<1r>

Epistola de D. I. Newtoni ad D. Oldenburgum misi

|Fragmentum|

|Misi apographū {Suj} ad Dn. Leibnitium per Samuelem Regiū Vratislaviensem julij 26. 1676.|

Dignissime Dne

Quanquam D{illeg}. Leibnitij modestia, in excerptis quæ ex epistola ejus ad me nuper misisti, \nostratibus/ multùm tribuat Mathematicis nostræ gentis circa speculationem quandam infinitarum serierum \de qua jam cœpit esse rumor/: nullus dubito tamen quin ille, non tantùm (quod asserit) methodum reducendi quantitates quascunq in ejusmodi series, sed et varia compendia, fortè nostris similia, si non et meliora, adinvenerit. Quoniam tamen ea scire pervelit quæ ab Anglis hac in re inventa sunt, et ipse ante annos aliquot in hanc speculationem inciderim: ut votis ejus aliqua saltern ex parte satisfac{illeg}erem, nonnulla eorum quæ mihi occurrerunt, ad te transmisi.

Fractiones in infinitas {illeg}|s|eries reducuntur per divisionem et quantitates radicales per extractionem radicum, perinde instituendo operationes istas in speciebus ac institui solent in decimalibus numeris. Hæc sunt fundamenta harum reductionum; sed extractiones radicum,{illeg} et divisiones, multum abbreviantur per hoc Theorema.

P+PQmn=Pmn+mnAQ+mn2nBQ+m2n3nCQ+m3n4nDQ+&c Ubi P+PQ significat quantitatem cujus radix vel \etiam/ dimensio quævis vel radix dimensionis investiganda est, P primum terminum quantitatis ejus, Q reliquos terminos divisos per primum, & mn numeralem indicem dimensionis ipsius P+PQ sive dimensio illa integra sit, sive (ut ita loquar) fracta, sive affirmativa, sive negativa. Nam sicut Analystæ pro aa, aaa, &c s{illeg}|c|ribere \solent/ a2, a3, sic ego pro a, a3, c.a5 &c {illeg} scribo a12, a32, a53, & pro 1a, 1aa, 1a3 scribo a1, a2, a3. Et sic pro aac:a3+bbx scribo aa×a3+bbx13, & pro aab.c:a3+bbx×a3+bbx scribo aab×a3+bbx23: in quo ultimo casu si a3+bbx23 conciapiatur es{illeg}|s|e P+PQmn in Regula; erit P=a3, Q=bbxa3, m=2 & n=3. Deniq pro terminis inter operandum inventis in Quoto, usurpo A, B, C, D &c nempe A pro primo termino Pmn, B pro secundo mnAQ, & sic deinceps. Cæterùm usus Regulæ patebit exemplis.

Exempl: 1. Est |cc+xx|seucc+xx12=c+xx2cx48c3+x616c55x8128c7 +7x10256a9+&c. |c|. Nam in hoc casu est P=cc, Q=xxcc, m=1, n=2, A=Pmn=cc12=c. B=mnAQ=xx2c. C=mn2nBQ=x48c3, & sic deinceps.

Exempl: 2. Est {illeg} c5+c4xx5i.e.c5+c4xx515=c+c4xx55c4 2c8xx+4c4x62x1025c9+&c, ut patebit substituendo in allatam Regulam 1 pro m, 5 pro n, c5 pro P, & c4xx5c5 pro Q. Potest etiam x5 substitui pro P, & c4x+c5x5 pro Q, et tunc evadet c5+c4xx5=x+c4x+c55x4+2c8xx+4c9x+c1025x9+&c. Prior modus eligendus est si {illeg} x valde parvum sit, posterior si valde magnum.

<1v>

Exempl: 3. Est Ny3aayhoc estN×y3aay13=N×1y+aa3y3+2a49y5+14 a681y7+ Nam P=y3. Q=aayy. m=1. n=3. A=Pmn=y3×13=y1. hoc est 1y. B=mnAQ=13×1y×aayy=aa3y3. &c

Exempl: 4. Radix cubica ex quadrato-quadrato ipsius d+e est (hoc est d+e43 est d43+4ed133+2ee9d234e381d53+&c. Nam P=d. Q=ed. m=4. n=3. A=Pmn=d43 &c.

