1
vir Dignissime
Quanta cum voluptate legi Epistolas Clarissimorūum virorūum D.
Leibnitij & D. Tschurnhausij vix dixerim. Perelegans sane est Leibnitij methodus
perveniendi ad series convergentes, & satis ostendisset sola satis ostendit ingenium authoris
[etsi nihil aliud scripsisset ] sed etquæ alibi ꝑper Epistolam sparguntur suo nomine
dignissima, efficiunt etiam ut ab eo speremus maxima. Diversitas modorūum quibꝫus eodem tenditur, eò magis placuit quòd mihi cum tres methodi ꝑperveniendi
ad ejusmodi series nobis innotuerant, [ adeo ut novam nobis communicandam vix expectarem ] illa Leibnitiano illa ab isti omnibus plane diversa est unam e meis prius descripsi jam addo aliam, illam scilicet
quâ primūum incidi in has series: nam incidi in eas antequam scirem
divisiones et extractiones radicūum quibꝫus jam utor et hujus explicatoneexplicatione pendendum est fundamentum Theorematis sub initio Epistolæ prioris
positi quod D. Leibnitius a me desiderat. [ sub initio studiorum meorum Mathematicorum ubi incideram in opera Celeberrimi Wallisij nostri,
considerando series quarum intercalatione ipse exhibet aream
Circuli et Hyperbolæ, utpote quod in serie curvarūum quarūum basis sive axis commmunis
sit , et ordinatim applicatæ, . Si areæ alternarūum quæ sunt interpolari possent, haberemus areas intermediarūum quarūum prima est circulus: ad has interpolandas notabam, quod in omnibꝫus primus terminus esset , quodqꝫue secundi termini essent in Arithmeticâ progressione, et proinde quod duo primi termini serierūum intercalandarūum deberent esse ad reliquas intercalandas considerabam quod denominatores erant in Arithmeticâ progressione, adeoqꝫue solæ numeratorūum coefficientes numerales restabant investigandæ hæ autem in alterius alternis datis areis erant figuræ potestatum numeri HH Intellige sic in sequent; nempe harum hoc est primo , deinde . tertio . quarto . quinto . quærebam itaqꝫue quomodo in his seriebꝫus, ex datis duabꝫus primis figuris reliquæ derivari possent, et inveni quod posita secunda figura, , reliquæ producerentur per continuam multiplicationem terminorum hujus seriei . Exempli gratiâ sit et erit hoc hoc est tertius terminus, et hoc est , quartus, et , hoc est, , quintus et, , hoc est, , sextus, quo series in hoc casu terminatur. hanc regulam itaqꝫue applicui ad series interserendas et cùm pro circulo secundus terminus esset , posui , et prodierunt termini sive id est , sive id est , sive id est & sic in infinitum. unde cognovi desideratam aream segmenti circularis esse . et eadem ratione prodierunt etiam interserendæ areæ reliquarūum curvarūum, ut et area Hyperbolæ et cæterarūum alternarūum in hac serie &c et eadem est ratio intercalandi alias series idqꝫue ꝑper intervalla duorum pluriumve terminorūum simul deficientiūum. hic fuit primus meus ingressus in has meditationes: qui memoria sanè exciderat nisi oculos in adversaria quædam ante paucas septimanas retulissem. [ Ubi vero hæc didiceram mox considerabam terminos . hoc est, : hoc est eodem modo interpolari posse ac areas ab ipsis generatas: et ad hoc nihil aliud requiri quam omissionem denominatorūum in terminis exprimentibꝫus areas; hoc est coefficientes terminorum quantitatis intercalandæ , vel vel generaliter , prodire per continuam multiplicacotionem terminorūum hujus seriei , Adeoqꝫue e.g. valeret Et valeret Et valeret , Sic itaqꝫue innotuit mihi generalis reductio radicalium in infinitas series per regulam illam quam posui initio epistolæ prioris, antequam scirem extractionem radicūum. sed hâc cognitâ non potuit altera me, dia latere nam ut probarem has operationes multiplicavi in se, & factūum est terminis reliquis in infinitum evanescentibꝫus per continuationem seriei. Atqꝫue ita bis in se ductum produxit etiam . Quod ut certa fuit harum conclusionum demonstratio sic me manu duxit ad tentandum è converso, nam utnam hæ series quas sic 2 constitit esse radices quantitatis non possent inde extrahi more Arithmetico, et res benè successit. Operationis forma in quadraticis radicibus hæc erat his perspectis neglexi penitus
Unde et simul patefactus est ad resolutionem affectarum æquationum. Nam faceo Divisiones quarum utiqꝫue specimen præclarum N. Mercator sub idem tempus excogitavit & mox cum laude omnium ædidit.
