

Qui calculum Barro{illeg} elementorum Calcul{illeg} adumbravit A{illeg} inibi cont{illeg}tum ign{illeg} ab e{illeg}

<128r>

1889. 760000

Out of a Letter of M^r Oldenburgh to M^r Leibnitz dated the 30^th of September 1675, a copy of w^ch is extant in the hand of M^r Oldenburgh, entred in the books of the R. Society N.7, p. 159 & w^ch was written in answer to the former.

Scriptum quoddam Belgicum Belga quidam Georgius Moor vocatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Collinius ipsi communicavit.

^[5]Out of a Letter of M^r Leibnitz to M^r Oldenburgh dated at Parish the 12^th of May 1676 & found amongst the papers of the R. Society in the original hand of the author with notes on the back side in the hand of M^r Oldenburgh.

Cum Georgius Mohr Danus . . . . . . . . . . . . . . . . . satisfaciendi desiderio meo.

Vpon the receipt of thi|e| Letter \of M^r Leibnits dated y^e 12^th of May/ M^r Oldenberg & M^r Collins sollicited M^r Newton for an account of his method of infinite series: Which occasioned his two Letters dated Iune 13^th & October 24^th 1676, with M^r Leibnits answers dated the first at Paris the $\frac{17}{27}$^th of August 1676, the second at Hanover y^e 21^th of Iune 1677, & a supplement to the second answer dated also at Hanover y^e 12^th of Iuly 1677, & a Letter of M^r Collins to M^r Newton dated y^e 5^t of March 167$\frac{6}{7}$, all printed by D^r Wallis.

Et Cassitrus ipse 3282590

^[6]Out of a Letter of M^r Collins to M^r Oldenburgh to be sent to M^r Leibnitz in answer to his Letter of the 12^th of May \at Paris/: a copy of w^ch was found in the hand writing of M^r Collins amongst his papers & dated the 14^th of Iune 1676.

In answer to M^r Leibnitz Letter of y^e 12^th of May ............. was but as dawning to noon day.

^[7]Out of a Letter of M^r Tschurnhause dated at Paris 16 1 Sept. 1676, a copy of w^ch is extant in the handwriting of M^r Collins. Expectabam cum desiderio Responsum ............ operam navabunt.

^[8]Out of a Letter of M^r {illeg} {illeg}|C|ollins to M^r David Gregory the brother of M^r Iames Gregory newly deceased, dated y^e 11^th of August 1676, a copy of w^ch is extant in the handwriting of M^r Collins.

I have drawn up an account of the Letter commerce . . . . . . . . . . . . . . . as himself acknowledgeth in his Letter of the 19^th of December 1670.

Nam tarditas Penduli sub Æquatore defectum gravitatis arguit, et quo leviore est materia eo major esse debet altitudo ejus ut pondere suo sustineat materiam sub polis in æquilibrio sustineat

<128v>

$\begin{array}{ccc}0& \mathrm{3.7,47}& 56912\\ 10& \mathrm{3.7,52}& 56935\\ 20& \mathrm{3.7,69}& 56999\\ 30& \mathrm{3.7,95}& 57098\\ 40& \mathrm{3.8,27}& 57220\\ 49& \mathrm{3.8,56}& 57336\\ 50& \mathrm{3.8,60}& 57349\\ 60& \mathrm{3.8,92}& 57470\\ 70& \mathrm{3.9,17}& 57569\\ 80& \mathrm{3.9,34}& 57633\\ 90& \mathrm{3.9,40}& 57657\end{array}$ $13.72\colon\colon \frac{1092}{1000}$. $17⁤\frac{1}{6}$ $\frac{103\times 12}{13}$

Constat autem per hanc Tabulam

Hæc ita se habent ex hypothesi quod Terra sit uniformit{illeg} ex uniformi materia constet. Nam Si materia ad centrum paulo densior sit quam ad circumferentiam, differentiæ pendulorum et graduum meridiani paulo majores erunt quam pro Tabula præcedente, Nam quo rarior est materia superior eo altior esse debet sub Æquatore at pondere suo cohibeat vim centrifugam Æquatore eo major debet esse altiduo materiæ at \hæc/ pondere suo defectum \vis/ gravitatis suppleat ac comprehet propterea quod –—–

