33
innititur: quæqꝫue magis perspicua et ornata evadet
si fundamenta quædam pro more methodi syntheticæ
præsternantur; qualia sunt haec.
Axiomata.
Ax.Axioma 1. Quæ fluxionibus æqualibus simul gene
rantur sunt æqualia.
Ax.Axioma 2. Quæ fluxionibus in data ratione simul
generantur, sunt in ratione fluxionum.
Nota , simul generari intelligo quæ tota eodem
tempore generantur.
Ax.Axioma 3. Fluxio totius æquatur fluxionibus partium
simul sumptis.
Ubi nota quod profluxiones affirmativè ac deflux
iones negativè ponendæ sint.
Ax.Axioma 4. Fluxio major est quæ ex minori facit æquale vel majus, aut ex æquali majus producit.
AxAxioma 54. Fluxiones sunt ut momenta contemporanea fluxionibus istis continuè generata.
Ax:Axioma 4. Momenta contemporanea sunt ut fluxiones.
Theoremata.
Th.Theorema 1. Positis quatuor perpetuò proportionalibus fluentibus
quantitatibus: summa extremarum reciprocè ductaruum
in suas fluxiones æquatur summæ mediarum recipro
cè ductarum in suas fluxiones. Sint et erit . Id quod eodem modo demonstrari potest ac solutio ProbProblema 1; vel etiam sic. Nam esto momentum ipsius , et cùm momenta fluentium sint ut fluxiones, erit momentum ipsius , momentum ipsius , et momentum ipsius . Quare ubi profluendo evadit , evadet & evadet , ac evadet ubi vero & similiter ubi defluendo evadit . evadet evadtevadet ac evadet hac lege scilicet ut hæ quantitates etiamnum maneant proportionales. Duc ergo extrema et media in se & provenient . Et . Aufer jam hæc posteriora æqualia æqualia & a prioribus æqualibus, & restantia æqualia duc in ac divide per /> . Emerget enim . Ubi propter infinitam parvitatem momenti rejectis terminis per id multiplicatis. Sit , et erit . Nam augeantur hæ lineæ momentis suis fluendo , , , fluendo, & propter perpetuam earum proportionalitatem, adeoqꝫue rectangula ab extremis et medijs constituta perpetuo æqualia nempe & ; augmenta rectangulorum istorum & æqualia erunt: hoc est . Cùm autem fluxiones sint ut momenta quantitatum ab istis continuò descripta. hoc est &c. Erit . Et eodem ratiocinio erit ad in eadem ratione. Quare & , cùm sint in eadem ratione ad æqualia, etiam æqualia erunt. * * sive . Adeoqꝫue cùm fluxiones sint ut momenta quantitatum ab istis continuò generata, hoc est , & , erit . Sive . Decrescant jam Decrescant jam rectangula et donec in prima rectangula & redierint, & in ultimo istius infinitè parvæ defluxionis momento hoc est in primtunc evadet atqꝫue evadet . Quare in ultimo istius infinitè parvæ defluxionis momento, hoc est in primo momento fluxionis quadrangulorum et quando vel incipiunt augeri vel diminui, erit . Q.E.D.
Cor:Corollarium 1. Positis tribus continuè proportionalibus, summa extremarum reciproce ductarum in suas fluxiones æquatur duplo mediæ ductæ in suam fluxionem. Sit et erit ** TheorTheorema 1..
CorCorollarium 2. Positis tribus continuè proportionalibus si summa extremarum sit data quantitas, fluxio minoris extremæ erit ad fluxionem mediæ ut duplum mediæ ad differentiam extremarum. . Nam cùm ex Hypothesi non fluat, ** AxAxioma 3 erit , sive />35 . adeoqꝫue . Quare ** CorCorollarium 1., hoc est .
CorCorollarium 3. Sin differentia extremarum detur, fluxio alterutrius extremæ erit ad fluxionem mediæ, ut duplum mediæ ad summam extremarum. . Demonstratur ut CorCorollarium 2.