His perspectis neglexi penitus interpolationem serierūum et has operationes tanquaam fundamenta magis genuina solummodo adhibui nec latuit reductio per divisionem res utiqꝫue facilior Sed et resolutionem affectarum ǽquationūum mox aggressus sum eamque obtinui. Unde qua simul simul ordinatim applicatæ vicissim segmenta axium aliæqꝫue quælibet rectæ ex areis curvarum vel arcubꝫus datis innotuere. nam regressio ad hæc nihil indigeat præter resolucotionem æquationūum quibꝫus areæ vel arcus ex datis rectis dabantur: eo tempore pestis ingruens coegit me h hinc fugere et alia cogitare, addidi tamen subinde condituram quandam Logarithmorum ex areâ hyperbolæ, quam hic subjungo Sit Hyperbola cujus centrum , vertex , & quadratūum interjectum cape , hinc inde sive , et erectis perpendiculis , ad Hyperbolam terminatis, erit semisummma spatiorum et et semidifferentia quaæ reductæ ic se habent horūum summma est — et differentia est . et eadem ratione positis , hinc inde , obtinebitur , et habitis sic Logarithmis Hyperbolicis numerorūum quatuor decimaliūum , , , & . cum sit , et et sint minores unitate, adde Logarithmos illorum ad duplum Logarithmi , et habebis Logarithmūum Hyperbolicūum numeri . cujus triplo adde log (siquidem sit ) et habebis logarithmūum numeri . indeqꝫue per additionem simul prodeunt Logarithmi numerorum et ; adeoqꝫue omniūum primorūum horum Logarithmi in promptu sunt. Insuper ex solâ depressione numerorūum superioris computi ꝑper loca decimalia et additione obtinentur Logarithmi decimalium , , , ut et horūum , , , et inde ꝑper additionem et substractionem prodeunt Logarithmi primorum xc&c qui una cūum superioribꝫus per Log. numeri divisi evadunt veri Logarithmi in Tabulam inserendi sed hoc postea propiùs obtinui, pudet dicere ad quot figurarūum loca hæ computationes otiosus eo tempore perduxi, nam tunc sanè nimis delectabar inventis hisce, sed ubi prodiit ingeniosa illa Nicolai Mercatoris LogarithmotehcniaLogarithmotechnia (quem suppono sua primum invenisse) cœpi ea minus curare suspicatus, vel eum nosse extractionem radicum æquam ac divisioneem fractionūum, vel alios saltem divisione patefacta inventuros reliqua, priusquam ego ætatis essem maturæ ad scribendum, eo ipso tamen tempore quo liber iste prodiit commmunicatum est per amicum (D. Barrow tunc matheseos Professore) ad D. Collinsio compendiūum quoddam methodi harum serierum in quo significaveram areas et Longitudines curvarum omnium et solidorum superficies et contenta, ex datis rectis vice versâ ex his datis rectas determinari posse et methodum ibi judicatâ indicatâ illustraveram diversis seriebus [ Suborta deinde inter nos epistolari consuetudine D. Collinsius vir in rem mathematicam promovendam natus non destitit suggerere ut hæc publici juris facerem & ante annos quinqꝫue cum suadentibꝫus amicis, consilium ceperam edendi Tractatūum de refractione Lucis et coloribus quem tunc in promptu habedbam; cœpi de his seriebꝫus iterūum cogitare & tractatūum de iis etiam conscripsi ut utrumqꝫue simul ederem, sed ex occasione TelescoptiiTelescopii catadioptrici epistolâ ad te missâ quâ breviter explicui conceptus meos de naturâ lucis inopinatūum quiddam3 quiddam effecit ut mei interesse sentirem ad te festinanter scribere de impressione istius Epistolæ et subortæ statim ꝑper diversorum epistolas objectionibus aliisqꝫue refertas, crebræ interpellationes me prorsus a consilio deterruerunt et effecerunt ut me arguerem imprudentiæ quod umbram captando eatenus ꝑperdideram quietem meam, rem prorsus substantialem. [ Sub id tempus Gregorius ex unicâ tantâ serie quadam è meis quam D. Collinsius ad eūum transmiserat, post multam consideracotionem (ut ad Collinsium rescripsit) ꝑpervenit ad eandem methodum, & tractatūum de eâ reliquit quem speramus ab amicis ejus editūum iri. SiquidūumSiquidem pro ingenio quo pollebat non potuit non adjiciere adjicere de suo multa nova quæ rei mathematicæ interest ut non pereant. ipse autem tractatum meum non penitus absolveram ubi destiti à proposito, neqꝫue in hunc usqꝫue diem mens rediit ad reliqua adjicienda Deerat quippe pars ea qua decreveram explicare modum solvendi Problemata quæ ad Quadraturas reduci nequeunt licet aliquid de fundamento ejus posuissem.
