<83r>

Tractatus de Quadratura Curvarum

Quo tempore incidi in methodum serierum interminatarum convergentium necesse habui mutare notationem quæ tunc in usu erat et pro x, x3, 3x, 3x2, 1x, 1xx, 1x{,} aaxx, 1aaxx &c. scribere x12, x32, x13, x23, x1, x2, x12, aaxx.12, aaxx.12 &c Hac enim ratione computationes magis uniformes et expeditæ, et theoremata magis generalia evaserunt. Qua de causa etiam exponentes dignitatum indefinite designavi cum Slusio in hunc modum xμ, xν, aaxx0ν ponendo dignitatum exponentes μ et ν et similes pro numeris quibusvis integris an fractis, affirmativis an negativis. Quas quidam Notarum formulas, cum jam in usu esse cœperint non opus est ut fusius exponam.

Quantitates indeterminatas ut motu perpetuo crescentes vel decrescentes id est ut fluentes vel defluentes in sequentibus considero designoq literis z, y, x, v, et earum fluxiones seu celeritates crescendi noto iisdem literis punctatis z., y., x., v., sunt et harum fluxionum fluxiones seu mutationes magis aut min us celeres quas ipsorum z, y, x, v fluxiones secundus nominare licet et sic designare z.., y.., x.., v..; et harum fluxiones primas seu ipsarum z, y, x, v fluxiones tertias, sic z..., y..., x..., v...; et Quartas sic z...., y...., x...., v..... Et quemadmodum z..., y..., x..., v... sunt fluxiones quantitatum z.., y.., x.., v.., et hæ sunt fluxiones quantitatum z., y., x., v.; et hæ sunt fluxiones quantitatum primarum z, y, x, v; Sic hæ quantitates considerari possunt ut fluxiones aliarum quas sic designabo z′′, y′′, x′′, v′′, et hæ ut fluxiones aliarum z′′′, y′′′, x′′′, v′′′, et hæ ut fluxiones aliarum z′′′′, y′′′′, x′′′′, v′′′′. Designavit igitur z′′′, z′′, z, z., z.., z..., z...., z....., &c seriem quantitatum quarum quælibet posterior est fluxio præcedentis et quælibet prior est fluens quantitas fluxionem habens subsequentem. Similis est series aa′′′zz, aa′′zz, aazz aa..zz, aa....zz, az......zz; ut et series aa+zz az′′′ , az+zz az′′ , aa+zzaz, az+zz az′′ , az+zzaa..zz , az+zzaa....zz , az+zzaa......zz ; Et Notandum est quod quantitatis quælibet prior in his seriebus est area figuræ Curvilineæ cujus ordinatim applicata rectangula est quantitas <84r> posterior et abscissa z: uti aa′′zz area Curvæ cujus ordinata est aazz et abscissa z. Hanc aream sic etiam designo aazz vel etiam sic z. Hanc aream sic etiam designo aazz. Quo autem spectant hæc omnia patebit in Propositionibus quæ sequuntur.

Prop. I. Prob: I

Data æquatione quotcunq fluentes Quantitates involvente
invenire fluxiones.

Solutio

Multiplicetur omnis æquationis terminus per Indicem dignitatis quantitatis cujusq fluentis quam involvit, et in singulis multiplicationibus mutetur dignitatis latus {illeg}|i|n suam fluxionem et aggregatum factorum omnium sub propriis signis exit nova æquatio.

Explicatio.

Sunto a, b, c, d, &c quantitates determinatæ et immu{illeg}|t|abiles et proponatur æquatio quavis quantitates fluentes z, y, x, &c involvens, uti x3xyy+aazb3=0 Multiplicentur termini primo per Indices Dignitatum x et in singulis multiplicationibus pro dignitatis latere seu x unius dimensionis scribatur x. et summa factorum erit 3x.x2x.yy. Idem fiat in y et prodibit 2xyy.. Idem fiat in z et prodibit aaz., ponatur summa factorum æqualis nihilo et habebitur æquatio 3x.x2x.yy2xyy.+aaz.=0 Dico quod hac æquatione definitur relatio fluxionum.