CorCorollarium 4. Quod si summa primæ et secundæ quantitatis detur, erit fluxio secundæ ad fluxionem tertiæ ut prima ad duplum secundæ auctum tertia. . Nam cùm ex Hypothesi non fluat, ** AxAxioma 3. erit sive , adeoqꝫue . Quare ; hoc est .
Cor:Corollarium 5. Si deniqꝫue differentia primæ et secundæ datur erit fluxio primæ vel alterutrius ad fluxionem tertiæ ut prima ad duplum secundæ diminutum tertia. . Demonstratur ut CorCorollarium 4.
CorCorollarium 6. Positis quotcuncꝫue continuè proportionalibus, quarum una sit data quantitas & cæteræ fluentes: fluxiones fluentium erunt inter se ut fluentes illæ ductæ in numerum terminorum quibus distant a dato illo termino. Sint continuè proportionales et si datur , erit . Nam propter , est , per CorCorollarium 1. At ex Hypothesi . Ergo . hoc est .
Iterum quia , erit . Sed e jam ostensis est sive . Sed e jam ostensis est . Ergo . Ergo . adeoqꝫue . Et . Atqꝫue ita in cæteris.
TheoremTheorema 2. In triangulo quovis rectangulo summa laterum ductarum in suas fluxiones æquatur Hypothenusæ ductæ in fluxionem suam.
Cor.Corollarium 7. Si fluentes duæ quantitates se multiplicant fluxio Quoti Facti componitur ex fluxionibus factorum mul alterne ductis in factores. . Nam . Ergo per ThTheorema 1.
CorCorollarium 8. Si fluens quantitas per fluentem quantitatem dividitur: fluxio Quoti est quæ produ prodit auferendo fluxionem divisoris multiplicatam per dividuum, a fluxione dividui multiplicata per divisorem & dividendo residuum per quadratum divisoris. . Nam . Ergo per Th:Theorema 1, , nam nihil est. Aufer utrobiqꝫue et residuum divide per , et prodibit .
Theor.Theorema 2. In Triangulo quovis rectangulo
CorCorollarium 9. Fluxio radicis est ad fluxionem potestatis su alicujus ut radix ad potestatem illam multiplicatam per numerum dimensionum . vel & sic in alijs potestatibus. Patet per cCor:Corollarium 6.
Theor.Theorema 2. In triangulo quovis perpetim rectangulo cujus latera quomodocunqꝫue fluunt summa laterum ductorum in suas fluxiones æquatur hypotenusæ ductæ in fluxionem suam. Sit et erit Nam per CorCorollarium 9 ThTheorematis 1 est , adeoqꝫue . Eadem ratione & . Quare cum atqꝫue adeo per Ax:Axiomata 1 & 3 erit . Quod dimidiatum fit . Q.E.D.
CorCorollarium 1. Si crus alterutrum sit data quantitas, erit fluxio Hypotenusa alterius cruris ad fluxionem hypotenusæ ut hypotenusa ad crus illud alterum. Detur , et erit , nam propterea quòd nihil sit.
CorCorollarium 2. Si hypotenusa datur, erit profluxio unius />37 cruris ad defluxionem alterius ut alterum illud alterum crus ad crus primum. Detur , et erit propterea quod nihil sit.
Theor.Theorema 34. Si recta circa datum punctum gyrans, secet alias duas positione datas & ad commune punctum terminatas rectas: fluxiones earum quæ positione dantur, erunt ut ipsæ illæ rectæ ductæ in conterminas partes lineæ gyrantis. Circa datum punctum gyret recta , & inter gyrandum secet ea prectas positione datas ac in punctis et . Dico esse . Sit enim positio rectæ gyrantis in proximo temporis momento, hoc est momentum rectæ et contemporaneum momentum rectæ ; et ipsi parallela agatur occurrens in : et propter sim: tri:similia triangula , , erit . Dein propter sim: tri:similia triangula , , erit , et additis rationibus (per axaxioma 4) . Coeant jam lineæ infinitè parùm distantes & , et in momento concursus evadet . Q.E.D.
