10183
Antequam Theoremata in his Curvarum classibus tradita
exemplis illustrare pergam, juvabit observare. 1. Quòd cùm quanti
tatum , , , , et signa omnia in æquationibus curvas definientibus affirmativa posuerim, siquando contingant esse negativa in subsequentibus Basis et incedentis applicatæ conicæ linæ Sectionis Conicæ, nec non quæsitæ Areæ valoribus mutari debent.
2. Numeralium et , ubi negativæ sunt, signa in arearum valoribus sunt etiam mutanda. Quinetiam ipsarum signis mutatis Theoremata novam formam induere possunt. Sic in septimo ordine posterioris Catalogi, terti Theorema tertium, signo ipsius mutato, evadit . . &c. hoc est . . . . Et sic in alijs.
43 3. Cujusqꝫue ordinis (si secundum prioris Catalogi demas) series utrinqꝫue in infinitum continuari potest. Scilicet in tertij quartiqꝫue ordinis seriebus prioris Catalogi, numeri coefficientes initialium terminorum (, , , , &c) generantur multiplicando numeros , , , , &c in se continuò; et subsequentium terminorum coefficientes ex initialibus in tertio ordine derivantur multiplicando gradatim per , , , , &c, vel in quarto ordine multiplicando per , , , &c. Denominatorum verò coefficientes (, , , &c) ex ductu numerorum , , , , &c in se gradatim oriuntur.
In secundo autem Catalogo series ordinum , , , , & ope solius divisionis infinitè producuntur. Sic habito , si divisionem ad usqꝫue convenientem periodum instituas, orietur e. g.exempli gratia . Priores tres termini sunt primi ordinis prioris Catalogi et quartus primæ speciei hujus ordinis: unde constat aream valere ; positâ nempe areâ sectionis conicæ cujus basis sit , et incedens applicata .
Quinti autem sextiqꝫue ordinis series ope duarum Theorematum in quinto ordine prioris Catalogi per debitam Additionem vel subductionem infinitè producuntur, ut et septimi octaviqꝫue series ope Theorematum in subsequenti sexto ordine; ac undecimi series ope Theorematis in decimo ordine ejusdem prioris Catalogi. E. g.Exempli gratia. si præfati quinti ordinis series ultra producenda sit; finge , et quinti ordinis alterius Catalogi Theorema primum evadet . . Est autem juxta quartum Theorema hujus producendæ seriei, (scripto pro ,) , , , & . Quare subductis prioribus ipsarum ac valoribus restabunt , et . Ipsisqꝫue in ductis, et pro scripto si placet , emerget quintum dicti ordinis producendæ seriei Theorema . . , & .
4. Horum ordinum nonnulli ex alijs etiam possunt aliter derivari, utpote in posteriori Catalogo quintus, sextus, septimus et undecimus ab octavo, ac nonus a decimo, adeo in posteriori Catalogo. Adeo ut omisisse potuissem, Sed alicui tamen nisi quod usui esse possint, quamvis non prorsus necessariæ. 10385 Nonnullos tamen ordines omisi quos a primo et secundo, nec non a nono decimoqꝫue derivasse potuissem, utpote qui denominatoribus magis compositis afficiuntur, et proinde vix ulli unquam usui esse possunt. ** Hic adjice intersere notas 5, 6, 7, 8, et 9
5. Si Curvæ alicujus definiens æquatio ex pluribus æquationibus diversorum ordinum vel diversarum specierum ejusdem ordinis componatur, ejus aream ex areis correspondentibus componere oportet; cavendo tamen de illarum arearum additione et subductione ut partes ut signis et rectè connectantur. Nam parallelè incedentes applicatæ paralleles incedentibus applicatis et areæ correspondentes correspondentibus areis non semper sunt simul addendæ vel simul subducendæ; sed aliquando harum summa et illarum differentia sumenda est pro nova linea incedente et area correspondente constituenda. Et hoc crebre faciendum est fieri debet cùm constituentes areæ positæ sunt ad diversam partem parallelè incedentis Applicatæ. Ut autem hoc incommodum cauti promptiùs devitare possint, singulis arearum valoribus propria signa. (Etiamsi nonnunquam negativa, ut fit in posterioris Catalogi quinto septimóqꝫue ordine,) præfixi.
Vide ExemplExemplum 1 sequsequentem46. De Arearum signis observandum est præterea quod vel denotat aream Conicæ sectionis Basi adjacentem esse reliquis quantitatibus in valore addendam, vel aream ex altera parte ordinatim applicatæ esse subducendam. Et contra ambiguè denotat aream basi adjacentem esse subducendam, vel aream ex altera parte ordinatim applicatæ esse addendam: prout commodum videbitur. Deinde valor ipsius ipsius si affirmativus prodierit, designat aream Curvæ propositæ adjacentem basi ejus: Et contra si nega fuerit negativus, designat aream ex altera parte ordinatim applicatæ.
7. Cæterùm ut Area illa certiùs definiatur, cautè prospiciendum est de limitibus ejus. Et quidem limitum ad Basin, ordinatim Applicataam parallelè incedentem, et Curvæ perimetrum, nulla potest esse incertitudo: sed limes initialis sive principium a quo incipit descriptio ejus varias positiones obtinet. In sequentibus q exemplis vel est ad initiuum basis insistit vel ad infinitam distantiam, recedit vel in concursu curvæ cum basi ejus. Sed potest alibi locari. eEt ubicunqꝫue sit, invenies quærendo illam Basis longitudinem ad quam valor ipsius evadit nullus, et parallelè incedentem applicatam erigendo. Nam erecta applicata illa linea erit limes quæsitus.
8. Siqua pars areæ infra basin posita sit, designabit differentiam ejus et partis supra basin.
9. Siquando dimensiones terminorum in valoribus , et nimis altæ vel nimis depressæ obvenerint, ad justum gradum liceat reducere dividendo per vel multiplicando per toties per datam quamvis quantitatem quæ vices unitatis gerere fingitur, quoties dimensiones illæ sint justo altiores vel depréssiores.
10. Præter hosce præcedentes catalogos possunt etiam Catalogi Curvarum ad alias Curvas in suo genere simplicissimas (ut ad , vel ad , vel ad &c) relatarum construi, eò ut Curvæ cujuslibet propositæ aream ex origine simplicissima possimus derivare, et cum quibus curvis affinitatem habeat cognoscere. possimus Cæterùm præcedentes tandem exemplis aliquot illustremus.