Cæterum in tractatu isto series infinitæ non magnam partem obtinebant alia haud pauca congressi congessi intꝰer quæ erat methodus ducendi tangentes quam Solertissimus Slusius ante annos duos tresve tibi communicavit de quâ tu (suggerente Collinsio) rescripsisti eandem mihi etiam innotuisse diversâ ratione in eāam incidimus. nam res non eget demonstratione prout ego operor. habito meo fundamento nemo potuit tangentes aliter ducere nisi volens de recta viâ deviaret. Quinetiam non hic hæretur ad æquationes radicalibꝫus unam vel utramqꝫue indefinitam quantitatem involventibꝫus utcunque affectas, sed absqꝫue aliquâ taliūum æquationūum reductione (quæ opus plerumqꝫue redderet immensūum) tangens confestim ducitur: et eodem modo se res habet in quæstionibꝫus de maximis et minimis alijsqꝫue quibusdam de quibꝫus jam non loquor fundamentum harūum oꝑperationum satis obvium quidam: quoniam jam non optimum possum explicationem ejus prosequi sic potius celavi 6accd et 13eff.713l9n4o4orr4s8t112vx hoc fundamento conatus Sum etiam reddere speculationes de Quadraturâ curvarūum simpliciores ꝑpererveniqꝫue ad Theoremata quædam generalia. et ut candide agam ecce primūum Theorema. [ Ad curvāam aliquam sit ordinatim applicata termino diametri Seu basis normaliter insistens ubi litteræ , , denotant quaslibet quantitatꝰes datas, et , , indices potestatum sive dignitatūum quantitatūum Quibꝫus affixæ sunt. fac , , , et , et area curvæ erit . literis denotantibꝫus terminos proxime antecedentes nempe terminūum , terminūum &c hæc series ubi fractio est vel numerus negativus continuatur in infinitum ubi vero integer est et affirmativus continuatur ad tot terminos tantꝰum quot sunt unitates in eodem et sic exhibet Geometricam Quadraturam curvæ rem exemplis illustro.
Exemp. 1. proponatur Parabola cujus ordinatim applicata sit . hæc in formam regulæ reducta fit . Quare est . . . . adeoqꝫue . . . et area quæsita , hoc est, . et sic in genere si ponatur ordinatim applicata, prodibit area .
Exemplum Secundum Sit ordinatim applicata hæc ꝑper reductionem fit , vel etiam in priori casu est . . . . . . Adeoqꝫue potius Erratum propter simplum cum sit . hoc est . . et area curvæ id est . In secundo autem casu est . . . . . . id est . . et Area hoc est area his casibꝫus diversimodè exhibetur Quatenus computatur a diversis finibꝫus, Quorum assignatio ꝑper hos inventos valores arearum facilis est.
Exemp: 3. Sit ordinatim applicata hoc est ꝑper reductionem ad debitam formam vel vel et erit in priori casu . . . . . . Adeoqꝫue quare cum non sit numerus affirmativus procedo ad alterūum casūum hic est . . . . . . adeoqꝫue ....... . , seu , . Et area hoc est .
Exemp: 4. Sit deniqꝫue Ordinatim applicata hæc ad formam regulæ reducta fit Indeqꝫue est . . . . . . ......in ?. . et Area , id est .
4
, . Et area , hoc est . Exemp: 4. Sit deniqꝫue Ordinatim applicata hæc ad formam regulæ reducta sit indeqꝫue est . . . . . ......in ?. . et area , id est
Quod si res non successisset in hoc casu existente vel fractione vel numero negativo, tunc tentassem alterum casum purgando terminum in ordinatim applicatâ a coefficiente hoc est reducendo ordinatim applicatam ad hanc formam et si in neutro casu fuisset numerus integer et affirmativus conclusissem curvam ex earum numero esse quæ non possunt Geometricè quadrari nam quantum animadverto, hæc regula exhibet in infinitis finitis æquationibus areas omniūum Geometricaam quadraturaam admittentium Curvarum quarum ordinatim applicatæ constant ex potestatibꝫus radicibus vel quibuslibet quantidignitatibus dignitatibus binomij cujuscunqꝫue licèt non directe ubi index dignitatis est numerus integer: [ At quando hujusmodi curva aliqua non potest Geometricè quadrari sunt ad manus alia Theoremata pro comparatione ejus cum conicis sectionibus vel saltem cum aliis figuris simplicissimis quibuscūum potest comparari ad quod sufficit etiam hoc ipsūum unicūum jam descriptum Theorema si debite continuatur. pro Trjnomijs etiam et alijs quibusdam, regulas nonullas quasdem continuari sed in simplicioribꝫus vulgoqꝫue celebratis figuris vix aliquid relatu dignūum reperi quod evasit aliorum conatus nisi forte longitudo Cissoidis ejusmodi censeatur. Eaaam sic construitur determinaotur. Sit , Cissois, , diameter circuli ad quem aptatur , vertex, Asymptoton ejus, ac perpendiculare quodvis ad demissum cum semiaxe et semiparametro describatur Hyꝑperbola , et inter et sumpta : media proportionali erigantur ad et ꝑperpendicula et hyperbolæ occurrentia in & et agantur rectæ et tangentes hyperbolam in eisdem & et occurrentes , in , ac, , et ad constituatur rectangulum æquale spatio , et cissoidis longitudo erit sextupla altitudinis demonstratio perbrevis est [ sed ad infinitas series reddeo redeo.