Eodem modo simplices etiam potestates eliciuntur. Ut si quadrato-cubus ipsius d+ehoc estd+e5, seud+e51 desideretur: erit juxta Regulam P=d. Q=ed. m=5 & n=1; adeoq A=Pmn=d5, B=mnAQ=5d4e, & sic C=10d3ee, D=10dde3, E=5de4, F=e5, & G=m5n6nFQ=0. Hoc est d+e5=d5+5d4e+10d3ee+10dde3+5de4+e5.

Quinetiam Divisio, sive simplex sit, sive repetita, per eandem Regulam perficitur. Ut si 1d+e, hoc estd+e1sived+e11 in seriem simplicium terminorum resolvendum sit: erit juxta Regulam P=d. Q=ed. m=1. n=1. & A=Pmn=D11=d1 seu 1d. B=mnAQ=1×1d×ed =edd, & sic C=eed3, D=e3d4 &c Hoc est 1d+e=1dedd+eed3e3 d4+&c

Sic et {sic} d+e3 (hoc est unitas \ter/ divisa per cubum ipsius d+e vel semel per cubum ejus,) evadit 1d33ed4+6eed510e3d6+&c

Et N×d+e13 hoc est N divisum per radicem cubicam ipsius d+e evadit N×1d13e3d43+2ee9d7314e381d108+&c

Et N×d+e35 (hoc est N divisum per radicem quadrato-cubicam ex cubo ipsius d+e, sive Nd3+3dde+3dee+e3 evadit N×1d353e5d95+12ee25d13552e3125d185+&c.

Per eandem Regulam etiam Geneses Potestatum, Divisiones \per Potestates aut \per/ quantitates radicales/, et extractiones radicum {illeg} \altiorum/ in numeris etiam commodè instituuntur.

Extractiones Radicum affectarum in speciebus imitantur earum extractiones in numeris, sed Methodus Vietæ et Oughtredi nostri huic negotio minùs idonea est, Quapropter aliam excogitare adactus sum cujus specimen exhibent sequentia Diagrammata ubi dextra columna prodit substituendo in media columnâ valores ipsorum y, p, q, r {illeg} &c in sinistra columnâ expressos. Prius Diagramma exhibet resolutionem hujus literalis \numeralis/ æquationis y32y5=0; et {illeg} \hic/ in supremis numeris pars negativa Radicis subducta de parte affirmativa relinquit absolutam Radicem 2|09455148: et posterius Diagramma exhibet resolutionem hujus litera{illeg}|r|iæ æquationis y3+axy+aayx32a3=0.

< insertion from f 2v >

_______________________ ._____________. +2,100000000,00544852 +2,09455148 _______________________._____________. 2+p=y y3 2y 5 +8+12p+6pp+p3 402p 5 p3summap3 1+10p+6pp+p3 _______________________._____________. +0,1+q=p +p3 +6pp +10p 1 +0,001+00,03q+0,3qq+q3 +0,061+01,20q+6,3qq +1,001+10,0q 1 q3summaq3 +0,061+11,23q+6,3qq+q3 _______________________._____________. 0,0054+r=q +q3 +6,3qq +11,23q +0,061 0,0000001+00,000r+&cq3 +0,000183700,068q 0,0606420+11,23q +0,061 q3summaq3 0,0005416+11,162r _______________________._____________. 0,00004852+s=r ._____________.