Iam vero Astronomi aliqi &c

Deinde anno 1682 &c

Posthæc D. Couplet filius &c

Annis proximis (1699 & 1700) D. Des Hayes

Latitudo autem

Observavit uti D.Picartus {sic}

Ano 1704 P. Fenelleus invenit &c

Latutudo autem Paraibæ ..... & excessus Longitudinis &c

Observavit uti D. Picartus ........ et inter hos limites quantitas mediocris est $2⁤\frac{9}{40}$ linearum. Propter caloris locorum in zona torrida negligamus $\frac{9}{40}$ partes lineæ et manebit differentia duarum linear{illeg}|u|m

Vnde |Et| cum differentia lineæ unius et $\frac{8}{100}$ partium 95 partium mille{illeg}rum Linæ illa ex hypothesi quod Terra ex materia uniformiter densa constat sit tantum $1⁤\frac{95}{1000}$ lineæ: excessus \altitudinis/ Terræ ad Æquatorem jam au{illeg}|l|lus in ratione supra altitudinem ejus ad polos qui erat milliarium $17⁤\frac{1}{6}$ jam aullus in ratione differentiarum fiet milliarium $31⁤\frac{1}{3}$. Et Nam quo tardior est osculatio penduli \sub æquat./ eo minor est vis gravitatis, tab æquatore, et quo minor est vis gravitatis \sub æquatore/ eo altior debet esse materia ut ponder|us|e suo sus{illeg}eat \ejus æquale sit ponderi/ materiæ sub Polis. {illeg} æqu{illeg} [Ex hypothesi vero quod excessus longitudinis Pendulū sub Æquatore superat si{illeg} ad minuta secunda oscillans superat. Pendulū isochronum sub Polis longitudine duarum linearum, longitudines Pendulorū s{illeg} isochronorum & mensuræ graduum in singulis Terræ regionibus exhibebit{illeg} per \eæ erunt quas/ Tab. sequens exhibet.]