Exempl:Exemplum 1. Sit ejusmodi Conchoidesalis talis ut, Semicirculo describaturpto et ad diametrum erigatur erigatur erecto normalis perpendiculo si compleatur parallelogrammum , agatur diagonalis semicirculo occurrens in , et ab demittatur ad normalis , sit punctum incidat in Curvam. Et quæratur area . Dic itaqꝫue . , et , et propter continuè proportionales , , , , , , , erit , sive .
Jam ut hæc induat formam æquationum in Catalogis, finge et pro sive in denominatore scribe , ac pro sive in numeratore, et emerget , æquatio primæ speciei secundi ordinis posterioris Catalogi; Et ubi, collatisqꝫue terminis patit esse fitt , et ; Adeoqꝫue , et .
Ut autem inventi valores et ad justum dimensionum numerum reducantur multiplico vel divido per datam quamlibet quantitatem selige datam quamlibet quantitatem, v,elut , per quam tanquam si esset unitastem semel multiplicetur in valore , et in valore dividamtur semel et bis. Et hoc pacto obtinebis , , . Quorum constructio est ejusmodi.
Centro intervallo describe quadrantem circuli , in cape , et erige normalem quadranti occurrentem in , et age . Areæqꝫue Et sectoris duplum æquabitur areæ quæsitæ . Est enim sive ;, et sive ; et vel etiam hoc est vel vel : quorum valorum affirmativus competit areæ adjacenti citra , et negativus competit areæ ultra in infinitum protensæ.
Hic obiter notetur quod Solutiones Problematum sic inventæ nonnunquam concinnari possunt. Sic in hoc casu actâ circuli semidiametro, propter arcus , æquales, erit sector dimidium sectoris , atqꝫue adeò pars quarta superficiei .
Fig Exemplum 2. Sit curva quam normæ punctum angulare describit dum crurum alterum interminatum continuò transit per datum punctum , et alterum datæ longitudinis super recta positione data prolabitur. Demitte ad normalem, et comple parallelogrammum , ac dictis , , et , propter , , continuè proportionales erit sive . Est itaqꝫue Jam ut innotescat area , finge , sive et inde fitet . Sed hujus forma nulla occurrit æquatio in catalogis, et peindeperinde Ubi cum sit fractæ dimensionis in numeratore, deprime valorem dividendo per et fitet , æquatio secundæ speciei septimi ordinis posterioris Catalogi. Ac terminis collatis fit evadet , , et . Adeoqꝫue . & . Cùm itaqꝫue et æquentur, et sit æquatio ad circulum cujus diametersemidiameter est : centro intervallo sive describatur circulus cui occurrat in , et compleatur parallelogrammum , eritqꝫue , , et area quæsita .
Exempl:Exemplum 3. Sit Cissois ad cCirculum diametro 10587 descriptum pertinens. Agatur diametro normalis et curvis occurrens in et . Et nominatis , et , erit propter continue proportionales C, , continuè proportionales erit , ac dividendo per , fit . Est itaqꝫue sive et inde , æquatio tertiæ speciei, septimi ordinis posterioris posterioris catalogis. Collatisqꝫue terminis fit . . et . Adeoqꝫue . . et . Hoc Quare est , , et inde , adeoqꝫue areæ Cissoidali . Vel quod perinde est, .
Exempl:Exemplum 4. Esto prima Conchoides Veterum centro , vertice , et Asymptoto et intervallo descripta. Age axin ejus ac demitte ordinatim applicatam. dDictisqꝫue , , , et , propter continuè proportionales , erit sive .
Jam ut ejus area exhinc inveniatur, partes applicatæ seorsim considerandæ sunt. Et quidem si illa ita dividatur in ut sit ac erit ordinatim applicata circuli centro intervallo descripti: adeoqꝫue pars areæ innotescet, et restabit pars altera invenienda. Cùm itaqꝫue (pars applicatæ quacum describitur) valeat , suppone , et evadet , æquatio primæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi. Collatisqꝫue terminis, fiet et ; atqꝫue adeò . . et .
His inventis redige ad justum dimensionum numerum multiplicando terminos nimis depressos ac dividendo nimis altos per datam quamvis quantitatem. Id quod si fiet per , prodibit . , & Et horum constructio est ejusmodi.
Centro , vertice principali , et parametro Hyperbolam describe. Deinde a puncto age rectam quæ tangat Hyperbolam in : et erit ut ad ita area ad aream quæsitam .
NoExempl:Exemplum 5. Norma ita circa polum rotante ut ejus punctum angulare super recta positione data continuò prolabatur: concipe curvam a puncto quolibet in crure sito describi. et quæratur Jam ut inveniatur hujus area, demitte et ad rectam perpendiculares et completo pgr parallelogrammo , dic , , et , et propter proportionals , erit . Adeoqꝫue sive Cùm autem sit ordinatim applicata circuli semidiametro descripti: centro circa centrum describaetur talisem circulusm , eiqꝫue producta occurat in , et erit : cujus æquationis ope restat area vel determinanda. Supponatur ergo et evadet æquatio primæ speciei quarti ordinis prioris catalogi. Et collatis terminis fiet , , et ; adeoqꝫue . Jam cum valor negativus existat, et inde area per designata jaceat ultra lineam ; ut ejus limes initialis inveniatur quære illam ipsius longitudinem qua evadit nulla et invenies esse . Quare produc ad ut sit , et erige applicatam et erit area illa cujus valor10789 valor jam inventus est .
Quod si quantitatem areæ juxta basin positæ et cum ea coextensæ desideres, possis ignoto terlimite sic determinare. A valore quem ad basis longitudinem sortita est subduc valorem ejus ad initium basis. et proveniet quantitas hoc est a subduc et proveniet quantitas quam quæris. Comple ergo parallelogrammum et ad demitte normalem quæ cum occurrat in et erit parallelogrammum æqualie areæ .