Quamvis multa restent investiganda circa modos approximandi, & diversa serierūum genera quæ possunt ad id conducere, tamen vix cum D. Tschurnhausio speraverim dari posse aut simpliciora aut magis generalia fundamenta reducendi quantitates ad hoc genus serierūum de quo agimus quam sunt divisiones et extractiones radicūum quibus Leibnitius et ego utimur saltem ut non generaliora quia pro Quadraturâ et ενθυνεσ ὲνθυνσ curvarum ac similibꝫus nullæ possunt dari series ex hisce simplicibus terminis Algebraicis (unicam tantꝰum indefinitam quantitatꝰem involventibꝫus) constantes quas non licet hac methodo colligere nam non possunt esse plures hujusmodi convergentes series ad idem determinandꝰum quam sunt indefinitæ quantitates ex quarum potestatibus series conflentur et ego quidem ex adhibitâ quacunqꝫue indefinitâ quantiitatequantitate seriem novi colligere et idem credo Leibnitio in potestate esse, nam quamvis meâ methodo liberum sit eligere pro conflandâ serie quantitatꝰem quandam quamlibet indefinitam a quâ quæsitūum dependeat, et methodum us quam ipse nobis communicavit determinata videatur ad electionem taliūum indefinitarūum quantitatūum quibꝫus opus comodè deduci potest ad fractiones quæ ꝑper solam divisionem evadant series infinitæ, tamen aliæ quæcunqꝫue indefinitæ quantitates pro seriebus conflandis adhiberi possunt per methodum istam quâ affectæ æquationes resolvuntur in proprijs terminis, hoc est conficiendo seriem ex solis terminis quæ æquatio involvit, præterea non video cur dicitur his divisionibꝫus et extractionibus problemata resolvi per accidens siquidem hæ operationes eodem modo se habeant ad hoc genus Algebræ, ac vulgares operationes Arithmeticæ ad Algebram vulgo notam [ quod autem ad simplicitatem methodi attinet nolim fractiones 5 et radicales absqꝫue præviâ reductione semper resolvi in series infinitas. Sed ubi perplexæ quantitates occurrunt tentandæ sunt omnimodæ reductiones, sive id fiat, augendo, minuendo, multiplicando, vel dividendo quantitates indefinitas sive per methodum transmutatoriam Leibnitii aut alio quocunqꝫue modo qui occurrat, et tunc resolutio in series ꝑper divisionem et extractionem opportune adhibebitur hic hic autem præcipuè intendum est, ut denominatores fractionūum & quantitates in vinculo radicūum reducantur ad quam paucissimas & minime compositas, et ad tales etiam quæ in serieem abeant citissimè convergentem, et si radices neqꝫue convertantur in fractiones neqꝫue deprimantur nam ꝑper regulam initio alterius epistolæ, extractio altissimarūum radicūum æque simplex et facilis est ac extractio radicis Quadraticæ vel divisio, et series quæ ꝑper divisionem eliciuntur solent minimè omniūum convergere, [ hactenus de seriebꝫus unicam indefinitam quantitatem involventibꝫus locutus sum sed possunt etiam perspecta methodo series ex duabus vel pluribus assignatis indefinitis quantitatibus pro arbitrio confici [ Quinetiam beneficio ejusmodi methodi possunt series ad omnes figuras efformari Gregorianis ad circulūum et hyperbolam editis affines hoc est quarūum ultimous terminous exhibebit quæsitam aream [ sed calculūum hic onerosiorem nolim lubens subire. [ possunt deniqꝫue series ex terminis compositis eadem methodo constitui Quemadmodum si sit ordinatim applicata curvæ alicujus pone et ex binomio extractâ radice prodibit &c. cujus seriei omnes termini quadrari possunt per Theorema jam ante descriptūum, sed hæc minoris facio quod ubi series simplices non sunt satis tractabiles aliam nondum commmunicatam methodum habeo qua pro lubitu acceditur ad quæsitūum. E jus fundamentum est commmoda expedita et generalis solutio hujus problematis cCurvam Geometricam describere quæ per data quotcunqꝫue puncta transibit. docuit Euclides descriptionem Circuli per tria data puncta potest etiam connicaconica Sectio describi per quinque data puncta. et curva triūum dimensionūum per octo septem data puncta hæc statim Geometricè fiunt nullo calculo intꝰerposito, sed superius problema est alterius generis, et quamvis primâ fronte intractabile videatur tamen res aliter se habet est enim ferè ex pulcherrimis quæ solvere desiderem [ Seriei à D. Leibnitio pro quadraturâ Curvarūum Sectionūum proposita affinia sunt Theoremata quædam quæ pro comparatione curvarūum cum Conicis sectionibꝫus in catalogum dudum retuli possūum utiqꝫue cum conicis sectionibꝫus Geometricè comparare curvas omnes quarūum ordinatim applicatatæapplicatæ sunt vel &c aut vel , vel, aut vel &c aut aut &c vel vel aut vel &c. Hic , , , significant quasvis datas quantitates cum suis signis & et affectas, , axem vel basem curvæ, et , , , , , indices potestatum vel dignitatum , sive sint affirmativi vel negativi sive integri vel fracti, et singula bina Theoremata sunt duo primi termini seriei in