<129r>

$\begin{array}{l}57284⁤\frac{1}{2}\\ 57284\end{array}$

$\begin{array}{ccccccccc}0& 0000& \mathrm{0,00}& \mathrm{3.6,555}& 56515& \mathrm{7,46325}& 3. \mathrm{7,46}& \mathrm{3.7,463}& 56907\\ 5& 015192& \mathrm{,0,2688}& \mathrm{3.6,582}& \phantom{0}& 747792& 3. \mathrm{7,48}& \phantom{3.}\mathrm{7,478}& 56913\\ 10& 060307& \mathrm{,1,0642}& \mathrm{3.6,662}& \phantom{0}& 752137.& 3. \mathrm{7,52}& \phantom{3.}\mathrm{7,521}& 56930\\ 15& 133975& \mathrm{,236841}& \mathrm{3.6,792}& \phantom{0}& 759236& 3. \mathrm{7,59}& \phantom{3.}\mathrm{7,592}& 56957\\ 20& 253456& \mathrm{4,1284}& \mathrm{3.6,968}& \phantom{0}& 768872& 3. \mathrm{7,69}& \phantom{3.}7689& 56995\\ 25& 357212& \mathrm{6,3034}& \mathrm{3.7,186}& \phantom{0}& 780751& \phantom{3. }\mathrm{7,81}& \phantom{3.}7808& 57041\\ 30& 500000& \mathrm{8,8230}& 3.7438& 56858& \mathrm{7∟945}& \phantom{3. }\mathrm{7,95}& \phantom{3.}7945& 57095\\ 35& 657980& \mathrm{1,1,6173}& \mathrm{3.7,717}& \phantom{0}& \mathrm{8∟0977}& \phantom{3. }\mathrm{8,10}& \phantom{3.}8098& 57154\\ 40& 826352& \mathrm{1,4,493}& 3.80137& \phantom{0}& \mathrm{8∟2596}& \phantom{3. }\mathrm{8,26}& \phantom{3.}8260& 57218\\ 45& 1000000& \mathrm{1,7,646}& \mathrm{3.8,3201}& 57200& \mathrm{8∟427}& \phantom{3. }843& \phantom{3.}8427& 57283\\ 50& 1173648& \mathrm{2,0799}& \mathrm{3.8,627}& \phantom{0}& \mathrm{8∟5943}& \phantom{3. }8.60& \phantom{3.}\mathrm{8,594}& 57348\\ 55& 1342020& \mathrm{2,3675}& \mathrm{3.8,923}& \phantom{0}& \mathrm{8∟7563}& \phantom{3. }\mathrm{8,76}& \phantom{3.}\mathrm{8,756}& 57412\\ 60& 1500000& \mathrm{2,64690}& 3.9202& 57543& \mathrm{8∟90886}& \phantom{3. }\mathrm{8,91}& \phantom{3.}\mathrm{8,909}& 57471\\ 65& 1642788& 28989& \mathrm{3.9,454}& \phantom{0}& \mathrm{9,0465}& \phantom{3. }\mathrm{9,05}& \phantom{3.}\mathrm{9,046}& 57525\\ 70& 1766044& \mathrm{3,1164}& 3.9672& \phantom{0}& 91653& \phantom{3. }\mathrm{9,17}& \phantom{3.}\mathrm{9,165}& 57571\\ 75& 1866025& \mathrm{3,2928}& \mathrm{3.9,848}& \phantom{0}& 92616& \phantom{3. }\mathrm{9,26}& \phantom{3.}\mathrm{9,262}& 57602\\ 80& 1939693& \mathrm{3,4228}& \mathrm{3.9,978}& \phantom{0}& 93326& \phantom{3. }933& \phantom{3.}\mathrm{9,333}& 57626\\ 85& 1984808& \mathrm{3,4923}& \mathrm{3.10,058}& \phantom{0}& 93760& \phantom{3. }938& \phantom{3.}\mathrm{9,376}& 57653.\\ 90& 2000000& \mathrm{3,5292.}& \mathrm{3.10,085}& 57886& \mathrm{3.9∟39073}& \phantom{3. }939& \phantom{3.}\mathrm{9,391}& 57659\\ \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 49& 1139173& \phantom{0}& \mathrm{3.8,56567}& \phantom{0}& \mathrm{8,56084}& \phantom{3. }\mathrm{8,56}& \phantom{3.}\mathrm{8,561}& 57335\\ 48& 1104528& \phantom{0}& \mathrm{3.8,50456}& \phantom{0}& \mathrm{8,5274}& \phantom{3. }\mathrm{8,53}& \phantom{3.}\mathrm{8,528}& 57322\\ 47& 1069756& \phantom{0}& \mathrm{3.8,4423}& \phantom{0}& 84939& \phantom{3. }\mathrm{8,49}& \phantom{3.}\mathrm{8,494}& 57309\\ 46& 1034900& \phantom{0}& \mathrm{3.8,38084}& 57222& \mathrm{8,4604}& \phantom{3. }\mathrm{8,46}& \phantom{3.}\mathrm{8,461}& 57296\\ 45& 10000000& \mathrm{1,7646.}& \mathrm{3.8,3201}& 57200& \mathrm{3.8∟427}& \phantom{3. }\mathrm{8,43}& \phantom{3.}\mathrm{8,427}& 57283\\ 48.50& 1133399& \mathrm{2,0000}& \mathrm{3.8,55555}& 57292& 3.85555& \phantom{3. }\mathrm{8,56}& \phantom{3.}\mathrm{8,556}& 57292\end{array}$

$\begin{array}{rr}34645& \overline{)11334}\\ 5774& 2\phantom{000}\end{array}\begin{array}{r}500000(44115\\ \underline{45336}\phantom{0(44115}\\ 4664\phantom{0(44115}\end{array}$

$\begin{array}{r}9156\\ \underline{90672}\\ 888\end{array}\begin{array}{r}30384(2683\\ 22668\phantom{(2683}\\ 7716\phantom{(2683}\\ 68804\phantom{(268}\\ 9156\phantom{(2683}\\ 7933\phantom{(268}\\ 423\phantom{(268}\end{array}\begin{array}{r}1304\phantom{0}\\ 1706\\ 573\end{array}$