Siquando æquatio curvam aliquam definiens non reperiatur in Catalogis, neqꝫue ad simpliciores terminos ope divisionis vel alio pacto reduci possit: transformanda est in alias affinium Curvarum æquationes pro more in ProbProblemate 8 ostenso, donect tandem obvenerit aliqua cujus area ex Catalogis innotescat. Et conatibus omnimodo institutis, si nulla talis obveniat, certum est Curvam propositam neqꝫue cum figuris rectilineis neqꝫue cum Conicis Sectionibus comparari posse.
Ad eundem modum cùm de Curvis Mechanicis agitur illæ imprimis transformandæ sunt in æquales Geometricas prout in eodem ProbProblema 8 ostensum fuit, ac deinde Geometricarum areæ ex Catalogis eliciendæ. Cujus rei accipe sequens exemplum.
Exempl:Exemplum 6. Proponatur figura arcuum cujusvis Conicæ Sectionis ad sinus rectos applicatorum determinanda. Utpote sit centrum Conicæ Sectionis, & semiaxies, ordinatim applicata ad axin , Sit etiam et perpendiculum ad punctum . Sit etiam dicta figura Mechanica occurrens in , et ex ejus natura præfinita erit =æqualis arcui . Quæritur itaqꝫue area , vel (completo parallelogrammo completo) quæritur excessus . In quem finem sit a latus rectum Conicæ Sectionis, sive et latus transversum sive . sit etiam , et , eritqꝫue æquatio ad conicam sectionem, ut notum est. Erit etiam et inde . Atqꝫue adeò cùm sit fluxio arcus ad fluxionem Basis ut ad , si fluxio basis supponatur erit arcus illius , sive applicatæ fluxio . Hanc duc in sive et proveniet fluxio areæ adeoqꝫue si in applicata capias , area quam illa super incedens describet, æquabitur areæ , et erit curva geometrica. Quræritur itaqꝫue area . Et in unc finem substituatur pro pro in æquatione novissima et evadet , æquatio secundæ speciei undecimi ordinis posterioris Catalogi. Et collatis utrobiqꝫue terminis fit . . , et ; adeoqꝫue , & . Hoc est . et . Et horum inventorum talis est constructio. Ad erige perpendicularem et æqualem et huic parallelam æqualem vero age per punctum . Et linea pro in quam terminatur erit Sectio Conica areaqꝫue comprehensa ad aream quæsitam ut ad , sive ut ad .
Nota, si mutes signum , sectio Conica evadet cujus arcui recta æquatur, evadet Ellipsis; et præterea si fiat Ellipsis evadet circulus: In quo casu linea fit recta parallela .
10991
Postquam Curvæ alicujus area sic inventa fuerit; de constructionis demonstratione consulendum est, quacum sine Computo Algebraico quantùm liceat contexta ornetur Theorema ut evadat publicæ notitiæ dignum. Estqꝫue demonstrandi methodus generalis quam sequentibus exemplis demons illustrare conabor.
Demonstratio Constructionis in ExemplExemplo 5. In arcu sume punctum proximum ad et age ac parallelas ac et occurrentes et in et : et erit momentum areæ et momentum areæ . Age semidiametrum , et concipe indefinitè exiguum arcum esse instar rectæ et triangula et erunt similia, adeoqꝫue . Est autem , hoc est . Et proinde . Quare . Hoc est momentum æquale momento . Et cùm hoc de quibuslibet contemporaneis momentis indeterminatè demonstretur, patet omnia singula momenta areaæ omnibus esse singulis contemporaneis momentis spatij areæ æqualia, adeoqꝫue totas spatia areas ex istis momentis compositas æquari. Q.E.D.
Demonstratio Constructionis in exemplo 3. Esto momentum superficiei ac contemporaneum momentum segmenti age semidiametrum , et occurrat in , eristqꝫue . Præterea est . Adeoqꝫue . et . Jam ad periferiæ momentum rectà produnctum (i.e. ad tangentem circuli) demitte normalem et erit æqualis , adeoqꝫue . Quare momento . Spatij ergo singula momenta sunt quadrupla momentorum contemporaneorum segmenti et proinde totum illud spatium quadruplum totius segmenti. Q.E.D.
Demonstratio constructionis in Exemplo 4. Parallelam age indefinitè parùm distantem , et Hyperbolæ tangentem ac demitte rectam ad : Et ex Hyperbolæ natura erit . Adeoqꝫue ac divisim , sive . Et inversè . Est autem areola ad triangulum ut altitudo ad semissem altitudinis . Hoc est, ut ad . Adeoqꝫue Quare omnia spatij momenta ad omnia contemporanea momenta spatij sunt ut ad . Et proinde tota illa spatia sunt in eadem ratione. Q.E.D.
Demonstratio Constructionis in Exemplo 6. Parallelam et proximam age et occurrentem curvæ in age & occurrentes in et . Et erit ex Hypothesi et ex similitudine triangulorum , erit . Adeoqꝫue , et inde . Quare cum et sint in data ratione lateris transversi ad latus rectum Conicæ Sectionis , et arearuum et momenta & in eade illâ ratione, erunt ipsæ areæ in eâdem ratione. Q.E.D.
In hujusmodi demonstrationibus observandum est quod quantitates pro æqualibus habeo quarum ratio est æqualitatis. Et ratio æqualitatis censenda est quæ minùs differt ab æqualitate quàm qualibet inæqualis ratio potest assignari. Sic rectangulum in postremâ demonstratione posui rectangulum , sive æquale spatio quia non habent rationem inæqualitates (propter differentiam infinite minorem ipsis sive respectu ipsarum nullam) Et sic posui , & non habent rationem inæqualitatis. Et eadem de causa posui , & sic in alijs.
Hac methoduom probandi curvas per æqualitatem vel datam datam rationem momentorum æquales esse vel datam rationem habere hic usus sum quòd cùm methodis in his rebus usitatis affinitatem habetat; sed promptior aliquantò et magis naturalis videtur quæ genesi superficierum ex fluendi motu innititur. Sic si constructionem in eExemplo 2 demonstranda sit; Ex natura circuli est fluxio rectæ ad fluxionem rectæ , ut ad : Estqꝫue ad ut ad ex natura Curvæ : et proinde . Sed fluxioni areæ , et fluxioni areæ . Et proptderea areæ illæ fluxionibus æqualibus progenitæ æqualiter fluendo genitæ æquales erunt. Q.E.D.