. _______________________._____________. ax4+xx64a+131x3512aa+509x416384a3&c _______________________._____________. a+p=y y3 +a3+3aap+3app+p3 +axy +aax+axp +aay +a3+aap x3 x3 2a3 2a3 _______________________._____________. ___________________________________ 14x+q=p p3 164x3+316xxq&c +3app +316axx32axq+3aqq +axp 14axx+axq +4aap axx+4aaq +aax +aax x3 x3 _______________________._____________. _______________________._____________. +xx64a+r=q 3aqq +3x44096a&c +316xxq +3x41024a&c 12axq 1128x312axr +4aaq +116axx+4aar x3 x3 6564a3 6564a3 116aax 116aax _______________________._____________. 000+4aa12ax+131128x315x44096a+131x3512aa+509x416384a3.000

In priori Diagrammate primus terminus valoris ipsorum p, q, r in prima columna invenitur dividendo primum terminum Summæ proximè superioris per coefficientem secundi termini ejusdem Summæ: Et idem terminus eodem ferè modo invenitur in secundo Diagrammate. Sed \hic/ præcipua difficultas est in inventione primi termini radicis: id quod methodo generali perficitur, sed hoc brevitatis gratia jam prætereo, ut et alia quædam quæ ad concinnandam operationem spectant. Neq hic compendia tradere vacat, sed dicam tantum in genere, quod radix cujusvis æquationis semel extracta pro regula resolvendi consimiles æquationes asservari possit; {illeg}|&| quod ex pluribus ejusmodi regulis, regulam generaliorem plerumq efformare liceat; quodq radices omnes, sive simplices sint sive affectæ, modis infinitis extrahi possint, de quorum simplicioribus itaq semper consulendum est.

< text from f 1v resumes > <2r>

Quomodo ex æquationibus, sic ad infinitas series reductis, areæ & longitudines curvarum, contenta et superficies solidorum, vel quorumlibet segmentorum figurarum quarumvis eorumq centra gravitatis determinantur, et quomodo etiam Curvæ omnes {illeg}|M|echanicæ ad ejusmodi æquationes infinitarum serierum reduci possint, indeq Problemata circa illas resolvi perinde ac si geo{m}etricæ essent, nimis longum foret describere. Sufficiat specimina quædam talium Problematum recensuisse: inq ijs brevitatis gratia literas A, B, C, D &c pro terminis seriei, sicut sub initio, nonnunquam usurpabo.

1 Si ex dato sinu recto vel sinu verso arcus desideretur: sit radius r et sinus rectus x eritq arcus =x+x36rr+3x540r4+5x7112r6+&c: hoc est =x+1×1×xx2×3×rrA+3×3xx4×5rrB+5×5xx6×7rrC+7×7xx8×9rrD+&c. Vel sit d diameter {illeg} ac x sinus versus, et erit arcus =d12x12+x326d12+3x5240d32+5x72112d52+&c hoc est =dxin1+x6d+3xx40dd+5x3112ddd+&c.

2 Si vicissim ex dato arcu desidere\n/tur sinus: {illeg} sit radius r et arcus z, eritq sinus rectus =zz36rr+z5120r4z75040r6+z936288r8&c, hoc est =zzz2×3rrAzz4×5rrBzz6×7rrC&c; Vel sit Et sinus versus =zz2rz424r3+z6720r5z84032r7+&c, hoc est zz1×2rzz3×4rrAzz5×6rrBzz7×8C.q[1]

3 Si arcus capiendus sit in ratione datâ ad \alium/ arcum: {illeg}|es|to radius \diameter/ =d, {illeg} \chorda/ arcus dad|t|i =x, & arcus quæsitus ad arcum illum datum ut n ad 1; eritq sinus arcûs quæsiti {illeg} \chorda/ =nx+1nn2×3ddxxA +9nn4×5ddxxB+25nn6×7ddxxC+36nn8×9ddxxD+49nn10×11ddxxE+&c. Ubi nota quod cùm n est numerus impar, series desinet esse infinita, et evadet eadem quæ prodit per vulgarem Algebram ad multiplicandum datum angulum per istum numerum n.