$\begin{array}{rr}2139512& (18867\\ 1006112& \underline{65555}\\ 90772\phantom{0}& 84423\\ 98392& \phantom{0}\\ 7620& \phantom{0}\\ 6806& \phantom{0}\\ 82& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{440∟555}\\ 442⁤\frac{1}{2}.436⁤\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{r}2.15292 : \underline{57292}\phantom{000}\\ 28646\phantom{000}\\ 14323\phantom{000}\\ 57292\phantom{0}\\ 257814\\ 5729\\ \overline{43805463}\end{array}\begin{array}{rr}\mathrm{442∟56}: :57292\phantom{00}& (7768407\\ \underline{30975\phantom{0}}\phantom{00}& \phantom{0}\\ 34002\phantom{00}& \mathrm{16,8540}\phantom{0}\\ 3027\phantom{00}& \phantom{0}\\ \underline{2655}\phantom{00}& \phantom{0}\\ 372\phantom{00}& 90465\phantom{0}\\ \underline{354}\phantom{00}& 91653\phantom{0}\\ 1800& 92616\\ \underline{177}\phantom{0}& 3320\\ 30& 93762\end{array}$

$\begin{array}{rr}131596\phantom{000}& (116036\phantom{0}\\ 1825\phantom{0000}& 172\phantom{0}\\ 6922\phantom{000}& \phantom{0}\\ \underline{68804}\phantom{00}& 1216\phantom{00}\\ 1416\phantom{00}& 826\phantom{0}\\ \underline{34002}& 7933\\ 76\phantom{00}& 327\end{array}$

$\begin{array}{rr}2069800& (182529\\ 9364\phantom{00}& \underline{655555}\\ 90772\phantom{0}& 838084\\ 2868\phantom{0}& 432\phantom{00}\\ 2268\phantom{0}& 8\phantom{00}\\ 600\phantom{0}& \phantom{0}\\ 5667& \phantom{0}\\ 333& \phantom{0}\\ 106& \phantom{0}\end{array}$

$\begin{array}{rrr}) 343752\phantom{0000}& (77704\phantom{0}& \phantom{0}\\ \underline{30975}\phantom{000000}& -2\phantom{00}& \phantom{0}\\ 34002\phantom{0000}& \overline{)\mathrm{776∟84}}& \phantom{0}\\ 30975\phantom{0000}& 57292\phantom{0}& 57292\phantom{00}\\ 3027\phantom{0000}& -777\phantom{0}& -77684\\ 30975\phantom{000}& \overline{56515}& \overline{)5651516}\\ -\phantom{0}705\phantom{000}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 8845\phantom{00}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 1795\phantom{00}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 177\phantom{000}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 1.72465& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 57292& \phantom{0}& \phantom{0}\end{array}$

$568585\phantom{00}2280000 . 5667\colon\colon 440⁤\frac{5}{9}$

$\begin{array}{rr}120614\phantom{00}& (10634\phantom{0}\\ 7274& 418\\ \underline{68004}\phantom{0}& \phantom{0}\\ 4936\phantom{0}& \phantom{0}\\ 44336& \phantom{0}\\ 4958& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{r}5\phantom{00}\\ 1652704\phantom{0}(14493\\ 5193\phantom{000(14493}\\ \underline{45336}\phantom{00(14493}\\ 6594\phantom{00(14493}\\ 10604\phantom{(14493}\\ 102006\phantom{(14493}\\ 403\phantom{0(14493}\end{array}$

$\begin{array}{r}\begin{array}{c}113917\\ 000577\end{array}(\begin{array}{c}100506\\ 201012\end{array}\\ 5696\phantom{(00000}\\ 074\phantom{(00000}\end{array}$

$\begin{array}{r}7646\phantom{0000}\\ 77684\phantom{000}\\ \overline{543788}\phantom{000}\\ 466104\phantom{00}\\ 310736\phantom{0}\\ 466104\\ \overline{593971864}\end{array}$

$\begin{array}{r}\mathrm{776∟85}\\ \underline{72465}\\ 543795\\ 15537\\ 3107\\ 466\\ 39\\ \overline{562944}\end{array}$