Demonstratio.

Nam sit o quantitas infinite parva et sunto oz., oy., ox. quantitatum z, y, x momenta, id est incrementa momentanea Synchrona. Et si quantitates fluentes jam sunt z, y, et x hæ post momentum temporis incrementis suis infinite parvis oz., oy., ox. auctæ evadent z+oz., y+oy., x+ox., quaæ in æquatione prima pro z, y, et x scriptæ dant æquationem x3+3xxox.+3xoox.x.+o3x.3xyyox.yy2xoy.y2x.ooy.y+xooy.y.+x.o3y.y.+aaz+aaoz.b3=0. Subducatur æquatio prior et residuum divisum per o erit 3x.x2+3x.x.ox+x.3oox.yy2xy.y2x.oy.y+aaz.=0. Minuatur Quantitas o in infinitum ut momenta fiant infinitiss{illeg}|i|me parva, et <85r> neglectis terminis evanescentibus restabit 3x.x2x.yy2xy.y+aaz.=0 Quod erat demonstrandum.

Explicatio plenior.

Ad eundem modum si æquatio esset x3xyy+aaaxyyb3=0 produceretur 3x2x.x.yy2xy.y+aaax..yy=0 Ubi si fluxionem ax..yy tollere velis, pone axyy=z, et erit axyy=z2 et per hanc propo ax.2y.y=2z.z seu ax.2y.y2z=z., hoc est ax.2y.y2axyy =ax..yy et inde 3x2x.x.yy2xy.y+a3x.2aay.y2axyy=0.

Et per operationem repetitam pergitur ad fluxiones secundas, tertias et sequentes. Sit æquatio zy3z4+a4=0 et fiat per operationem primam z.y3+3zy.y24z.z3=0. per secundam z..y3+6z.y.y2++6zy.2y4z..z312z.2z2=0. per Tertiam z...y3+9z..y.y2+9z.y..y2++18z.y.2y+3zy...y2+18zy..y.y+6zy.34z...z336z..z.z248z.3z=0

Ubi vero sic pergitur ad fluxiones secundas tertias et sequentes convenit quantitatem aliquam ut uniformiter fluentem considerare et pro ejus fluxione prima unitatem scribere, pro secunda vero et sequentibus nihil. Sit æquatio zy3z4+a4=0 ut supra et fluat z uniformiter sitq ejus fluxio Unitas et fiet per operationem primam y3+3zy.y24z3=0, per secundam 6y.y2+3zy..y3+6zy.2y 12z2=0, per tertiam 9y..y2+18y.2y+3zy...y2+18zy..y.y+6zy.348z=0

In hujus autem generis æquationibus concipindi|u|m est quod fluxiones in singulis terminis sint ejusdem ordinis, id est, vel omnes primi ordinis y., z. vel omnes secundi y.., y.2, y.z., z.2, vel omnes tertii y..., y..y., y..z., y.3, y.2z., y.z.2, z.3 &c. Et ubi res aliter se habet complendus est ordo per subintellectas fluxiones quantitatis uniformiter fluentis. Sic æquatio novissima complendo ordinem tertium sit 9z.y..y2+18zy.2y+3zy...y2+18zy..y.y+6zy.3y48zz.3=0

Termini æquationis primæ ut Genitores terminorum æquationis cujus vis alterius quæ per hanc propositionem ex prima prodit et termini ex eodem Genitore nati, ut fratres vel Socii considerari possunt. Innotescunt fratres et ex fratribus Genitor, mutando fluxiones in fluentes quantitates. Sic in æquatione Novissima termini omnes præter ultimum mutando fluxiones in fluentes quantitates evadunt mzy3, ideoq fratres sunt et genitorem habent in mzy3, et terminus ultimus qui solitarius est, eadem ratione <86r> migrat in Genitorem nz4; hic m et n pro coefficientibus determinatis indefinite ponuntur, et inveniri possunt quærendo fratres ex his genitoribus et comparando cum fratribus datis: Sic ex genitore mzy3 prodeunt fratres 9mz.y..y2, 18mz.y.2y, 3mzy...y2, 18mzy..y.y, 6mzy.3, 48mzz.3 qui cum fratribus datis collati dant m=1.

