Collations for the History of the Infinitesimal Analysis

<113r>

termini residui semper habebunt forman illam quam perprœcedentem Regulam habere debent.

Hæc Regula eodem modo demonstratur ubi tres vel plures habentur quantitates indeterminatæ x, y, z &c.

Hactenus Manuscriptum illud vetus. Inde vero hæc descripsi ut vera Lemmatis hujus origo pateret & quale esset methodi meæ fundamentum illud quod anno 1676 literis transpositis, celavi sententiam in Scholio præcedente expositam involventibus, id est sententiam: Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.

In Epistolis meis 10 Decem. 1672 & 24 Octob. 1676 datis, dixi quantitates surdas methodum meam non morari, et hanc rem exemplo explicui in Analysi mea prædicta. Substitatur utique in æquatione pro quantitate radicali symbolum quodvis, tractetur symbolum ut quantitas radicalis et ejus fluxio.

♀ < insertion from f 114r > ♀Si fluxiones pro fluentibus habeantur, operatione repetita prodibunt earium fluxiones, id est, fluentium primarum fluxiones secundœ, & sic deinceps in infinitum. Fluxionibus autem secundis et momentis secundis in hisce Principiorum Libris nonnunquam usus sum, In Lib. II, Prop. X exempl. 1, fluxionem secundam Curvaturæ vocavi variationem variationis ejus, & in ejus dem Libri Prop XIV Cas. 3, momentum secundum Areœ vocavi differentiam momentorum ejus. Momentorum secundorum subsidio Demonstrationem illam Propositionis Keplerianæ quam in Lib. I Prop. XI descripsi, utique locutus sum in Epistola mea 10 Decem 1672 ad Collinium data, ut et variationem Curvaturæ de qua egi in Tractatu quem anno 1671 composui, et curvaturam maximam vel minimam de qua egi in eodem Tractatu ut et in Manuscripto prædicto quem scripsi mense Octobri annis 1666; in quo etiam literis punctatis nonnunquam usus sum. < text from f 113r resumes >

Computationes per fluentium momenta sæpe contrahuntur resolvendo fluentem uno temporis momento fluendo auctam, in seriem convergentem, ut fit in Scholio ad Prop. XCIII Lib. I. Nam termini seriei proportionales sunt fluxionibus et momentis, secundus terminus fluxioni primæ et momento primo, tertius fluxioni secundæ et momento secundo, & sic deinceps; et multiplicati respective per terminos hujus seriei $1. 1\times 2. 1\times 2\times 3. 1\times 2\times 3\times 4.$ &c vertuntur in momenta, deinde divisi per terminos hujus $\mathrm{o}. \mathrm{o}\mathrm{o}. {\mathrm{o}}^3. {\mathrm{o}}^4$. &c vertuntur in fluxiones. Et ob hanc methodorum affinitatem et harmoniam eas conjunxi et ex utraque Analysin unam generalem ab initio conflavi, ut supra.

Ad eandem Analysin pertinet etiam artificium ducendi Curvam per puncta quotcunque data, et ea ratione interpolandi Series quascunque. Nam si verbi gratia Series aliqua vel fluentium vel fluxionum habeantur, sed fluentes vel fluxiones in intermedijs seriei locis non habeantur: per interpolationem Seriei habeburitur eœdem in locis quibuscunque. deinde ex lege fluentium sic inventa prodibit lex fluxionum per methodum nostram, et contra. Artificij autem describendi Curvam per puncta data memini in Epistola prædicta, 24 Octobris 1676 data.

Atque hecterus de Analysi qua usus sum in investigatione rerum quas in hosce Principiorum Libris composui.

<115r>

termini residui semper habebunt formam illam quam per præcedentem Regulam habere debent.

Hæc Regula eodem modo demonstratur ubi tres vel plures habentur quantitates indeterminatæ x, y, z, &c.

Hactenus Manuscriptum illud vetus. In alio Manuscripto

Maij 16, 1666 composito, methodum solvendi Problemata per motum complexus fui Propositionibus seotem quarum ullima est Regula jam descripta eliciendi velocitates motum crescendi vel decrescendi ex æquatione quatitates crescentes vel decrescentes involvente. Et in allo Manuscripto quod mense Octobri ejusdem anni composui, descripsi easdem Propositiones septem et octavam addidi. Septimam vero sequentibus adauxi.

Si in equatione quavis occurat

Hæc autem annis 1665 et 1666 a me inventa fuisse Barrovius noster per ea tempora Lucasianus Matheseos apad Cantabrigenses Professor, idoneus est testis Et ejus testimonium Collinius noster in Epistola sua ad. D Strode 26 Iulij 1672 sic protulit. Mense Septembri – – – – – obtineri queant hactenus Collinius. Ide{s} Collinius in Epistola sua ad Iacobum Gregorium 25 Novemb. 1669 dixit Newtonum antequam ederetur Mercatoris Logarithmotechnia hanc methodum adinvenisse eamque ad omnes Curvas generaliter et ad Circulum diversimode applicuisse. Et in Epistola ad Davidem Gregorium Iacobi fratrem 11 Aug. 1676 data, affirmavit Serierum infinitarum doctriam a Newtono biennium ante excogitatam fuisse quam ederetur Mercatoris Logarithmotechnia, & generaliter omnibus figuris applicatam. Hæc vero Collinium a Barrovio didicisse crudas. Et cum hæc omnia ad Tractatum de Analysi per Æquationes numero terminorum infinitas spectent, et . Barrovius eundem legerat & intellexerat, inde discas non solum methodum serierum sed etiam Analysin omnem in tractatu illo expositam jam anno 1666 inventam et generalem redditam fuisse, meque ex eo tempore methodum fluxionum et methodum serierum in unam generalem Analysin conjunxisse.

In Tractatu quem Anno 1671 conscripsi, primùm docui reductionem quantitatum in series convergentes per divisiones & extractiones radicum tam affectarum quam simplicium. Et his præmissis methodum fluxionum exposui et ad solutionem Problematum applicui Propositionibus multis quarum duæ primæ erant hæ.

Prob. 1 Relatione quantitatum fluentium inter se data, fluxionum relationem determinare.

<115v>

Prob. 2. Exposita Æquatione fluxiones quantitatum involvente invenire relationem quantitatum inter se.

Horum Problematum solutiones in hoc Manuscripto pluribus prosecutus sum ut fundamentum methodi meæ generalis, ex methodo serierum et methodo fluxionum compositæ; deinde per hanc methodum docui solutiones aliorum Problematum.

Hæc omnia ex veteribus Manuscriptis protuli ut vera Lemmatis hujus origo pateret et quale esset methodi meæ fundamentum illud quod anno 1676 literis transpositis celavi sententiam in Scholio præcedente expositam involventibus, id est, sententiam, Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, et vice versa; et quod Scholium illud verbis fusioribus enarratum ita sonabit

In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G.G. Leibnitio anno 1676 intercedebant, cum significarem me compotem esse Methodi determinandi Maximas et Minimas, ducendi Tangentes, quadrandi figuras curvilineas, solvendi inversas de Tangentibus Problemata, inveniendi areas Curvarum in Seriebus quæ finitæ evadunt ubi area per finitam æquationem exhiberi potest, comparandi areas curvarum cum areis Sectionum Conicarum aliarumve figurarum simplicissimarum cum quibus comparari possunt, & omnia fere Problemata solvendi si forte numeralia quædam Diophantæis similia excipiantur, et hanc methodum in terminis surdis æque ac in rationalibus procedere, et methodum tangentium Slusij ex eadem primo intuitu profluere et me anno 1671 de hac methodo Tractatum scripsisse, et fundamentum ejus satis obvium esse, sed quoniam explicare non vacaret, me literis transpositis hanc sententiam involventibus Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, et vice versa; fundamentum illud celasse ‡ < insertion from f 116r > ‡ Cum insuper ex literis Gregorij et meis datis 5 Sept. 1670 & 10 Decem 1672 & ad ipsum mense Iunio Anni 1676 missis, methodum Tangentium Slusij tam ex Methodo Tangentium Barrovij quam ex mea tanquam Corollarium prompte profluere didicisset hanc methodum esse particule quoddam vel potius Corollarium methodi meæ: generalis et quomodo difficultates quantitatum surdarum inter computandum effugerem in Analysi mea vidisset: Vir Clarissimus — < text from f 115v resumes > : Vir Clarissimus mense Iunio anni sequentis, postquam in methodum similem ope præcedentium incidisset vel saltem incidere potuisset, rescripsit se quoque in ejusmodi methodum incidisse et methodum suam communicavit a mea vix abludentem præterquam in verborum et notarum formulis, et ex ijs quæ de methodo mea didicisset affinitatem inter methodos simul agnovit.

Si fluxiones pro fluentibus habeantur –––––– usus sum.

Computationes per fluentiam momenta ––––– conflavi ut supra.

Ad eandem Analysis –––– 24 Octobris 1676 data.

Atque hactenus ––––––– composui.

Cum vero hæc spectent ad Tractatum de Analysi per series quem Barrovius legerat intellexerat et ad Collinium {miserat}, et methodus in hoc Tractatu tradita pergat per series et fluxiones conjunctim & ejus Area figuræ accurata si possibile sit sin unimus infinite vero propinqua prodire dicatur, et Series quarum ope hoc fit inventæ fuerunt per methodum fluxionum at in Epistola mea 24 Octob 1676 ad Oldenburgum data traditur: unde discas Analysim in Tractatu illo expositam quæ ex methodis serierum et fluxiorum componitur, a me annis aliquot antequam Tractatus ille ad Collinium mitteretur, inventam et generalem reditam fuisse.

Et simili methodo inveni Solidum minimæ resistentiæ, quod ipse Leibnitus primum fuit specimen in Lucem editum an] Sed et considerando momenta prima ut quantitates fluentes inveni solidum resistentiæ minimæ cujus memini in Scholio ad Prop. XXXIV Lib. II. Et Leibnitus ipse fatetur hoc fuisse specimen primum hujus methodi

<117r>

In Propositionibus ② investigandis quantitas o ut particula temporis infinite parva vel momentum ejus (ubi dictum vel) spectatur & calculus compendij causa per approximationes sæpe procedit, & quantitas 0 ut plurimum subintelligitur. In ① demonstrandis, quantitas 0 est temporis vel quantitatis cujuscunque alternus uniformiter fluentis indefinite parva sed finita tamen, & calculus totus in finitis quantitatibus per Geometriam Euclidis accurate peragitur: et finito calculo, quantitas o diminuitur et evanescit et ex ultimis quantitatum rationibus veritas Propositionis demonstrandæ (methodo Archimedea) colligitur. ④ Et ubi in æquationibus finitis res non succedit, hæ in infinitas reducuntur, idque vel per Regulam Binomij in principio Epistolæ ad Oldenburgum 13 Iunij 1676 datæ expositam et exemplis illustratam, vel per extractionem radicis vel quantitatis fluentis ex æquatione affecta sive æquatio fluxionem non involvat, ut in Epistola illa & Compendio prædicto exponitur sive eadem fluxionem involvat ut in eadem epistola affirmatur & in schemate a D. Wallisio edito [in secundo Operum ejus Volumine p. 394 ] ostenditur et exemplo illustratur. Vel denique gradatim assumendo terminos seriei investigandæ eosque tanquam cognitos tractando donec ex conditionibus Problematis determinari possint ut in eadem Epistola affirmatur ③ In hujusmodi calculis sæpe pergitur a quantitatibus fluentibus ad fluxiones, sæpe regreditur a fluxionibus ad fluentes idque vel per tres Regulas initio prædicti compendij positas, vel per alias figurarum Quadraturas in Tractatu de quadratura Curvarum expositas. Nam Propositiones ejus Libri prope omnes spectant ad inversam methodum fluxionum & in Epistola prædicta anno 1676 scripta tanquam in Tractatu ante quinquennium scripta comprehensæ memorantur 5 Et ubi Curvæ per Analysin quadrari non possint methodum invenit describendi Curvam Parabolici generis per terminos Ordinatarum qua pro lubitu acceditur ad quæsitum ut affirmatur etiam in eadem Epistola. Et hæcusque Newtonus per ea tempora methodos suas provexerat.

Collinius vero, postquam Compendium prædictum a D. Barrovio acceperat, cœpit amicos suos de methodo serierum ibi descripta per literas ædmonere & hujus generis literæ plures in Commercio Epistolico impressæ extant. Et Iacobus Gregorius ex serie aliqua quam a Collinio acceperat, postquam multum olei & operæ in ista serie expiscanda impenderat, incidit in methodum serierum Newtoni sub finem anni 1670, & communicatis subinde cum Collinio seriebus pluribus a se computatis, licentiam ipsi dedit easdem cum amicis suis communicandi, & Collinius perinde series quas vel a Newtono vel a Gregorio acceperat liberrime communicabat.

