This text is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia demonstrantur.
QUantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem tempore quovis finito constanter tendunt, & ante finem temporis illius propius ad invicem accedunt quam pro data quavis differentia, fiunt ultimo æquales.
Si negas; fiant ultimo inequales, & sit earum ultima differentia D. Ergo nequeunt propius ad æqualitatem accedere quam pro data differentia D: contra hypothesin.
Si in Figura quavis AacE rectis Aa, AE, & curva AcE comprehensa, inscribentur parallelogramma quotcunque Ab, Bc, Cd, &c. sub basibus AB, BC, CD, &c. æqualibus, & lateribus Bb, Cc, Dd, &c. Figuræ lateri Aa parallelis comenta; & compleantur parallelogramma aKbl, bLcm, cMdn, &c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas habent ad se invicem Figura inscripta AKbLcMdD, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea AabcdE, sunt rationes æqualitatis.
Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa parallelogrammorum Kl, Lm, Mn, Do, hoc est (ob æquales omnium bases) rectangulum sub unius basi Kb & altitudinum summa Aa, id est rectangulum ABla. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo (per Lemma I) Figura inscripta & circumscripta & multo magis Figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales. Q.E.D.
Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubi parallelogramomrum latitudines AB, BC, CD &c. sunt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.
Sit enim AF æqualis latitudini maximæ, & compleatur parallelogrammum FAaf. Hoc erit majus quam differentia Figuræ inscriptæ & Figuræ circumscriptæ; at latitudine sua AF in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum Figura curvilinea.
Corol. 2. Et multo magis Figura rectilinea, quæ chordis evanesab, bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ultimo cum Figura curvilinea.
Corol. 3. Ut & Figura rectilinea circumscripta quæ tangentibus eorundem arcuum comprehenditur.
Corol. 4. Et propterea hæ Figuræ ultimæ (quoad perimetros acE,) non sunt rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.
Si in duabus Figuris AacE, PprT, inscribantur (ut supra) duæ parallelogrammorum series, sitque idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuuntur, rationes ultimæ parallelogrammorum in una Figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint eædem; dico quod Figuræ duæ AacE, PprT, sunt ad invicem in eadem illa ratione.
Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita Figura ad Figuram; existente nimirum Figura priore (per Lemma III) ad summam priorem, & Figura posteriore ad summam posteriorem in ratione æqualitatis. Q.E.D.
Corol. Hinc si duæ cujuscun
Similium Figurarum latera omnia, quæ sibi mutuo respondent, sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areæ sunt in duplicata ratione laterum.
Si arcus quilibet positione datus AB subtendatur chorda AB, & in puncto aliquo A,
in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinque producta AD; dein puncta A, B ad invicem accedant & coeant; dico quod angulus BAD, sub chorda & tangente contentus, minuetur in infinitum & ultimo evanescet.
Nam si angulus ille non evanescit, continebit arcus AB cum tangente AD angulum rectilineo æqualem, & propterea curvatura ad ad punctum A non erit continua, contra hypothesin.
Iisdem positis; dico quod ultima ratio arcus, chordæ, & tangentis ad invicem est ratio æqualitatis.
Nam dum punctum B ad punctum A accedit, intelligantur semper AB & AD ad puncta longinqua b ac d produci, & secanti BD parallela agatur bd. Sitque arcus Ab similis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb, per Lemma superius, evanescet; adeoque rectæ semper finitæ Ab, Ad & arcus intermedius Ab coincident, & propterea æquales erunt. Unde & hisce semper proportionales rectæ AB, AD, & arcus intermedius AB Q.E.D.
Corol. 1. Unde si per B ducatur tangenti parallela BF, rectam quamvis AF per A transeuntem perpetuo secans in F, hæc BF ultimo ad arcum evanescentem AB rationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo AFBD rationem semper habet æqualitatis ad AD.