CorCorollarium 1. Iisdem positis, et ab demissis ad et normalibus et : erit primo . Nam per Cor.Corollarium 1 Th.Theorematis 2, est . sive , et supra erat . Ergo ex æquo .
CorCorollarium 2. Erit secundòsecundo . Nam per CorCorollarium 1 ThTheorematis 2 est . Et supra erat . Ergo ex æquo .
TheorTheorema 4 3. Si Trianguli alicujus Basis et longitudine et positione detur, vertex autem sit ad rectam positione datam; demisso ab alterutro termino basis ad rectam illam positione datam perpendiculo, quod occurrat casis opposito cruri trianguli, erit fluxio ejus oppositi cruris ad fluxionem alterius cruris ut illud alterum crus ad partem hujus cruris inter verticem trianguli et perpendiculum illud situm. Sit basis trianguli, vertex, locus verticis, et /> perpendiculariter demissa ad occurrat in , eritqꝫue . Nam ab ad demisso perpendiculo , erit (per CorCorollarium 1. ThTheorematis 2) , et . Ergo ex æquo perturbatè . Q.E.D.
Cor.Corollarium 1. Si a demittatur perpendicularis ad erit quovis rectæ puncto rectæ demittantur ad et perpendicula et : erit . Nam . Est ad ut cosinus anguli ad cosin: ang.cosinum angulum . Nam cosinus isti sunt ut ad .
CorCorollarium 2. Si punctum infinitè distet a , hoc est si sit ipsi parallela, age quamvis occurrentenoccurentem in , sitqꝫue positione data, et demisso ad normali , erit . Nam demisso insuper ad normali , erit per Cor.Corollarium 1, , & propter datam rationem ad erit per axaxioma 2 . Ergo additis rationibus . Q.E.D.
TheorTheorema 5
Hujusmodi alia Theoremata non inutilia proponi possent: sed ad fluxiones superficierum festinamus.
Theor.Theorema 5. Si recta quævis motu parallelo per aream aliquam, a duabus parallelis & positione datis rectis terminatam transferatur: erit fluxio areæ ut fluxio alterutrius rectæ parallelæ. Sint , rectæ parallelæ, & recta per spatium interjectum in data inclinatione translata et terminus a quo incipit transferri; et erit ut . Nam area est ut longitudo Quare per Ax:Axioma 2 ut .
Schol.Scholium. Si angulus rectus sit, tum quemadmodum statui solet , sic nos statuemus />39 hoc est (per CorCorollarium 7 ThTheorematis 1) . Sed hic sicut per non intelligitur linea sed productum arithmeticum quod exprimit numerum unitatum in area ex Hypothesi quod unitas superficialis sit quadratum cujus latera sunt unitates lineares: sic in hoc Scholio per non intelligitur fluxio linearis sed fluxio generans productum arithmeticum quod exprimit numerum unitatum superficialium in exprimit ex hac Hypothesi quod momentum basis fluentis ductum in datam altitudinem parallelogrammi facit momentum parallelogrammi.
TheorTheorema 6. Si recta quævis motu parallelo transferatur per aream alijs duabus ad positione datis et non parallelis rectis terminatam, erit fluxio areæ ut fluxio alterutrius rectæ positione datæ ducta in rectam mobilem. Transferatur per spatium rectis positione datis terminatum: et erit ut . Etenim triangulum est ut . ergo, per Ax.Axioma 2, tri:trianguli est ut . Sed per Cor:Corollaria 6 & 9, Th:Theorema 1, est ut Ergo hoc est cùm et sint in data ratione, ut .
ScholScholium. Si angangulus rectus sit, potest juxta ScholScholium præcedens, poni .
TheorTheorema 7. Si recta circa datum punctum gyrans, continuò terminetur ad aliam rectam positione datam: erit fluxio spatij a gyrante recta descripti, ut fluxio alterius rectæ. Gyret recta circa punctum sitqꝫue terminus a quo incipit gyrare, et recta ad quam terminatur, et erit area ut recta ; adeoqꝫue (per AxAxioma 2) ut .