4 Si in axe {illeg} \alterutro/ AB {illeg} Ellipseos ADB Figure (cujus centrum C & se{illeg} {illeg} \alter/ {illeg} E axis alter DH) detur punctum aliquod E circa quod recta EG occurrens Ellipsi in G {illeg} motu angulari feratur, et ex data area sectoris Ellipticæ BEG quæratur recta GF quæ a puncto G ad axem AB normaliter demittitur: esto BC=q, DC=r, EB=t, ac duplum areæ BEG=z; et erit GF=ztqz36rrt4+10qqqqt120r4t7z5280q3+504qqt225qtt5040r6t10z7+&c. Sic itaq Astronomicum illud Kepleri Problema resolvi potest.

5. In eâdem Ellipsi si statuatur CD=r, {illeg} CBqCD=c, et CF=x, \erit/ arcus Ellipticus DG=x+16ccx3+110rc3x5+114rrc4x7+118r3c5x9+122r4c6x11+&c 140c4128rc5 124rrc6122r3 c7 +1112c6+148rc7+388rrc8 51152c85352rc9 +72816c10
|6|
Hic numerales coefficientes {illeg}|s|upremorum terminorum 16.110.114&c sunt in musica progressione, & numerales coefficientes omnium inferiorum in unaquaq columna prodeunt multiplicando continuò numeralem coefficientem <3r> supremi termini per terminos hujus progressionis 12n12.33n34. 54n56.75n78.96n910.&c: ubi n significat numerum dimensionum ipsius {illeg} c in denominatore \istius/ supremi termini. E.g. ut terminorum infra 122r4c6, numerales coefficientes inveniantur, pono n=6, ducoq 122 (numeralem coefficientem ipsius 122r4c6) in 12n12 hoc est in1; et prodit 122 numeralis coefficiens termini proximè inferioris; dein duco hunc 122in33n34 sive inn34 hoc est in34 & prodit 388 numeralis coefficiens tertij termini in ista columna. Atq ita 388×54n56 facit 5352 num. coeff. qrti termini |6.| & 5352× 75n78 facit 72816 numeralem coefficientem infimi termini Idem in alijs ad infinitum {illeg} usq columnis præstari potest, adeoq valor ipsius {illeg} \DG/ per hanc Regulam pro lubitu produci.

Adhæc si BF dicatur x, sitq r latus rectum Ellipseos & e=rAB; erit arcus Ellipticus {illeg}
BG=rxin 1+232e} 3r x 2 +3e 58ee } 5rr xx +4 9e +234ee 716e3 } 7r3 x3 10 +30e 1234ee +918e3 45128e4 } 9r4 x4 +&c.
Quare si ambitus totius Ellipseos desideretur: b{illeg}|is|eca CB in F, & quære arcum DG per prius Theorema et arcum BG per posterius.

6. Si vice versa ex dato arcu Elliptico DG quæratur sinus ejus CF, tum dicto CD=r, CBq CD=c, & arcu illo DG=z erit
CF=z16ccz3110rc3z5114rrc4z7&c. +13120c4+71420rc5 4935040c6

Quæ autem de Ellipsi d{illeg}|i|cta sunt, omnia facilè accommodantur ad Hyperbolam: mutat{illeg}|i|s tantum signis ipsorum c et e ubi sunt imparium dimensionum.

7. Præterea si sit CE Hyperbola cujus Figure Asymptoti AD, AF rectum angulum \FAD/ constituant et ad AD erigantur utcunq perpendicula BC DE occurrentia Hyperbolæ in C et E, & AB dicatur a, BC b, & area BCED z, erit BD=zb+zz2abb+z36aab3+z424a3b4+z5120a4b5&c: Ubi coefficientes denominatorum prodeunt multiplicando terminos hujus arithmeticæ progressionis, 12345&c in se continuò. Et hinc ex Logarithmo dato potest numerus ei competens inveniri.