Corol. 2. Et si per B & A ducantur plures rectæ BE, BD, AF, AG, secantes tangentem AD & ipsius parallelam BF; ratio ultima abscissarum omnium AD, AE, BF, BG, chordæque & arcus AB ad invicem erit ratio æqualitatis.
Corol. 3. Et propterea hæ omnes lineæ in omni de rationibus ultimis argumentatione, pro se invicem usurpari possunt.
Si rectæ datæ AR, BR cum arcu AB, chorda AB & tangente AD,triangula tria ARB, ARB, ARD constituunt, dein puncta A, B accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio æqualitatis.
Nam dum punctum B, ad punctum A accedit, intelligatur semper AB, AD, AR ad puncta longiqua b, d & r produci, ipsique RD paralella agi rbd, & arcui AB similis semper sit arcus Ab. Et coeuntibus punctis A, B, angulus bAd evanescet, & propterea triangula tria semper finita rAb, rAb, rAd coincident, suntque eo nomine similia & æqualia. Unde & hisce semper similia & proportionalia RAB, RAB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & æqualia. Q.E.D.
Corol. Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione, pro se invicem usurpari possunt.
Si recta AE & Curva ABC positione datæ se mutuo secent in angulo dato A, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur BD, CE, curvæ occurrentes in B, C; dein puncta B, C simul accedant ad punctum A: dico quod areæ triangulorum ABD, ACE erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.
Etenim dum puncta B, C accedunt ad punctum A, intelligatur semper AD produci ad puncta longiqua d & e, ut sint Ad, Ae ipsis AD, AE proportionales, & erigantur ordinatæ db, ec ordinatis DB, EC parallelæ quæ occurant ipsis AB, AC productis in b & c. Duci intelligatur, tum curva Abc ipsi ABC similis, tum recta Ag, que tangat curvam utramque in A & secet ordinatim applicatas DB, EC, db, ec in F, G, f, g. Tum manente longitudine Ae coeant puncta B, C cum puncto A; & angulo cAg evanescente, coincident areæ curvilineæ Abd, Ace cum rectilineis Afd, Age: adeoque (per Lemma V) erunt in duplicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areæ ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE. Ergo & areæ ABD, ACE sunt ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. Q.E.D.
Spatia, quæ corpus urgente quacunque Vi finita describit, sive Vis illa determinata & immutabilis sit, sive eadem continuo augetur vel continuo diminuatur, sunt ipso motus initio in duplicata ratione Temporum.
Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitæ per ordinatas DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta, erunt ut areæ ABD, ACE his ordinatis descriptæ, hoc est, ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q.E.D.
Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium Figurarum partes temporibus proportionalibus describentium Errores, qui viribus quibusvis æqualibus in partibus ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur per distantias corporium a Figurarum similium locis illis ad quæ corpora eadem temporibus iisdem proportionalibus abs
Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus ad similes Figurarum similium partes similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.
Corol. 3. Idem intelligendum est de spatiis quibusvis quæ corpora urgentibus diversis viribus describunt. Hæc sunt, ipso motus initio, ut vires & quadrata temporum conjunctim.
Corol. 4. Ideoque vires sunt ut spatia, ipso motus initio, descripta directe & quadrata temporum inverse.
Corol. 5. Et quadrata temporum sunt ut descripta spatia directe & vires inverse.
Si quantitates indeterminatæ diversorum generum conferantur inter se, & earum aliqua dicatur esse ut est alia quævis directe vel inverse: sensus est, quod prior augetur vel diminuitur in eadem ratione cum posteriore, vel cum ejus reciproca. Et si earum aliqua dicatur esse ut sunt aliæ duæ vel plures directe vel inverse: sensus est, quod prima augetur vel diminuitur in ratione quæ componitur ex rationibus in quibus aliæ vel aliarum reciprocæ augentur vel diminuuntur. Ut si A dicatur esse ut B directe & C directe & D inverse: sensus est, quod A augetur vel diminuitur in eadem ratione cum