Interea: D. Leibnitius Londinum profectus, moram ibi traxit & anno 1671 Hypothesin suam Physicam novam ibi edidit & Regiæ Societati dicavit, & in Epistola dedicatoria meminit commercij quod cum Societate illa mediante D. Oldenburgo habebat. Sub initio autem anni 1673 mense Martio migravit inde Lutetiam Parisiorum & in Gallia mansit usque ad mensem Octobrem anni 1676. Anno vero 1663 ineunte cum sibi methodum esse ex quodam differentiarum genere colligendi terminos <118r> serierum numeralium & a Pellio reprehenderetur quasi methodum Moutoni sibi arrogaret, Apollogiam scripsit ad D Oldenburgum 3 Feb. datam contendens quod ex schedis suis monstrare posset inventionem suam et inveniendi modum et occasionem, & se quædam momenti maximi addidisse Moutono & Reginaldo indicta, & his argumentis suffultus a coinventoris jure minime discessit.

Deinde anno 1674 Literas duas ad Oldenburgum dedit Parisijs 15 Iulij et 26 Octobris, asserens in priore se Theorema habere cujus ope Area circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum, & in posteriore eadem fusius repetendo & affirmando se invenisse seriem numerorum valde simplicium cujus summa exacte æquatur circumferentiæ circuli posito Diametrum esse unitatem. Et quod eadem methodo etiam Arcus cujuslibet cujus sinus datur geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor posset, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu: ut adeo necesse non sit, Arcus rationem ad circumferentiam nosse. Quod in hac Epistola methodus vocatur in priore dicitur Theorema. Ibi dicit se Theorema habere cujus ope Area circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem numerorum rationalium: hic dicit se methoum habere cujus ope vel Area circuli et ejusdem circumferentia vel Arcus quilibet per ejusmodi seriem exprimi potest idque licet ratio arcus ad circumferentiam totam non noscatur, si modo sinus hujus ratio arcus detur. Theorema igitur habuit quo arcus quilibet cujus sinus datur, in serie numerorum rationalium exhiberi posset, et ope Theorematis hujus Aream circuli vel Sectoris ejus dati in serie numerorum rationalium exhibere noverat; Si ratio arcus ad circumferentiam non innotesceret, habebatur arcus solus, si ratio illa innotesceret habebatur etiam circumferentia tota. Theorema autem quo arcus quilibet cujus sinus datur in serie numerorum rationalium haberi potest ejusmodi est. Sit radius=1 & $\mathrm{sinus}=\mathrm{x}$, et arcus erit $\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$. Hujus Theorematis demonstrationem D. Leibnitius per literas suas 12 Maij 1676 ad Oldenburgum datas postea quæsivit a Collinio, ideoque Theorema aliunde acceperat. Ab hoc Theoremate deduxerat series numerales sed Theorema ipsum demonstrare nondum potuit.

Interea Oldenburgus literis D. Leibnitij respondendo, in Epistola 8 Decembris 1674 data, generalem descriptionem dedit methodi serierum a Newtono & Gregorio exercitæ, & in epistola 15 Aprilis anno 1675 data series plures a Collinio acceptas ad D. Leibnitium misit in quibus erat series prædicta pro arcu cujus sinus datur & series alia pro arcu cujus tangens datur. Et D. Leibnitius 12 Maij 1675 rescripsit in hæc verba. Literas tuas multa fruge Algebraica repertas accepi pro quibi tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc prætur ordinarias curas Merchanicis imprimis negotijs distrahar, non potui examinare series quas misistis, ac cum meis comparare Vibi fecero perscribam tibi sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via quadam sic satis diversas fuisse D. Leibnitius hic agnoscit. Acceperat ulique Theomata generalia quorum Demonstrationes ignorabat, invenerat series memerorum rationalium ex Theoremate pro arcu cujus sinus datur.

Interea per transmutationem figurarum Barrovianis similem incidit in demonstrationem quandam Theorematis pro Arcu cujus Tangens datur et opusculum de hac Quadratura compositum ab amicis ab illo tempore tectum materia sub manibus crescente Nam in Actis Eruditorum mensis Aprilis Anno 1691 {pa}g 178 ita scripsit: Iam anno 1675 compositum habebam opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore lectum; sed quod materia <119r> sub manibus crescente limare ad editionem non vacavit postquam aliæ occupationes supervenere; præsertim cum nunc prolixius exponere vulgari more quæ Analysis nostra nunc paucis exhibet, non satis operæ pretium videatur. Sensus est quod opusculum anno 1675 & deinceps ab amicis lectum, materia sub manibus crescente ad Editionem limare non vacavit, donec aliæ occupationes supervenere quæ magis impedimento fuerunt: deinde inventa Analysi differentiali, prolixius exponere vulgari more quæ Analysis illa nova paucis exhibet, non satis operæ pretium videbatur. Sub finem anni 1676 & initium sequentis. D. Leibnitius per Angliam et Hollandiam domum redibat et aliæ occupationes mox supervenere: ideoque inventa est Analysis differentialis post Annum 1676 completum.

Cum D. Leibnitius series duas earum quas ab Oldenburgo acceperat, a Collinio per Mohrum quendam denuo accepisset, & se prius accepisse oblitus esset: postulavit ille Demonstrationem harum serierum per literas 12 Maij 1676 ad Oldenburgum datas. Cum, inquit, Georgius Mohr Danus, in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatum sibi a doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter arcum & sinum per infinitas series sequentes: Posito sinu x arcu z, radio 1
$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$
$\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{x}}^9-\mathrm{\&c}$
Hæc, inquam, cum nobis attulerit ille quæ mihi valde ingeniosa videntur, & posterior imprimis series elegantiam singularem habeat, ideo rem gratam mihi feceris Vir Clarissime si demonstrationem transmiseris. Habebis vicissim mea ab his longe diversa circa hanc rem meditata, de quibus jam aliquot abhinc annis ad te perscripsisse credo, demonstratione tamen non addita quam nunc polio Demonstrationem hic intelligit seriei pro arcu cujus tangens datur. Anno superiore compositum habebat opusculum Quadraturæ Arithmeticæ per hanc seriem. Demonstrationem hujus seriei jam promittit, eamque poliebat vulgari more ut post apparuit, ideoque Analysin differentialem nondum invenerat.

Sub finem anni 1665 Iacobus Gregorius emortuus est & quæ cum amicis communicaverat in unum corpus sollicitante D. Leibnitio collecta sunt, et extat Collectio manu Collinij exarata cum hoc Titulo. Excerpta ex Gregorij epistolis cum D. Lebinitio communicanda tibique [i.e. Oldenburgo] postquam perlegerit ille reddenda. In hac Collectione Episola Gregorij ad Collinium 15 Feb. 1671 data & in Commercio Epistolico impressa p 25, in qua Gregorius seriem pro arcu cujus tangens datur communicaverat. Habetur et Epistola Newtoni ad Collinium 10 Decem Missa fuit hæc Collectio ad Lebnitium post 14 Iunij & ante 11 Aug. 1676. Missam fuisse dicit Collinius in Epistola 11 Aug. 1676 data. Communicanda erat cum amicis Mathematicis, & remittenda, et D. Tschurnhausius in Epistola 1 Sept 1676 Parisijs data, se vidisse videtur insinuare videtur his verbis. Similia porro quæ in hac re [id est in Methodo serierum Newtoni] præstitit eximius Geometra Gregorius memoranda certe sunt, et quidem optime famæ ipsius consulturï, <120r> qui ipsius relicta Manuscripta luci publicæ ut exponantur operam navabunt. Certe quæ in hac re Gregorius, præstiterat, Tschurnhausius non aliunde cognoscere potuit et memoranda vocare ac digna luce publica quam ex collectione scriptorum ejus a se visa.

Cum D. Leibnitius demonstrationem quandam Theorematis pro inveniendo arcu cujus tangens datur invenisset, & postulasset ab Oldenburgo & Collinio demonstrationem Theorematis pro arcu cujus sinus datur ut et Theorematis pro sinu cujus arcus datur; id est Methodum quo Newtonus series illas invenisset: Oldenburgus et Collinius Newtonum enixe rogarunt ut ipse methodum suam describeret cum D. Leibnitio communicandum; & Newtonus subinde methodum suam descripsit in Epistola 13 Iunij 1676 data, et sub finem epistolæ dixit Analysin per æquationes infinitas ad omnia pene problemata (si numeralia quædam Diophanteis similia excipiantur) sese extendere: non tamen omnino universalem evadere nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas: id est per methodos in fluxionibus fundatis.

<121r>

Historia brevis methodi serierum ex Monumentis antiquis deductam, Ex Epistola D Iacobi Gregorij ad D Collins 15 Februarij Anno 167$\frac{0}{1}$ data, cujus habetur Autographum.

Ex quo Epistolam ad te dedi, tres a te accepi, unam Decem. 15 alteram Decem. 24, tertiam Ianuarij nuper elapsi datam.

Quod attinet Newtoni methodum universalem aliqua ex parte, ut opinor, mihi innotescit tam quoad Geometricas quam Mechanicas Curvas. Nihilo tamen minus ob series ad me missas gratias habeo, quas ut remunerem, mitto quæ sequuntur.

Sit radius=r, Arcus=a, Tandens=t, Secans=s,

Et erit $\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}+-\mathrm{\&c}$

Eritque $\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{3{\mathrm{r}}^3}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$

Et $\mathrm{s}=\mathrm{r}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{r}}+\frac{5{\mathrm{a}}^4}{24{\mathrm{r}}^3}+\frac{61{\mathrm{a}}^6}{720{\mathrm{r}}^5}+\frac{277{\mathrm{a}}^8}{8064{\mathrm{r}}^7}+\mathrm{\&c}$ NB Exemplar hujus Epistolæ missum fuit Lutetiam Parisiorum mense Iunio 1676 cum D. Leibnitio communicandum. Versabatur autem D. Leibnitius in Anglia annis 1671, 1672 & 1673 usque ad mensem Martium.

Ex Epistolis quinqque quæ leguntur in Libro Epistolarum Regiæ Societatis N. 7. pag. 93, 110, 216, 235, 189, et quarum prima et quinta secunda reperiuntur

Ex prima 15 Iulij 1674 Leibnitij ad Oldenburgum data impressæ in Tomo tertio Operum mathematicorum Wallisij.

Alia mihi Theoremata sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est cujus ope Area Circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rætionalium continue productam in infinitum.

Ex secunda quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum 26 Octob 1674 data.

Ratio Diametri ad circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem non quidem memeri ad numerum (id enim foret absolute invenisse) sed per rationem Numeri ad totam quandam seriem Numerorum rationalium valde simplicem & Regularem. Eadem methodo [id est eodem Theoremate generali]. etiam Arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu: ut adeo necesse non sit Arcus rationem ad circumferentiam nosse.

Ex tertia quæ fuit Oldenburgi ad Leibnitium 15 Apr. 1675 data

Posita pro radio unitate, datoque x pro sinu ad inveniendum z arcum series hæc est.

$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$ in infinitum. Et extracta radice hujus æquationis methodo symbolica, si dederis z pro arcu ad inveniendum x sinum series hæc est

$\mathrm{x}=\mathrm{z}+\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5+\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$ Atque hæc series facile continuatur in infinitum. Prioris beneficio ex sinu 30^grad Ceulinij numeri facile struuntur.

Consimiliter si ponas radium R et B sinum arcus Zona inter diametrum et Chordam illi parallelam est

$=2\mathrm{RB}-\frac{{\mathrm{B}}^3}{3\mathrm{R}}-\frac{{\mathrm{B}}^5}{20{\mathrm{R}}^3}-\frac{{\mathrm{B}}^7}{56{\mathrm{R}}^5}-\frac{5{\mathrm{B}}^9}{576{\mathrm{R}}^7}-\frac{7{\mathrm{B}}^{11}}{1408{\mathrm{R}}^9}-\mathrm{\&c}$. Atque eadem series mutatis signis termini secundi quarti et sexti &c inservit assignandæ areæ Zonæ æquilateris Hyperbolæ,

$=2\mathrm{RB}-\frac{{\mathrm{B}}^3}{3\mathrm{R}}-\frac{{\mathrm{B}}^5}{20{\mathrm{R}}^3}-\frac{{\mathrm{B}}^7}{56{\mathrm{R}}^5}-\frac{5{\mathrm{B}}^9}{576{\mathrm{R}}^7}-\frac{7{\mathrm{B}}^{11}}{1408{\mathrm{R}}^9}-\mathrm{\&c}$.

Rursum dato Radio R et sinu verso sive sagitta a, ad inveniendam aream segmenti resect{o} a chorda pone ${\mathrm{b}}^2$ pro $2\mathrm{R}\mathrm{a}$, et erit segmentum <121v> $=\frac{4\mathrm{ba}}{3}-\frac{2{\mathrm{a}}^3}{5\mathrm{b}}-\frac{{\mathrm{a}}^5}{14{\mathrm{b}}^3}-\frac{{\mathrm{a}}^7}{36{\mathrm{b}}^5}-\frac{5{\mathrm{a}}^9}{352{\mathrm{b}}^7}-\mathrm{\&c}$ Et arcus integer=
$=2\mathrm{b}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{3\mathrm{b}}+\frac{3{\mathrm{a}}^4}{20{\mathrm{b}}^3}+\frac{5{\mathrm{a}}^6}{56{\mathrm{b}}^5}+\frac{35{\mathrm{a}}^8}{576{\mathrm{b}}^7}+\mathrm{\&c}$

Duæ hæ series D. Gregorio debentur, quas exhibuit ex eo tempore quo usus est hac methodo; quod ab ipso aliquot post annis factum, postquam scilicet intellexerat D. Newtonum generatim eam applicasse. Exinde quoque ad nos misit Series similes ad Tangentes naturales ex earundem Arcubus, et conversim obtinendum Ex. gr. pone Radium$=\mathrm{r}$, arcum a, tangentem t; erit
$\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$
Et conversim ex tangente invenire arcum ejus
$\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}+-\mathrm{\&c}$.

