Mens Scholii praecedentis

Scholium secundum.

Cum D. Leibnitius anno 1684 Elementa methodi momentorum in Act{a} E lucem edide|i|ssset {sic}, {cæ}lato Commercio quod \anno 1676/ mediante D. Oldenburgo in a \mecum/ anno 1676 habuerat; & opus haberem ijsdem elementis ad Propositiones aliquas sequentes demonstrandas: d{illeg} posui Elementa illa in Lemmate inde superiore, eadem synthetice domonstravi {sic}, deinde addidi Lemma \Scholium/ superius ut [non ut Lemma illud D. Leibnitio concederem] sed] \ut/ illum amice monerem se ne quod se methodum momentorum sibi non deb{illeg}rere \publice/ ascribere non debere nisi simul commercium quod nobis anno 17|6|76 incesserat publice {illeg}ret \etiam/ agnosceret. Quod cum nunquam fa{illeg}eret \perfecerit/, restat ut ego eandem hic {illeg}ate{m} exponam qua Scholij illius mens plenius patefiat.

Anno 1669 Barrovius noster Analysin meam per series numero terminorum infinitas ad D. Collinium misit. In hoc Tractatu explicui methodum serierum et quomodo hæc series per methodum momentorum universalit{illeg} ad Problemata solvenda universaliter applicari possent Collinis|u||s| autem series in hoc Tractatu positas libere communicabat. Anno 1673 D. Olde Leibnitiu {illeg} ineunte D. Leibnitius fuit in Anglia set Math et Mercatoris Logorithmotechniam hinc postavit in Galliam, sed Mathesim sublimiorem nondum intellexit. Anno proximo {Le}gendo Hagenij Horologiā oscillaru{illeg} \Post paucos menses/ eandem discere cœpit Hugenio Magistro; et \vigesimo sexto die/ mensis Octobris scripsit se ejusdem anni \sequentis/ scripsit ad Oldenburgum se invenisse seriem numerorum valde simplicium cujus summa exacte æquatur circumferentiæ circuli, posit. Diametrum esse unitatem. Et quod eadem methodo etiam arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem, valor posset; nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu. Vt adeo necesse non sit arcus rationem, ad circumferentiam nosse. Habuit igitur seriem qua inveniebat \t{illeg} tum/ sinu exaren dato, Sed tum arcum ex sinu dato, tu{illeg}|n{illeg}| circumferentiam totam ex proportione \ejus/ ad arcum: sed demonstrationem \id est methodum inveniendi/ hujus seriei \postea quæsivit a Collinio./ nondum habunt.

Anno proximo Apr. 16|5|, Oldenburgus {neces} \misit/ ad Leibnitium misit series octo partic a me & Gregorio inventis|a|s quas a Collinio acceperat Sc. posita pro radio unitate dato x pro sinu & ad inveniendum z arcum Series hæc est; $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$ in infinitum Et vicissim \dato 2 pro arcu ad inveniendum x sinum series et $\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{z}}^9-\mathrm{\&c}$/

Die 15 Aprilis sequentis D. Oldenburgo{illeg}, misit ad D. Leibnitium seriem \ejusmodo |mean {sic}|/ pro arcu dato, scriben scribendo in hæc verba. Mercatoris Logarithmotechnia quam primum videret lucem ad D. Barrovium a me fuit transmissa; qui observato rescribebatobservato in ea infinitæ seriei usu ad Logarithmos construendos, rescribebat methodum illam aliquandiu excogitatam fuisse a successore suo Newtono omnibus Curvis eorum portionibus, Geometricis at Mechanicis universim applicatam, cujus rei specimina quædam subjecit, viz^t

Posita pro Radio Vnitate, dato x pro sinu, ad inveniendum z arcum series hæc est
$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9+\mathrm{\&c}$ in infinitum. Est extracta radice hujus seriei Æquationis methodo symbolica, si dederis z pro arcu ad inveniendum x sinum series hæc est;
$\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{362880}{\mathrm{z}}^7-\mathrm{\&c}$ At hæc series facile continuatur in infinitum. Prioris beneficio ex Sinu 30^gr. Ceulenij{illeg} numeri facile struuntur.

{illeg} Gregorius quo ad nos misit series similes ad tangentes naturales ex earundem arcubus, et conversim, obtinendum. Ex gr. pone Radium=r, Arcum a, Tangetem t, erit $\mathrm{t}=\mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{2{\mathrm{a}}^5}{15{\mathrm{r}}^4}+\frac{17{\mathrm{a}}^7}{315{\mathrm{r}}^6}+\frac{62{\mathrm{a}}^9}{2835{\mathrm{r}}^8}+\mathrm{\&c}$ $\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^3}+\frac{{\mathrm{r}}^5}{5{\mathrm{r}}^5}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^7}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^9}-\mathrm{\&c}$.

Hanc \Oldenburgi Collinij/ Epistolam se \ab Oldenburgo/ accepisse D. Leibnitius agnovit \per mittendo/ se {illeg}cep Epistolā sequente ad. D. Oldenburgum, 20 Maij C. C. 1675 Parisijs data, quæ sic incipit: {sic} \et propriam manu scripta[m] & in Archivis Regiæ Societatis extant{illeg} adhuc extantem, {illeg} ago {illeg} quæ sic incipit./ Literas tuas multa fruge Algebraica refertas accepi, pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias <57v> curas Mechanicis imprimis negotijs distrahar, non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam: nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via quadam sic satis singulari.

Mense Octobri subsequente {illeg} Georgius Mohr Londino Parisias profectus \series aliquot/ est. Et \{illeg} a Collinio acceptas attulit. Et ea occasione/ D. Leibnitius epistolam sequentem 12 Maij A.C. 1676 ad Collin Parisij, datam ad Ol{illeg}|denburg|ū scripsit. Cum Georgius Mohr Danus in Geometria & Analasi versatissimus, nobis attulerit communicatam sibi a doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter Arcum et sinum per . . . . . . . . is facile tibi suppeditabit materiam suppeditabit satisfaciendi desiderio meo. {illeg}u|Ha|sce series ante \ante {sic} annum acceperat ab Oldenburgo. et per Demonstrationem earum intelligit methodum meam inveniendi:/ |&| Per Demenstrationem earum serierum intelligit methodum meam easdem inveniendi a Barrovio cum seriebus \aliquo/ ad Collinium missam ut supra. Et per sua ab his longe diversa intelligit \methodum suam inveniendi/ seriem Gregorij quam ab Oldenburgo pro inveniendo arcu circuli ex tangente \data/ anno superiore acceperat. Eodem tempore postulabat etiam ab Oldenburgo ut Collinius Historiolam aliquam conciunaret. Studia et Inventa D. Iacobi Gregorij nuper mortui defuncti exhibere|n|tem. Et in hanc Historiola a Collinio \subinde/ Collecta scripta, habebantur excerpta non pauco ex ejus Epistolis, ut et \ejus/ Epistola tota ad D. Collinium 15 Feb. Anno 167$\frac{0}{1}$ data, in qua e{illeg} \in qua erant/ series duæ præ inv prædictæ pro inveniendo arcu circuli ex t{illeg}|a|ngentæ data, et pro invenienda Tangente ex Arcu. In eadem Historiola habebatur etiam Epistola Gregorij ad Collinium anno 5 Sept. 1670 data in quæ|a| \Gregorius/ methodus|m| \suam/ tangentium Gregorij \sic/ descipsit {sic}. Ex ejusdem [Barrovij] methodis Tangentes ducendi cum quibusdam e proprijs collatis, inveni methodum generalem & Geometricam ducendi tangentes ad omnes curvas, sine calculo; et quæ complectitur non tantum Barrovij methos particulares sed et ipsius generalem methodum Analyticam, quam habes sub finem Lectionis decimæ. Methodus mea haud pluribus quam duodecim continetur Propositionibus. Hæc methodus ducendi Tangentes sine calculo, eadem fuit cum Slusiana pro Curvis quæ per relationem inter Ordinatas et Abscissas definiebantur. In eadem Historiola habebatur etiam Epistola quædam e meis ad Leibnitio ad Collinium A.C. 1672, 10 Decem. data {illeg}, & his verbis concepta. Ex animo gaudeo D. Barrovio|j| amici nostri reverendi Lectiones Mathematicas exteris adeo placuisse, ne parum me juvat intelligere eos [Slusium et Gregorium] in eandem — — — — ne grave ducas. Hanc |Vbi notandum est quod Methodus mea Fluxionum in hac Epistola clarissime describitur.|

Hanc Historiolam D. Oldenburgus die 26 Iunij A.C. 1676 ad D. Leibnitium mittebat una cum Epistola mea 13 Iunij ejusdem data in quæ continebatur Demonstratio {illeg} \series/ quam D. Leibnitius a Collinio per Oldenburgum postulaverat, seu \id est/ Methodus \generalis mea/ inveniendi \tum/ seriem|s|. pro arcu ex sinu data, tum alias ejusmodi series Noluit Enim Collinus demonstrationem mea seu methodum meam ex Analysi me{illeg} per series numero terminorum infinitas \sine licentia mea/ describere, sed a me postulavit ut ipse demonstrationem \methodum/ meam ad Oldenburgum mitterem.

D. Leibnitius vero me remuneravit {illeg} mittendo in Epistola 27 Aug. 1676 Parisij data methodum suam inveniendi seriem Gregorianam pro inveniendo Arcu circuli ex sinu dato.