Plenioris illustrationis gratia adjiciam demonstrationem Constructionis qua Cissoidis area in Exemplo 3 determinatur. 11193 Lineæ punctim notatæ in schemate deleantur, et agatur et Cissoidis Asymptoton : Et ex natura circuli est , et inde per ProbProblema 1 . Adeoqꝫue . Est et ex natura Cissoidis . Quare . Et sive . Jam cùm recta perpendicularis sit ad terminum ipsius circa gyrantis, est fluxioni generanti aream . Est et ejus quadruplum fluxioni generanti Cissoidalem aream . Et proinde area illa infinitè longa generatur quadrupla alterius . Q.E.D.
Scholium.
Per præcedentes catalogos non tantùm areæ curvarum sed et aliæ cujuscunqꝫue generis quantitates analoga fluendi ratione generatæ, e fluxionibus derivari possunt. Idqꝫue Idqꝫue mediante hoc Theoremate, Quod quantitas cujuscunqꝫue generis sit ad unitatem congeneram ut area Curvæ ad unitatem superficialem, si modò fluxio quantitatem illam generans sit ad unitatem sui generis ut fluxio generans aream ad unitatem sui generis, hoc est ut linea super Basi normaliter incedens qua area ilia describitur, ad unitatem linearem. Vel breviùs quod quantitates sint analogæ quæ ex analogis fluxionibus generantur. Et proinde si fluxio qualiscunqꝫue exponatur per ejusmodi lineam incedentem quantitas ab illa fluxione generata exponetur per aream ab illa incedente descriptam. Vel si fluxio per eosdem terminos Algebraicos cum incedente linea exhibeatur exponatur, quantitas generata exponetur per eosdem cum area descripta. Æquatio itaqꝫue quæ fluxionem cujuscunqꝫue generis exhibet quærenda est in prima collumna Catalogorum, et valor in ultima collumna indicabit quantitatem generatam.
Quemadmodum si fluxionem cujuscunqꝫue generis exhibeat, pone æqualem , et ut ad formam æquationum in catalogis reducatur substitue pro , sic enim evadet , æquatio primæ speciei tertij ordinis prioris Catalogi et collatis terminis fiet , , , et inde . Est itaqꝫue quantitas quæ generatur fluxione .
Atqꝫue ita si designet fluxionem, per debitam reductionem evadet (extrahendo e radicali, et scribendo pro ) habebitur , æquatio secundæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi, et collatis terminis fit , , et , Adeoqꝫue , , et . Quibus inventis, quantitas per fluxionem generata innotescet ponendo esse ad unitatem sui generis ut area ad unitatem superficialem;. vVel quod eodem recidit, ponendo quantitatem non amplius aream Conicæ Sectionis superficiem significare, sed alterius generis quantitatem quæ est ad unitatem ejusdem generis ut area Conicæ Sectionis superficies illa ad unitatem superficialem. Et hoc modo erit quantitas per propositam fluxionem generata. Sic posito quod designet fluxionem lineæa,rem ut longitudo imaginor non ampliùs superficiem sed lineam jam significare, eam nempe quæ ad unitatem linearem est ut area conicæ sectionis quam iuxta Catalogios designat ad unitatem superficialem, hoc est eam quæ producitur aplplicando aream illam ad linearem unitatem. Et hoc subintellecto, longitudo quæsita erit . Quod idem de valore in similibus casibus posthac semper intelligendum est. Qua ratione si linearis unitas statuatur longitudo per præfatam fluxionem generata erit . Et hoc fundamento Catalogi illi ad longitudines curvarum, contenta solidorum & alias quascunqꝫue quantitates æque ac areas curvarum determinandas applicari possunt.
11395
De Quæstionibus cognatis.
1. Curvarum areas per Mechanicam approximare.
Methodus est ut duarum pluriumve rectilinearum figurarum valores ita componantur inter se ut valorem areæ curvæ quamproximè constituant. Sic ad circulum quem æquatio designat postquam inventus est areæ valor quærendi sunt aliquot rectangulorum valores, quales sunt ipsius valor sive ac ipsius valor sive . Dein hi valores per literas quaslibet diversas (quæ numeros indefinitè designent) multiplicandi sundt et addendi summæqꝫue termini cum correspondentibus terminis valoris areæ comparandi, ut quantum liceat evandant æquales. Quemadmodum si per et multiplicentur, fiet summa cuius terminis cum terminis hisce collatis collatis, prodit , et ; Sive et . Adeoqꝫue est proximè. Scilicet valet quod ab area subductum relinquit solummodò errorem .
Sic bisectâ in , rectanguli valor erit sive &&c Et hoc collatum cum rectangulo dat , errore tantùm existente qui semper minor est quam totius areæ, etiamsi ponatur quadrans circuli. Hoc autem Theorema sic enunciari potest. Ut ad ita rectangulum plus quinta parte differentiæ inter ac ad aream proxime.
Atqꝫue ita conferendo duo rectangula et , vel omnia tria rectangula inter se, vel adhibendo adhuc alia rectangula possunt aliæ regulæ excogitari, eæqꝫue tanto exactiores quo plura rectangula adhibentur. Et idem de area Hyperbolæ ac aliarum curvarum intelligendum est. Imò et per unitcum tantùm rectangulum area plerumqꝫue commode exhiberi potest, ut in prædicto circulo si capiatur ad ut ad , rectangulum erit ad aream ut ad , errore tantùm existente .
2. Ex Datâ areâ, Basem et indcedentem lineam determinare.
Ubi area per finitam æquationem exhibetur nihil occurrit difficultatis. Ubi verò per infinitam exhibetur, affecta radix extrahenda est quæ Basem designat. Sic ad Hyperbolam quam æquatio designat postquam inventum est ; Quo ut ex data area vicissim innotescat Basis , extrahe radicem affectam et proveniet et præterea si incedens desideretur divide per hoc est per et emerget .
Sic ad Ellipsin quam æquatio designat, postquam inventa fuerit area . Scribe Ut ex data vicissim deter Scribe pro scribe pro ac pro , et evadet , et extracta radice . Cujus quadratum valet . Et hoc valore pro in æquatione substituto, et extracta radice, proveniet . Adeoqꝫue ex data area et inde sive , dabitur Basis et Incedens . Quæ omnia ad Hyperbolam etiam accommodantur si modo signum quantitatis ubiqꝫue mutetur ubi existit imparium dimensionum.