Atque hoc factum cum vides, facile credideris posse eadem Methodo æque facile ex arcu &c.

NB Hanc Epistolam D. Leibnitius se accepisse per Epistolam sequentem agnovit sed subinde celavit & oblivioni tradidit, nulla ejus deinceps vel in Epistolis vel in Actis eruditorum vel alibi mentione unquam facta;

Ex quarta quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum 20 Maij, 1675, & cujus Autographum extat.

Literas tuas multa fruge Algerbraica refertas accepi pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias Curas mechanicis imprimis negotijs distrahar non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via sic satis singulari.

NB Series acceptas a suis diversas esse D. Leibnitius hic agnovit, non ausus eas sibi jam vindicare.

Ex quinta quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum Parisij 28 Decemb. 1675 data, & & cujus autographum extat.

Habebis et a me — meam Quadraturam circuli ejusque partium per seriem Numerorum rationalium infinitam, dequa aliquoties scripsi & quam jam plusquam biennio abhinc Geometris hic communicavi.

NB Series de qua aliquoties scripsit (sc. in Epistolis 15 Iulij & 26 Octob 1674) dat arcum ex sinu. Hanc anno 1673 Geometris in Gallia ut suam se communicasse hic dicit. Eandem ab Oldenburgo ut seriem Newtoni mense Aprili præcedente accepit suam esse in Literis mensis Maij non ausus {se} dicere.. Seriem quæ dat arcum ex tangente, quamque hoc anno ab Oldenburgo accepit ut supra, Geometris in Gallia ut suam ante finem ejusdem anni communicavit ut ipse de se in Actis Eruditorum Mensis Aprilis Anni 1691 pag 178 testatus est his verbis. Iam anno 1675 compositum habebam opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore Lectum. Eodem anno Ia. Gregorius emortuus est. Anno proximo D. Leibnitius postulavit ab Oldenburgo et Collinio methodum Newtoni investigandi seriem quæ dat Arcum ex sinu & seriem reciprocam quæ dat sinum ex arcu; idque per Epistolam sequentem.

Ex Epistola ........... desiderio meo. NB. Oblitus est jam D. Leibnitius se series hasce ante annum a D. Oldenburgo accepisse, et unam earum anno 1674 sibi vindicasse

Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgum, 27 Aug. 1676 data, & a D. Wallisio in lucem edita

Sit QAIF Sector duabus rectis in Centro Q concurrentibus, & curva Conica AIF ad verticem A sive axis extremum perveniente comprehensus. Tangenti verticis AT occurrat tangens IFT Ipsum AT vocemus t, et rectangulum sub semi-latere recto in semilatus transversum sit Vnitas. Erit Sector Hyperbolæ, Circuli vel Elipseos per semilatus transversum divisus $=\frac{\mathrm{t}}{1}\pm \frac{{\mathrm{t}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5}\pm \frac{{\mathrm{t}}^7}{7}+\mathrm{\&c}$ signo ambiguo ± valente + in Hyperbola, - in Circulo vel Ellipsi. Vnde posito quadrato circumscripto 1 erit Circulus $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\mathrm{\&c}$. Quæ expressio, jam Triennio abhinc & ultra a me communicata amicis haud dubie omnium possibilium simplicissima est maximeque afficiens mentem. —

Vicissim ex seriebus Regressuum pro Hyperbola hanc inveni                 Qui seriem

<122v>

Historia brevis methodi serierum ex Monumentis antiquis deducta.

methodum serierum a Newtono in Analysi per æquationes numero terminorum infinitas descriptam D. Barrovius mense Iulio anni 1669 ad D. Collinio misit & Collinius Series in eadem descriptas mox communicavit cum amicis. D. Gregorius sub finem anni 1670 in eandem methodum incidit & initio anni sequentis series plures cum D. Collinio per Epistolas communicavit & licentiam simul dedit easdem cum amicus communicandi. D Leibnitius in Anglia versabatur annis 1671 1672 & 1673 usque ad mensem Martium, deinde Lutetiam Parisiorum profectus, seriem Newtoni pro Arcu ex sinu dato ut suam communicare cæpit sed methodum inveniendi hanc seriem postea quæsivit a Collinio per literas suas ad Oldenburgum datas Interea series plures is a Collinio per Literas Oldenburgi accepit, et cum earum aliquam per transmutationem quandam figurarum demonstrare didicisset eandem ut suam eodem anno communicavit, celatis Oldenburgi Literis.

Et mox ³series ²quasdam ¹alias a Newtono acceptas ad se transferre conatus est licet methodum perveniendi ad easdem nondum intelligeret. Monumenta ex quibus hæc desumpta sunt jam subjungimus.

NB Methodus vel Theorema generale de quo agitur in hisce duabus Epistolis, dat seriem pro Sectore vel Arcu ex sinu assumptos, Et ubi ratio Sectoris ad Circulum totum vel Arcus ad Circumferentiam totam habetur, dat etiam circulum totum vel circumferentiam totam. Et hæc est series numerorum rationalium de qua agitur in his Epistolis.

NB. D. Leibnitius series suas ab acceptis diversas esse seque easdem ante annos aliquot invenisse hic asserit, sed series ab acceptis diversas nondum protulit.

NB. D. Leibnitius series acceptas a suis diversas esse hic fatetur, seque suas ante annos aliquot invenisse dicit; at series pro circulo ab acceptis diversas nondum protulit.

demonstrare didicit ante finem anni hujus, idque per transmutationem quandam figurarum, ac Demonstrationem mox communicavit ut ipse in Actis Eruditorum &c.

NB. Hæc scripsit D. Leibnitius quasi series de quibus hic agitur anno superiore ab Oldenburgo minime accepisset & quasi aliquot abhinc Ann{i}s scripsis set ad Oldenburgum de serie pro Arcu ex Tangente cujus demonstrationem nunc poliebat. Hoc prætextu seriem pro Arcu ex Tangente ut suam remisit ad Oldenburgum per Epistolam sequentem.

NB D. Leibnitius hic seriem pro arcu ex Tangente se anno superiore ab Oldenburgo accepisse agnoscere debuisset ut id Newtono innotuisset. Hoc

NB D. Seriem pro arcu cujus tangens datur hic descriptam D: Leib se anno superiore ab Oldenburgo accepisse agnoscere debuisset ut id Newtono innotesceret. Cum hoc non fecerit candor ejus in dubium merito vocatur. Dicit quidem se ante tres annos id est anno 1673 seriem hanc cum amicis communicasse: quod verum esse potuit. Sed non dicit se Demonstrationem ejus ante tres annos cum amicis communicasse. Demonstrationem anno superiore communicare cœpit ut ex ipsius verbis supra notavimus. Et qui seriem ante tres annos habuit, demonstrationem vero ante tres annos non habuit, seriem aliunde habuit. D. Leibnitius utique in Anglia diversabatur annis 1671, 1672, & initio anni 1673 Collinius toto hoc tempore Series Newtoni & Gregorij cum amicis mathematice doctis liberrime communicabat. Et D. Leibnitius cum ijsdem commercium habi{ui}t deinde Leibnitius anno 1673 in Galliam profectus hujusmodi seriem aliquam vel forte plures cum amicis ibi communica cœpit sed sine demonstrationibus. Anno 1674 gloriabatur in Literis ad Oldenburgum datis se seriem quandam habere pro circumferentia circuli vel etiam pro arcu quovis cujus sinus datur licet ratio arcus ad circumferentiam totam non innotesceret. Vnicam tantum seriem pro circumferentia circuli tunc jactabat; non eam quæ prodit ex tangente data sed eam quæ prodit ex sinu dato; demonstrationem vero postea quæsivit ab Oldenburgo utroque nondum habuit. Si seriem quæ prodit ex tangente tunc demonstrare potuisset, certe hanc prætulisset. Vtramque accepit ab Oldenburgo mense Aprili anni 1675, neutram tunc sibi vindicare ausus est, sed series acceptas a suis, distinxit, et Ab eo tempore seriem pro arcu ex sinu dato sibi arrogare desit. At in demonstrationem quandam particularem seriei pro arcu ex tangente data jam incidens, eandem communicavit cum Gallis eodem anno, et vi demonstrationis hujus eandem ut suam remisit Oldenburgo et Newtono & in lucem tandem emisit celata Epistola qua ipsam ab Oldenburgo acceperat. Vt D. Leibnitius <122r> jus habeat in hanc seriem, probandum est ipsum eandem habuiss antequam accepit ab Oldenburgo, eandem demonstrare potuisse ante annum 1675, eandem et habuisse et demonstrare potuisse ante annum 1671. Aliter jus in eandem non habebit nisi ex dono Collinij et Oldenburgi. Non sufficit candorem D. Leibnitij allegare. Nemo prose ipso testis esse potest. Nemo candidus hoc postulabit contra leges gentium. Probando sunt quæ ipse pro se affirmat: præsertim cum in hac ipsa novissimæ Epistola, is series quasdam alias a Newtono acceptas et abque methodo Regressuum minime inveniendas, ad se traducere conatus fuit, & Newtonum tamen in eadem e{pist} mox rogavit ut is explicaret quomodo in Methodo Regressuum se gerat, ut cum ex Logarithmo quærit Numerum. Seriem quæ ex Logarithmo dat Numerum suam esse voluit & mox sui oblitus quærit Methodum qua series hæc ipsa inveniri potuisset. Methodum vero Regressuum duplicem Newtonus in literis proximis 24 Octob 1676 datis exposuit & D. Leibnitius his lectis & relectis tandem anno 1671 Iulij 12^mo respondit, se quoque ²methodo ¹Regressuum altera aliquando usum in veteribus suis schedis reperire: sed cum in exemplo quod forte in manus suas sumpserat, nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series itaque prædictas per hanc Regressuum methodum minime invenerat. Probandum est quod methodum ipsam olim invenerat. Vir prudens, Vir modestus, Vir candidus Vir justus proprio testimonio de Inventoris jure lites minime movebit. D. Leibnitius jus suum in methodum Serierum aut probare debet aut renunciare.

Methodum vero Regressuum Newtonus duplicem in literis proximis 24 Octob. 1676 datis exposuit, addiditque inversa de Tangentibus Problemata esse in potestate aliaque illis difficiliora ad quæ solvenda usus esset duplici [serierum] methodo una concinniori, alia generaliori. Et utramque complexus est hac sententia. Vna methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione Seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collatione terminorum homologorum æquationis resultantis ad eruendos terminos assumptæ seriei.

Leibnitius vero anno proximo Literis hisce lectis et relectis respondit quod altera duarum Methodorum Regressuum se quoque aliquando usum in veteribus schedis reperit: sed cum in exemplo quod forte in manus suas sumpserat, nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series itaque prædictas per hanc Regressuum methodum minime inveneerat. Probandum est quod methodum ipsam olim inveneerat, quodque methodum quæ consistit in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita invenerat ante annum 1677. Vir prudens, Vir modestus, Vir candidus, Vir justus proprio nixus testimonio de Inventonis jure lites minime movebit. D. Lebnitius si candidus si probus haberi velit jus suum in methodum serierum aut probare debet aut renunciare.

<123r>

Historia brevis Methodi serierum ex Monumentis antiquis desumpta.

Methodum Serierum a Newtono in ejus Analysi per Æquationes numero terminorum infinitas descriptam D. Barrovius mense Iulio Anni 1669 ad D. Collinium misit & D. Collinius series in eadem descriptas mox communicare cæpit cum amicis. D. Iacobus Gregorius Abredonenis acceptis aliquot seriebus, sub finem anni 1670 in eandem methodum incidit & initio anni sequentis series plures cum D. Collinio per Epistolas communicavit eique licentiam simul dedit easdem cum amicis communicandi. D. Leibnitius in Anglia versabatur Annis 1671, 1672 & 1673 usque ad Mensem Martium, deinde Lutetiam Parisiorum profectus, seriem Newtoni pro Arcu ex sinu dato ut suam communicare cœpit, sed methodum inveniendi hanc seriem postea quæsivit a Collinio per literas suas ad Oldenburgum datas. Interea series plures is a Collinio per Literas Oldenburgi accepit, et cum earum aliquam per transmutationem quandam figurarum demonstrare didicisset eandem ut suam eodem anno communicavit celatis Oldenburgi Litteris. Et alias quasdam series a Newtono mox acceptas ad se transferre conatus est, licet methodum perveniendi ad easdem nondum didicisset. Ex quibus omnibus patet inventionem methodi serierum ad D. Leibnitium nullatenus pertinere. Monumenta ex quibus hæc desumpta sunt jam sequuntur.

Ex Epistola D. Iacobi Gregorij ad D. Collins 15 Februarij Anno 167$\frac{0}{1}$ data, cujus extat Autographum.