ScholScholium. Demisso ad normali , erit (juxta ScholScholium TheorTheorematis 5) , quia .
TheorTheorema 8. Iisdem positis, si ab alio insuper quovis dato puncto recta perpetim ducatur ad concursum priorum rectarum, et a primo puncto ad hanc rectam agatur demittatur linea perpendicularis terminatam ad rectam positione datam: erit fluxio hujus novæ rectæ ducta in lineam perpendicularem, ut fluxio areæ a prima recta descriptæ. A da
A dato agatur , et ad hanc perpendicularis occurrens in , eritqꝫue , ut . Nam ad demisso ad normali , erit per Cor:Corollarium 1 Th:Theorematis 2, . (hoc est propter sim. tri.similia triangula , ) . Ergo . Quare cùm datum sit, adeoqꝫue ut , sitqꝫue etiam (per ThTheorema 7) ut , erit ut .
ScholScholium. Est et per Schol.Scholium sup.superius . Et insuper in eo temporis momento quo contingit angulum rectum esse, est quia tunc et coincidunt.
TheorTheorema 9. Si recta circa datum punctum gyrans, secet alias duas positione datas rectas: superficieruum inter datum punctum et rectas positione datas isto motu generataruum fluxiones erunt ut quadrata longitudinum generantium. Sit datum punctum circa quod gyrat, sintqꝫue et rectæ positione datæ, & principium a quo incipit gyrare, et erit . Sit enim positio rectæ gyrantis in proximo temporis momento, et triangula infinitè parva , erunt momenta superficierum , , adeoqꝫue ut ipsarum fluxiones. Sed per 15. 6. Elem.Elementarum ista triangula sunt ut ad : Quæ ratio, si retro volvatur donec redeat in , in ultimo ejus regressûs momento, hoc est in primo momento progressûs ubi incipit 41 pergere ad evadit ad . Q.E.D.
Theor:Theorema 10. Si recta positione data tangat curvaam positione datam et utraqꝫue secentur ab alia utcunqꝫue motâ rectâ: fluxiones curvæ illius & tangentis ejus in eo temporis momento æquales erunt, quo mota illa linea secat utramqꝫue in puncto contactû;s. Esto curva , Tangens ejus punctum contactûs et linea mobilis : dico fluxiones linearum et æquales evadere quando pertingit ad . Nam in sumatur arcus infinitè parvus , & cum hæc juxta Hypothesin Archimedeam pro recta haberi possit, produc eam utrinqꝫue in directum, sitqꝫue ea producta propterea quod ipsa tantùm tangat curvam. itaqꝫue et commune habent momentum , & proinde eandem fluxionem dum transit per illud momentum. Q.E.D.
CorCorollarium. Hinc omnia quæ in Theor:Theorematibus 3 et 4 de fluxionibus rectarum positione datarum demonstrata sunt, conveniunt etiam fluxionibus curvarum quas rectæ illæ tangunt in intersectione cum linea mobili.
Theor.Theorema 112. Si recta illa circa datum punctum convoluta, describat duas superficies quarum una terminatur ad curvam , altera ad tangentem curvæ : fluxiones illarum superficierum æquales erunt in eo temporis momento quo recta circumacta transit per punctum contactus . Nempe quia tunc commune est utriusqꝫue momentum .
Cor:Corollarium. Hinc omnia quæ in TheorTheorematibus 7, 8 & 9 de fluxionibus superficierum rectis positione datis terminatarum demonstrata sunt, conveniunt etiam fluxionibus superficierum terminatarum curvis positione datis quas rectæ illæ tangunt.
TheorTheorema 123. Si recta mobilis perpetuò tangat curvam, punctum contactûs in siomni temporis momento erit centrum circa quod recta in illo momento volvitur. Concipe Curvam lineolis parvitate et multitudine infinitis constare quarum duæ sunto & . Hasce produc utrinqꝫue in directum, nempe ad et et ad et , et manifestum est quod tangens mobilis in eo temporis momento quo tangens mobilis volvitur de loco in locum , convertitur circa punctum contactus , propterea quod istud sit communis intersectio locorum ac .