11597
ProbProblema 10. Curvas pro arbitrio multas multas invenire quarum longitudines per finitas æquationes designari possunt.
Ad hujus resolutionem via per sequentes positiones sternitur.
1. Si recta in curvam quamvis perpendiculariter insistens moveri concipiatur, singula ejus puncta , , , &c describent alias æquidistantes sibiqꝫue parallelas curvas , , &c quibus itidem perpendicularis erit perpendiculares curvas , , &c.
2. Si recta illa hinc inde indefinitè producatur ejus extremitates movebuntur ad contrarias plagas, et punctum quod distinguit inter contrarios motus, quodqꝫue ideo dici potest centrum motionis, idem est cum centro curvaturæ quam curva habet ad punctum , ut supra diximus. Istud autem punctuum esto .
3. Si lineam non circularem esse sed difformiter incurvatam supponamus puta magis curvam in et minùs in , illud centrum continuò mutabitur propriùs accedens ad partes magis curvas ut in et longiùs recedens a partibus minùs curvis, eoqꝫue pacto ut in , eoqꝫue pacto lineam aliquam qualis describet.
4. Hanc a centro curvaturæ descriptam lineam recta continuò tanget. Nam si rectæ illius punctum moveat versus , ejus punctum quod interea transit ad et situm est ad eandem partem centri movebit versus eandem plagam (per Positionem 2damsecundam) . Deinde si idem moveat versus punctum quod interea transit ad et situm est ad contrariam partem centri movebit ad contrariam plagam hoc est ad eandem plagam ad quam in priori casu movebat dum transijt ad . Et proinde et jacent ad eandem partem rectæ . Quare cum et indeterminatè pro quibuslibet punctis sumantur, patet totam illam curvam jacere ad eandem partem rectæ , proindeqꝫue ab illa non secari sed tangi tantùm.
Hic supponitur lineam magis curvam esse a parte continuò et minùs a parte . Quod si maxima minimáve curvatura fuerit ad ipsum , tunc recta secabit curvam , sed in angulo tamen qui sit quovis rectilineo minor. Quod perinde est ac si tangeret dicatur. Imo punctum in hoc casu terminus est instar cuspidis, ad quem partes curvæ obliquissimo concursu desinentes se mutuò contingunt, proindeqꝫue a recta quæ angulum illum contactûs dividit rectius dicatur tangi quàm secari.
5. Recta æquatur curvæ . Nam concipe rectæ illius singula puncta , , , &c descbribere curvarum arcus , , &c interea dum per motum rectæ illius accedant ad curvam ; et arcus illi, cùm (per Positionem primam) sint perpendiculares ad rectas quæ (per PositPositionem 4) tangunt curvam , erunt etiam perpendiculares ad curvam illam. Quare partes istius inter arcus illos interjectæ quæ propter infinitam parvitatem pro rectis haberi possint æquantur intervallis eorundem arcuum, hoc est (per Posit:Positionem 1) totidem partibus rectæ . Et additis utrinqꝫue æqualibus, tota aæquabitur toti .
Idem constare potest imaginando singulas partes rectæ inter movendum successivè applicari ad singulas partes curvæ , easqꝫue mensurare, perinde ut rotæ super planum per gyros promoventis circumferentia distantiam metitur quam punctum contactûs transigit.
Ex his pateat Problema resolvi posse assumendo pro lubitu curvam quamvis et inde determinando alteram curvam in qua assumptæ centrum curvaturæ versatur. Ad rectam itaqꝫue quamvis positione datam demissis perpendiculis , et in sumpto quovis puncto dictisqꝫue et , pro curva definienda assumatur relatio quævis inter et et inde per ProbProblema 5 elicietur punctum quo et curva et ejus longitudo determinatur.
ExemplExemplum. Sit æquatio ad curvam , Parabolam 11799 nempe Apollonianam. Et per Prob:Problema 5, invenientur , , ac . Quibus habitis, curva determinatur et et longitudo ejus per . Utpote cùm liberum sit ubivis in curva assumere puncta et , supponamus esse centrum curvaturæ Parabolæ ad verticem, et positis perinde et seu et nullis evadet , estqꝫue hæc longitudo vel quæ subducta a superiori indefinito valore relinquit seu .
Jam si qualis sit hæc curva quantaqꝫue ejus longitudo, non ampliùs habita relatione ad Parabolam scire desideretur; Dic et , et erit seu , et , adeoqꝫue . sive . Quod indicat curvam esse Parabolam secundi generis. Et pro ejus longitudine prodit , scribendo pro in valore .
Potest etiam Problema resolvi per assumptionem æquationis quæ relationem inter et (posita nempe intersectione Basis et Perpendiculi) definiat. Nam dictis , et , concipe per spatium quàm minimum moveri puta ad locum , inqꝫue et sumpto velt ejusdem ejcujusvis datæ longitudinis puta , et ad demissis , perpendiculis quorum (quod dic ) occurrat in , et completo parallelogrammo , positisqꝫue , , et fluxionibus quantitatum et ut supra; erit . Et . Et ex æquo . Est autem momentum Basis cujus additamento evadit , ac contemporaneum momentum perpendiculi cujus ablatione evadit . Adeoqꝫue et sunt ut fluxiones linearum et , hoc est ut et . Quare . Et proinde cùm sit , et , erit . Vel Et insuper cùm e tribus , , et literam quamlibet pro uniformi fluxione ad quam cæteræ referantur habere liceat, si ista ponatur ejusqꝫue quantitas unitas, evadet .
Præterea est , et , Adeoqꝫue fit et . Ac deniqꝫue acta parallela arcui infinitè parvo seu perpendiculari erit momentum ipsius cujus additamento evadit simul ac fit evadit . Et idcirco et sunt ut fluxiones ipsarum et , hoc est ut et , Atqꝫue adeò cùm propter similia triangula & , cac seu et sint in eadem ratione erit . Et Unde talis evadit Problematis resolutio.