Ex quo Epistolam ad te dedi, tres a te accepi, unam Decem 15, alteram Decem. 24, tertiam 21 Ianuarij nuper elapsi datam. Quod attinet Newtoni methodum universalem, aliqua ex parte, ut opinor, mihi innotescit, tam quoad Geometricas quam Mechanicas Curvas. Nihilo tamen minus ob series ab me missas gratias habeo, quas ut remunerem, mitto quæ sequuntur.

Sit Radius r, Arcus a, Tangens t, secans s, et erit
$\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}+-\mathrm{\&c}$. Eritque
$\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3{\mathrm{r}}^3}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$. Et
$\mathrm{s}=\mathrm{r}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{r}}+\frac{5{\mathrm{a}}^4}{24{\mathrm{r}}^3}+\frac{61{\mathrm{a}}^6}{720{\mathrm{r}}^5}+\frac{277{\mathrm{a}}^8}{8064{\mathrm{r}}^7}+\mathrm{\&c}$

NB. Exemplar hujus Epistolæ missum fuit Lutetiam Parisorum mense Iunio Anni 1676, cum D. Leibnitio communicandum, qui utique postulaverat ut Collectanea Gregorij anno superiore emortui eo mitterentur.

Ex Epistolis quinque quæ leguntur in Libro Epistolarum Regiæ Societatis N. 7, pag. 93, 110, 216, 235 & 189; et quarum prima secunda et quinta reperiuntur impressæ in Tomo tertio Operum Mathematicorum Wallisij.

Ex primæ quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum 15 Iulij 1674 data

Alia mihi Theorema sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est, cujus ope Area Circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum.

Ex secunda quæ fuit D. Leibnitij ad D. Oldenburgum 26 Octob. 1674 data

Ratio Diametri ad Circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem non quidem Numeri ad Numerum (id enim foret absolute invenisse) sed per rationem Numeri ad totam quandam seriem Numerorum rationalium valde simplicem & Regularem. Eadem methodo [id est, eodem Theoremate generali] etiam arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest, nullo ad <123v> integræ circumferentiæ dimensionem recursu: ut ædeo necesse non sit Arcus rationem ad circumferentiam nosse.

NB. Methodus vel Theorema generale de quo agitur in hisce duabus Epistolis dat seriem pro Sectore vel Arcu ex sinu assumpto, et ubi ratio Sectoris ad Circulum totum vel Arcus ad Circumferentiam totam habetur, dat etiam Circulum totum vel Circumferentiam totam. Et hæc est Series numerorum rationalium de agitur in his Epistolis.

Ex Epistola tertia quæ fuit Oldenbergi ad Leibnitium 15 Apr. 1675 data.

Posita pro radio unitate, datoque x pro sinu, ad inveniendum z arcum, series hæc est. $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$ in infinitum. Et extracta radice hujus æquationis methodo symbolica, si dederis z pro arcu, ad inveniendum x sinum series hæc est, $\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{z}}^9+\mathrm{\&c}$. Atque hæc series facile continuatur in infinitum. Prioris beneficio ex sinu 30^grad. Ceulenij numeri facile struuntur.

Consimiliter si ponas radium R et B sinum arcus, Zona inter diametrum et chordam illi parallelam est $=2\mathrm{RB}-\frac{{\mathrm{B}}^3}{3\mathrm{R}}-\frac{{\mathrm{B}}^5}{20{\mathrm{R}}^3}-\frac{{\mathrm{B}}^7}{56{\mathrm{R}}^5}-\frac{5{\mathrm{B}}^9}{576{\mathrm{R}}^7}-\frac{7{\mathrm{B}}^{11}}{1408{\mathrm{R}}^9}-\mathrm{\&c}$. Atque eadem series mutatis signis termini secundi quarti et sexti &c inservit assignandæ areæ Zonæ æquilateris Hyperbolæ $=2\mathrm{RB}+\frac{{\mathrm{B}}^3}{3\mathrm{R}}-\frac{{\mathrm{B}}^5}{20{\mathrm{R}}^3}+\frac{{\mathrm{B}}^7}{56{\mathrm{R}}^5}-\frac{5{\mathrm{B}}^9}{576{\mathrm{R}}^7}+\frac{7{\mathrm{B}}^{11}}{1408{\mathrm{R}}^9}-\mathrm{\&c}$

Rursum dato Radio R et sinu verso sive sagitta a, ad inveniendam aream segmenti resecti a chorda, pone ${\mathrm{b}}^2$ pro $2\mathrm{R}\mathrm{a}$, et erit segmentum $=\frac{4\mathrm{ba}}{3}-\frac{2{\mathrm{a}}^3}{5\mathrm{b}}-\frac{{\mathrm{a}}^5}{14{\mathrm{b}}^3}-\frac{{\mathrm{a}}^7}{36{\mathrm{b}}^5}-\frac{5{\mathrm{a}}^9}{352{\mathrm{b}}^7}-\mathrm{\&c}$ Et arcus integer$=2\mathrm{b}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3\mathrm{b}}+\frac{3{\mathrm{a}}^4}{20{\mathrm{b}}^3}+\frac{5{\mathrm{a}}^6}{56{\mathrm{b}}^5}+\frac{35{\mathrm{a}}^8}{576{\mathrm{b}}^7}+\mathrm{\&c}$.

Duæ hæ series D. Gregorio debentur, quas exhibuit ex eo tempore quo usus est hac methodo; quod ab ipso aliquot post annis factum, post quam scilicet intellexerat D. Newtonum generatim eam applicasse. Exinde quoque ad nos misit series consimiles ad Tangentes naturales ex earundem arcubus, et conversim, obtinendum. Ex. gr. Pone radium$=\mathrm{r}$, arcum a, tangentem t; erit $\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$. Et conversim ex tangente invenire arcum ejus, $\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}-\mathrm{\&c}$

Atque hoc factum cum vides, facile credideris, posse eadem methodo æque facile ex Arcu inveniri Sinum vel Tangentum Logarithmicum absque inventione naturalis et conversim. Pronum quoque tibi fuerit credere Methodum hanc applicari posse ad rectificationem quarumlibet Curvarum particulatim vero ad lineam Quadratricem, & ad inveniendam Aream illius Figuræ: id quod antehac nulla demum cum methodo fuit præstitum. &c.

NB. Hanc Epistolam D. Leibnitius se accepisse agnovit per Epistolam sequentem , sed eandem subinde celavit quasi non accepisset; nulla ejus deinceps vel in Epistolis vel in Actis Eruditorum vel alibi mentione unquam facta.

Ex Epistola quarta, quæ fuit D Leibnitij ad D Oldenburgum cum Newtono communicanda quæque dabatur 20 Maij 1675 & cujus Autographum extat.

Literas tuas multa fruge Algebraica refertas accepi pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias curas mechanicis imprimis negotijs distrahar non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via sic satis singulari

NB. D. Leibnitius series acceptas a suis diversas esse hic fatetur, seque suas ante annos aliquot invenisse dicit, at series pro circulo ab acceptis diversas nondum protulit.

<124r>

Ex Epistola quinta quæ fuit D. Leibnitij ad D. Oldenburgum quæque Parisijs 28 Decem 1675 data fuit et cujus autographum extat.

Habebis et a me — meam Quadraturam Circuli ejusque partium per seriem numerorum rationalium infinitam, de qua aliquoties scripsi et quam jam plusquam biennio abhinc Geometris hic communicavit.

NB. Series de qua aliquoties scripsit (sc. in Epistolis 15 Iulij & 26 Octob. 1674) dat arcum ex sinu ut supra. Hanc se anno 1673 Geometris in Gallia ut suam communicasse hic dicit. Seriem quæ dat Arcum ex Tangente, quamque hoc Anno acceperat ab Oldenburgo ut supra, & suam esse tunc minime noverat, demonstrare didicit ante finem anni hujus idque per transmutationem quandam figurarum ac Demonstrationem mox communicavit cum amicis ut ipse in Actis Eruditorum Mensis Aprilis Anni 1691 pag. 178 testatus est his verbis. Iam anno 1675 compositum habebam Opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore lectum. Eodem anno D. Iacobus Gregorius emortuus est. Anno proximo D. Leibnitius postulabat ab Oldenburgo et Collinio methodum Newtoni investigandi seriem quæ dat arcum ex sinu & seriem reciprocam quæ dat sinum ex Arcu; idque per Epistolam sequentem.

Ex Epistola D. Leibnitij ad Oldenburg, Parisijs 12 Maij Anno 1676 data, cujus Autographum in Scrinijs Regiæ Societatis asservatur, cum Notis manu Oldenburgi in tergo scriptis.

Cum Georgius Mohr Danus in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatam sibi a Doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter Arcum et Sinum per Infinitas Series sequentes: Posito Sinu x Arcu z Radio 1
$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$
$\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{z}}^9-\mathrm{\&c}$
Hæc INQVAM, cum nobis attulerit illæ, quæ mihi valde ingeniosa videntur, et posterior imprimis series elegantiam quandam singularem habeat, ideo rem gratam mihi feceris, vir clarissime, si demonstrationem transmiseris. Habebis vicissim mea ab his longe diversa circa hanc rem meditata, de quibus jam aliquot abhinc Annis ad te perscripsisse credo, Demonstratione tamen non addita quam nunc polio. Oro ut Cl. Collinio multam a me salutem dicas: is facile tibi materiam suppeditabit satisfaciendi desiderio meo.

NB. Hæc scripsit D. Leibnitius quasi series de quibus hic agitur, anno superiore ab Oldenburgo minime accepisset, et quasi aliquot abhinc annis scripsisset ad Oldenburgum de serie pro Arcu ex Tangente cujus seriei demonstrationem nunc poliebat. Hoc prætextu seriem illam ut suam remisit ad Oldenburgum per Epistolam sequentem

Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgum 27 Aug. 1676, data, et a Wallisio in lucem edita.

Sit QAIF Sector duabus rectis in centro Q concurrentibus, et Curva conica AIF ad verticem A sive Axis extremum perveniente comprehensus. Tangenti verticis AT occurrat Tangens IFT. Ipsum AT vocemus t, et rectangulum sub semi-latere recto in semilatus transversum sit Vnitas. Erit Sector Hyperbolæ, Circuli, vel Ellipseos per semilatus transversum divisus $=\frac{\mathrm{t}}{1}\pm \frac{\mathrm{t}3}{3}+\frac{\mathrm{t}5}{5}\pm \frac{\mathrm{t}7}{7}\mathrm{\&c}$. signo <124v> ambiguo ± valente + in Hyperbola, - in Circulo vel Ellipsi. Vnde posito quadrato circumscripto 1, erit Circulus $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{9}-\mathrm{\&c}$. Quæ expressio, jam triennio abhinc et ultra a me communicata amicis haud dubie omnium possibilium simplicissima est, maximeque afficiens mentem. &c

Vicissim ex seriebus Regressuum pro Hyperbola hanc inveni. Si sit numerus aliquis Vnitate minor $1-\mathrm{m}$, ejusque Logarithmus Hyperbolicus l. Erit $\mathrm{m}=\frac{\mathrm{l}}{1}-\frac{\mathrm{l}\mathrm{l}}{1\times 2}+\frac{{\mathrm{l}}^3}{1\times 2\times 3}-\frac{{\mathrm{l}}^4}{1\times 2\times 3\times 4}+$&c. Si numerus sit major unitate, ut $1+\mathrm{m}$ tunc pro eo inveniendo mihi etiam prodijt Regula quæ in Newtoni Epistola expressa est; scilicet erit $\mathrm{n}=\frac{\mathrm{l}}{1}+\frac{{\mathrm{l}}^2}{1\times 2}+\frac{{\mathrm{l}}^3}{1\times 2\times 3}+\frac{{\mathrm{l}}^4}{1\times 2\times 3\times 4}+\mathrm{\&c}$. Quod Regressum ex Arcubus attinet incideram ego directe in Regulam quæ ex dato Arcu sinum complementi exhibet &c

Sed desideraverim ut Clarissimus Newtonus nonnulla quoque amplius explicet; ut — quomodo in Methodo Regressuum se gerat, ut cum ex Logarithmo quærit Numerum. Neque enim explicat quomodo id ex methodo sua derivetur.

NB. Seriem pro arcu cujus Tangens datur hic descriptam D. Leibnitius se anno superiore ab Oldenburgo accepisse agnoscere debuisset ut id Newtono innotesceret. Cum hoc non fecerit candor ejus in dubium merito vocatur. Dicit quidem se ante tres annos, id est anno 1673 seriem hanc cum amicis communicasse; quod versum esse potuit. Sed non dicit se Demonstrationem ejus ante tres annos cum amicis communicasse. Demonstrationem anno superiore communicare cœpit ut ex ipsius verbis supra notavimus: et qui seriem ante tres annos habuit Demonstrationem vero ante tres annos non habuit, seriem aliunde habuit. Vt D. Leibnitius jus habeat in hanc seriem, probandum est ipsum eandem habuisse antequam accepit ab Oldenburgo, eandem demonstrare potuisse ante annum 1675, eandem et habuisse et demonstrare potuisse ante annum 1671. Aliter jus nullum in eandem habebit nisi ex dono Collinij et Oldenburgi. Non sufficit candorem Leibnitij allegare. Nemo pro se ipso testi esse potest. Nemo candidus hoc postulabit contra leges gentium. Probanda sunt quæ ipse pro se affirmat: præsertim cum in hac ipsa Epistola, is series tres alias a Newtono acceptas, et absque metho{d}o Regressuum minime inveniendas, tanquam a se prius inventas sibi arrogare conatus fuit, et methodum Regressuum tamen nondum intellexit. Newtonum enim in eadem epistola mox rogavit ut is explicaret quomodo in methodo Regressuum se gerat ut cum ex Logarithmo quærat numerum seriem quæ ex Logarithmo dat Numerum, suam esse voluit, et mox sui oblitus quærit methodum qua series hæc ipsa inveniri potuisset.