$\begin{array}{rr}\underline{\mathrm{440,55555}}& \phantom{0}\\ 220277777& \phantom{0}\\ 26433333& \phantom{0}\\ 2643333& \phantom{0}\\ 388388& \phantom{0}\\ \overline{249662839}& (\mathrm{1∟09501}\\ 2166\phantom{0000}& \underline{8555}\phantom{01}\\ \underline{2052}\phantom{0000}& 160\phantom{01}\\ 114283\phantom{0}& \phantom{0}\\ 114\phantom{0000}& \phantom{0}\end{array}$

<128v>

$\begin{array}{r}72465\phantom{0}\\ \underline{10923\phantom{0}}\\ 72465\phantom{0}\\ 65218\\ 1449\\ 217\\ \overline{791536}\\ \underline{746325\phantom{0}}\\ 8254786\\ \overline{413176\phantom{000}}\\ \overline{192748}\phantom{000}\\ 770992\phantom{0000}\\ 578244\phantom{00}\\ 19725\phantom{00}\\ 9862\phantom{00}\\ 4931\\ \overline{79639442}\phantom{00}\\ \underline{746325\phantom{0}}\phantom{0000}\\ 825964\phantom{00000}\end{array}$

<129r>

$\begin{array}{r}467912\phantom{0}(41284\\ 45336\phantom{00(41284}\\ 14552\phantom{0(41284}\\ 11334\phantom{0(41284}\\ 3218\phantom{0(41284}\\ 2267\phantom{0(41284}\\ 951\phantom{0(41284}\\ 9067\phantom{(41284}\\ 443\phantom{(41284}\end{array}$

$\begin{array}{rr}2000000\phantom{00}& (17646\\ 8666\phantom{0000}& \underline{65555}\\ 79338\phantom{000}& 83201\\ 7322\phantom{000}& \phantom{0}\\ 68004\phantom{00}& \phantom{0}\\ 5216\phantom{00}& \phantom{0}\\ 45336\phantom{0}& \phantom{0}\\ 6824& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{rr}2347296\phantom{0}& \phantom{0}\\ 22668\phantom{000}& (207102\\ 80496\phantom{0}& 655555\\ \underline{79338}\phantom{0}& \mathrm{8,62657}\\ 1158\phantom{0}& \phantom{0}\\ 244& \phantom{0}\end{array}$

$\begin{array}{r}2209056\phantom{0}(1949005\\ 10756\phantom{000(1949005}\\ \underline{102006}\phantom{00(1949005}\\ 55596\phantom{0(1949005}\\ \underline{45336}\phantom{0(1949005}\\ 10260\phantom{0(1949005}\\ 594\phantom{(1949005}\end{array}$

$\begin{array}{r}\underline{57292}\phantom{00.}\\ 5788597\phantom{.}\\ 5651516\phantom{.}\\ 11440113\phantom{.}\\ 5720056\phantom{.}\end{array}$

$\begin{array}{r}362325\phantom{00}\\ 507255\phantom{0}\\ 14493\phantom{0}\\ 65228\\ 1449\\ \overline{\phantom{00}41516657}\\ \underline{57292}\phantom{00000}\\ 56777\phantom{00000}\end{array}\begin{array}{r}57292\\ 563\end{array}$

$\begin{array}{r}468\phantom{0}\\ \underline{4533}\\ 147\end{array}\begin{array}{rr}26795\phantom{0}& (23634\\ \underline{22668}\phantom{0}& 41\\ 4127\phantom{0}& \phantom{0}\\ 34002& \phantom{0}\\ 7268& \phantom{0}\\ \underline{6800}& \phantom{0}\\ 468& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{r}714424(630337\\ \underline{68004}\phantom{0(630337}\\ 34384\phantom{(630337}\\ 34002\phantom{(630337}\\ 382\phantom{(630337}\\ 42\phantom{(630337}\\ 8\phantom{(630337}\end{array}\begin{array}{r}65944\phantom{0}\\ \underline{5667\phantom{00}}\\ 9274\phantom{0}\\ 90772\\ 1968\\ 835\\ 2\end{array}$