Hac Epistola et alia 24 Octob hoc anno Octob 24 data explicui methodum meam {illeg} serierum et momentorum apert{illeg} et methodum momentorum vel fluxionum {i}ta adumbravi \explicui/ & Æquationes|m| infinitas|m| nominando \vocando/ quæ ejusmodi series|m| \unam vel p|d|uas aut plures/ involvi{illeg}|t|{illeg}t, addidi: Ex his videre est quantum fines Analyseos per hujusmodi series infinitas æquationes ampliantur: Quippe quæ earum beneficio ad omnia pene dixerim problemata — sese extendit. Non tamen omnino universalis evadit nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas. Sunt enim quædam Problematas . . . . . . . jam per quin fere annos abstinuerim. Et cum D. Leibnitius Literis |\27 Aug/ datis,| harum rerum explicationem pleniorem postularet postularet, < insertion from above the line > & seribus Gregorianis quas ab Oldenburgo \nue inscij{illeg}/ bis accep <58r> erat, me remuneraret, < text from f 57v resumes > scripsi <58r> epistolam ad Oldenburgum Octob. 24 datam. i{illeg} Et in eadem exposui quomodo ante pestem, quæ anno 1665 ingr contigit, incidi in methodum serierum, deinde addidi: Eo ipso tempore quo liber iste [viz Mer\c/atoris logarithmotechnia] prodijt communicatum est per amicum D. Barrow (tunc Matheseos Professorem Cantab.) cum D. Collins|o|, Compendium quoddam — et sic exhibet sîc potius celavi 6accdæ13eff7i3l9n404qrr59t12vx [id est (ut in Scholio præce\de/nte explicui) Data æquatione fluentes quotcun æquatem \fluentes/ quantitates involvente, fluxiones invenire & vice versa] Hoc fundamento — Et sic exhibet Geometricam Quadraturam Curvæ. Rem exemplis illustro &c.

Aderat hic [Londini] D. Leibnitius per unam sp{e} septimanam epistola \mea/ præcedens ad manus Olderburg{a}|i| pervenit, eam perlegit & Prælectiones Mathematicas Barrovij nostri comparavit, & /in\ manibus Collinij vidit commercium quod Gregorius & Ego eam Collinio habuemus s{in}{illeg} \insuper/ Epistolas & scripta tam Gregoriana tum mea ad illum missa & videre potuit \etenim/ Demonstrationem quam a Collinio per Oldenburgum postulaverat, in Analysi. per series descriptam. Et hinc pergendo per Belgium, literis ad Oldenburgum datis Amstelodi, {illeg} $\frac{18}{28}$ Novemb. 1676, hæc scripsit Methodus Slusij tangentium a Slusio publicata nondum rei fastigium tenet. Potest aliquid amplius præsteri in eo genere, quod — — . . continuare possit. Ac laud{um} ubi Hanoveram parvenerat & exemplar Eppist\ol/æ meæ novissimæ ab Oldenburgo acceperat, rescripsit literis 21 Iunij 1677 datis {illeg}|i|n^{illeg} hæc verba Clarissimi Slusij Methodum tangentium nondum esse abl|s|olutam Celeberrimo Newtono assentior. Et jam a multo tempore rem tangentium longe generalius tractavi, scilicet per differentias Ordinatarum. Et subinde Methodum Tangentium Barrovij nostri per differentias Ordinatarum describendo, & methodum \illum/ exemplo illustrando subjungit: Quod coincidit cum Regula Slusiana, ostendit eam statim occurrere hanc Methodum intelligenti: Huc us Methodum tangentium Barrovij Gregorus prius per duxerat. Addit vero Leibnitius: Sed methodus ipsa nostra longe est amplior. Non tantum enim exhiberi potest, cum plures sunt litteræ indeturminatæ quam y & x (quod sæpe fit maximo cum fructu) sed et tunc utilis est ubi interveniunt irrationales quippe quæ illam nullo morantur modo, ne ullo modo necesse est irrationales tolli, quod in methodo Slusij necesse est, & calculi difficultatem in immensum auget. Dein postquam rem exemplo illustraverat, subjungit Arbitror quæ celare voluit Newtonus de Tangentibus ducendis ab his non abludere. Quod addit, ex hoc \eodem/ fundamento Quadraturas quo reddi fa l{illeg}|ci|liores, me in sententia hac confirmat.

H D. Leibnitius hic agnoscit me anno superiore, at adeo ante annos \alios/ quin super quibus hæc studia tædio osculus neglexeram, {p} methodum habuisse differentiali similem, quæ methodus|m| tangentium Slusij i|s|tatim dabatur, quæ de surdas quantitates non morabatur; & quadraturas reddebat faciliores. Vt hæc agnosceret publice, scripsi Scolium Superius coram g{illeg}s \populares/ suos, scripsi scholium superius. & me methodum eandem in inventione fluxionum ex fluentibus et fluentium ex fluxionibus fundasse; candide fecisset scripsi Scholium superius.

Sit ampl insuper agnovisset quæ exemplari Epistolæ meæ 10 Decem. 1672 ad Collinium datæ \anno 1676/ acceperat; rectius \candide/ fecisset.

Et Si insuper agnovisset amplitudinem methodo mis{illeg} \me methodum eandem descripsisse/ in Epistola mea 10 Decemb. \1677/ ab Collinium datæ \desript{illeg}/ cujus exemplar \mense Iulio/ anno 1676 ab Oldenburgo acceperat, \methodum eandem {illeg} {sic}descripsisse uti valde generalem esse/ candide fecisset eam methodo serierum \et quantitates surdas non morare{illeg} eam methodo serierum/ anno 1671 intertexuisse: candide fecisset.

Si insuper agnovisset me, in Epistola me {o}|a| 10 Decem. 16{illeg}|7|2 ad Collinium data, cujus exemplar mense Iunio 1676 ab Oldenburgo acceperat, methodum eandem uti valde generalem descripsisse et ad quantitas surdas non hærentem descripsisse; eam [me [methodo serierum anno 1671 intertexis|u|isse: candide fecisset] exemplo ducendi ducendi tangentes more Slusiano \ibi/ illustrasse; & methodo serierum anno 1671 inter\te/xuisse: candide fecisset.

Si insuper agnovisset \me/ hanc Methodum \ante annum 1671/ ad Problemata difficiliori se extendere quæ ad Quadraturas reduci nequeunt, candide etiam fecisset.

Cum D. Leibnitius anno 1684 methodum elementa metho{illeg}|di| \differentialis/ in lucem ederet & interea silentio præteriret {illeg} epistolas meas hac re qua{illeg}|s|{illeg} ex {illeg}l \anno 1676/ in manu Collinij anno 1676 viderus vel ab O vel ab Oldenburgo accep accepti vel \anno 1676/ vel ab Oldeburgo acceperat vel in manu Collinij viderat. composui Scholium superiûs ut {illeg} notum facerem me hu{illeg} de hujusmodi methodo primum scripsisse. In epistola {illeg} 13 Iune 1676 data motum fec scripsi \Analysin per/ methodum serierum ad omnia pa|e|na problemata se extendere & sed non omnino universalem evadere nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas. quas ibi non des quas ibi non describebam quod hæ speculationes diu mihi fastidio esse cœperant adeo ut ab u{illeg}|i|s tum per quin fere annos abstinuuer{am}\issem/ ⊡ < insertion from f 60v > ⊡ His D. Leibnitius Epistola 27 Aug. 1676 data respondit in hæc verba: Quod dicere videmini pleras difficultates (exceptis Problematibus Diophantæis) ad series infinitas reduci; id mihi non videtur. Sunt enim multa us adeo mira et implexa, ut ne ab æquationibus pendeant ne ex Quadraturis. Qualia sunt (ex multis alijs) Problemata methodi tangentium inversæ.

Ipse vero in Epistola 24 Octob. data, explicui < text from f 59r resumes > Et in Epistola 24 Octob 1676 data explicui methodos illas ulteriores partim verbis apertis partim ænigmat{illeg}|ice|. Dixi uti quod eo ipso tempore quo Mercatoris Logarithmotechnia prodijt communicatum esse per amicum D Barrow (tunc Matheseos Professorem Cantab.) cum D. Collinio compendium quoddam serierum Methodi harum serierum, quod Collinius suborta deinde inter nos epistolari consuetudine non destitit suggerere ut hæc publici juris facerem. Et quod ante annos quin [1671] cum suadentibus amicis consilium cœperam edendi Tractatum de refractione Lucis et Coloribus, quem tunc in promptu habebam; cœpi de his seriebus iterum cogitare & [Tractatum de ijs etiam conscripsi, ut utrum simul ederem. |Ipse autem Tractatum meum non penitus absolveram ubi crebiæ subortæ per diversorum Epistolas (Objectionibus contra Theoriam de coloribus alijs) refertas) crebræ interpellationes me prorsus a consilio decernuerunt quietis uti amantissimum;| {illeg} In eo autem Tractatu series infinitæ non magnam partem obtinebant. Alia haud pauco congessi, inter quæ erat methodus ducendi Tangentes quam solertissime Slusius ante annos duos tresve tecum communicavit; de qua tu (suggrente Collinio) rescripsisti eandem mihi etiam Demonstratione prout ego operor. Quin etiam no{t}|n| hic heretur ad Æquationes radicalibus unam vel utram indefinitam quantitatem involventis|b|us utcun affectas; sed abq|s| aliqua talium Æquationum Reductione (quæ opus plerum redderet immensum) Tangens confestim ducitur. Et eodem modo se res habet in quætionibus {sic} de Maximis et Minimis, alijs quibusdam de quibus jam non loquor. Fundamentum harum operationum satis obvium quidem, quoniam jam non possum explicationen {sic} ejus prosequi sic potius cæ|e|lavi, 6accdæ13eff7i3l9n404qrr4s9t12vx. [id est, Data Æquatione quotcun fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire: et vice versa.) Hoc fundamento conatus sum etiam reddere speculationes de Quadratura Curva|i|linearum simpliciores, perveni ad Theoremata quædam generaliora. Et ut candide agam ecce primum Theorema.