CorCorollarium 1. Hinc omnia quæ in TheorTheorematibus 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11 de recta circa datum punctum ceu centrum volvente demonstrata sunt, conveniunt etiam rectæ perpetuò tangentei curvam lineam positione datam, si modò punctum contactûs pro centro habeatur circa quod recta illa in momento contactûs illius convolvitur, vicem centri dati gerere concipiatur. Et proinde sigillatim.
CorCorollarium 2. S
45
cruris ad defluxionem alterius ut illud alterum crus ad crus primum. Detur , et erit propterea quod nihil sit.
Theor.Theorema 3. Si recta utcunqꝫue moveatur per superficiem aliquam: fluxio superficiei isto motu generatæ erit ut fluxio alterius alicujus rectæ a dato puncto ad medium primæ rectæ demissæ, ducta in primam rectam. Describat recta superficiem motu quocunqꝫue, & ad medium ejus punctum erigatur perpendiculum ad datum quodvis punctum terminatum: et fluxio superficiei erit ut . Sit enim , positio r in momento temporis proximè sequenti, positio rectæ motu quocunqꝫue prolabentis, et erit momentum superficiei , et mo momentum contemporaneum momentum rectæ . Quare cùm æquetur , & fluxiones sint ut momenta, erit fluxio generans ut in fluxionem generantem . Q.E.D. Quod autem dixerim esse : ad et erige ipsi perpendicula , occurentia , occurentia in & , et erit trapezium . Et hoc trapezium non differt a momento nisi in spatijs & , quæ ex Hypothesi sunt infinitè minora dicto trapezio & ad eam collata instar nihili, vel puncti ad lineam.
ScholScholium. Dixi fluxionem superficiei esse ut : sed quemadmodum Geometræ statuere solent parallelogrammum æquale esse facto ex lateribus, quod (veriùs loquendo) est ut factum ex lateribus; sic eg ego ob usum commodiorem Theorematis hujus dicam in sequentibus esse .
Cor. Si in semicirculo recta generet segmentum gyrando circa terminum diametri , turn ab altero diametri termino demisso normali ad , erit fluxio segmenti ut dimidium fluxionis perpendiculi ductum in : vel juxta Scholium .
Jactis hisce demonstrationum fundamentis, methodus tenendi demonstrationes, uno et altero exemplo constabit. Proponatur itaqꝫue constructio in Exemplo 2dosecundo demonstranda. Per Cor.Corollarium 2 Th.Theorematis 1, est ad ut ad . Estqꝫue ad ut ad ex natura Curvæ . Et proinde . Sed (per Schol.Scholium Th.Theorematis 3) fluxioni areæ , et fluxioni areæ . et proinde areæ illæ per Ax:Axioma 1 æquantur. Q.E.D.
Proponatur denuò constructio qua Cissoidis area in Exemplo 3 determinatur. Ad hanc autem demonstrandam, lineæ punctim notatæ deleantur in schemate deleantur et agantur , et Cissoidis Asymptoton . Iam propter , est (per CorCorollarium 2 ThTheorematis 1) . Et propter sim. tri.similia triangula , , est . Ergo . & sive . Sed per Cor.Corollarium 1, Theor.Theorema 3, est fluxioni generanti aream , est et ejus quadruplum fluxioni generanti Cissoidalem aream . Et proinde per Ax:Axioma 2 area illa infinite longa generatur quadrupla alterius . Q.E.D.
Deniqꝫue ad demonstrandam constructionem areæ Conchoidalis in Exempl:Exemplo 4; Ubi demonstraveris ut supra quod sit , sic procede. Est autem (per Cor.Corollarium 2, Th.Theorema 3) & . Ergo . Adeoqꝫue per Ax.Axioma 2 Areæ et sunt in eadem ratione.