Methodum vero Regressuum Newtonus duplicem in Literis proximis 24 Octob. datis exposuit, addiditque inversa de Tangentibus Problemata esse in potestate alique illis difficiliora, ad quæ solvenda usus esset duplici [serierum] methodo una concinniore, altera generaliori. Et utramque complexus est hac sententia Vna methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collatione terminorum homologorum æquationis resultantis ad eruendos terminos assumptæ seriei.

<125r>

D. Leibnitius vero anno proximo, Literis hisce lectis et relectis respondit quod se quoque aliquando usum esse altera [duarum methodorum] in veteribus schedis reperit: sed cum nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series itaque tres prædictas, utpote elegantes, per hanc methodum Regressuum minime invenerat, methodum aliam Regressuum non habuerat. Sed nec ipsum hac methodo in veteribus schedis usum esse concedendum est. Ipse pro se testis esse non potest. Probandum est quod methodum aliquam Regressuum prius invenerat quam a Newtono acceperat. Nam licentia rapiendi aliorum inventa sub candoris prætextu, nemini concedendum est.

Tandem D. Leibnitius in Actis Eruditorum Anni 1693, pag 178 methodum Newtoni solvendi Problemata per assumptionem seriei pro quantitate qualibet incognita in lucem edidit ut suam & a Newtono primum inventam fuisse nondum agnovit. Certe Leibnitius Anno 1676 ubi scripsit multa esse Problemata quæ ad æquationes aut quadraturas reduci nequeunt, qualia sunt inversa Tangentium Problemata, hanc methodum non invenerat: Newtonus autem eandem hoc anno in Epistola prædicta descripsit ut supra.

Constat igitur quod D. Leibnitius nullum habeat jus in methodum serierum. Nam transmutatio figurarum quam jactat non est methodus serierum convergentium. Est Lemma quoddam ad inveniendum momentum areæ per seriem quadrandæ. Et hoc Lemma momentum dedit more vulgari, & post inventionem methodi differentialis nullius amplius fuit usus.

<126r>

Out of M^r Newton's Treatise de Analysi per æquationes infinitas. sent by D^r Barrow to M^r Collins the 31^th of Iuly 1669.

 < insertion from f 127r >  Methodum generalem quam de Curvarum quantitate per Infinitam terminorum seriem mensuranda olim excogitaveram, in sequentibus breviter explicatam potius quam accurate demonstratam habes.

Basi AB Curvæ alicujus AD, sit Applicata BD perpendicularis: Et vocetur $\mathrm{AB}=\mathrm{x}$, & $\mathrm{BD}=\mathrm{y}$, & sint a, b, c, &c quantitates datæ, & m, n numeri integri. Deinde

Reg I

Si $\mathrm{a}{\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}=\mathrm{y}$, erit $\frac{\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}\mathrm{x}\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{n}}=\mathrm{are\ae ABD}$. Vt si ${\mathrm{x}}^2=\mathrm{y}$, erit $\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3=\mathrm{ABD}$.

Reg II.

Si valor ipsius y ex pluribus ejusmodi terminis componitur, area etiam componetur ex areis quæ a singulis terminis emanant.

Vt si $11+\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{y}$, ac dividend{o} $\mathrm{y}=1-{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^6+{\mathrm{x}}^8-\mathrm{\&c}$ per Regulam secundam, erit $\mathrm{ABDC}=\mathrm{x}-\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3+\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5-\frac{1}{7}{\mathrm{x}}^7+\frac{1}{9}{\mathrm{x}}^9-\mathrm{\&c}$

And after several instances of finding the areas of Curves by infinite series he adds. Et hæc de Areis Curvarum investigandis dicta sufficiant &c. < text from f 126r resumes >

Et hæc de areis curvarum investigandis dicta sufficiant. Imò cum problemata omnia de Curvarum longitudine, de quantitate et superficis solidorum deque centro gravitatis, possunt eo tandem reduci ut quæratur quantitas superficiei planæ lineâ curvâ terminat{æ}, non opus est quicquam de ijs adjungere. In istis autem quo ego operor modo dicam brevissime

Sit ABD Curva quævis et AHKB rectangulum cujus latus AH vel BK est unitas. Et cogita rectam DBK uniformiter ab AH motam areas ABD et AK describere; et quod BK(1) sit MOMENTVM quo AK(x) et BD(y) MOMENTVM quo ABD gradatim AVGETVR; et quod ex MOMENTO BD PERPETIM DATO, possis, per præcedentes regulas aream ABD ipso descriptam investigare, sive cum AK(x) MOMENTO 1 descripta conferre.

Iam qua ratione superficies ABD ex MOMENTO SVO PERPETIM DATO per præcedentes regulas ELICITVR, eâdem QVÆLIBET ALIA QVANTITAS EX MOMENTO SVO DATO ELICIETVR. Exemplo res fiet clarior

Sit ADLE circulus cujus arcus AD longitudo est indaganda. Duto tangente DHT et completo indefinite parvo rectangulo HGBK et posito $\mathrm{AE}=1=2AC$; erit ut BK sive GH momentum basis AB (x), ad HD momentum arcus AD∷BT.DT∷BD ($\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}$): DC($\frac{1}{2}$)∷1(BK): $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}}$ (DH) Adeoque $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}}$ sive $\frac{\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}}{2\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}$ est MOMENTVM arcus AD. Quod reductum fit $\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{16}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+\frac{5}{32}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-\frac{35}{256}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+\frac{83}{512}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}+$$+\mathrm{\&c}$. Quare per Regulam secundam, longitudo arcus AD est ${\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}+\frac{63}{2816}{\mathrm{x}}^{\frac{11}{2}}+\mathrm{\&c}$.

Non secus ponendo CB esse x et radium CA esse 1, invenies arcum LD esse $\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\mathrm{\&c}$

Sed notandum est quod unitas ista quæ pro momento ponitur est superficies cum de solidis & linea cum de superficiebus et punctum cum de {lineis} (ut in hoc exemplo ) agitur.

And after some more instances of the use & extent of this method he adds Nec quicquam hujusmodi scio ad quod hæc methodus isque varijs modis sese non extendit — Et quicquid vulgaris Analysis per æquationes ex finito terminorum numero constantes (quando id sit possibile) perficit hæc per æquationes infinitas semper perficiat: ut nil dubitaverim nomen Analysis etiam huic tribuere Ratiocinia quippe in hac non minus certa sunt quam in illa, nec æquationes minus exactæ; licet omnes earum terminos, nos homines et rationis finitæ nec designare neque ita concipere possimus ut quantitates inde desideratas exacte cognoscamus: sicut radices surdæ finitarum æquationum nec numeris nec quavis arte Analytica ita possunt exhiberi ut alicujus quantitas a reliquis distincta exacte cognoscatur. Denique ad Analyticam merito pertinere censeatur cujus beneficio curvarum areæ, & longitudines & (id modo^a[1] fiat) exacte et Geometrice [æquationibus scilicet infinitis in finitas migranti <126v> bus] determinentur. Sed ista narrandi non est locus.

Respicienti duo præ reliquis demonstranda occurrunt. Sit itaque curvæ alicujus Here write on to the words Quare e contra, si $\mathrm{a}{\mathrm{x}}^{\frac{m}{n}}=\mathrm{y}$, erit $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}\mathrm{a}\mathrm{x}\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{n}}=\mathrm{z}$. Q.E.D.

Hinc in transitu notetur modus quo curvæ tot quot placuerit, quarum areæ sunt cognitæ, possunt inveniri; sumendo nempe quam libet æquationem pro relatione inter aream z et basem x ut inde quæratur applicata y [momentum scilicet areæ fluentis z]. Vt si supponas $\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{z}$, ^b[2]ex calculo invenies $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{y}$. Et sic de reliquis.

Let the Letter of Slusius about tangents in answer to M_r Collins, dated in 1672 or 1673 be added

Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgium data Lutetiæ Parisiorum 15 Iuly 1674.

Alia mihi Theoremata sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est, cujus ope Area circuli vel sectoris ejus dati, exacte exprimi potest per seriem quandam Numerorum rationalium continue productam in infinitum. Sed et Methodos quasdam Analyticas habeo generales admodum et late fusas quas majoris facio quam Theoremata particularia et exquisita.

Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgium data Lutetiæ Parisiorum 26 Octob 1674

Ratio diametri ad circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem non numeri ad numerum (id enim foret absolute invenisse;) sed per rationem Numeri ad totam quandam seriem numerorum rationalium valde simplicem & regularem. Eadem methodo etiam arcûs cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest.

Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgiam data Ian vel Feb 1675

Methodum celeberrimi Newtoni radices æquationum inveniendi per instumentum Credo differre a mea. Neque enim video, in mea, quid aut Logarithimi aut circuli concentrici conferant.

Scripsisti aliquoties, Vestrates omnium Curvarum dimensiones per appropinquationem dare. Velim nosse, an possint dare Geometrice Dimensionem Curvæ [absque] Ellipsos vel Hyperbolæ quadratura. This Epistole is copied in the books of the R. Society & was published by D. Wallis from another copy without a Date.

Ex Epistola D. Leibnitij ad D Oldenburgium data Paris. 28 Decem. 1675

Quod D. Tschurnhausium ad nos misisti fecisti pro amico. Multum enim ejus consuetudine delector &c

Habebis et a me Instrumentum Æquationes omnes Geometricas construendi unicum et meam quadraturam Circuli ejusque partium per seriem Numerorum rationalium infinitam; de qua aliquoties scripsi, et quam jam plusquam biennio abhinc Geometris hic communicavi.

<127r>

Out of M^r Newtons treatise de Analysi per Æquationes infinitas.

Out of M^r Newton's first Letter sent to M^r oldenbug 13 Iune 1676 & by M^r Oldenburgh to M^r Leibnitiz 26 Iune following

Ex his videre est quantum fines Analyseos per hujusmodi infinitas æquationes ampliantur: quippe quæ earum beneficio ad omnia pene dixerim, problemata (si numeralia Diophanti & similia excipias) sese extendit. Non tamen omnino universalis evadit nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas. Sunt enim quædam problemata, in quibus non liceat ad Series Infinitas per divisionem vel Extractionem Radicum simplicium affectarumve, pervenire. Sed quomodo in istis casibus procedendum jam non vacat dicere; ut neque alia quædam tradere quæ circa Reductionem Infinitarum Serierum in finitas ubi rei natura tulerit, excogitavi. Nam parcius scribo quod hæ speculationes diu mihi fastidio esse cœperunt, adeo ut ab ijsdem jam per quinque fere annos abstinuerim.