Ad Curvam aliquam sit $\mathrm{d}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\theta }}\times {\overline{)\mathrm{\epsilon }+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}}^{\mathrm{\lambda }}$ Ordinatim applicata, termino Abscissæ seu basis z normaliter insistens: ubi literæ d, e, f quaslibet quantitates d|D|atas, & θ, η, λ indices Potestatum sive Dignitatum quantitatum quibus affixæ sunt. Fac $\frac{\mathrm{\theta }+1}{\mathrm{\eta }}=\mathrm{r}$, $\mathrm{\lambda }+\mathrm{r}=\mathrm{s}$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{\eta }\mathrm{f}}\times {\overline{)\mathrm{\epsilon }+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}}^{\mathrm{\lambda }+1}=\mathrm{Q}$, & $\mathrm{r}\mathrm{\eta }-\mathrm{\eta }=\mathrm{\pi }$: et Area Curvæ erit Q in $\frac{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\pi }}}{\mathrm{s}}-\frac{\mathrm{r}-1}{\mathrm{s}-1}\times \frac{\mathrm{e}\mathrm{A}}{\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}+\mathrm{r}-2\mathrm{s}-2\times \frac{\mathrm{e}\mathrm{B}}{\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}-\frac{\mathrm{r}-3}{\mathrm{s}-3}\times \frac{\mathrm{e}\mathrm{C}}{\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}+\frac{\mathrm{r}-4}{\mathrm{s}-4}\times \frac{\mathrm{e}\mathrm{D}}{\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}$ &c Hæc series ubi r fractio est vel numerus negativus continuatur in infinitum lieris {sic} A, B, C, D &c denotantibus terminos proxime ante cedentes, nempe A, terminum $\frac{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\pi }}}{\mathrm{s}}$, B terminum $-\frac{\mathrm{r}-1}{\mathrm{s}-1}\times \frac{\mathrm{e}\mathrm{A}}{\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}$ &c Hæc series, ubi r {illeg}ger \fractio/ est vel numerus negativus, continuatur in infinitum; ubi vero r integer, est vald at affirmativus, continuatur ad lot terminos tantum quot sunt unitates in eodem r; & sic exhibet {illeg} Geometricam quadraturam Curvæ. Rem exemplis illustro. &c

Quomodo hujusmodi Theoremata ex per methodum fluxionum <59v> inventa fuerunt ostenditur in Libro de Quadratura figurarum; ut et quomodo Theoremata inventa fuerunt pro comparatione Curva|i|linearum cum Conicis sectionibus quæ me in Catalogum dudum retulisse a|i|n eadem Epistola subinde affirmabam affirmabam.

Sub finem autem ejusdem Epistolæ hæc addo. Vbi dixi omnia pene Problemata solubilia existere; volui de ijs præsertim intelligi intelligi circa quæ Mathematicí se hactenus occuparunt, vel saltem in quibus ratiocinia Mathematica locum aliquem obdinere possunt. Nam alia sane adeo perplexis conditionibus implicata implicata excogitare liceat, ut no{t} non satis comprehendere valeamus|.|, {Pl} Attamen ne nimium dixisse videar, inversa de tangentibus Problemata sunt in potestate, alia illis difficiliora. Ad quæ solvenda usus sum duplici methodo; una concinniori, altera genera liori. Vtrum visum est impræsentiæ literis transpositis consignare ne propter alios idem obtinentus, institutum in aliquibus mutare cogerer. 5a cc dæ 10e ff h 12i 4l 3m 10n 6O qq r 7s 11t 10v 3x: 4l 4m 5n 8O q 4r 3s 6t 4v, aa dd æ eeeee iii mm nn oo p rrr ssss tt uu. [id est, u|V|na methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collatione terminarum homologorum æquationis resultantis, ad eruendos terminos assumptæ seriei.] Inversum hæc Problema de Tangentib{illeg}us quando Tangens inter punctum contactus & axem figuræ est datæ longitudinis non indiget his methodis. Et tamen Curva illa Mechanica cujus determinatio {ut e} quando \Et ejusdem generis est Problema quando Tangens pars Axis inter Tangentem et Ordin{em}/ pars axis inter Tangentem et Ordinatim-applicatam datur longitudine,|.| non indigit his methodis Et præterea siquando\quando/ in Triangulo rectangulo quod ab illa a|A|xis parte et Tangente & ac Ordinatim applicata constituitur, relatio duorum quorumlibet laterum per æquationem definitur quamlibet definitur, Problema solvi potest abs mea methodo generali: sed ubi pars Axis ad punctum aliquod positione datum terminata ingreditur vinculum; tunc res aliter se habere solet [id est, methodo|u|s in ea generalis utplurimum a in digetæ] requiritum ex methodo fluxionum et methodo serierum composita \in hoc casu/ utplurimum requirutur.]

Habui igitur per ea tempora methodum generalem (ex methodo serierum et methodo fluxionum compositam,) quæ ad omnia fere problemata (si fort numeralia quædam Diophantæis simila excipiantur) sese extenderet & \Librum/ anno 1671 de hac methodo generali conscriperam. S

Anno 1673 ad finem vergente, D. Leibnitius \Lutetiæ Parisiorum agens/ Geometriam sublimiorem, Hugenio magistro, didicit. Et anno proximo, mense Iulio, de seriebus se convergentibus arcam circuli per seriem numerorum rationalium in infinitum productam invenisse scripsit. Dein, mense Octobri sequente addidit, quod eadem methodo etiam arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhibere per ejusmodi seriem valor potest; nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu; at adeo necesse non sit, Arcus rationem ad circumferentiam nosse. Ideo Arcus ratio ad circumferentiam dabat seriem prædictam. Anno proximo 15 Apr. D. Oldenburgus mittebat ad D. Leibnitium series plures in quibus \quorum numero/ Erant series \duæ/ pro {illeg} arcu \una/ ex sinu dato {illeg} et series alia ex tangente data. Et pro his {misi{illeg}} \acceptis/ D. Leibnitius mense proximo gratias reddidit. Anno 1676 Maij 12 D. O Leibnitius postulavit a D. Oldenburgo ut is methodum demonstrationem serierū pro arcu ex sinu & pro sum ex arcu sibi transmite a Collinio procuraret et sibi transmitteret <60r> Et sub idem tempus postulavit etiam ut Epistolæ Gregorij ante paucos menses emortui in unam corp{illeg}|u|s colle|i|gerentur & ad se mitterentur. Et \{illeg}/ postquam {illeg}ectæ missæ fueran lectæ fuerant ad Oldenburgum remissæ sunt et in Archivis Societatis Regiæ ass us hodie asservantur. In Collectio vero remissa fuit et us hodie in archivis \Regia/ Societatis Regia asservatur. Scripta est manu Collinij et inter alia continet exemplar Epistolæ 15 Feb 1 Gregorij 15 Feb 5 Septem 1670 datæ {illeg} ad Collinium datæ, in qua Gregorius dicit se ex Barrovij methodis tangentes ducendi cum quibusdam e proprijs collatis, invenisse, Methodum generalem et Geom ducendi Tangentes ad omnes curvas sine calculo; \Continet etiam/ exemplar Epistolæ Gregorij ad Collinium 15 Feb 167$\frac{0}{1}$ datæ, qu{illeg} continet \in qua habetur/ seriem|s| \prædicta/ pro a|A|rcu ex Tangente data Tangente, ut et exemplar Epistolæ ejusdam {illeg}sis \meæ/ ad Collinium 10 Decem 1672 datæ

D. Iacobus Gregorius in Epistola 5 Sept. 1670 ad Collinium data scripsit se ex Barrovij methodis tangentes ducendi cum quibusdam e proprijs collatis invenisse Methodum generalem ducendi Tangentes ad omnes curvas sine calculo. Et cum Slusius se similem methodum habere ad Oldenburgum Scriberet & Collinius methodum meam postularet|, re|scripsi sequentem Epistolam 10 Decem. 1672.

Ex animo gaudeo D. Barrovij amici nostri . . . . . . ne grave ducas.

Missum autem fuit exemplar hujus Epistolæ ad D. Tschurnhausium mense Maio 1675. Et anno proximo {illeg} hæ duæ Epistolæ aliæ multæ a Gregorio scriptæ et {sic} in unum corpus collectæ \& manu {illeg} Collinio descriptæ/, ad D. Leibnitium mense Iunio missæ sunt. Et mense Octobri ejusdem anni D. Leibnitius Londinum veniens vidit in manu Collinij Epistolam meam prædent {illeg} die 24 ejusdem mensis datam ut supra adijt Collinium ut evideret Epistolas a me & Gregorio de seriebus ad ipsum scriptas & simul vidit in ejus manu Epistolam meam prædictam die 24 ejusdem mensis datam ut ex ejus literis didici et hæ|c|c Epistola admonitus videre potuit Analysin meam per æquationes numero terminorum infinitas quam D Barrow ad Collinium misit.