8 Esto VDE Quadratrix cujus vertex V, Figure existente A centro et AE[2] \semi-/diametro circuli ad q{illeg}|ue|m aptatur, et angulo VAE recto. Demissoq ad AE perpendiculo quovis DB et acta \Quadratricis/ tangente DT occurrente axi ejus AV in T: dic AV=a, & AB=x, eritq BD=axx3ax445a32x6945a5&c. Et {illeg} VT=xx3a+x415a3+2x6189a5+&c. Et area AVDB=axx39ax5225a32x76615a5&c <3v> BD=axx3ax445a32x6945a5&c. Et VT=xx3a+x415a3+2x6 189a5+&c area AVDB=a xx39ax5225a32x76615a5&c. Et arcus VD=x+2x327aa+14x52025a4+604x7893025a6+&c. Unde vicissim ex dato BD, vel VT, aut areâ AVDB arcuve VD, per resolutionem affectarum æquationum erui potest x seu AB.

9 Esto deniq AEB Sphæroides, revolutione Ellipseos Figure AEB circa axem AB genita, et secta planis quatuor, AB per axem transeunte, DC parallelo AB, CDE perpendiculariter bisecante axem, et FC parallel{illeg}|o| CE: sitq recta CB=a. CE=c. CF=x. & FG=y; et Sphæroideos segmentum CDFG dictis quatuor planis comprehensum erit
+2cxyx3cy3x20c3y5x56c5y75x576c7y9&c. cx33aax318caax340c3aa5x3336c5aa&c cx520a4x540ca43x5160c3a4&c cx756a65x7336ca6&c 5cx9576a7&c &c
|56| Ubi \/ numerales coefficientes supremorum terminorum
2,13,120,156,5576&c \in/ infinitum producuntur multiplicando numerum binarium \primum coefficientem 2/ continuò per terminos hujus progressionis 1×12×3.1×34×5.3×56×7.5×78×9.7×910×11.&c. Et \numerales/ coefficientes terminorum in unaquaq coluna descendentium in infinitum producuntur multiplicando continuo coefficientem supremi termini in prima colu{illeg}|m|na per eandem progressionem in secunda autem per terminos hujus 1×12×3.3×34×5.5×56×7.7×78×9.&c, in tertia per terminos hujus 3×12×3.5×34×57×56×7.9×78×9.&c, in quarta per terminos huius 5×12×3.7×34×5.9×56×7.&c, in quinta per terminos huius 7×12×3.9×34×5.11×56×7.&c Et sic in infinitum. |[| Et eodem modo segmenta aliorum solidorum designari, et valores eorum \aliquando commodè/ per series quasdem numerales in infinitum produci possunt.

Ex his videre est quantum fines Analyseos per hujusmodi infinitas æquationes ampliantur: qu{illeg}|ippe| quæ earum beneficio, ad omnia, pene dixerim, problemata (si numeralia Diophanti et similia excipias) sese extendit |[| Non tamen omninò universalis evadit, nisi per {illeg} ulteriores quasdem methodos eliciendi series infinitas. Sunt enim quædam Problemata in quibus non liceat ad series infinitas per divisionem vel extractionem radicum simplicium affectarumve pervenire: sed quomodo in istis casibus procedendum sit jam non {illeg}|v|acat dicere, ut neq alia quædam tradere quæ circa reductionem infinitarum serierum in finitas, ubi rei natur{a} tulerit, excogitavi. Nam {hisce} quanquam paucis scribendis fatigor, utpote \parciùs scribo, quòd {horum} {illeg}/ {illeg} hæ speculationes diu \mihi/ fastidio e{illeg}|s|se cœperunt, adeò ut ab ijsdem jam per quinq ferè annos abstinuerim. |[| Unum tamen addam: quòd postquam Problema aliquod ad infinitam æquationem deducitur, possint inde variæ approximationes in usum Mechanicæ nullo ferè negotio formari, quæ per alias methodos quæsitæ, multo labore temporisq dispendio constare solent. |[| Cujus rei exemplo esse possunt Tractatus Hugenij aliorumq de Quadrat{ura} circuli. Nam ut ex data arcûs chorda A, & dimidij arcûs chorda {B} arcum {illeg} illum proxime assequa{illeg}|ris|, finge arcum illum esse z, et circul{i} radium r; juxtaq superiora erit A (nempe duplum sinus dimidij z) <4r> =z z34×6rr+z54×4×120r4&c. Et B=12zz32×16×6rr+z52×16×16×120r4&c. Duc jam B in numerum fictitium n et a producto aufer A, et residui secundum terminum nempenz32×16×6rr+z34×6rr, eo ut evanescat, pone =0, indeq emerget n=8, et erit 8BA=3z3z564×120r4+&c: hoc est 8BA3=z errore tantum existente z57680r4&c in excessu. Quod est {illeg} Theorema Hugenianum.