infinitūum progredientis in tertio et quarto exem gratia debet esse non majus quam nisi et sint contrarii signi in cæteris nulla est limitatio. (harūum aliqua nempe secundum, tertium, quartum, quintum & decimum tertium) ex areis duarum conicarūum Sectionum conjunctis constant; aliæ quædam (ut nonum decimum et duodecimum) sunt aliter satis compositæ, et omnia quidem in continuatione progressionum cito evadunt compositissima; adeo ut vix ꝑper transmutationes figurarūum quibus Gregorius et alii usi sunt absqꝫue ulteriori fundamento inveniri posse putem. ego quidem haud quicquam generale in his obtinere potui antequam abstraherem a contemplatione figurarum, et rem totam ad simplicem consideracotionem solarum ordinatim applicatarum reducerem; sed cum hæc et his generaliora sint in potestate, non dubitabitur credo de binomialibus longè facilioribus quæ in his continentur, et prodeunt ponendo tantum literam aliquam , vel vel , et vel et si series in quas ista resolvuntur non posuerim in Epistolâ priori, intentus non in omnia particularia enumeranda, sed in illustrandaam methodum per unam et alteram in singulis rerum generibus instantiam, quæ ad ostendendam ejus generalitatem sufficere videbatur [ cæterūum hæc Theoremata dant series plusquam uno modo nam primum si ponatur , et evadit : unde prodit series nobis communicata, sed si ponatur et inde tandem obtinemus hanc seriem pro longitudine quadrantalis arcus cujus chorda est unitas vel quod perinde est hanc pro longitudine dimidii ejus, et has forte quia æque simplices sunt ac alteræ, et magis convergunt 6 non repudiabitis. sed ego rem aliter æstimo illud enim melius quod utilius est, et problema minori labore solvit, sic quamvis hæc æquatio appareat simplicior hacce tamen in confesso est posteriorem revera simpliciorem esse, propterea quod radicem ejus Geometra facilius eruit; et ob hanc rationem series pro obtinendis arcubus circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendis sectoribꝫus conicarūum Sectionūum, pro optimis habeo quæ componuntur ex potestatibꝫus sinuum. nam siquis vellet ꝑper simplex computūum hujus seriei colligere longitudinem Quadrantis ad viginti figurarum loca decimalia, opus esset terminis seriei circiter, ad quorum calculūum milleni anni requirerentur et res tardius obtineretur ꝑper tangentem gradiūum. sed adhibito sinu recto grad. quinquaginta quinque vel sexaginta termini hujus seriei , sufficerent, quorum computatio tribus ut opinor vel quatuor diebus absolvi posset; et tamen hic non est optimus modus computandi totam peripheriam; nam series ex sinu recto triginta grad. vel ex sinu verso graduum conflata multo citius dabit arcum suum, cujus sextuplum vel duodecuplum est tota peripheria: neque majori labore eruitur area totius circuli ex segmento cujus sagitta est quadrans diametri ejus computi specimen, siquidem ad manus est, visūum fuit apponere, et una adjungere aream hyperbolæ quæ eodem calculo prodit. posito axe transverso , & sinu verso seu segmenti sagitta erit semisegmentum &c hæc autem series sic in infinitum producitur sit , , , . , et erit semisegmentum eorumqꝫue semisummma et semidifferentia his ita præparatis suppono assumo quadrantem nempe axis, et prodit . . . et sic procedo usqꝫue dum venero ad tꝰerminūum depressissimum qui potest ingredi opus, deinde hos terminos per respectivè divisos, dispono in duas tabulas, ambiguos cum primo in unam et negativos in aliam, et addo ut hic vides tunc a priori summma aufero posteriorem et restat area semisegmenti hyperbolici. Addo etiam ejusdem summmas & aggregatūum aufero à primo termino duplicato , et restat & area semisegmenti circularis huic addo triangulūum istud quo completur in sectorem hoc est , seu et habeo sectorem sexaginta graduum cujus sextuplum est area totius circuli, quæ divisa ꝑper quadrantem diametri dat totam peripheriam [ Si artes alias adhibuissem potui per eundem numerum terminorum seriei pervenisse ad multa plura loca figurarūum puta viginti quinqꝫue ut amplius sed animus fuit hic ostendere quid per simplex seriei computūum præstari posset Quod sane haud difficile est cum in omni opere multiplicatores ac divisores magnâ ex parte non majores quam & nunquam majores quam adhibere opus sit. per seriem Leibnitii etiam si ultimo loco dimidiūum tꝰermini adjiciatur et alia quædam similia artificia adhibeantur potest computum produci ad multas figuras; ut et ponendo summmam terminorūum esse ad totam seriem , ut ad , Sed optimus ejus usus videtur esse quando vel conjungitur cūum duabꝫus alijs persimilibus et citissime convergentibus seriebus, vel sola adhibetur ad computandum arcum grad. posita tangente tunc enim series illa evadit quæ cito convergit vel si conjunges cum alijs seriebꝫus, pone circuli diametrum , et , et area totius circuli erit hic consideravimus series quatenus adhibentur ad computandum totum circulum, sed quando computandæ sunt partes ejus tunc quælibet series 7 habet proprium usum et in suo genere optima est si datur tangens satis parva, vel satis magna, non recurrendum erit ad sinum aliquem ut inde computetur arcus, neqꝫue vice versa series dato congruens est æquatio pro solvendo proprio problemate credo Cl. Leibnitium dum posuit seriem pro determinacotione cosinus complementi ex arcu dato, vix animo ūum advertisse ad seriem meam pro determinacotione sinus versi ex eodem arcu siquidem hæc idem sunt, hæ eædem sunt. neque observasse videtur morem meum generaliter usurpandi literas pro quantitatibus cum signis suis et affectis dum dividit hanc seriem nam cum area hyperbolicâ hic significata per sit affirmativa vel negativa prout jaceat ex unâ vel alterâ parte ordinatim applicatæ Si area illa in numeris data sit , & substituatur in serie pro orietur vel , vel . prout sit affirmativa vel negativa hoc est posito . Et Logarithmo hyperbolico numerus ei correspondens erit , si sit affirmativus et si sit negativus hoc modo fugio multiplicationem Theorematꝰum quæ alias in nimiam molem crescerent, nam v.g. illud unicūum Theorema quod supra posui pro quadratura curvarūum resolvendꝰum esset in 32 Theoremata si pro signorum varietate multiplicaretur. præterea quæ habentur de inventione numeri unitate majoris per datum Logarithmūum hyperbolicūum ope seriei potius quam ope seriei . nondum satis ꝑpercipio. nam si unus terminus adjiciatur amplius ad seriem posteriorem quam ad priorem posterior magis appropinquabit et minor est labor computare unam vel duas primas figuras adjecti hjujus termini, quam dividere unitatem per prodeuntem Logarithmum hyperbolicum ad multa figurarūum loca extensūum ut inde habeatur Logarithmus hyperbolicus Quæsitus, utraqꝫue igitur series (si duas dicere fas est sit) officio suo fungatur, potest tamen series ex dimidiá parte tꝰerminorūum constans optimè adhibeturri siquidem hæc dabit semidifferentiam duorum numerorum, ex quâ et rectangulo dato, uterqꝫue datur, sic et ex serie &c datur semisummma numerorūum, indeqꝫue etiam numeri. unde prodit relatio serierūum inter se, quâ ex unâ datâ dabitur altera Theorema de inventione arcus ex dato cosino ponendo radiūum , cosinūum , et arcum minus appropinquat quam primâ fronte videtur posito quidem sinu verso , error erit potest fieri ut ad . Ita chorda ad arcum, et error erit tantum circiter qui semper minor est, quam minuta secunda, dum arcus non sit major quam , et singulis etiam bisectionibꝫus diminuitur vicibus
Series applicari posset ad computationem tabulæ segmentorūum ut observat vir clarissimus; sed res optimè absolvitur ꝑper canonem sinuūum utpote cognitâ quadrantis areâ ꝑper continuas additiones nonæ partis ejus, habebis sectores ad singulos decem gradus in semicirculo, deinde ꝑper continuam additionem decimæ partis hujus habebis sectores ad gradus, et sic ad decimas partes graduum et ultra procedi potest, tunc radio existente ab uno quoqꝫue sectore et ejus complemento ad grad. aufer dimidium communis hujussinûs recti & relinquentur segmenta in tabulam referenda cæterūum quamvis series hic non prosint in aljis tamen locum obtinent, et quoniam hoc ad earum usūum spectat, non gravabor in aliquibꝫus attingere: [ constructionem Logarithmorūum non aliunde peti debere credetis forte, ex hoc simplici processu qui ab istis pendet, ꝑper methodum supra traditam quærantur Logarithmi hyperbolici numerorum , , , , . id quod fit spatio unius et alterius horæ, deinde divisis Logarithmis quatuor posteriorum ꝑper Logarithmūum numeri , et addito indice prodibunt veri Logarithmi numerorūum , , , , in tabulam inserendi, hi ꝑper dena intꝰervalla interpolandi sunt, et exibunt Logarithmi omnium numerorūum intꝰer et et omnibus intꝰer et iterūum ꝑper dena intꝰervalla interpolatis habebitur tabula eatenus constructa, tunc ex his colligendi erunt Logarithmi omniūum primorūum numerorūum, et eorum multipliciūum minorūum quam ad quod nihil requiritur præter additionem et substractionem siquidem sit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 et habitis sic Logarithmis omniūum numerorūum minorūum quam restat tantūum hos etiam semel atqꝫue iterum ꝑper dena intervalla interpolare [ constructionis tabulæ sinuūum à quâ pendet tota tres trigonometrica fundamentūum optimūum est continua additio dati anguli ad seipsum vel ad alium datum utpote in angulo addendo inscribantur , , , , , , , &c. æquales radio : et ad opposita latera demittantur ꝑperpendicula , , , , , , , , &c. et angulorūum , , , &c. differentiæ erunt angulus , sinus , , &c. et cosinus , , , &c. detur jam aliquis eorum , et cæteri sic eruentur, Ad et : demitte perpendicula et , et (propter similia triangula , , , , &c) erit . Et unde dantur sinus et cosinus , , , , et simul patet ratio continuandi progressiones, nempè &c &c. Et retrò &c. ponè ergo , et fac , . . , &c. Sed nodus est inventio sinus et cosinus anguli , et hic subveniunt series nostræ, utpote cognito ex superioribꝫus Quadrantalis arcus longitudine , &c et simul quadrato ejus &c divide quadratum hoc per quadratum numeri exprimentis rationem grad. ad angulum et quoto dicto , tres vel quatuor primi termini huius seriei &c dabunt cosinum istius anguli , sic primo quæri potest angulus grad et inde tabulam computari ad quinos gradus ac deinde interpolari ad gradus vel dimidios gradus ꝑper eandem methodum, nam non convenit progredi ꝑper nimios saltus, duæ tertiæ partes tabulæ sic computatæ dant reliquam tꝰertiam partem ꝑper additionem vel substractionēem more noto, siquidem posito cosinu grad. sit , et , tunc ad decimas, et centesimas partes graduūum pergendūum est per aliam methodum substitutis tamen prius Logarithmis sinūum inventorūum, si ejus generis tabula desideretur ad computum tabularūum Astronomicarūum repleriKepleri posui fundamentum quoddam in alterâ Epistolâ ejus seriei tres primi termini et aliquando duo sufficiunt, sed ad diversas partes Ellipseos diversæ ejusmodi series aptari debent, vel potius tales series computandæ sunt quæ ex datâ areâ Sectoris Elliptici , immediatè exhibeant aream sectoris circuli cujus angulus est , radius , et habitis hisce, computūum earum ad duos tres vel fortè quatuor terminos beneficio Logarithmorūum haud gravius erit quam solita resolutio tot triagngulorum in aliis hypothesibus imo forte minus grave si series prius debitæ concinnentur siquidem unus Logarithmus è tabulâ petitus determinet omnes istos terminos, addendo ipsum et ejus multiplices ad Logarithmos datorūum coefficientiūum in promptu habitos, quæ de hoc genere tabularūum dicuntur ad alias transferri possunt ubi la ratiocinia Geometrica locum non obtineent sufficit autem per has series computare triginta vel viginti aut fortè pauciores tꝰerminos tabulæ in debitis distantijs, tꝰermini intermedii facilè interseruntur ꝑper methodum quandam quam in usum calculatorūum ferè hic descripsissem, sed pergo ad alia [ quæ Cl. Leibnitius à me desiderat explicanda ex parte supra descripsi Quod vero attinet ad invencontionem terminorūum , , , in extractione radicis affectæ primum sic eruo, descripto angulangulo recto , latera ejus , . divido in partes æquales quo et inde normales erigo distribuentes angulare spatiūum in æqualia parallelogram̄mma vel quadrata quæ concipio denominata esse à dimensionibus duarum indefinitarum specierum puta et , regulariter ascendentiūum a tꝰermino prout vides in fig. 1 inscriptas eas in fig. 1 ubi ubi denotat radicem extrahendam et alterum indefinitam quantitatem ex cujus potestatibꝫus series constituenda est. Deinde cum æquatio aliqua proponitur, parallelogram̄mma singulis ejus terminis respondentia insignio notâ aliquâ, et regulâ ad duo vel forte plura ex insignitis parallelogram̄mmis applicata, quorūum unūum sit humillimūum infimum in columnâ sinistra seu juxta latūum , et aliud ad regulam dextrorsūum sitūum alterūum sit infimum in columna quavis alia dextrorsum reperiatur, cæteraqꝫue omnia non contingentia regulam ad quaæ regula non applicatur supra eam jaceant seligo tꝰerminos 9 æquationis ꝑper parallelogram̄mma contingentia regulam designatos et inde ex his tanquam nihilo æqualibus quæro quantitatem quotienti addendam Quotienti.
Sic ad extrahendam radicem ex parallelogram̄mma hujus tꝰerminis respondentia signo notâ aliquâ ut vides in fig 2. Dein applico regulam ad inferiorem è locis signatis in sinistrâ columnâ, eamqꝫue ab inferioribꝫus ad superiora dextrorsūum gyrare facio donec alium similiter vel fortè plura è reliquis signatis locis coeperit attingere videoqꝫue loca sic attacta esse , et è terminis itaqꝫue tanquam nihilo æqualibꝫus (et insuper si placet reductis ad : ponendo ), quæro valorem et invenio quadruplicem , , : et . Horum valorem quorum quemlibet pro primo termino Quotientis accipere licet prout è radicibꝫus quampiam extrahere decretūum est. sic æquatio quam resolvebam in priori epistolâ dat . et inde : proximè cum itaqꝫue a sit primus tꝰerminus valoris pono pro cæteris omnibꝫus in infinitūum et substituo obvenient hic aliquando dificultatesdifficultates nonnullæ, sed ex ijs credo D. Leibnitius se proprio marte extricabit subsequentes vero termini , &c. eodem modo ex æquationibus secundis tertiis cæterisqꝫue eruuntur quo primus prima, sed cura leviori quia cæteri tꝰermini valoris solent prodire dividendo tꝰerminūum involventem infimam potestatem indefinitæ quantitatis ꝑper coefficientem radicis lateris aut .