Out of M^r Leibnits answer dated from Paris Aug 27 1676

Mercator Figuras rationales . . . . . ad infinitas series reducere docuit per Divisiones Newtonus autem per radicum extractiones. Mea methodus Corollarium est tantum doctrinæ generalis de Transformationibus cujus ope Figura proposita quælibet quacunque æquatione explicabilis transmutatur in aliam Analyticam æquipollerntem; talem ut, in ejus Æquatione, ordinatæ dimensio non ascendat ultra Cubum aut Quadratum, aut etiam simplicem Dignitatem, seu Infimum gradum. Ita fiet ut quælibet Figura vel per Extractionem rædicis Cubicæ vel Quadraticæ, Newtoni more; vel etiam methodo Mercatoris, per simplicem Divisionem ad series infinitas reduci queat . . . . . . . . . . AQCA sit quadrans Circuli: Radius $\mathrm{AQ}=\mathrm{r}$; Abscissa $\mathrm{A}{}_1\mathrm{B}=\mathrm{x}$: Ordinata ${}_1\mathrm{B}{}_1\mathrm{D}=\mathrm{y}$: Æquatio pro circulo $2\mathrm{r}\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}$. Ducatur recta $\mathrm{A}{}_1\mathrm{D}$, producaturque donec ipsi QC etiam productæ occurrat in ${}_1\mathrm{N}$: et $\mathrm{Q}{}_1\mathrm{N}$ <127v> vocetur z. Et erit $\mathrm{A}{}_1\mathrm{B}$ seu $\mathrm{x}=\frac{2{\mathrm{r}}^3}{{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{x}}^2}$: et ${}_1\mathrm{B}{}_1\mathrm{D}$ sive $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{z}{\mathrm{r}}^2}{{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. Eodem modo, ducta $\mathrm{A}{}_2\mathrm{D}{}_2\mathrm{N}$: si $\mathrm{Q}{}_2\mathrm{N}=\mathrm{Z}-\mathrm{B}$ (posita scilicet ${}_1\mathrm{N}{}_2\mathrm{N}=\mathrm{B}$) erit $\mathrm{A}{}_2\mathrm{B}=\frac{2{\mathrm{r}}^3}{{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{z}\mathrm{\beta }+{\mathrm{\beta }}^2}-\frac{2{\mathrm{r}}^3}{{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. Sive posita β infinite parva (post destructiones & divisiones,) erit ${}_1\mathrm{B}{}_2\mathrm{B}=\frac{4{\mathrm{r}}^3\mathrm{z}\mathrm{\beta }}{\left[2\right]{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. Habita ergo recta ${}_1\mathrm{B}{}_1\mathrm{D}$, et recta ${}_1\mathrm{B}{}_2\mathrm{B}$ habitur valor rectanguli ${}_1\mathrm{D}{}_1\mathrm{B}{}_2\mathrm{B}$, multiplicatis eorum valoribus in se invicem; habebitur inquam $\frac{8{\mathrm{r}}^5\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{\beta }}{\left[3\right]{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. pro valore Rectanguli ${}_1\mathrm{D}{}_1\mathrm{B}{}_2\mathrm{B}$.^[3]

Sit jam Curvæ ₁P₂P₃P &c natura pro arbitrio assumpta talis, ut Ordinata ejus ₁N₁P (ex data Abscissa Q₁N {sioe} 2) sit $\frac{8{\mathrm{r}}^5{\mathrm{z}}^2}{\left[3\right]{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$. Ideo, quoniam ${}_1\mathrm{N}{}_2\mathrm{N}=\mathrm{\beta }$, erit rectangulum ${}_1\mathrm{P}{}_1\mathrm{N}{}_3\mathrm{N}{}_3\mathrm{P}{}_2\mathrm{P}{}_1\mathrm{P}\mathrm{P}$ æquale spatio Circulari respondenti ${}_1\mathrm{D}{}_1\mathrm{B}{}_3\mathrm{B}{}_3\mathrm{D}{}_2\mathrm{D}{}_1\mathrm{D}$. Est autem quælibet Ordinata NP rationalis, ex data Abscissa QN; quia posita $\mathrm{QN}=2$, Ordinata NP est $\frac{8{\mathrm{r}}^5{\mathrm{z}}^2}{\left[3\right]{\mathrm{r}}^2+{\mathrm{z}}^2}$ sive $8{\mathrm{r}}^5{\mathrm{z}}^2{\mathrm{r}}^6+3{\mathrm{r}}^4{\mathrm{z}}^2+3{\mathrm{r}}^2{\mathrm{z}}^4+{\mathrm{z}}^6$. Ergo ipsa per infinitam seriem Integrorum exprimi potest dividendo. Et spatium labibus Ordinalis comprehensum æquipollens circulari, infinita serie numerorum rationalium, methodo Mercatoris Quadrari potest.

Sed desideraverim ut Clarissimus Newtonus nonnulla quoque amplius explicet Vt originem Theorematis quod initio ponit: Item, Modum quo quantitates p, q, r in suis operationibus invenit; ac denique quomodo in methodo regress{io}num se gerat; ut cum ex Logarithmo quærit numerum. Neque enim explicat quomodo id ex Methodo sua derivetur.

Nondum mihi licuit ejus Literas qua merentur diligentia legere: quoniam tibi 2 vestigio respondere volui. Vnde non satis nunc quidem affirmare ausim annon nonulla eorum quæ suppressit ex sola earum lectione consequi possim. Sed optandum tamen foret ipsum ea potius supplere Newtonum.

Quod dicere videmini plerasque difficultates (exceptis Problematibus Didphantæis) ad series infinitas reduci: id mihi non videtur. sunt enim multa usque adeo mira & implexa, ut neque ab æquationibus pendeant, neque ex Quadraturis. Qualia sunt (ex multis alijs) Problemata methodi langentium inveræ Quæ etiam Cartesius in potestate non esse fassus est.^[4]

<128bis(r)>

then the differential tho not necessary to the Method. For tho the second Volume of the works of D^r Wallis was published in the year 1693 yet the first Volume was not published till the year 1695 & the Editors of the Acta Eruditorum received both together & gave account of both in the year 1696. The Marquess de l'Hospital tells us that where D^r Barrow left off M^r Leibnitz went on & that he improved the Doctors method by shewing how to exclude fractions & surds, but he did not know that I gave M^r Leibnitz notice of this improvement in my Letters of 10 Decem 1672 & 24 Octob. 1676. Had he known this, he would not have said that M^r Leibnitz did me justice in acknowledging only that I found the method apart.

<128bis(v)>

Out of a Paper of M{illeg} Acta Eruditorum fo{illeg}

Qui calculum Barro{illeg} elementorum Calcul{illeg} adumbravit A inibi conttum ign ab e{illeg}

<128r>

1889. 760000

Out of a Letter of M^r Oldenburgh to M^r Leibnitz dated the 30^th of September 1675, a copy of which is extant in the hand of M^r Oldenburgh, entred in the books of the R. Society N.7, p. 159 & which was written in answer to the former.

Scriptum quoddam Belgicum Belga quidam Georgius Moor vocatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Collinius ipsi communicavit.

^[5]Out of a Letter of M^r Leibnitz to M^r Oldenburgh dated at Parish the 12^th of May 1676 & found amongst the papers of the R. Society in the original hand of the author with notes on the back side in the hand of M^r Oldenburgh.

Cum Georgius Mohr Danus . . . . . . . . . . . . . . . . . satisfaciendi desiderio meo.

Vpon the receipt of the Letter of M^r Leibnits dated the 12^th of May M^r Oldenberg & M^r Collins sollicited M^r Newton for an account of his method of infinite series: Which occasioned his two Letters dated Iune 13^th & October 24^th 1676, with M^r Leibnits answers dated the first at Paris the $\frac{17}{27}$^th of August 1676, the second at Hanover the 21^th of Iune 1677, & a supplement to the second answer dated also at Hanover the 12^th of Iuly 1677, & a Letter of M^r Collins to M^r Newton dated the 5^t of March 167$\frac{6}{7}$, all printed by D^r Wallis.

Et Cassitrus ipse 3282590

^[6]Out of a Letter of M^r Collins to M^r Oldenburgh to be sent to M^r Leibnitz at Paris: a copy of which was found in the hand writing of M^r Collins amongst his papers & dated the 14^th of Iune 1676.

In answer to M^r Leibnitz Letter of the 12^th of May ............. was but as dawning to noon day.

^[7]

^[8]Out of a Letter of M^r Collins to M^r David Gregory the brother of M^r Iames Gregory newly deceased, dated the 11^th of August 1676, a copy of which is extant in the handwriting of M^r Collins.

I have drawn up an account of the Letter commerce . . . . . . . . . . . . . . . as himself acknowledgeth in his Letter of the 19^th of December 1670.

Nam tarditas Penduli sub Æquatore defectum gravitatis arguit, et quo leviore est materia eo major esse debet altitudo ejus ut pondere suo materiam sub polis in æquilibrio sustineat

<128v>

$\begin{array}{ccc}0& \mathrm{3.7,47}& 56912\\ 10& \mathrm{3.7,52}& 56935\\ 20& \mathrm{3.7,69}& 56999\\ 30& \mathrm{3.7,95}& 57098\\ 40& \mathrm{3.8,27}& 57220\\ 49& \mathrm{3.8,56}& 57336\\ 50& \mathrm{3.8,60}& 57349\\ 60& \mathrm{3.8,92}& 57470\\ 70& \mathrm{3.9,17}& 57569\\ 80& \mathrm{3.9,34}& 57633\\ 90& \mathrm{3.9,40}& 57657\end{array}$ $13.72\colon\colon \frac{1092}{1000}$. $17⁤\frac{1}{6}$ $\frac{103\times 12}{13}$

Constat autem per hanc Tabulam

Iam vero Astronomi aliqi &c

Deinde anno 1682 &c

Posthæc D. Couplet filius &c

Annis proximis (1699 & 1700) D. Des Hayes

Ano 1704 P. Fenelleus invenit &c

Latutudo autem Paraibæ ..... & excessus Longitudinis &c

Observavit utique D. Picartus ........ et inter hos limites quantitas mediocris est $2⁤\frac{9}{40}$ linearum. Propter caloris locorum in zona torrida negligamus $\frac{9}{40}$ partes lineæ et manebit differentia duarum linearum

Et cum differentia illa ex hypothesi quod Terra ex materia uniformiter densa constat sit tantum $1⁤\frac{95}{1000}$ lineæ: excessus altitudinis Terræ ad Æquatorem supra altitudinem ejus ad polos qui erat milliarium $17⁤\frac{1}{6}$ jam aullus in ratione differentiarum fiet milliarium $31⁤\frac{1}{3}$. Nam quo tardior est osculatio penduli sub æquat. eo minor est vis gravitatis, et quo minor est vis gravitatis sub æquatore eo altior debet esse materia ut pondus ejus æquale sit ponderi materiæ sub Polis. [Ex hypothesi vero quod Pendulum sub Æquatore ad minuta secunda oscillans superat. Pendulum isochronum sub Polis longitudine duarum linearum, longitudines Pendulorum isochronorum & mensuræ graduum in singulis Terræ regionibus eæ erunt quas Tab. sequens exhibet.]

<129r>

$\begin{array}{l}57284⁤\frac{1}{2}\\ 57284\end{array}$

$\begin{array}{ccccccccc}0& 0000& \mathrm{0,00}& \mathrm{3.6,555}& 56515& \mathrm{7,46325}& 3. \mathrm{7,46}& \mathrm{3.7,463}& 56907\\ 5& 015192& \mathrm{,0,2688}& \mathrm{3.6,582}& \phantom{0}& 747792& 3. \mathrm{7,48}& \phantom{3.}\mathrm{7,478}& 56913\\ 10& 060307& \mathrm{,1,0642}& \mathrm{3.6,662}& \phantom{0}& 752137.& 3. \mathrm{7,52}& \phantom{3.}\mathrm{7,521}& 56930\\ 15& 133975& \mathrm{,236841}& \mathrm{3.6,792}& \phantom{0}& 759236& 3. \mathrm{7,59}& \phantom{3.}\mathrm{7,592}& 56957\\ 20& 253456& \mathrm{4,1284}& \mathrm{3.6,968}& \phantom{0}& 768872& 3. \mathrm{7,69}& \phantom{3.}7689& 56995\\ 25& 357212& \mathrm{6,3034}& \mathrm{3.7,186}& \phantom{0}& 780751& \phantom{3. }\mathrm{7,81}& \phantom{3.}7808& 57041\\ 30& 500000& \mathrm{8,8230}& 3.7438& 56858& \mathrm{7∟945}& \phantom{3. }\mathrm{7,95}& \phantom{3.}7945& 57095\\ 35& 657980& \mathrm{1,1,6173}& \mathrm{3.7,717}& \phantom{0}& \mathrm{8∟0977}& \phantom{3. }\mathrm{8,10}& \phantom{3.}8098& 57154\\ 40& 826352& \mathrm{1,4,493}& 3.80137& \phantom{0}& \mathrm{8∟2596}& \phantom{3. }\mathrm{8,26}& \phantom{3.}8260& 57218\\ 45& 1000000& \mathrm{1,7,646}& \mathrm{3.8,3201}& 57200& \mathrm{8∟427}& \phantom{3. }843& \phantom{3.}8427& 57283\\ 50& 1173648& \mathrm{2,0799}& \mathrm{3.8,627}& \phantom{0}& \mathrm{8∟5943}& \phantom{3. }8.60& \phantom{3.}\mathrm{8,594}& 57348\\ 55& 1342020& \mathrm{2,3675}& \mathrm{3.8,923}& \phantom{0}& \mathrm{8∟7563}& \phantom{3. }\mathrm{8,76}& \phantom{3.}\mathrm{8,756}& 57412\\ 60& 1500000& \mathrm{2,64690}& 3.9202& 57543& \mathrm{8∟90886}& \phantom{3. }\mathrm{8,91}& \phantom{3.}\mathrm{8,909}& 57471\\ 65& 1642788& 28989& \mathrm{3.9,454}& \phantom{0}& \mathrm{9,0465}& \phantom{3. }\mathrm{9,05}& \phantom{3.}\mathrm{9,046}& 57525\\ 70& 1766044& \mathrm{3,1164}& 3.9672& \phantom{0}& 91653& \phantom{3. }\mathrm{9,17}& \phantom{3.}\mathrm{9,165}& 57571\\ 75& 1866025& \mathrm{3,2928}& \mathrm{3.9,848}& \phantom{0}& 92616& \phantom{3. }\mathrm{9,26}& \phantom{3.}\mathrm{9,262}& 57602\\ 80& 1939693& \mathrm{3,4228}& \mathrm{3.9,978}& \phantom{0}& 93326& \phantom{3. }933& \phantom{3.}\mathrm{9,333}& 57626\\ 85& 1984808& \mathrm{3,4923}& \mathrm{3.10,058}& \phantom{0}& 93760& \phantom{3. }938& \phantom{3.}\mathrm{9,376}& 57653.\\ 90& 2000000& \mathrm{3,5292.}& \mathrm{3.10,085}& 57886& \mathrm{3.9∟39073}& \phantom{3. }939& \phantom{3.}\mathrm{9,391}& 57659\\ \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 49& 1139173& \phantom{0}& \mathrm{3.8,56567}& \phantom{0}& \mathrm{8,56084}& \phantom{3. }\mathrm{8,56}& \phantom{3.}\mathrm{8,561}& 57335\\ 48& 1104528& \phantom{0}& \mathrm{3.8,50456}& \phantom{0}& \mathrm{8,5274}& \phantom{3. }\mathrm{8,53}& \phantom{3.}\mathrm{8,528}& 57322\\ 47& 1069756& \phantom{0}& \mathrm{3.8,4423}& \phantom{0}& 84939& \phantom{3. }\mathrm{8,49}& \phantom{3.}\mathrm{8,494}& 57309\\ 46& 1034900& \phantom{0}& \mathrm{3.8,38084}& 57222& \mathrm{8,4604}& \phantom{3. }\mathrm{8,46}& \phantom{3.}\mathrm{8,461}& 57296\\ 45& 10000000& \mathrm{1,7646.}& \mathrm{3.8,3201}& 57200& \mathrm{3.8∟427}& \phantom{3. }\mathrm{8,43}& \phantom{3.}\mathrm{8,427}& 57283\\ 48.50& 1133399& \mathrm{2,0000}& \mathrm{3.8,55555}& 57292& 3.85555& \phantom{3. }\mathrm{8,56}& \phantom{3.}\mathrm{8,556}& 57292\end{array}$