$\begin{array}{r}(145817\\ 655555\\ \mathrm{8∟01372}\end{array}\begin{array}{r}\mathrm{0.7646.104}.\phantom{00}\\ \mathrm{1,0923}\phantom{.104.00}\\ 7646\phantom{00.104.}\\ 68814\phantom{.104.}\\ 1529\phantom{.104.}\\ \underline{\phantom{000}229}\phantom{.104.}\\ 1758\phantom{.104.}\\ \mathrm{0∟835172}\phantom{.104.}\\ \underline{8555555}\phantom{.104.}\\ 9390727\phantom{.104.}\end{array}$

$\begin{array}{r}10923\phantom{0}\\ 4369\\ \overline{\mathrm{1,1360}\phantom{0}}\\ 7463\phantom{00}\\ \overline{\mathrm{8∟599}\phantom{00}}\end{array}\begin{array}{r}842699\\ 939073\\ \overline{1781772}\\ 890886\end{array}\begin{array}{r}939073\\ 746325\\ \overline{1685398}\\ 842699\\ 746325\\ \overline{1589024}\\ 7945\phantom{00}\end{array}$

$\begin{array}{rr}2285667)249662833& (\mathrm{1∟092302}\\ 21096133& \underline{855555}\phantom{0}\\ 20571003& \phantom{0}\\ 525130& 74632\phantom{00}\\ \underline{457133}& \phantom{0}\\ 67997& \phantom{0}\\ 6757\phantom{0}& \phantom{0}\\ 427& \phantom{0}\end{array}$

$\begin{array}{r}714424(623274\\ 68804\phantom{0\mathrm{(}623274}\\ 26384\phantom{\mathrm{(}623274}\\ \underline{22668}\phantom{\mathrm{(}623274}\\ 3716\phantom{\mathrm{(}623274}\\ 3400\phantom{\mathrm{(}623274}\\ 316\phantom{\mathrm{(}623274}\\ 89\phantom{\mathrm{(}623274}\end{array}$

$1095.2000.17⁤\frac{1}{6}.$

$\begin{array}{r}3433333(31363\\ 3285\phantom{000(31363}\\ 1483\phantom{00(31363}\\ 3883\phantom{0(31363}\\ 3285\phantom{0(31363}\end{array}\begin{array}{r}6983\\ 6570\\ 413\end{array}$

$\begin{array}{r}58086\phantom{0}\\ \underline{10923}\phantom{0}\\ 58086\phantom{0}\\ 52277\\ 1162\\ 174\\ \overline{634473}\\ 746325\phantom{0}\\ \overline{809772\phantom{0}}\end{array}\begin{array}{r}20642\phantom{00}\\ \underline{10923}\phantom{00}\\ 20642\phantom{00}\\ 185778\\ 4128\\ 620\\ \overline{2254726}\\ 746325\phantom{00}\\ 7.68872\phantom{00}\end{array}$

$\begin{array}{r}5321\phantom{0}\\ 10923\phantom{0}\\ \overline{54615\phantom{0}}\\ 32769\\ 2185\\ 109\\ \overline{\mathrm{0.0.581213}}\\ \underline{746325}\phantom{00}\\ 7.52137\phantom{00}\\ 1453\phantom{00}\\ 747778\phantom{00}\\ 746325\phantom{00}\\ 1467\phantom{00}\\ \overline{\mathrm{7,47792}}\phantom{00}\end{array}\begin{array}{r}118205\phantom{00}\\ 10923\phantom{000}\\ \overline{118205}\phantom{00}\\ 1063845\\ 23641\\ 3546\\ \overline{12911537}\\ \underline{746325}\phantom{000}\\ 759236\phantom{000}\end{array}$

$\begin{array}{r}31517\phantom{000}\\ \underline{10923\phantom{00}}\phantom{0}\\ 31517\phantom{000}\\ 283653\phantom{0}\\ 6303\phantom{0}\\ \underline{\phantom{000}945}\phantom{0}\\ 3442601\\ \underline{46325}\phantom{00}\\ \mathrm{7,80751}\phantom{00}\end{array}$

$\begin{array}{r}\mathrm{0∟1344}\phantom{00}\\ 10923\phantom{00}\\ 1344\phantom{00}\\ 12096\\ 269\\ 40\\ \overline{146705}\end{array}$