${123552000}^{\mathrm{ped}}.{20592000.5148000}^{\mathrm{in\; hor.}}.85800\text{ in }1\prime .1430\text{ in }1″.1436\prime .4″.8164″$

$236\colon\colon 1430.$

$\begin{array}{r}\mathrm{9.82126,45717}\phantom{000}\\ \overline{\mathrm{19.64252∟91434}}\phantom{000}\\ \underline{4.8767109\phantom{000}}\phantom{000}\\ \mathrm{4.5192400.}\phantom{0}33055\end{array}$

48.833

$\begin{array}{r}236\phantom{00}\\ 944\phantom{0}\\ 708\end{array}\}\begin{array}{r}337480\phantom{00}\\ \underline{258492}\phantom{00}\\ 78988\phantom{00}\\ \underline{775476}\phantom{0}\\ 14404\phantom{0}\\ 57876\\ \underline{51698}\\ 6178\end{array}\begin{array}{r}\mathrm{1433∟9167}\phantom{00}\\ 57356668\phantom{0}\\ 4301750\phantom{0}\\ 430175\phantom{0}\\ 1290525\\ 14391\\ 8635\\ 1004\\ \overline{205611718\phantom{0}}\end{array}\begin{array}{rrr}19663912)& 102805859\phantom{0}& (5228149\phantom{00}\\ \phantom{0}& \underline{9831956\phantom{0}}\phantom{0}& \phantom{43567910}\\ \text{ut }\mathrm{2177∟317}\phantom{0)}& 4486299& \phantom{0}\\ \text{ad }\mathrm{7∟52854}& \underline{39327824}& 5228149\phantom{0}\\ \text{seu }\phantom{\mathrm{0∟00000}}& 5535166& 10456298\\ \phantom{0}& \underline{3932782}& \overline{62737788}\\ \phantom{0}& 1602384& \underline{125475576}\\ \phantom{0}& 1573113& \mathrm{7∟5285475576}\\ \phantom{0}& 29271& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{19664}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 9607& \phantom{0}\end{array}$

$\begin{array}{r}98183941335\\ 866910\\ 288970\\ 577940\\ 9.8183919275\\ 19.6367838550\\ 4.8767109\phantom{000}\\ \overline{4.513494755}\\ 326208\phantom{0000}\end{array}\begin{array}{r}\mathrm{2174∟05555}\phantom{0}\\ 32621\phantom{00}\\ \overline{\mathrm{2177∟317655}}\end{array}\begin{array}{r}1505708\phantom{00}\\ 6022832\phantom{0}\\ 6775686\\ \overline{217574806}\end{array}\begin{array}{c}21.99\\ \phantom{0}7.33\\ \phantom{0}4⁤\frac{5}{7}\text{ ad }1\colon\colon 33\text{ ad }7.\end{array}$

$\begin{array}{rr}229⁤\frac{1}{2}\phantom{00000000}& \phantom{0}\\ 19663912\phantom{000}& (8570\phantom{0000}\\ \underline{1836}\phantom{000000}& -18466\\ 13039\phantom{0000}& \overline{\mathrm{85681∟534}}\\ \underline{11475}\phantom{0000}& \phantom{0}\\ 156412\phantom{00}& \phantom{0}\\ 16065\phantom{000}& \phantom{0}\\ \mathrm{-4238}\phantom{00}& \phantom{0}\\ \underline{\phantom{-}2295}\phantom{00}& \phantom{0}\\ 1943\phantom{00}& \phantom{0}\\ \underline{1836}\phantom{00}& \phantom{0}\\ 1070\phantom{0}& \phantom{0}\\ \underline{918}\phantom{0}& \phantom{0}\\ 152\phantom{0}& \phantom{0}\\ \underline{1377}& \phantom{0}\\ 143& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{r}136307\\ 68153\\ \overline{20446}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{17∟1363}\text{ or }17⁤\frac{1}{8}\\ 17⁤\frac{2}{15}\end{array}\begin{array}{r}1603\\ 8015\end{array}$

$\frac{29}{5}\times \frac{33}{7}\times \frac{1}{229}$ ad 1 seu $\frac{957}{5,7,229}$ ad 1 seu $\begin{array}{r}957\phantom{00}\\ 7656\phantom{00}\\ 957\phantom{0}\\ 4785\\ \overline{779955}\end{array}$ ad $\begin{array}{rr}8015\phantom{000}& (\mathrm{8∟372}\\ 7650\phantom{000}& \phantom{(\mathrm{8∟372}}\\ 359\phantom{000}& \phantom{(\mathrm{8∟372}}\\ 2871\phantom{00}& \phantom{(\mathrm{8∟372}}\\ 719\phantom{00}& \phantom{(\mathrm{8∟372}}\\ 6909\phantom{0}& \phantom{(\mathrm{8∟372}}\\ 491\phantom{0}& \phantom{(\mathrm{8∟372}}\\ 1914& \phantom{(\mathrm{8∟372}}\end{array}$

$\begin{array}{r}1050\left)878\right(84\\ 38\phantom{(84}\end{array}\begin{array}{c}\underset{7.33}{21.99}.\frac{39}{1800}.\frac{1^{\mathrm{l}}\times {12}^{\mathrm{li}}}{600}\\ \frac{26}{100}.\frac{13}{50}=\frac{1}{4}\end{array}$

$\mathrm{8∟3}⁤\frac{3}{4}.\mathrm{9∟3}⁤\frac{3}{4}$

$\begin{array}{r}87\phantom{0}\\ 87\\ \overline{957}\end{array}\overline{)\begin{array}{r}1603\phantom{0}\\ 8015\phantom{0}\end{array}}1087.1250\colon\colon 17⁤\frac{1}{7}.\begin{array}{rr}1250\phantom{000}& \phantom{0}\\ 875\phantom{000}& \phantom{0}\\ 1786\phantom{0}& \phantom{0}\\ \overline{214286}\phantom{0}& (\mathrm{19∟7135}\phantom{00}\\ \underline{10558}\phantom{00}& \phantom{0}\\ \underline{9783}\phantom{00}& 57191\phantom{00}\\ 7756\phantom{0}& 5147190\phantom{0}\\ \underline{7609}\phantom{0}& 30883140\phantom{0}\\ 1470& \phantom{0}\\ 383& 123532560\\ \underline{326}& \phantom{0}\\ 57& \phantom{0}\end{array}$

$1087.1750\colon\colon 17⁤\frac{1}{7}.\begin{array}{rr}1750\phantom{00}& \phantom{0}\\ 12250\phantom{0}& \phantom{0}\\ 250\phantom{0}& \phantom{0}\\ 1087)\overline{30000}\phantom{0}& \phantom{0}\\ \underline{2174\phantom{00}}& \phantom{0}\\ \underline{7609}\phantom{0}& (1966817556\\ 6510& \phantom{0}\\ 6522& \phantom{0}\end{array}$

${18}^{\mathrm{m}}.{4000}^{\mathrm{m}}..\begin{array}{rr}\mathrm{31∟58333})& 55\times \mathrm{19,7135}\phantom{0}\\ \phantom{0}& \mathrm{98,5675}\phantom{0}\\ \phantom{0}& 985675\\ \phantom{0}& \overline{10842425}\\ \phantom{0}& \underline{9475}\phantom{000}\\ \phantom{0}& 1367425\\ \phantom{0}& \underline{1263333}\\ \phantom{0}& 104092\\ \phantom{0}& \underline{9475\phantom{00}}\phantom{0}\\ \phantom{0}& 924\phantom{0}\end{array}$

$\begin{array}{r}1570796327\phantom{00}(27.6\phantom{000000}\\ 57191.\text{ Hexap}& \phantom{)000000}\\ 343146\text{ ped}\phantom{)0000000}\\ \underline{30883140\text{ p. in }{\square }^{\mathrm{te}}}\\ \underline{1570796327)}\phantom{0000000}\\ 1517517673\phantom{)0000000}\\ \underline{1413716694}\phantom{)0000000}\\ 103800979621⁤\frac{3}{4}\phantom{)000}\\ \underline{942477796}\phantom{)000000}\\ 95531994\phantom{)000000}\\ 1284214\phantom{)000000}\\ \underline{1256637}\phantom{)000000}\\ 27577\phantom{)000000}\\ \underline{15708}\phantom{)000000}\\ 11869\phantom{)000000}\\ 10995⁤\frac{1}{2}\phantom{)00000}\\ 873⁤\frac{1}{2}\phantom{)00000}\\ \underline{7854}\phantom{)00000}\\ 88\phantom{)000000}\\ 95\phantom{)00000}\end{array}$

$\begin{array}{rr}55200& .621⁤\frac{3}{4}\\ 184\phantom{0}& \phantom{0}\\ 92& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{rr}57200.& 57292:92.\\ \phantom{0}& 57132\phantom{:92.}\\ \phantom{0}& 69\phantom{:92.}\end{array}\begin{array}{rr}56909\phantom{00}& (\mathrm{91∟52}\\ \underline{559567}& \phantom{0}\\ 9491& \phantom{0}\\ 327\phantom{0}& \phantom{0}\\ 311\phantom{0}& \phantom{0}\\ 16\phantom{0}& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{r}\mathrm{17,1336}\\ 9352\end{array}$

$3276800\text{ hexap.}$

$\begin{array}{rr}57657\phantom{0}& (\mathrm{92∟73}\hfill \\ \underline{559567}& \phantom{0}\\ 17003& \phantom{0}\\ 12435& \phantom{0}\\ 4568& \phantom{0}\\ \underline{4352}& \phantom{0}\\ 216& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{rrr}\mathrm{229∟5})& 19660818& (85668\hfill \\ \phantom{0}& \overline{1836\phantom{00}}\phantom{00}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 13008\phantom{00}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{1475}\phantom{00}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 153318& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{1377\phantom{00}}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 15618& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 1848& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 1836& \phantom{0}\end{array}\begin{array}{rrr}1570796327(& 30883140\phantom{000}& (1966081756\hfill \\ \phantom{0}& 1570796327\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 1517517673\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{1413716694}\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 103800979\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{94247779}\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 9553200\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 128422\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{125664}\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 2578\phantom{0}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{15708}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 11872& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{10995}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 877& \phantom{0}\\ \phantom{0}& \underline{785}& \phantom{0}\\ \phantom{0}& 92& \phantom{0}\end{array}$