E proposita æquatione quæ relationem inter et designet quære relationem fluxionum et per ProbProblema 1. Et interea scribendo pro et pro obtinebitur valor posito habebitur valor cui æquatur. Dein substituto pro substituto imaginando pro sunstitui ope æquationis novissimæ, quære relationes fluxionum et per idem ProbProblema 1, et scribendo literum pro et pro interea posito iterum substituto pro obtinebitur valor . Quibus habitis fac , et ; Et erit ad curvam cujus quæ quæ æquatur auctæ vel diminutæ data aliqua quantitate quæ cujus pars quævis æquatur rectæ differentiæ nempe tangentium ductarum a punctis et perpendiculariter ad curvam .
ExemplExemplum. Sit æquatio quæ relationem inter et designet et per Prob:Problema 1 primò erit seu 119101 . Deinde seu . Indeqꝫue fit , , et . Et a ac ablatis et restat et . Aufero autem et quòd et ubi valores habent affirmativos cadant ad partes puncti versus acet , et tunc diminui debent auferendo affirmativas quantitates A et . Ubi verò negativos valores obtinent, cadent ad contrarias partes puncti et tunc augeri debent, id quod etiam fit auferendo affirmativas quantitates et .
Jam ut curvæ ad quadm in qua punctum locatur longitudo inter duo quævis puncta et noscatur; quæro longitudinem tangentis ad datum quodpiam punctum punctum et aufero a . Quemadmodum si sit punctum ad quod tangens terminatur ubi et seu et ponuntur æquales quodqꝫue proinde in ipsa basi situm est, scribe pro in æquatione et prodit . Quare pro scribe in valore nempe in , et oritur . Estqꝫue hæc longitudo tangentis ad punctum , sive ipsius quæ subducta inter quam et superioriem indefinitum valorem relinquit pro differentia est cui curvæ pars æquatur.
Ut insuper pateat qualis sit hæc curva, ab aufer quæ erit (mutato prius signo ut evadat affirmativa) aufer quæ erit et restabit quam dic et in valore lineæ quam dic scribe pro et prodibit . seu æquatio ad Parabolam secundi generis ut supra.
Siquando relatio inter et minùs commodè ad æquationem redigi possit, sufficit investigasse tantùm longitudines et . Quemadmodum si pro relatione in et assumatur æquatio . Inde per ProbProblema 1 primò prodit , deinde . Atqꝫue adeo est , & . Unde dantur & , quibus punctum quod ad curvam situm est determinatur. Et longitudo curvǽ inter duo ejusmodi puncta e differentia correspondentium duarum tangentium sive innotescit.
Ex. gr.Exempli gratia. Si ponatur et ad determinandum aliquod curvæ punctum sumatur ; evadet seu . . . & . Deinde ad aliud punctum determinandum si sumatur evadet . . . et . Quibus habitis si auferatur a restabit in priori casu et in secundo casu pro longitudinibus quarum differentia est longitudo curvæ inter inventa duo puncta et .
Hæc ita intelligenda sunt ubi curva inter puncta duo et vel et continuatur sine termino quem cuspidi assimilavimus. Sed ubi unus vel plures ejusmodi termini interjacent istis punctis (qui termini inveniuntur per determinationem maximæ aut minimæ vel ) longitudines singularum partium Curvæ inter illos et puncta vel ac terminos illos seorsim investigari debent et addi.
121103
Prob:Problema 11. Curvas invenire quotascunqꝫue quarum longitudines cum propositæ alicujus curvæ longitudine, vel cum area ejus ad datam lineam applicatâ, ope finitarum æquationum comparari possunt.
Peragitur involvendo longitudinem areamve propositæ Curvæ in æquatione quæ in praecedente Problemate assumitur ad determinandam relationem inter et . Sed ut et inde per ProbProblema 1 eliciantur, fluxio longitudinis vel areæ illius priùs investigari debet.
Fluxio longitudinis ejus determinatur ponendo æqualem radici quadraticæ summæ quadratorum a fluxionibus Basis, et perpendiculariter incedentis. Sit enim linea perpendiculariter incedens super Basi , et curva proposita ad quam terminatur. Dictisqꝫue , , et , et earum fluxionibus , , et respectivè; concipe lineam ad locum quam proximum promoveri, et demisso ad perpendiculo , erunt , , et contemporanea momenta linearum , , et quorum additamentis evadunt , , et . Et cùm hæc sint inter se ut earundem linearum fluxiones, ac propter angulum rectum sit , erit .
Ad determinandas autem fluxiones et duæ requiruntur æquationes una quæ definiat relationem inter et seu et , unde relatio inter fluxiones et eruenda est, et alia quæ definiat relationem inter vel ad datam figuram et seu ad quæsitam, unde relatio fluxionis vel ad fluxionem seu innotescit.
Invento , fluxiones et per assumptam tertiam æquationem qua longitudo sive definitur investigandæ sunt, et capienda , , ac ut in præcedente Problemate.
ExemplExemplum 1. Sit æquatio ad datam curvam utpote circulum, relatio inter lineas et , et relatio inter longitudinem datæ curvæ et rectæ . Per primam fit seu et inde . Per secundam fit adeoqꝫue est . Et per tertiam fit hoc est , dein hinc fit . Quibus inventis capienda sunt , , ac sive . Ubi patet longitudinem datæ curvæ inveniri non posse quin simul innotescat longitudo rectæ , indeqꝫue longitudo curvæ ad quam punctum cadit. Et contra.
Exempl:Exemplum 2. Stante , ponatur et . Perqꝫue primam invenietur ut supra. Per secundam verò , ac inde atqꝫue adeo . Et per tertiam , setu (eliminato ) , dein hinc , dein hinc .
Exempl.Exemplum 3. Ponantur tres æquationes , et . Et per primam (quæ HperbolasHyperbolam denotat) evadit , seu , et inde . Per secundam evadit , adeoqꝫue est . Et per tertiam fit sive , dein hinc fit , posita scilicet fluxione radicalis , quæ si fingatur æqualis sive , proveniet inde . Et substituto imprimis pro , deinde pro , factaqꝫue divisione per , habebitur . Inventis et cætera peraguntur ut in primo exemplo primo.