Intellexti credo ex superioribꝫus regressionem ab areis curvarūum ad lineas rectas fieri ꝑper hanc extractionem radicis affectæ sed duo alii sunt modi quibꝫus idem ꝑperficio, eorūum unus affinis est computationibꝫus quibus colligebam approximationes sub finem alterius Epistolæ et intelligi potest ꝑper hoc exemplum, proponatur æquatio ad aream hyperbolæ , et partibꝫus ejus multiplicatis in se emerget . . . . Iam de aufero et restat huic addo et fit . ## Aufero , et restat addo et fit et fit quamproxime. Sive .
[ eodem modo series de una indefinita quantitate in aliam transferri possunt quemadmodum si posito radio circuli, sinu recto arcus , et longitudine arcus istius, atqꝫue hanc seriem è sinu recto ad tangentem vellem transferre, quæro longitudinēem tangentis et reduco in infinitam seriem quâ dictâ , colligo potestaties ejus . . aufero autem de , et restat Addo , et fit . aufero , et restat quamproximè quare est . Sed siquis in usus trigonometricos me jussisset exhibere expressionem arcus ꝑper tangentem, eam non hoc circuitu sed directâ methodo quæsivissem per hoc genus computi colliguntur etiam series ex duabꝫus vel pluribus indefinitis quantitatibꝫus constantes, et radices affectarūum æquationūum magnâ ex parte extrahuntur, sed ad hunc posteriorem usum adhibeo potius methodum in alterâ Epistolâ descriptam tanquam generaliorem, et (regulis pro Elisione superfluorūum terminorūum habitis) paulo magis expeditam, pro regressione vero ab areis ad lineas rectas & similibꝫus, possunt hujusmodi Theoremata adhiberi.
Theorema 1 sit et vicissim erit . ex gratia proponatur æquatio ad aream hyperbolæ et substitutis in regulâ pro , pro , pro , pro , et pro , vicissim exurget &c Theorema 2 sit . et vicissim erit . ex graexempli gratia proponatur æquatio ad arcum circuli et substitutis in regulâ pro , pro , pro , pro &c orietur [ alterum modum regrediendi ab areis ad lineas rectas celare statui [ ubi dixi omnia pene Problemata solubilia existere, volui de ijs præsertim intelligi circa quæ mathematici se hactenus occuparunt vel saltem in quibꝫus 10 ratiocinia mathematica locum aliquem obtinere possunt nam alia sane adeo perplexis conditionibꝫus implicata excogitare liceat ut non satis comprehendere valeamus et multo minus tantarum computationūum onus sustinere quod ista requirerent attamen ne nimiūum dixisse videor inversa de tangentibꝫus problemata sunt in potestate aliaqꝫue illis difficiliora ad quæ solvenda usus sum duplici methodo una concinniori altera generaliori utramqꝫue visum est impræsentia literis transpositis consignare ne propter alios idem obtinentes institutum in aliquibꝫus mutare cogerer 5accd et 10effh1114t3m9x6oqqr8snt9v3x: 11ab3cdd10e et g10ill4m7n6o3p3q6rsSnt8vx.3ac et 4egh5i4tmsn8oq4r386t4vaadd et eeeeeiiimmnnooprrrsssssttuu Inversum hoc problema de tangentibꝫus quando tangens inter punctum contactus et axem figuræ est datæ longitudinis, non indiget his methodis, est tamen curva illa mechanica cujus determinatio pendet ab area et pꝰeriferia hyperbolæ. ejusdem generis, est etiam problema quando pars axis inter tangentem et ordinatim applicatam datur longitudine, sed hos casus vix numeraverim inter ludos naturæ nam quando Q et nam si in triangulo rectangulo quod ab illa axis parte, et ac tangente ac& ordinatim applicata constituitur, relatio duorūum quorūumlibet laterum per æquationem quamlibet definiatur, problema solvi potestrit absqꝫue meâ methodo generali sed ubi pars axis ad punctūum aliquod positione datum terminata ingreditur vinculūum tunc res aliqua aliter se habere solet.
Communicatio Resolutionis affectarum æquationum ꝑper methodūum Leibnitii pergrata erit juxta et explicatio quomodo hæc se gerat ubi indices potestatis sunt fractiones ut in hac æquatione , aut surdæ quantitates ut in hac , ubi & non designant coefficientes ipsius , sed indices potestatis seu dignitatis ejus; et indicem dignitatis binomii . res credo mea methodo patet aliter descripsissem sed meta tandem prolixæ huic epistolæ ponenda est, literæ sane excellentissimi Leibnitii valdè dignæ erant quibꝫus fusius hoc responsūum darem et volui hac vice copiosior esse, quia credidi amœniora tua negotia severiori hocce scribendi genere non debere a me credbro interpellari.
Tui Studiosissimus Is. Newton