In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio anno 1676 intercedebant cum significarem me compotem esse methodi determinandi Maximas et Minimas, ducendi Tangentes, quadrandi figuras curvilineas & similia peragendi quæ in terminis surdis æque ac in rationalibus procederet \qu{æt||} methodum tangentium Slusij statim exhiberet/, & cujus beneficio methodus serierum convergentium ad omnia pene problemata se extenderet: & methodum Tangentium Slusij statim exhiberet & \cum insuper/ me de ha|i|c methodi|o| \et methodo serierum/ tractatum anno 1671 scripsisse

$\mathrm{a}\mathrm{b}=\mathrm{x}$. $\mathrm{b}\mathrm{c}=\mathrm{y}$. $\stackrel{.}{\mathrm{x}}=\mathrm{n}\mathrm{b}=\mathrm{p}$. $\stackrel{.}{\mathrm{y}}=\mathrm{c}\mathrm{b}$. $\stackrel{.}{\overline{\mathrm{a}\mathrm{c}}}=\mathrm{cn}$. $\mathrm{c}\mathrm{g}=\mathrm{n}\mathrm{d}=\stackrel{.}{\mathrm{x}}+\mathrm{b}\mathrm{d}$. $\mathrm{b}\mathrm{d}=\mathrm{z}$. $\mathrm{r}=\stackrel{.}{\mathrm{z}}$. $\overline{)\mathrm{x}+\mathrm{z}}\stackrel{.}{\mathrm{x}}\overline{\mp }\stackrel{.}{\mathrm{z}}=\stackrel{.}{\overline{\mathrm{a}\mathrm{d}}}=\mathrm{d}\mathrm{k}$. $\stackrel{.}{\mathrm{x}}${1}−/ $\stackrel{.}{\mathrm{x}}+\frac{\stackrel{.}{\mathrm{y}}\stackrel{.}{\mathrm{y}}}{\stackrel{.}{\mathrm{x}}}=\mathrm{c}\mathrm{g}$. dk$+\mathrm{c}\mathrm{g}-\mathrm{d}\mathrm{k}=\frac{\stackrel{.}{\mathrm{y}}\stackrel{.}{\mathrm{y}}}{\stackrel{.}{\mathrm{x}}}+\stackrel{.}{\mathrm{z}}$. $\mathrm{y}\colon\colon \mathrm{c}\mathrm{g}-\mathrm{c}\mathrm{k}$ ck= $\mathrm{ck}=\frac{\stackrel{.}{\mathrm{x}}\mathrm{y}+\frac{\stackrel{.}{\mathrm{y}}\stackrel{.}{\mathrm{y}}\mathrm{y}}{\stackrel{.}{\mathrm{x}}}}{\frac{\stackrel{.}{\mathrm{y}}\stackrel{.}{\mathrm{y}}}{\stackrel{.}{\mathrm{x}}}+\stackrel{.}{\mathrm{z}}}=\frac{\stackrel{.}{\mathrm{x}}\stackrel{.}{\mathrm{x}}\mathrm{y}+\stackrel{.}{\mathrm{y}}\stackrel{.}{\mathrm{y}}\mathrm{y}}{\stackrel{.}{\mathrm{y}}\stackrel{.}{\mathrm{y}}+\stackrel{.}{\mathrm{z}}\stackrel{.}{\mathrm{x}}}$

Quoniam methodus mea generalis ex methodo fluxionum et methodo serierum convergentium componitur, et

Operationes per fluxion|enti|um momenta sæpe contrahu solent per contrahuntur resolvento fluentem \momento imo auctam/ in seriem convergentem. Nam termi seriei \erunt ut/ [muliplicati {sic} per hanc progressionem correspondentis terminos hujus progressionis $1.1.1\times 2.1\times 2\times 3.1\times 2\times 3\times 4.\mathrm{\&c}$ convertuntur in momentum primum, secundum, tertium, quartum &c. Sitit A & ${\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}$ fluentes duæ {illeg} \sint/ $\mathrm{A}+\mathrm{o}$ & ${\overline{)\mathrm{A}+\mathrm{o}}}^{\mathrm{n}}$ fluentes eædem post momentum temporis & resonatur ${\overline{)\mathrm{A}+\mathrm{o}}}^{\mathrm{n}}$ in seriem ${\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}+\mathrm{n}\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-1}+\frac{\mathrm{n}\mathrm{n}-\mathrm{n}}{2}\mathrm{O}\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-2}+\frac{{\mathrm{n}}^3-3\mathrm{n}\mathrm{n}+2\mathrm{n}}{6}{\mathrm{O}}^3{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-3}+\frac{{\mathrm{n}}^4-6{\mathrm{n}}^3+11\mathrm{n}\mathrm{n}-6\mathrm{n}}{24}{\mathrm{O}}^4{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-4}$. Et hujus termini multiplicati per numeros \terminos/ \Correspondentes seriei/ $1.1.1\times 2.1\times 2\times 3.1\times 2\times 3\times 4$ evadent momenta fluentis \${\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}$/ momentum primum $\mathrm{n}\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-1}$, \secundum/ $\overline{\mathrm{n}\mathrm{n}-\mathrm{n}}\times \mathrm{O}\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-2}$, {illeg} tertium nn $\overline{{\mathrm{n}}^3-3\mathrm{n}\mathrm{n}+2\mathrm{n}}{\mathrm{O}}^3{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-3}$ quartum] < insertion from above the line > secundus terminus ut fluxio prima et momentum primum, tertius ut fluxio secunda et mome <62r> ntum secundum & sic deinceps. < text from f 61v resumes > ut fluxiones & momenta. {illeg} Magna est igitur fluxiones et \inter/ methodum fluxionum & methodum serierum affin{o}|i|tas \& harmonia,/ et propterea \ex/ methodo utra \inter se conjunctis/ methodum unam generalem ab initio conflavi ut] methodum utram conjunx. \ab initio/ et ex utra methodum {illeg}g Analysin me{o} \meam/ generalem ab initio conflavi.

Mens Scholij præcedentis.

In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio anno 1676 intercedebant cum significarem me compotem esse m describerem methodum serierum & significarem hanc methodum ad omnia pene problemata sese extendere sed omnino universalem non evadere abs ulterioribus methodis eliciendi series infinitas ✝ < insertion from f 61v > ✝ Et hæ literæ una cum exemplari epistolæ meæ ad Collinium A 10 Decem 1672 datæ ad D. Leibnitium mitterentur. < text from f 62r resumes > ; {sic} Cum D. Leibnitius responderet methodum \serierum/ adeo generalem esse, sibi non videri \i{d} se non credere/; esse enim multa us adeo mira ut et implexa ut ne ab Æquationibus penderent, ne ex quadraturis, qualia essent (ex multis alijs) Problemata methodi tangentium inversæ; cum responderem me \Tractatum/ de methodo serierum tum ante annos quin Conscripsisse & fundamentum ibi posuisse solvendi problemata quæ ad Quadraturas reduci requirent sed Tractat & ex hoc fundamento methodum Tangentium Slusij statim prodire, & hic non hæreri ad æquationes radicalibus affectas & fund ut ne in quæstionibus de maximis et minimis alijs {q}{illeg} & fundamentum illud literis trasp|n|spositis \{illeg}hassem/ hanc sententiam involventibus Data æquatione fluentes quotcum quantitates involvente invenire fluxiones & vice versa; fundamentum illud celarem; & {Cui}d ejusdem beneficiu|o| quadraturas curvarum quo reddi faciliores, & series \generales/ pro quadraturis prodire quæ abrumperentur et evaderent æquationes finitæ \uti quadratura per finitas æquationes. exhiberi posset/, et rem exemplis illustrarem; sed et Theoremata pro comparatione Curvarum cum Conicis sectionibus prodire quæ \vix/ per Transmutationem figurarum quibus Iacobus Grigorius et alij usi sunt, abs ulteriori fundamento inveniri posse putarem; cum deni inversa de Tangentibus Problemata in potes alia illis difficiliora in potestate esse dixissem ad quæ solvenda usus essem duplici methodo, his sententijs ænigmatice designata: Una methodus consistit in extractione . . . . assmptæ seriei: D. Leibnitius \Literis/ anno sequente die 1|2|0 Iunij datis rescripsit sequo in ejusmodi methodum incidisse & methodum

Et hujusmodi fluxionibus et momentis p{illeg} secunt|d|is in hoc Tractatu nonnunquam usus sum, Et ut et in {illeg} linearum \longe antea in linearum/ curvitate{m} invenienda de qua \uti/ scripsi in Epistola 10 Decem 1672 ad Collinium data. Est {illeg}|H|ujus \autem Probl./ solutionem in Lecta schediasmate sub finem anni 1666 composita talem invenio Et hujusmodi Fluxionibus \autem/ et momentis secundu|is|m in hocce tractatu \Principiorum Libro/ nonnunquam usus sum. ut et longe ante \Et/ Horum beneficio \anno 1677/ inveni demonstrationem Propositionis undecimæ Libri Primi anno 1677. Horum beneficio inveni curvitatis Curvarum per methodum meam generalem {illeg} quarum memini in E \Principorum anno 1677./ \Et/ In Epistola mea ad {illeg} 10 Decemb. 1672 d{um} me \ad Collinium data/ \ubi dixi/ |me|thodum meam generalem ad se extendere ad resolvendum Problemata de Curvitatibus Curvarum; Id {illeg} est horum beneficio \intelligendum est per methodum/ fluxionum|is| secundatum benefici{illeg} Et in {illeg} Tractatu Schediasmate quod [de h sub finem anni 1666 composui, Problema hocce resolutum invenio, & in ejus resolutione in literas punctatos adhibuisse pro symbolis adhibuissem] antea \de hoc Problemate/ casu posueram, \quodam vetustiore/ invenio me in hujus \Problematis/ resolutione pro {illeg} literas punctatas pro symbolis adhibuisse. sed ${\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}.\mathrm{n}{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-1}.\mathrm{n}\mathrm{n}-\mathrm{n}\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-2}$.