123105
Quod si, ina quovis curvae puncto perpendiculoum ad demitta,tur, & curva invenienda sit cujus longitudo ex longitudine quæ oritur applicando aream ad datam aliquam lineam innotescat: ponatur illa data linea , longitudo quæ ex applicatione oritur , et ipsius fluxio . Et cùm fluxio areæ sit ad fluxionem areæ parallelogrammi rectanguli super ad altitudinem constituti ut incedens linea seu qua hæc describitur ad incedentem lineam qua illud eodem tempore describitur; et longitudinum quæ oriuntur applicando areas illas ad datam ; hoc est linearum et seu fluxiones et sint in eadem ratione, erit . Per hanc itaqꝫue regulam valor inquirendus est, cæteraqꝫue ut in præcedentibus exemplis peragenda.
Exempl:Exemplum 4. Sit Hyperbola quam æquatio definit, et inde juxta ProbProblema 1 evadet sive . Dein si pro alijs duabus æquationibus assumantur , et ; prior dabit , unde fit ; et posterior dabit imprimis , sive , dein hinc , et substituto sive pro evadet . Inventis et fac et ut in præcedentibus, et inde punctum adeoqꝫue curva in quam omnia ejusmodi puncta cadunt determinabitur, cujus curvæ longitudo ex longitudine quæ valet innotescet, uti satis ostendimus.
Est et alia Methodus qua Problema resolvitur; quærendo nempe Curvas quarum fluxiones vel æquentur fluxioni Curvæ propositæ, vel ex illius et aliarum linearum fluxionibus componatntur. Et hæc aliquando usui esse potest præsertim in convertendo curvas Mechanicas curvas in æquales geometricas. Cujus rei insigne est Exemplum in Spiralibus.
Sit recta positione data, arcus super tanquam Basi incedens ac interea retinens pro centro, Spiralis ad quam arcus ille perpetim terminatur, arcus quam proximus sive locus in quem arcus dum incedit proximè movetur, recta perpendicularis ad arcum , differentia arcuum, alia curva spirali simili æqualis, recta super normaliter incedens ac terminata ad curvam , locus quam proximus in quem recta illa incedit, et perpendicularis ad . Et in triangulis infinitè parvis ac , cùm et æqualia sint eidem tertio , indeqꝫue sibi mutuo æqualia, ac et ex Hypothesi sint correspondentes partes æqualium angulorum curvarum et inde etiam æqualia, nec non anguli ad et recti, tertia etiam latera et æqualia erunt. Quare cùm insuper sit . Adeoqꝫue , si hoc auferatur a restabit . Dic itaqꝫue , , & , et earum fluxiones , , et respectivè; et cùm , et sint earundem contemporanea momenta quorum additamentis evadunt , , et , et proinde proinde inter se sint ut fluxiones, ideo pro momentis in æquatione novissima substituantur fluxiones, juxta et notæ pro lineis et emerget . Ubi si e fluxionibus pro æquabili habeatur et supponatur unitas esse ad quam cæteræ referantur evadet .
Quamobrem data per æquationem aliquam relatione inter et (sive et ) qua Spiralis definiatur, dabitur (per ProbProblema 1) fluxio , et inde etiam fluxio ponendo æqualem . Atqꝫue hæc per ProbProblema 2 dabit lineam sive cujus est fluxio.
ExemplExemplum 1. Si detur , æquatio nempe ad Spiralem Archimedeam, inde per ProbProblema 1, elicietur . A quo aufer sive et restabit , et inde per ProbProblema 2 fit . Quod indicat curvam cui hæc spiralis æquatur esse Parabolam Apollonianam cujus latus rectum existit ; sive cujus incedens perpetuò æquatur semissi arcus .
Exempl:Exemplum 2. Si proponatur Spiralis quam æquatio sive definit, emerget per ProbProblema 1 , et inde per ProbProblema 2 produ A quo si auferatur seu restabit 125107 et inde per ProbProblema 2 producetur . Hoc est , existente Parabola secundi generis.
Exempl:Exemplum 3. Si ad Spiralem sit . Exinde per ProbProblema 1 elicietur , A quo si auferatur sive , restabit . Jam cum quantitas hac fluxione descripta generata nequeat inveniri per ea quæ in ProbProblema 2 habentur, nisi prius fiat redsolutio in infinitam seriem; juxta tenorem Scholij ProbProblema 9 reduco ad formam æquationum in prima collumna Catalogorum juxta tenorem Scholij ProbProblema 9 substituendo pro , et evadit , æquatio nempe secundæ speciei quarti ordinis prioris Gatalogi. Et conferendo terminos fit , , et , adeoqꝫue . Quæ æquatio est ad curvam geometricam cui spiralis æquatur.
127109
ProbProblema 12. Curvarum Longitudines determinare.
Fluxionem curvæ lineæ in superiore Problemate ostendimus æqualem esse radici quadraticæ summæ quadratorum a fluxionibus Basis et perpendiculariter Incedentis. Et proinde si Basis fluxionem pro uniformi ac determinata mensura, nimirum unitate, ad quam cæteræ fluxiones referantur, habeamus, et insuper per æquationem quæ curvam definit quæramus fluxionem Incedentis, habebitur fluxio Curvæ lineæ a qua longitudo ejus per ProbProblema 2 elicienda est.
ExemplExemplum 1. Proponatur Curva quam æquatio definit, posito scilicet basi , ac incedenti : et ex æquatione illa per ProbProblema 1 elicietur , existente nimirum pro fluxione ipsius et fluxione . Dein additis fluxionum quadratis fit summa , et extracta radice , indeqꝫue per ProbProblema 2, , ubi fluxionem Curvae ac longitudinem designat.
Itaqꝫue si cujusvis portionis Curvæ hujus puta longitudo desideretur a punctis ac demitte ad perpendicula ac et in valore substitue quantitates et seorsim pro , ac differentia productorum erit longitudo quæsita . Quemadmodum si sit et , scripto pro evadet , dein scripto pro evadet , a quo si prior valor auferatur restabit pro pro longitudine . Vel si tantùm definiatur esse et spectetur indefinitè, restabit .
Quod si cupias noscere portionem Curvæ quam designat, finge valorem æquari nihilo, et evadet , sive . Adeoqꝫue si sumatur , et erigatur , longitudo arcus erit sive . Et hæc de alijs curvis generaliter intelligenda sunt.