Prop: II. Prob: II.
Invenire curvas quæ quadrari possint

Sit ABC figura invenienda, BC ordinatim applicata Figure rectangula et AB abscissa; producatur BC ad E, ut sit BE=1 et compleatur parallelogrammum ABDE. et arearum ABC, ABDE fluxiones erunt ut BC ad BC {sic}; Assumatur igitur æquatio quævis qua relatio arearum definiatur et inde dabitur relatio ordinatarum BC et BC {sic} per prop. I Q.E.I. Hujus rei exempla habentur in propositionibus duabus sequentibus.

Prop. III. Theor. I

Si pro abscissa AB et area AE seu AB×1 promiscuo scribatur z, et si pro e+fzη+gz2η+hz3η+&c scribatur R sit autem area Curvæ zθRλ erit ordinatim applicata BC=θe+ θληfzη+ θ2ληgz2η+ θ3ληhz3η+&c inzθ1Rλ1

Demonstratio.

Nam si sit zθRλ=0 erit per Prop: 1 θz.zθ1+λzθR.Rλ1=v. Pro Rλ in primo æquationis termino et zθ in secundo scribe RRλ1 et zzθ1 et fiet θz.R+λzR.inzθ1Rλ1=v.. Erat autem R=e+fzη+gz2η+hz3η &c et inde per prop I fit R=ηfz.zη1+2ηgz.z2η1+3ηhz.z3η1+&c huic ductæ in λz adde θz.R et summa ducta in zθ1Rλ1, si modo pro z. scribatur BE sive 1, fiet θe+ θληfzη+ θ2ληgz2η+ θ3ληhz3η+&c inzθ1Rλ1=v.=BC. Q.E.D.

Prop IV. Theor II

Si Curvæ Abscissa AB sit z et si pro e+fzη+gz2η+hz3η+&c scribatur R et pro k+lzη+mz2η+nz3η+&c scribatur S: sit autem area curvæ zθRλSμ: erit ordinatim applicata.

<87r>

θek+θ+ληfkzη+θ+2ληgkz2η&c +θ+μηelzη+θ+λη+μηflz2η+θ+2λη+μηglz3η&c +θ+2μηemz2η+θ+λη+2μηfmz3η+θ+2λη+2μηgmz4η inzθ1Rλ1Sμ1.
Demonstratur ad modum præcedentis propositionis cum scilicet ordinatim applicata sit θz.RS+λzR.S+μzRS.inzθ1Rλ1Sμ1.

Prop V. Theor. III.

Si Curvæ Abscissa AB sit z, et pro e+fzη+gz2η+hz3η+&c scribatur R. Sit autem ordinatim applicata zθ1Rλ1ina+bzη+cz2η+dz3η+&c et ponatur θη=r. r+λ=s, s+λ=t, t+λ=v &c erit area zθRλin 1ηare +1ηbsfAr+1_,ezη +1ηcs1fBtgAr+2_,ez2η +1ηds2fCt1gBukAr+3_,ez3η+1ηes3fDt2gCv1hB r+4_,ez4η+&c. Ubi A, B, C, D, &c. denotant totas Coefficientes datas terminorum singolorum in serie cum signis suis + et −, nempe A primi termini cofficientem {sic} 1ηare, B secundi coefficientem 1ηbsfAr+1_,ezη, C tertii coefficientem 1ηcs1fBtgAr+2_,ez2η et sic deinceps.

Demonstratio.