Insuper si in arcûs Bb sagittâ AD \indefinitè/ productâ Figure quæratur punctum G a quo actæ rectæ GB, Gb abscindant tangentem Ee quam proximè æqualem arcui ist{illeg}|i|: esto circuli \centrum C,/ diameter AK=d, et erit DB sagitta AD=x et erit DB=dxxx =d12x12x3 22d12x528d32x7216d52&c Et AE =AB=d12x12+x326d12+3x5240d32+5x72112d52+&c. Et AEDB.ADAE.AG. \Quare AG/ =32d15x12xx175d\vel+&c/. Finge ergo AG=32d15x, et vicissim erit DG32d65x.DBDA.AEDB. Quare AEDB=2x323d12+x525d32+23x72300d52+&c. Adde AB et prodit AE=d12x12+x326d12+3x5240d32+17x721200d52+&c. Hoc aufer de valore ipsius AE supra habito et restabit error 16x72525d52+vel&c. Quare in AG cape AH quintam partem DH, et KG=HC; et actæ GBE, Gbe abscindent tangentem Ee quam proximè æqualem arcui Bab errore tantum existente 16x3525d3dx+vel&c; multò minore scilicet quam in Theoremate Hugenij. Quod si fiat 7AK.3AHDH.n, et capiatur KG=CHn erit error adhuc multò minor.

Atq ita si circuli segmentum aliquod BAb per Mechanicam designandum esset: primò reducerem aream istam in infinitam seriem; puta hanc BbA=43d12x322x525d12x7214d32x9236d52&c; dein quærerem constructiones me{illeg}|c|hanicas quibus hanc serie{illeg}|m| proximè assequere{illeg}|t|ur; cujusmodi sunt hæc. Age rectam AB, et erit segm: BbA=23AB+BD×45AD proximè, existente scilicet errore tantum x370dddx+&c, in defectu: vel proximiùs erit segmentum illud, (bisecto AD in F et acta recta BF,) =4BF+AB15×4AD, existente errore solummodo x3560dddx+&c: qui semper minor est quàm 11500 totius segmenti, {illeg} \dummodo/ segmentum \illud non/ ponatur semicirculus sit major semicircula etiamsi segmentum illud ad usq semicirculum augeatur.

Sic et in Ellipsi BAb cujus vertex A, axis alteruter AK, et latus rectum AP, cape PG=12AP+19AK21AP10AK×AP; in Hyperbola verò cape {illeg} PG=12AP+19AK+21AP10AK×AP: et acta recta GBE abscindet tangentem AE quamproximè æqualem arcui Elliptico vel Hyperbolico AB, dummodo ar{cus} ille non sit nimis magnus. Et pro area segmenti Hyperbolici BbA, cape PT=Lat: recto, PS=Lat: transverso, PQ=AD, et \in DP cape {illeg}/ Figure FigureDM =3ADq4AK et ad {illeg} \D/ et {illeg} \M/ erige perpendicula \Dβ, MN/ occurrentia semicirculo {illeg} super diametro AP {illeg} descripto, eritq 4AN+15×4AD=BbA proximè vel proximius erit 21AN+475×4AD=BbA, si modoò capiatur DM=5ADq7AK.

[1] q annon rr desint

[2] q. annon debeat esse semi-diameter?

© 2017 The Newton Project

Professor Rob Iliffe
Director, AHRC Newton Papers Project

Scott Mandelbrote,
Fellow & Perne librarian, Peterhouse, Cambridge

Faculty of History, George Street, Oxford, OX1 2RL - newtonproject@history.ox.ac.uk

Privacy Statement

  • University of Oxford
  • Arts and Humanities Research Council
  • JISC