$\begin{array}{rr}34645& \overline{)11334}\\ 5774& 2\phantom{000}\end{array}\begin{array}{r}500000(44115\\ \underline{45336}\phantom{0(44115}\\ 4664\phantom{0(44115}\end{array}$

$\begin{array}{r}9156\\ \underline{90672}\\ 888\end{array}\begin{array}{r}30384(2683\\ 22668\phantom{(2683}\\ 7716\phantom{(2683}\\ 68804\phantom{(268}\\ 9156\phantom{(2683}\\ 7933\phantom{(268}\\ 423\phantom{(268}\end{array}\begin{array}{r}1304\phantom{0}\\ 1706\\ 573\end{array}$

$\begin{array}{rr}2139512& (18867\\ 1006112& \underline{65555}\\ 90772\phantom{0}& 84423\\ 98392& \phantom{0}\\ 7620& \phantom{0}\\ 6806& \phantom{0}\\ 82& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{440∟555}\\ 442⁤\frac{1}{2}.436⁤\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{r}2.15292 : \underline{57292}\phantom{000}\\ 28646\phantom{000}\\ 14323\phantom{000}\\ 57292\phantom{0}\\ 257814\\ 5729\\ \overline{43805463}\end{array}\begin{array}{rr}\mathrm{442∟56}: :57292\phantom{00}& (7768407\\ \underline{30975\phantom{0}}\phantom{00}& \phantom{0}\\ 34002\phantom{00}& \mathrm{16,8540}\phantom{0}\\ 3027\phantom{00}& \phantom{0}\\ \underline{2655}\phantom{00}& \phantom{0}\\ 372\phantom{00}& 90465\phantom{0}\\ \underline{354}\phantom{00}& 91653\phantom{0}\\ 1800& 92616\\ \underline{177}\phantom{0}& 3320\\ 30& 93762\end{array}$

$\begin{array}{rr}131596\phantom{000}& (116036\phantom{0}\\ 1825\phantom{0000}& 172\phantom{0}\\ 6922\phantom{000}& \phantom{0}\\ \underline{68804}\phantom{00}& 1216\phantom{00}\\ 1416\phantom{00}& 826\phantom{0}\\ \underline{34002}& 7933\\ 76\phantom{00}& 327\end{array}$

$\begin{array}{rr}2069800& (182529\\ 9364\phantom{00}& \underline{655555}\\ 90772\phantom{0}& 838084\\ 2868\phantom{0}& 432\phantom{00}\\ 2268\phantom{0}& 8\phantom{00}\\ 600\phantom{0}& \phantom{0}\\ 5667& \phantom{0}\\ 333& \phantom{0}\\ 106& \phantom{0}\end{array}$

$\begin{array}{rrr}) 343752\phantom{0000}& (77704\phantom{0}& \phantom{0}\\ \underline{30975}\phantom{000000}& -2\phantom{00}& \phantom{0}\\ 34002\phantom{0000}& \overline{)\mathrm{776∟84}}& \phantom{0}\\ 30975\phantom{0000}& 57292\phantom{0}& 57292\phantom{00}\\ 3027\phantom{0000}& -777\phantom{0}& -77684\\ 30975\phantom{000}& \overline{56515}& \overline{)5651516}\\ -\phantom{0}705\phantom{000}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 8845\phantom{00}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 1795\phantom{00}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 177\phantom{000}& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 1.72465& \phantom{0}& \phantom{0}\\ 57292& \phantom{0}& \phantom{0}\end{array}$

$568585\phantom{00}2280000 . 5667\colon\colon 440⁤\frac{5}{9}$

$\begin{array}{rr}120614\phantom{00}& (10634\phantom{0}\\ 7274& 418\\ \underline{68004}\phantom{0}& \phantom{0}\\ 4936\phantom{0}& \phantom{0}\\ 44336& \phantom{0}\\ 4958& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{r}5\phantom{00}\\ 1652704\phantom{0}(14493\\ 5193\phantom{000(14493}\\ \underline{45336}\phantom{00(14493}\\ 6594\phantom{00(14493}\\ 10604\phantom{(14493}\\ 102006\phantom{(14493}\\ 403\phantom{0(14493}\end{array}$

$\begin{array}{r}\begin{array}{c}113917\\ 000577\end{array}(\begin{array}{c}100506\\ 201012\end{array}\\ 5696\phantom{(00000}\\ 074\phantom{(00000}\end{array}$

$\begin{array}{r}7646\phantom{0000}\\ 77684\phantom{000}\\ \overline{543788}\phantom{000}\\ 466104\phantom{00}\\ 310736\phantom{0}\\ 466104\\ \overline{593971864}\end{array}$

$\begin{array}{r}\mathrm{776∟85}\\ \underline{72465}\\ 543795\\ 15537\\ 3107\\ 466\\ 39\\ \overline{562944}\end{array}$

$\begin{array}{rr}\underline{\mathrm{440,55555}}& \phantom{0}\\ 220277777& \phantom{0}\\ 26433333& \phantom{0}\\ 2643333& \phantom{0}\\ 388388& \phantom{0}\\ \overline{249662839}& (\mathrm{1∟09501}\\ 2166\phantom{0000}& \underline{8555}\phantom{01}\\ \underline{2052}\phantom{0000}& 160\phantom{01}\\ 114283\phantom{0}& \phantom{0}\\ 114\phantom{0000}& \phantom{0}\end{array}$

<128v>

$\begin{array}{r}72465\phantom{0}\\ \underline{10923\phantom{0}}\\ 72465\phantom{0}\\ 65218\\ 1449\\ 217\\ \overline{791536}\\ \underline{746325\phantom{0}}\\ 8254786\\ \overline{413176\phantom{000}}\\ \overline{192748}\phantom{000}\\ 770992\phantom{0000}\\ 578244\phantom{00}\\ 19725\phantom{00}\\ 9862\phantom{00}\\ 4931\\ \overline{79639442}\phantom{00}\\ \underline{746325\phantom{0}}\phantom{0000}\\ 825964\phantom{00000}\end{array}$

<129r>

$\begin{array}{r}467912\phantom{0}(41284\\ 45336\phantom{00(41284}\\ 14552\phantom{0(41284}\\ 11334\phantom{0(41284}\\ 3218\phantom{0(41284}\\ 2267\phantom{0(41284}\\ 951\phantom{0(41284}\\ 9067\phantom{(41284}\\ 443\phantom{(41284}\end{array}$

$\begin{array}{rr}2000000\phantom{00}& (17646\\ 8666\phantom{0000}& \underline{65555}\\ 79338\phantom{000}& 83201\\ 7322\phantom{000}& \phantom{0}\\ 68004\phantom{00}& \phantom{0}\\ 5216\phantom{00}& \phantom{0}\\ 45336\phantom{0}& \phantom{0}\\ 6824& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{rr}2347296\phantom{0}& \phantom{0}\\ 22668\phantom{000}& (207102\\ 80496\phantom{0}& 655555\\ \underline{79338}\phantom{0}& \mathrm{8,62657}\\ 1158\phantom{0}& \phantom{0}\\ 244& \phantom{0}\end{array}$

$\begin{array}{r}2209056\phantom{0}(1949005\\ 10756\phantom{000(1949005}\\ \underline{102006}\phantom{00(1949005}\\ 55596\phantom{0(1949005}\\ \underline{45336}\phantom{0(1949005}\\ 10260\phantom{0(1949005}\\ 594\phantom{(1949005}\end{array}$

$\begin{array}{r}\underline{57292}\phantom{00.}\\ 5788597\phantom{.}\\ 5651516\phantom{.}\\ 11440113\phantom{.}\\ 5720056\phantom{.}\end{array}$

$\begin{array}{r}362325\phantom{00}\\ 507255\phantom{0}\\ 14493\phantom{0}\\ 65228\\ 1449\\ \overline{\phantom{00}41516657}\\ \underline{57292}\phantom{00000}\\ 56777\phantom{00000}\end{array}\begin{array}{r}57292\\ 563\end{array}$

$\begin{array}{r}468\phantom{0}\\ \underline{4533}\\ 147\end{array}\begin{array}{rr}26795\phantom{0}& (23634\\ \underline{22668}\phantom{0}& 41\\ 4127\phantom{0}& \phantom{0}\\ 34002& \phantom{0}\\ 7268& \phantom{0}\\ \underline{6800}& \phantom{0}\\ 468& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{r}714424(630337\\ \underline{68004}\phantom{0(630337}\\ 34384\phantom{(630337}\\ 34002\phantom{(630337}\\ 382\phantom{(630337}\\ 42\phantom{(630337}\\ 8\phantom{(630337}\end{array}\begin{array}{r}65944\phantom{0}\\ \underline{5667\phantom{00}}\\ 9274\phantom{0}\\ 90772\\ 1968\\ 835\\ 2\end{array}$

$\begin{array}{r}(145817\\ 655555\\ \mathrm{8∟01372}\end{array}\begin{array}{r}\mathrm{0.7646.104}.\phantom{00}\\ \mathrm{1,0923}\phantom{.104.00}\\ 7646\phantom{00.104.}\\ 68814\phantom{.104.}\\ 1529\phantom{.104.}\\ \underline{\phantom{000}229}\phantom{.104.}\\ 1758\phantom{.104.}\\ \mathrm{0∟835172}\phantom{.104.}\\ \underline{8555555}\phantom{.104.}\\ 9390727\phantom{.104.}\end{array}$

$\begin{array}{r}10923\phantom{0}\\ 4369\\ \overline{\mathrm{1,1360}\phantom{0}}\\ 7463\phantom{00}\\ \overline{\mathrm{8∟599}\phantom{00}}\end{array}\begin{array}{r}842699\\ 939073\\ \overline{1781772}\\ 890886\end{array}\begin{array}{r}939073\\ 746325\\ \overline{1685398}\\ 842699\\ 746325\\ \overline{1589024}\\ 7945\phantom{00}\end{array}$

$\begin{array}{rr}2285667)249662833& (\mathrm{1∟092302}\\ 21096133& \underline{855555}\phantom{0}\\ 20571003& \phantom{0}\\ 525130& 74632\phantom{00}\\ \underline{457133}& \phantom{0}\\ 67997& \phantom{0}\\ 6757\phantom{0}& \phantom{0}\\ 427& \phantom{0}\end{array}$

$\begin{array}{r}714424(623274\\ 68804\phantom{0\mathrm{(}623274}\\ 26384\phantom{\mathrm{(}623274}\\ \underline{22668}\phantom{\mathrm{(}623274}\\ 3716\phantom{\mathrm{(}623274}\\ 3400\phantom{\mathrm{(}623274}\\ 316\phantom{\mathrm{(}623274}\\ 89\phantom{\mathrm{(}623274}\end{array}$

$1095.2000.17⁤\frac{1}{6}.$

$\begin{array}{r}3433333(31363\\ 3285\phantom{000(31363}\\ 1483\phantom{00(31363}\\ 3883\phantom{0(31363}\\ 3285\phantom{0(31363}\end{array}\begin{array}{r}6983\\ 6570\\ 413\end{array}$

$\begin{array}{r}58086\phantom{0}\\ \underline{10923}\phantom{0}\\ 58086\phantom{0}\\ 52277\\ 1162\\ 174\\ \overline{634473}\\ 746325\phantom{0}\\ \overline{809772\phantom{0}}\end{array}\begin{array}{r}20642\phantom{00}\\ \underline{10923}\phantom{00}\\ 20642\phantom{00}\\ 185778\\ 4128\\ 620\\ \overline{2254726}\\ 746325\phantom{00}\\ 7.68872\phantom{00}\end{array}$

$\begin{array}{r}5321\phantom{0}\\ 10923\phantom{0}\\ \overline{54615\phantom{0}}\\ 32769\\ 2185\\ 109\\ \overline{\mathrm{0.0.581213}}\\ \underline{746325}\phantom{00}\\ 7.52137\phantom{00}\\ 1453\phantom{00}\\ 747778\phantom{00}\\ 746325\phantom{00}\\ 1467\phantom{00}\\ \overline{\mathrm{7,47792}}\phantom{00}\end{array}\begin{array}{r}118205\phantom{00}\\ 10923\phantom{000}\\ \overline{118205}\phantom{00}\\ 1063845\\ 23641\\ 3546\\ \overline{12911537}\\ \underline{746325}\phantom{000}\\ 759236\phantom{000}\end{array}$

$\begin{array}{r}31517\phantom{000}\\ \underline{10923\phantom{00}}\phantom{0}\\ 31517\phantom{000}\\ 283653\phantom{0}\\ 6303\phantom{0}\\ \underline{\phantom{000}945}\phantom{0}\\ 3442601\\ \underline{46325}\phantom{00}\\ \mathrm{7,80751}\phantom{00}\end{array}$

$\begin{array}{r}\mathrm{0∟1344}\phantom{00}\\ 10923\phantom{00}\\ 1344\phantom{00}\\ 12096\\ 269\\ 40\\ \overline{146705}\end{array}$

<129v>

That for encouraging the bringing wrought Plate into the Mint to be coined there shall be allowed after the rate of five^[9] shillings &            pence per ounce shtandard, the same being reduced to standard by the gross weight of the plate & the assay of the Ingots melted out of the same.