Sunto juxta propositionem tertiam Curvarum Ordinatæ et earundum /Areæ\
1θeA+θ+ληfAzη+θ+2ληgAz2η+θ+3ληhAz3η&c 2θ+ηeBzη+θ+η+ληfBz2η+θ+η+2ληgBz3η&c 3θ+2ηeCz2η+θ+2η+ληfCz3η&c 4θ+3ηeDz3η&c zθ1Rλ1 AzθRλ+θ+η+λη Bzθ+ηRλ+θ+η+λη Czθ+2ηRλ+θ+η+λη Dzθ+3ηRλ
Et si summa ordinatarum ponatur æqualis ordinatæ a+bzη+cz2η+dz3η&cinzθ1Rλ1, summa Arearum zθRλinA+Bzη+Cz2η+Dz3η&c æqualis erit Areæ Curv{illeg}|æ| cujus ista est Ordinata; Æquentur igitur Ordinatarū termini correspondentes et fiat a=θeA, b=θληfA+θ+ηeB, c=θ2ληgA+θ+η+ληfB+θ+2ηeC&c. et inde aθe=A. bθ+ληfAθ+ηine=B, ac pariter cθ+2ληgAθ+η+ληfBθ+2η_,e=C et sic deinceps in infinitum. Pone jam θη=r. r+λ=s. s+λ=t &c et in Area zθRλ×A+Bzη+Cz2η+Dz3η&c scribe ipsorum A, B, C, &c valore inventos et prodibit series proposita. Quod erat Demonstrandum.

Et nota quod Ordinata omnis duplici modo in seriem resolvitur. Nam Index η vel affirmativus esse potest vel negativus. Proponatur Ordinata 3klzz zzkzlz3+mz4_. Hæc vel sic scribi potest z52×3klzz_×klzz+mz3|_12 vel sic z2×l3kz2_×mlz1+kz3_12. In casu priori est a=3k{.} <88r> b=0, c=l, e=k, f=0, g=l, h=m, λ1=12 \λ=12/, η=1, θ1=52 θ=32=r. s=1. t=12. v=0. In posteriori est a=l. b=0 c=3k. e=m. f=l. g=0. h=k. λ=12{.} η=1. θ1=2. θ=1 r=1. s=. t=. v=. Tentandus est casus uterq et si Serierum alterutra ob terminos tandem deficientes abrumpitur ac terminatur, habebitur area Curvæ in terminis finitis. Sic in exemplo hujus priore casu scribendo in serie Valores ipsorum a, b, c, e, f, g, h, λ, θ, r, s, t, u, termini omnes post primum evanescunt {illeg}|i|n infinitum et Area Curvæ prodit 2klzz+mz3z3. Et hæc Area ob signum negativum adjacet abscissæ ultra ordinatam productæ. Nam area omnis affirmativa adjacet t{a}m abscissæ quam ordinatæ, negativa vero cadit ad contrarias partes ordinatæ et adjacet abscissæ productæ. Hoc modo Series alterutra et nonnumquam utraq semper terminatur & finita evadit, si curva Geometrice quadrari potest. At si Curva talem Quadraturam non admittit, series utraq continuabitur in infinitum, et earum altera converget et aream dabit approximando, præterquam ubi r (propter aream infinitam) vel nihil est vel numerus integer et negativus, vel ubi ze equalis est unitati. Si ze minor est unitate converget Series, in qua index η affirmativus est: Sin ze unitate major est converget series altera. In uno casu area adjacet abscissæ in altero adjacet abscissæ ultra ordinatam productæ

Nota insuper quod si Ordinata contentum est sub factore Rationali Q et factore surdo irreducibili Rπ, et factoris surdi latus R non dividit factorem Rationalem Q; erit λ1=π et Rλ1=Rπ. Sin factoris Surdi latus R dividit factorem rationalem semel erit λ1=π+1 et Rλ1=Rπ+1: Si dividit bis erit λ1=π+2 et Rλ1=Rπ+2. Si ter erit λ1=π+3 et Rλ1=Rπ+3 et sic deinceps.

© 2017 The Newton Project

Professor Rob Iliffe
Director, AHRC Newton Papers Project

Scott Mandelbrote,
Fellow & Perne librarian, Peterhouse, Cambridge

Faculty of History, George Street, Oxford, OX1 2RL - newtonproject@history.ox.ac.uk

Privacy Statement

  • University of Oxford
  • Arts and Humanities Research Council
  • JISC