Pag 386 lin. 3 quantulum auxerint, vel gravitates \paulo minores sunt/ in Insulis ubi maria circundantia sunt depressiora et minus densa quam terra firma \arida/ in Continent in circuitu locorum in c|C|ontinente.

Ib. l. 18 lineæ unius vix superante. Ipse autem \etiam/ observavi quod horologium oscillatorium \{illeg} ad minuta secunda oscillans/ tempore æstivo tardius ad \movetur/ singulis diebus, spatio \quam tempere {sic} hyberno/ minutor|is|um secundor|is|um {illeg} viginti quatuor circiter, quam tempore hyberno, {sic} et propterea pendulum \evade{illeg}t/ longius {illeg} tempore æstivo quam hyp|b|erno ex iste|{illeg}| Differentia quasi quarta parte lineæ unius. Calores autem ætivi apud nos \thermometro mensurati/ æquori solent caloribus {illeg} locorum in zona torrida \quamproxime mensur{ent}ibus Thermometris/. Proinde differentia total longitudinis pendulorum quæ in diversis regionibus isochrona sunt, diverso calori attribui non potest.

Sed ne erroribus Astronomorum e Gallia missorum.

Ib. lin 34. Inter limite{r}|s| $1⁤\frac{1}{2}$ l{illeg}an|u|tem lin $1⁤\frac{1}{2}$ & lin $2⁤\frac{1}{2}$ quantitas mediocris est 2 linearum. Propter calores in Zona torrida negligamus quartam partem lineæ, et manebit differentia lineæ unius cum tribus quartis patibus lineæ. Et quoniam aqua marina quibus insulæ circundantur Pag 387 lin 1 fiet milliarium $27⁤\frac{3}{5}$. Nam tarditas — — — — sustinent. Et rarior est et q|d|epressior quam terra firma qua loca in c|C|ontinente circundantur, ob defectum materiæ densæ quibus qua insulæ in circuitu insularum negligatu negligamus insuper sentissem lineæ et manebit differentia lineæ unius cum quarta partæ lineæ

Pag 387 lin 1 fiet milliarium $19⁤\frac{5}{7}$.

Ib. l 5. excessu 34″ circiter. Ar{illeg} terræ semidiameter maxima erit pedū Parisiensium 197           minima pedum 196           & mediocris pedum 19668176

Pag 138. lin 29. quam $17⁤\frac{1}{7}$,

Mens Scholij præcedentis.

Anno 1669 ad finem vergente prodijt Mercatoris Logarithmotech {sic}nia & mense Iulio anni sequentis Barrovius noster Compendium \meum/ methodi serierum sub titulo Analyseos per Æquationes numero terminorum infinitas, ad Collinium misit. Et scrinijs Collinij in Ionesij manus {illeg}er \tandem/ incidentibus Tractatus hicce lucem vidit|.|, & \Continet autem Analysin {sic}/ Analysin {illeg} \qua Problemata {illeg} Geometria/ methodos serierum et methodum fluxionum {illeg} conjunctas \tractactur {sic}/. Problemata \uti/ per methodum fluxionum et momentorum deducuntur ad Æquationes & Æquationes \per methodos ibi descriptas/ convertuntur in series, & termini serierum in opus est quadrantur, \fluxiones simplices/ per tres Regulas initio positas quadrantur \dant fluentes/ & Regularum prima per methodum fluxionum \sub finem Tractatus/ demonstratur. Et \symbolum pro/ series tota per symbolum designatur & \ponitur & series/ inter operandum pro symbolo illo \nonnunquam/ substituitur Et series nonnunqꝫ|u|am in æquationis|em| finitas|m| redi{illeg}|t|{illeg}t. Æquationes \finitæ/ per methodos in hoc Tractatu descriptas convertuntur in Series, & Series nonnunquam redeunt in Æquationes finitas Et ubi symbolum pro Serie tota ponitur, Series inter operandum pro Symbolo illo nonnunquam substituitur. Et \ex/ fluxiones|ib||us| simplices|ib||us| per Regulas tres primus dant{illeg} initio hujus Tractatus positas dant \eruuntu/ fluentes & vicissim fluentes per {illeg}|R|{ic}ass{m} Regulas regrediendo dant fluxiones, \& ex fluentibus vicissim eruuntur fluxiones/ et Regularum prima {illeg}{p} demonstratur per methodum fluxionum, [et vicissim fluentes per hanc Regulam dant fluxiones] & \methodum ad/ quantitates surdas methodum non{illeg} \non hærere ostenditur/. Et Problemata omnia quæ in Curvis Analyticis tractari tolebant tractant{illeg} etiam \per hanc method {sic}/ in Curvis qu{illeg} vulg{illeg} Mechanicis. [Quibus de causis nomen Analyseos huic methodo a me impositum fuisse dicitur.] Et quicquid vulgaris Analysis per æquationes ex finito terminorum numero constantes (quando id sit possibile) perficit|e|t hanc \methodum/ per æquationes numero terminorum infinitas semper perfit|c|it.|ere||.| Quibus de causis nomen Analyseos huic methodo a me impositum fuisse dicitur Pro fluxionibus autem in hoc Tractatu ponuntur symbola quæcun & \& {sic} pro momentis fluentium ponuntur rectangula sub fluxionibus & momento temporis {illeg}/ |&| pro fluxione temporis po vel quantitatis cujuscun uniformiter fluentis qua tempus exponitur {illeg} usurpatur unitas [et pro tempus \temporis/ momento ponitur a {1 x o o} \symbolum o, s{illeg} et pro {illeg} quantitatis cujuscun alterius uniformiter fluentis/ /ponitur\ rectangulum sub fluxione 1 et momento o, et pro aliarum quantitatum momentis ponuntur rectangula sub earum fluxionibus et momento o; et siquando symbolum fluxionis pro momento ponitur, subintelligitur coefficiens o; et fluxio rectangulo inclusa \nonnunqua/ ponitur pro fluentem designat. Symbola {illeg}|{V}|ero pro lubitu variari possunt cum methodus in forma symbolorum minime consistat.

D Collinius autem ubi hoc accepto \ex/ hoc Tractatu series cum amicis mox commucare {sic} cœpit & methodum {illeg} generalem prædicare et Gregorius {illeg}s de his admonitus methodum quæsivit investigandi seriem ad ipsum missam {illeg} diu quæsivit et sub finem anni 1670 invenit et mox \per/ Epistolam ad Collinium 15 Feb 167$\frac{0}{1}$ datum misit series plures continentur \conti/ e quarum numero erat hæc. Sit Radius r, Arcus a, & tangens t et erit $\mathrm{a}=\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{t}}^3}{3{\mathrm{r}}^2}+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5{\mathrm{r}}^4}-\frac{{\mathrm{t}}^7}{7{\mathrm{r}}^6}+\frac{{\mathrm{t}}^9}{9{\mathrm{r}}^8}$ &c. Et exemplar \autem/ hujus Epistol|æ| ad D. Co Leibnitium missum fuit mense Iunio anni 1676.

Anno autem 1672 ad{illeg} finem vergente.

Anno 1672 Decem 10 scripsi ad Collinium Sequentem Epistolam. Exam{en} gaudio . . . — — — ne grave ducas.

Anno 1669

Anno 1671

Cum D. Leibnitius exeunte anno 1673 Londinum venisset et ibi de seriebus admonitus \de rebus Arithemticis disputasset /esset is\ {illeg}a Pellio de/ Mercatoris Logarithmotechniam secum Lutetiam tulit p{or}tavitus et sub finem hujus anni et initium sequentis. Geometriam sublimiorem Hugeni{illeg}|o| Magistro didicit, & mox \mense Iulio hujus anno|i|/ de d seriebus ad Oldenburgum scribere cœpit, et dicendo se — — — — — — — dabat etiam circumferentiam totam

Anno 1675 Apr 15 D. Oldenburgus suggerente Collinio . — — — — — — . sic satis singulari.

Anno 1672 ad finem vergente Collinius noster scripsit ad me de methodis tangentium Gregorij et Slusij ducendi tangentes abs calculo et postulavit ut methodum meam communicarem. Qua occasione sequentem Epistolam 10 Decem 1672 ad ipsum scripsi. Ex animo gaudeo . . . . — — — — — — — ne grave ducas. Gregorius uti ad Collinium scripserat 5 Sept. 1670 se ex methodis tangentium Barrovij et suis methodum generalem ducend invenisse ducendi tangentes abs calculo, & Slusius ad Oldenburgum scripserat se methodum similem habere sed neuter methodum suam communicasset\verat/. Missū est autem \exemplar/ epistolæ meæ \a Collinio/ ad Tschirnhausium mense Maio 1675 et ad Leibnitium mense Iunio 1676. Et eodem tempore missum est exemplar Epistolæ \jam dictæ/ Gregorij ad Leibnitium Et ex his Epistolis inotescere potuit quod \hæc/ methodus Tangentium et Corollarium esset methodi generalis de qua hic locutus sum, & consequeretur etiam ex methodo tangentium Barrovij.