That her Majesty be pleased to give directions to the Master & Worker of her Mint to receive all such wrought plate as shall be brought to the Mint before the day & to give receipts {w}ent to such persons as shall bring the same, for the amount thereof according to the rate & price agreed by the House to be allowed for such wrought plate as shall be brought to the Mint to be coined, & that the same be immediately coined into shillings & six-pences.

That all such Receipts to be given by the Master of her Majesties Mint for any wrought Plate shall be accepted & taken for the full amount thereof in any payments to be made upon any Loans or any contributions upon any funds to be granted this session of P.

${24}^{\mathrm{h}}={1440}^{\prime }=86400″.-236″=\colon\colon 360\times 17453292520$

$\begin{array}{rr}1& 7292123519\phantom{0000000=\mathrm{arc}}\\ 9& 5629111671\phantom{000000=\mathrm{arc}}\\ 6& 43752741114\phantom{00000=\mathrm{arc}}\\ 9& 65629111671\phantom{0000=\mathrm{arc}}\\ 5& 36460617595\phantom{000}=\mathrm{arc}\\ 5& 36460617595\phantom{00}=\mathrm{arc}\\ 3& 21876370557\phantom{0}=\mathrm{arc}\\ 9& 65629111671\phantom{=\mathrm{arc}}\\ \phantom{0}& \overline{\mathrm{14662230616∟1281741}}\phantom{=\mathrm{arc}}\\ \phantom{0}& 22\phantom{\mathrm{∟0000000}=\mathrm{arc}}\\ \phantom{0}& \mathrm{1436223033∟81}=\mathrm{arc}\phantom{00000}\end{array}$

$\begin{array}{r}531750653873\phantom{0=\mathrm{sin vers}}\\ \overline{4785755884857}\phantom{0=\mathrm{sin vers}}\\ 531750653873\phantom{00=\mathrm{sin vers}}\\ 319050212324\phantom{0=\mathrm{sin vers}}\\ 47857558849\phantom{0=\mathrm{sin vers}}\\ 2658753269\phantom{0=\mathrm{sin vers}}\\ 265875327\phantom{0=\mathrm{sin vers}}\\ 159525196\phantom{=\mathrm{sin vers}}\\ \underline{\phantom{0000}47857559}\phantom{=\mathrm{sin vers}}\\ 10473115457=\phantom{0000\mathrm{sin vers}}\\ \mathrm{0∟0523655∟7729}=\mathrm{sin vers}\phantom{0000}\end{array}$

$\begin{array}{r}1047197551200\phantom{(\mathrm{72921235∟17}}\\ 6283185307200(\mathrm{72921235∟17}\\ 7.\phantom{0}603148\phantom{0000000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 251705\phantom{000000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 2\phantom{00}\underline{172328}\phantom{000000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 793773\phantom{00000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 9\phantom{000}\underline{775476}\phantom{00000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 182970\phantom{0000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 2\phantom{0000}\underline{172328}\phantom{0000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 106427\phantom{000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 1\phantom{000}86164\phantom{000(\mathrm{72921235∟17}}\\ 202632\phantom{00(\mathrm{72921235∟17}}\\ 2\phantom{000}\underline{172328}\phantom{00(\mathrm{72921235∟17}}\\ 303040\phantom{0(\mathrm{72921235∟17}}\\ 3\phantom{00}\underline{253492}\phantom{0(\mathrm{72921235∟17}}\\ 445480\phantom{(\mathrm{72921235∟17}}\\ 5\phantom{00}\underline{430820}\phantom{(\mathrm{72921235∟17}}\\ 14660\phantom{(\mathrm{72921235∟17}}\\ 6044\phantom{(\mathrm{72921235∟17}}\\ 6031\phantom{(\mathrm{72921235∟17}}\\ 1\phantom{0(\mathrm{72921235∟17}}\end{array}$

$\begin{array}{r}510448646190\\ 14584247034\\ 6562911167\\ 145842470\\ 7292123\\ 1458425\\ 218764\\ 36461\\ 729\\ 550\\ \overline{\mathrm{5317∟50653873}}\end{array}$

$\begin{array}{r}\underline{658382}\phantom{0}\\ 3950292\phantom{0}\\ 329191\phantom{0}\\ 526705\\ 19751\\ 5267\\ 132\\ \overline{43346685}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\text{seu linearum }181\times 12+2⁤\frac{1}{4}=2174⁤\frac{1}{4}& \text{\& }\begin{array}{r}0.20946230916\\ 1.25677385496\\ 7.54064312976\end{array}\\ 217425000.754064\end{array}$

$\begin{array}{cc}\begin{array}{r}7540643\left)\phantom{0}21775186\phantom{00}\right(\mathrm{288∟77093}\\ \underline{15081286}\phantom{00(\mathrm{288∟77093}}\\ 6693900\phantom{00(\mathrm{288∟77093}}\\ \underline{60325144}\phantom{0(\mathrm{288∟77093}}\\ 6613856\phantom{0(\mathrm{288∟77093}}\\ \underline{6032514}\phantom{0(\mathrm{288∟77093}}\\ 581332\phantom{0(\mathrm{288∟77093}}\\ 527845\phantom{0(\mathrm{288∟77093}}\\ 53487\phantom{0(\mathrm{288∟77093}}\\ 7025\phantom{(\mathrm{288∟77093}}\\ 6786\phantom{(\mathrm{288∟77093}}\\ 239\phantom{(\mathrm{288∟77093}}\\ 226\phantom{(\mathrm{288∟77093}}\end{array}& \begin{array}{r}229⁤\frac{1}{2}.1.\phantom{(\mathrm{8581∟934}}\\ \phantom{0}\\ 2295\left)19695539\phantom{0}\right(\mathrm{8581∟934}\\ \underline{18360\phantom{000}}\phantom{0(}\mathrm{17∟164}\phantom{00}\\ 1335539\phantom{0(\mathrm{8581∟934}}\\ 11475\phantom{000(\mathrm{17∟}}984\phantom{00}\\ 188039\phantom{0(\mathrm{8581∟934}}\\ \underline{18360\phantom{0}}\phantom{0(\mathrm{8581∟934}}\\ 4439\phantom{0(\mathrm{8581∟934}}\\ 2144\phantom{0(\mathrm{8581∟934}}\\ 20655\phantom{(\mathrm{8581∟934}}\\ 785\phantom{(\mathrm{8581∟934}}\\ 6885\phantom{(\mathrm{581∟934}}\\ 965\phantom{(\mathrm{581∟934}}\\ 503\text{ ad }504.\phantom{\mathrm{81∟934}}\end{array}\begin{array}{r}(\mathrm{503∟3}\phantom{000}\\ 158486372(\mathrm{15880∟186666}\\ \mathrm{31∟5494}⁤\frac{2}{3})\mathrm{15774∟743333}\\ \mathrm{105∟443333}\\ \underline{946484}\phantom{00}\\ \mathrm{10,7949}\phantom{00}\end{array}\begin{array}{r}30162572\phantom{0}\\ 22621929\\ 2262193\\ 301626\\ 45244\\ 4525\\ 603\\ 38\\ \overline{326861878}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\text{ut }125⁤\frac{23}{60}\text{ ad }125⁤\frac{53}{60}& \phantom{0}\\ 125⁤\frac{2}{5}\text{ ad }125⁤\frac{9}{10}.& \phantom{0}\\ 126⁤\frac{2}{15}\times 125⁤\frac{9}{10}\times 100& \text{ ad }125⁤\frac{2}{15}\times 125⁤\frac{2}{5}\times 101\end{array}& 101\text{ ad }100\text{ et }503\text{ ad }504\text{ id est ut }50803\text{ ad }50400\text{ seu }505\text{ ad }505\\ \begin{array}{r}\mathrm{126,133333}\phantom{00}\\ \mathrm{31.53,3333}\phantom{0000}\\ \underline{\phantom{00}11352\phantom{00}}\phantom{00}\\ \mathrm{15880∟18666}\phantom{0}\\ \underline{\mathrm{15848,6372}}\phantom{00}\\ \mathrm{3∟1549466}\end{array}\begin{array}{r}\mathrm{125,133333}\\ 31283333\\ 500533\\ \overline{156917200}\\ \underline{1569172}\\ \mathrm{15848∟6372}\end{array}\begin{array}{r}\times \mathrm{125∟4}\times 101\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\end{array}& \begin{array}{r}\text{ut }403\text{ ad }\\ \phantom{0}\\ \mathrm{57285∟5}\phantom{0000}\\ 5729578\phantom{000}\\ \overline{28647890}\phantom{000}\\ 40107046\phantom{00}\\ 1145710\phantom{0}\\ 11459156\phantom{0}\\ 45836624\\ 2864789\\ 286479\\ \overline{32822174052}\\ 196933044312\\ 22345354\\ 55389666\end{array}\begin{array}{r}50803\phantom{00000}\\ \phantom{0}\\ 5729578\phantom{000}\\ 65\phantom{000}\\ \overline{34377468}\phantom{00}\\ 2864789\phantom{00}\\ \overline{37242257}\phantom{0}\\ 223453542\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\end{array}\begin{array}{rr}\hfill \text{ut 9 ad }289\hfill & \begin{array}{r}109\phantom{0}\left)3433\right(\mathrm{31∟5}\\ 163\phantom{0(\mathrm{31∟5}}\\ 540\phantom{(\mathrm{31∟5}}\end{array}\\ \begin{array}{r}3933.17⁤\frac{1}{6}\colon\colon 228⁤\frac{1}{2}\\ 39391\phantom{.17⁤\frac{1}{6}}1599\phantom{⁤\frac{1}{2}}\\ 2285\phantom{⁤\frac{1}{2}}\\ 38\phantom{⁤\frac{1}{2}}\\ \overline{3814}\phantom{⁤\frac{1}{2}}\\ 3922\phantom{⁤\frac{1}{2}}\end{array}\begin{array}{r}2285\phantom{00}\\ 159955\\ 381\phantom{0}\\ \overline{\mathrm{3922∟6}}\phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\end{array}& \begin{array}{r}1095.17⁤\frac{1}{6}\colon\colon 2000\\ \phantom{0}\\ 343333(\mathrm{31∟4}\phantom{000}\\ 3285\phantom{33(\mathrm{31∟4}000}\\ 1483\phantom{33(\mathrm{31∟4}00}\\ 438\phantom{33(\mathrm{31∟4}00}\\ 438\phantom{33(\mathrm{31∟4}00}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{r}403\text{ ad }50400(12506\\ 101\phantom{00(}50024\\ 2040\phantom{(12506}\\ \underline{2015}\phantom{(12506}\\ 250\phantom{(1256}\end{array}& \begin{array}{r}432\phantom{⁤\frac{4}{9}}\\ 8⁤\frac{4}{9}\\ 440⁤\frac{4}{9}\\ 3083⁤\frac{1}{9}\\ 26426⁤\frac{2}{3}\\ 264266⁤\frac{2}{3}\\ 2202222⁤\frac{2}{9}\\ 2280000)2495998⁤\frac{2}{3}(\mathrm{1∟09035}\phantom{00}\\ 2159\phantom{00⁤\frac{2}{3}(\mathrm{1∟09}}4736\phantom{0}\\ 2052\phantom{00⁤\frac{2}{3}(}\mathrm{1∟094736}\phantom{0}\\ 10798\phantom{⁤\frac{2}{3}(\mathrm{1∟09035}00}\\ \underline{684}\phantom{⁤\frac{2}{3}(\mathrm{1∟09035}00}\\ 114\phantom{⁤\frac{2}{3}(\mathrm{1∟09035}00}\end{array}\end{array}$