Ad eundem modum quo hujus longitudinem determinavimus si pro alia Curva definienda proponatur æquatio proveniet , vel si proponatur , proveniet . Vel generaliter si sit , ubi pro quolibet numero sive integro sive fracto designando adhibetur, erit .
ExemplExemplum 2. Proponatur curva quam æquatio definit, et per ProbProblema 1 obtinebitur sive, exterminato , cuius quadrato adde , et summa erit , eiusqꝫue radix . Unde per ProbProblema 2 obtinetur .
Exempl:Exemplum 3. Proponatur Parabola secundi generis ad quam æquatio est seu et inde per ProbProblema 1 elicietur , cujus quadrato adeoqꝫue est . Jam cùm longitudo per fluxionem generata nequeat inveniri per ProbProblema 2 absqꝫue reductione in infinitam seriem simplicium terminorum, consulo Catalogos ad Prob:Problema 9 et juxta ea quæ in Scholio ejus habentur prodit .
Et sic Parabolarum , , &c longitudines inveniri possunt.
ExemplExemplum 4. Proponatur Parabola ad quam æquatio est , sive , et inde per ProbProblema 1 orietur . Adeoqꝫue . Quo invento iterum consulo Catalogos juxta Scholium prædictum et facta collatione cum secundo Theoremate quinti ordinis posterioris 129111 Catalogi, prodit , , et . Ubi designat basem ac ordinatim applicatam Conic et aream Hyperbolæ atqꝫue longitudinem quæ oritur applicando aream ejus ad unitatem linearem.
Eadem methodo Parabolarum , , &c longitudines cum ea quæ oritur applicando etiam per aream Hyperbolæ ad unitatem, comparantur determinantur.
Exempl:Exemplum 5. Proponatur Cissois Veterum, et existente ad eam æquatione , inde per ProbProblema 1 elicietur , et consequenter . Quæ scribendo pro seu evadit æquatio primæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi et collatis terminis fitunt , , et ; adeoqꝫue . , et . Et adhibita a pro unitate per cujus multiplicationem vel divisionem hæ quantitates ad justum dimensionum numerum reducantur, evaditunt , , et . Quorum hæc est constructio.
Existente Cissoide, diametro circuli ad quem aptatur, asymptoto ejus, ac perpendiculari ad ; cum semiaxe , et semiparametro describatur Hyperbola , et inter et sumpta media proportionali, erigantur ad et perpendicula et , et agantur et rectæ tangentes Hyperbolam in et et occurrentes AV in ac , et ad constituatur rectangulum æquale spatio ; et Cissoidis longitudo erit sextupla altitudinis .
Fig ExemplExemplum 6. Existente ellipsi quam æquatio definit: proponatur curva Mechanica talis ut si seu producatur docnec huic curvæ ad occurrat, sit æqualis arcui Ellipticæ . Jatm quo hujus longitudo determinetur æquatio dabit . Cujus quadrato si addatur prodit quadratum fluxionis arcûs , et huic si iterum addatur , provenit cujus radix est fluxio curvæ lineæ . Ubi si e radicali et pro scribatur , habebitur fluxio primæ speciei septimi ordinis posterioris Catalogi; Collatisqꝫue terminis exibunt , , et , adeoqꝫue , , et . Quorum constructio est ut, ad Ellipsis centrum acta recta constituatur super parallelogrammum æquale sectori , et duplum altitudinis ejus ponatur esse longitudo Curvæ .
Exempl:Exemplum 7. Proponatur Hyperbola ad quam æquatio est Exempl:Exemplum 7. Existente , & Hyperbola ad quam æquatio sit , actaqꝫue tangente ejus; proponatur curva cujus basis sit , & normaliter incedens longitudo quæ oritur applicando aream ad unitatem linearem. Jam ut hujus longitudo determinetur quæro fluxionem areæ cum uniformiter fluit & invenio esse posita & fluxione ejus unitate. Nam est , ejusqꝫue fluxio , cujus dimidium ductum in altitudinem seu est fluxio areæ descriptæ per tangentem . Quare fluxio illa est , atqꝫue hæc applicata ad unitatem fit fluxio ⊕ ⊕ incedentis . Hujus quadrato adde quadratum fluxionis ipsius et prodit , cujus radix est fluxio curvæ . Est autem &c curvæ . Est autem hæc fluxio primæ speciei sexti ordinis posterioris Catalogi, collatisqꝫue terminis exeunt131113 exeunt , , , , adeoqꝫue , & (æquatio ad unam Conicam sectionem, puta , cujus area sit , existente & :) Item & (æquatio ad aliam Conicam sectionem, puta , cujus area sit , existente & :)Deniqꝫue .
Quare ut curvæ portionis cujuscunqꝫue longitudo noscatur, demitte normalem ad fingeqꝫue & exinde per jam inventa quære , dein finge et exinde etiam quære & horum duorum differentia erit longitudo .
ExemplExemplum 8.Proponatur Hyperbola ad quam æquatio est et inde per Prob.Problema 1 elicietur seu , cujus quadrato adde & summæ radix erit . Hanc fluxionem cùm non reperiatur in tabulis reduco in infinitam seriem, & primò per divisionem evadit dein per extractionem radicis . Et hinc per Prob.Problema 2 obtinetur seu longitudo Hyperbolæ .
Quod si Ellipsis proponatur debet signum ipsius ubiqꝫue mutari & habebitur pro longitudine ejus et posita insuper unitate pro , emerget pro longitudine circuli: cujus æquationis seriei numerales coefficientes in infinitum inveniuntur multiplicando continuo per terminos hujus progressionis, .
Exempl.Exemplum 89. Proponatur deniqꝫue Quadratrix cujus vertex est , existente centro et semidiametro circuli interioris ad quem aptatur, atqꝫue angulo recto. Acta jam recta qualibet secante circulum istum in , demissisqꝫue ad et Quadratricem in demissisqꝫue ad normalibus , ; dic a, , , et , eritqꝫue ut in superiore Exemplo, . Extrahe radicem et emerget . Cujus quadratum aufer de & residui radix erit . Jam cùm ex natura Quadratricis sit sive , sitqꝫue etiam , divide per et orietur . Et inde per Prob:Problema 1, . Cujus quadrato adde et summa radix erit . Unde per ProbProblema 2 obtinetur seu arcus Quadratricis arcus