Ineunte anno 1673 D. Leibnitius Londinum venit & cum Pellio nostro de rebus Arithmeticis disputat|v||it| in Geometria sublimiore nondum instructus. At a Pellio de serie Mercatoris &c admonitus, Logarithmotechniam ejus secum Lutetiam tulit, et sub finem hujus anni & initium sequentis Geometriam sublimiorem Hugenio magistro didicit, & \proximo/ mense Iulio \seri/ de seriebus ad Oldenburgum scribere cœpit, dicendo se . . . . . . . dabat etiam circumferentiam totam

Anno 1675 Apr 15 D. Oldenburgus suggerente Collinio . . . . . . sic satis singulari.

Hoc Anno \D. Leib./ composuit et cum amicis communicavit opusculum \s{illeg}/ quadraturæ Arithmeticæ per transmutationem figurarum \seriem quæ {illeg} T pro arcu cujus tangens datur ut ipse/ ex Actis Eruditorum anni 1691 pro mense Aprili pag 1678 intellex{illeg}t scripsit.

Anno 1676 Maij 12 \D. Leibnitius scripsit/ scripsit epistolam sequentem ad \D./ Oldenburgum Epistolam sequentem

Anno 1676 tempore verno audita Gregorij morte D. Leibnitius a \D. Oldenburgo/ postulavit ut Gregorium in unum corpu{illeg} commercium Gr commercium Gregorianum in unum corpus colligeretur & \ad/ Lutetiam {P}{illeg}it se mitteretur Et Collinius subinde excerpta Epistolarum ejus \Gregorij/ collegit et missa est Collectio \Lutetiam/ mense Iunio ut a D. Leibnitio legeretur & subinde redderetur et extat collectio in Archivis R. S. in manu Collinij \scripta/, & inter alia continet epistolas Gregorij 5 Sept. 1670 & 15 Feb 167$\frac{0}{1}$ datas ut et meam \ad Collinū/ 10 Decem 1672 datam.

Eodem anno Maij 12 D. Leibnitius \scripsit/ ad D. Oldenburgum scripsit Epistolam sequentem: Cum Georgius Mohr Danus, in Geometria — — — — — — desiderio meo.

Hac occasione sollicitantibus Oldenburgo et Collinio scripsi sequentem epistolam 13 Iunij datam, in qua methodum serierum descripsi et addidi Analysin per eandem — — — non aliunde habuisse.

Mens Scholij præcedentis.

In Epistola 13 Iunij 1676 seri{illeg} \datæ/ methodum Serierum descripsi & addidi Analysin per easdem ad omnia pene problemata \(si numeralia quædam Diophantæis similia excipiantur)/ sese extendere, non tamen omnino universalem evadere nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas quas non vacabat describere cum hæ speculationes diu mih{i} fastidi{illeg}|o| esse cœpissent adeo ut ab ijsdem jam \tum/ per quin fere annos abstinuissem.

Respondit D. Leibnitius \27 Aug. 1676 in hæc verba/: Quod dicere videmini pleras difficultates (exceptis Problematibus Diophantæis) ad series infinitas reduci, id mihi non videtur. Sunt enim multa us mira et implexa ut ne ab æquationibus pendeant neque ex quadraturis, qualia sunt (ex multis alijs) Problemata methodi Tangentium inversæ.

Ipse verò in Epistola 24 Octob 1676 data data, et D. Leibnitio (qui tunc Londini versabatur) statim lecta, rescripsi quod eo tempore \postquam ubi/ Mercatoris Logarithmotechnia prodijt (anno nempe 1669) communicatum esse \fuit/ per ami{t}|c|um D. Barrow (tunc Matheseos Professorē Cantabr.) cum D. Collinio compendium quoddam \method,/ harum serierum, in quo significaveram a|A|reas & Longitudines Curvarum omnium & solidorum superficies et contenta ex datis Rectis, et vice versa ex his datis Rectas determinari posse & methodum ibi indicatam illustraveram diversis seriebus. [D. Leibnitius autem qui eo tempore {illeg}{æ} paulo ante postulaverat ut Gregoriana omnia ad se Lutetiam Parisijs a{gen}tem mitte\rentur/ & ubi hæc jam Londinum venerat statim legebat hanc {illeg} \& in/ Collinu|ij|um consulabat d manu vidit Epistolas Gregorij et meas, per hanc Epistolam admonitus videre potuit Tractatum illum in manu Collinij] Et hac Compendium in Ione ipse{illeg} Colliniana \{illeg} cum scrinijs Collinij in {sic}/ in Ionesij manus tandem incidit {illeg}|entibu||s| \hoc compendium/ ab ipso in lucem emissum fuit \est/. Continet autem methodum serierum ad problemata per methodum fluxionum (a D. Leinitio methodum summarum ac {illeg} \& momentorum/ applicatam. [Et l{illeg}e{illeg}æ pro fluxionibus hic substituantur, {illeg} et fluxiones quadratis inclusæ pro fluentibus] Fluxiones autem \{illeg}{ent}a/ hic per {illeg}as \notas quaslibet/ designantur. & Momenta quæ D Leibnitius per differentia \e{ti}am {illeg}tiam designant{es}/ \autem hic per/ per rectangula sub fluxionibus & momento o \quando designantur/, & momentorum summæ per fluxiones rectangulor|is|um {illeg} in clusas. C Old Collinus autem accepto hoc Compendio Seri

In eadem etiam {illeg} Collinius autem accepto hoc c|C|ompendio series ibi positas cum ut et Serias alias quas a Gregorio anno 1671 acceperat, cum amicis libere communicavi|ba|t, e quarum numero erant Series pro inveniendo sinu vel tangente ex arcu dato.

In eadem epistola subjunxi quod Collinius subinde non destitit suggerere ut hæc publici juris facerem, et ante annos quin [anno scilicet 1671) cum suadentibus amicis concilium ceperam edendi Tractatum de Refractione Lucis et coloribus, quem tunc in promptu habebam; cœpi de his seriebus iterum cogitare & Tractatum de ijs etiam conscripsi \ut utrum simul ederem./ Sed lites de coloribus paulo post subortæ me \quietis amantem/ a concilio edendi hoc tractatum|s| deterruerunt. In eo autem Tractatu fundamentum posui \me posuisse dixi/ solvendi problemata quæ ad Quadraturas reduci nequeunt & quomodo methodus Slusiana solv ducendi Tangentes ex hoc fundamento statim prodiret, et quod hic non hæreatur ad æquationes \Radicalibus/ unam vel utram indefinitam Qualitatem invol <65v> ventibus utrum affectas sed abs talium æquationum reductione (quæ opus plerum redderet immensum). Tangens confestim ducitur. Et quod eodem modo se res haberet in quæstionibus de Maximis et Minimis; alijs quibusdam, de qu Et fundamentum harum operationum satis obvium esse dixis {illeg} sed cum explicationem ejus prosequi non vacaret celabam \id celavi/ hac sententia ænigmatit|c|e posita Data æquatione quotcun fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vica versa. Et hoc fundamento \dixi/ me etiam conatum esse dixi {illeg} reddere speculationes de Quadratura Curvarum simpliciores et pervenisse ad Theoremata quædam generalia, & Theorema primū posu ibi posui et exemplis illustravi. [Et quomodo hujusmodi Theoremata ex hac methodo profluunt ostenditur in Tractatu de Quadratura figurarum.] Addidi etiam quod alia haberem Theoremata pro comparatione Co Figurarum cum Conicis sectionibus, alijsve figuris simplicissimis quibuscum possent comparari, me hujusmodi Theomata {sic} in Catalogum dudum retulisse, quæ Theoremata vix per transmutationem figurarum quibus Iacobus Gregorius et alij usi sunt abs ulteriori fundamento [nempe fundamento \meo/ prædicto] inveniri posse putarem. Et quomodo hujusmodi Theoremata \hæcce omnia/ ex hoc fundamento prodeunt ostenditur in Tractatu \prædicto/ de Quadratura Ad Curvilinearum Addidi præterea quod ubi Quadratura figurarum < insertion from above the line > [quam D. Leibnitius methodum summa <66r> {illeg}|to|riam vocat] < text from f 65v resumes > per has methodos non bene succederet, {illeg} rem expedire possem describendo Curvam Geometricam per data quotcun puncta transeununtem {sic}: id est per terminos Ordinatam|rū| quotcun fluxiones designantium Curvam quadrabilem describendo cujus area exhibeat fluentem quæsitam. Addidi deni quod ubi dixi omnia pene Problemata solubilia existere, volui de ijs præsertim intelligi — datur longitudine. Hæc Problemata sunt casus tantū particulares Solvitur uti abs methodo fluxionum dicendo tantum quod ubi Abscissa crescit in ratione {illeg} progressione Arithmetica, Ordinata crescit vel descrescit in ratione Geometrica, ideo Abscissa et Ordinata sunt ad invicem ut numerus et Logarithmus. Quin etiam si in triangulo rectangulo quod ab illa \Abs{illeg}/ Axis parte a prædicta Axis parte et Tangente {illeg} ac Ordinatim applicata constituitur \relatio duorum quorumlibet latarum per æquationem quamlibet definiatur/ Problema solvi potest [per simplicem Quadraturam] abs mea methodo Generali: sed ubi pars Axis {illeg} [seu Abscissæ] ad punctum aliquod positione datum terminata ingreditur vinculum, tunc res aliter se habere solet, id est, non semper solvitur per simplicem Quadraturam sed sæpe requirit methodum meam generalem. {illeg} Sic enim v\o/cabam methodum ex methodis serierum et fluxionum et {illeg} compositam.

D. Leibnitius jam erat in itinere

\Pro {illeg} Mar{illeg}/ Vbi nunciatum est D. Leibnitium ad Hanoveram pervenisse D. Oldenburgus exemplar ejus \hujus Epistolæ/ ad ipsum misit & D. Leibnitius \tandem/ Epistola 21 Iunij 1677 data respondit in hæc verba: Clarissimi Slusij methodum Tangentium nondum esse absolutam Celeberrimo Newtono assentior Et jam a multo tempore rem Tangentium longe generalius tractavi scilicet per differentias Ordinatarum.; Et subinde descripsit methodū Tangentium|s| Barovij & \ostendit/ quod methodus Slusiana statim occurret|r|et hanc methodum intelligenti, & quod \quomodo/ irrationales minime ipsam eam nullo moræ\re/ntur modo; deinde subjunxit: Arbitror quæ celare voluit Newtonus de Tangentibus ducendis ab his non abludere. Quod addit, ex hoc eodem fundamento quadraturas reddi quo reddi faciliores me <66r> in sententia hac confirmat, nimirum semper figuræ illa sunt quadrabiles quæ sunt ad æquationem differentialem. Et post annos septem in lucem emisit elementa hujus methodi

Cum vero \post annos septem in lucem emitteret elementa hujus methodi &/ silentio præteriret totum illu commercium illud epistolicum quod quod inter nos annis 1676 & 1677 intercesserat quo signifa\{ic}/rum me meth\od/um hanc et ejus vim descripseram & signif primus descripseram & me Tractatum de eadem anno 1671 scripsisse significaram {sic}, et ipse \ille/ me hujusmodi methodum habuisse agnoscerat agnoverat: posui Scholium superius ut inde constaret me primum de hac methodo scripsisse & elementa ejus in Lemmate secundo Libri secundi præcedente synthetice demonstrata non aliunde habuisse

Sub initio anni 1673 D. Leinitius Londinum venit & a Pellio admonitu de serie Mercatoris admonitus Logarithmotechniam ejus secum in Galliam tulit sed {illeg} Geometra|i|am sublimiorem nondum intellexit. Scripsit autem \ad Oldenburgum/ de Quæstionibus Arithmeticis us ad mensem Iunium hujus anni, deinde Geometriam sublimiorem Hugenio Magstro {sic} didicit, & anno sequente mense|i||bus| Iulio \& Octobri/ cœpit de seriebus scribere dicendo se seriem numerorum rationalium pr{o} {invenis} Theorema invenisse {illeg} cujus ope Area Circuli vel sectoris ejus dati \exacti/ exprimi posset per seriem numerorum rationaliū continue productam in infinitum. Et mense Octobri ejusdem anni exposuit quali|e| esset series qu Theorema cujus ope area sectoris dati per Seriem exprimi posset, dicendo quod seriem invenisset pro circumferentia tota & quod eadem metha|o|do etiam arcus cujuslibet cujus sinus daretur, geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor posset, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu; ut adeo non necesse esset arcus rationem ad circumferentiam nosse. Theorema igitur & ex dato sinu dabat sectorē vel Arcum & si ratio ejus ad circumferentiam totam nosceretur dabat etiam circumferentiam totam.

Anno 1675 \Apr 15/ D. Oldenburgus \a C suggerente Collinio/ Series|m| plures ad \meam/ pro inveniendo arcu ex s|S|inu dato, ut et Gregorianam pro inveniendo arcu ex Tangente data alias nonnullas ad D. Leibnitium misit et D. Leibnitius Literis 20 Maij 1675 datis respondit rescripsit in hæc verba. Literas tuas multa fruge Algebraica refertas accepi pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias curas Mechanicis imprimis negotijs distrahar non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam, nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via quædam sic satis singulari.

Anno 167{1}|6| Maij 12 D. Leibnitius hæc scripsit ad Oldenburgum Cum Georgius Mohr Danus in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatam sibi a Doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter Arcum et Sinum per infinitas series sequentes: Posito sinu x, Arcu z, Radio 1,
$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3+\frac{3}{40}{\mathrm{x}}^5+\frac{5}{112}{\mathrm{x}}^7+\frac{35}{1152}{\mathrm{x}}^9$ &c
$\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{1}{6}{\mathrm{z}}^3+\frac{1}{120}{\mathrm{z}}^5-\frac{1}{5040}{\mathrm{z}}^7+\frac{1}{36288}{\mathrm{z}}^9$ &c
Hæc, inquam, cum nobis attul{a}|e|rit ille, quæ mihi valde ingeniosa videntur, et posterior imprimis series elegantiam quandam singularem habeat, ideo rem gratam mihi feceris, Vir clarissime, si demonstrationem transmmiseris. Habebis vicissim mea ab his longe diversa circa hanc rem meditata de quibus jam aliquot abhinc annis ad te perscripsisse credo, demonstratione tamen non addita quam nunc polio. Oro ut a Cl. Collinio multam a me <66v> salutem dicas. Is tibi facile tibi materiam suppeditabit satisfaciendi desiderio meo.

Hac occasione sollicitantibus Oldenburgo et Collinio scripsi Epistolam meam prædictam 13 Iunij \1676/ datam, ✝ et eodem tempore, \ea/ quæ Gregorius jam emortuus cum Amici communicaverat \a Collinio/ in unum corpus sollicitante D. Leibnitio collecta sunt et ad Leibnitium missa \ut ab ipso legerentur/; & a Leibnitio \& {sic} s{illeg} subinde ad subinde/ ad Oldenburgū reddita \remitterentur sunt & Eadem/ jam extant in manu Collinij. In hac Collectione habetur etiam exemplar Epistolæ Gregorij Anno 1670 \ad Collinium/ 5 Sept 1670 \datæ/, in qua Gregorius \dicit/ se ex methodis. Tangentium Barrovij et suis invenisse methodum generalem ducendi Tangentes ad omnes Curvas sine calculo. Habetur et alia Gregorij Epistola ad Collinium 15 Feb 1670|1| data in qua series ponitur pro arcu \cujus/ {illeg} Tangent{illeg} dat{illeg}|u|r. Habetur etiam Epist exemplar Epistolæ \sequentis/ a me 10 Decem 1672 ad Collinium scriptæ in hæc verba \ut sequituur/. Ex animo gaudeo D. Barrovij — ad series infinitas ne grave ducas. Missum etiam fut|i|t exemplar hujus Epistolæ ad D. Tschurnhausium mense Maio 1675. Methodus autem generalis quæ in hac Epistola describitur et cujus Corollarium dicitur Methodus tangentium Gregorij et Slusij, est est ipsa methodus fluxionum. [Et cum hæc methodus hic dicatur extendere se ad resolvendum alia abstrusiora{m} Problematum genera de curvitatibus, ad|Ar|eis, Longitudinibus, c|C|entris gravitatis Curvarum &c, {illeg} et Problemæ de Curvitatibus Curvarum a fluxionibus secundis dependeant, subjungam solutionem hujus [Problematis qualem olim in Tractatu sub finem anni 1666 scripto posui] Mense Octobri proximo D. Leibnitius Londinum venit & Collinium consuluit de ijs quæ a Gregorio et me ad ipsum scripta sunt vidit partem Commercij nostri in ejus manu literas nostras in ejus manu, eas præstertim quæ ad series convergentes spectabant. Et hæc omnia silentio præteriri non debuerant: præsertim cum D. Leibnitius {Pro} \paulo ante/ rogaverat o|O|ldenburgum ut Demonstrationem serierum mearum pro arcu & sinu a \Collinio/ procuraret & ipse in \jam per/ Epistolā meā 24 Octobri 24 Octob scriptam admonitus esset de Compendio \meo/ harum serierum anno 1669 a Barrovio ad Collinium missu|o|m; in quo Compendio methodum \{illeg}/ fluxionum non obscure {illeg} descripseram & \per quantitarū momenta/ applicueram ad \omnia/ Problemata et Demonstrationem illam posueram et methodum fluxionum \& momentorum/ non obscure de scripseram et ejus beneficio methodum serierum ad solutionem Problematum applicueram et Regulam primam in qua fundabatur demonstraveram. Fluxiones vero per symbola quæcun hic designavi et momentum per hæc symbola ducta in \tempor{illeg} vel/ quantitatis uniformiter fluentis momentum o & hic designavi et flu{illeg}|xio|\n/em rectangulo inclusam pro fluente nonnunquam posui. Hac methodo \Analysi/ usus sum annis 1665 & 1666 et \ut ex veteribus meis chartis reperi{illeg}|o|, et eadem/ us nunc utor. Eadem {illeg} Hac investigavi maximam partem Propositionum quæ in hisce Principiorum Libris habentur, sed inventas composui synthetice ut \lucem videretur &/ in luc{e} Geometriam admitterentur: {illeg} Nam laus Geometriæ ex ejus certitudine oritur, eaque de causa veteres nihil prius \in e{illeg}t |in Geometri{illeg}|a|m|/ admittebant quam componeretur, & per Demonstrationem Geometricam \syntheticam/ redderetur certissimum.