<101>

Antequam Theoremata in his Curvarum classibus tradita exemplis illustrare pergam, juvabit observare{.} 1{.} Quòd cùm quantitatum d, e, f, g, h et i signa omnia in æquationibus curvas definientibus affirmativa posuerim, siquando contingant esse negativa in subsequentibus Basis et incedentis linæ Sectionis Conicæ, nec non quæsitæ Areæ valoribus mutari debent{.}

2{.} Numeralium η et θ, ubi negativæ sunt, signa in arearum valoribus sunt etiam mutanda. Quinetiam ipsarum signis mutatis Theoremata novam formam induere possunt{.} Sic in septimo ordine posterioris Catalogi, Theorema tertium, signo ipsius η mutato, evadit dz2η+1e+fzη_=y. 1zη=x. &c. hoc est dz3η1ez2η+fzη_=y. zη=x. fx+exx_=v. dηein2xv3s=t{.} Et sic in alijs.

3. Cujusque ordinis (si secundum prioris Catalogi demas) series utrinque in infinitum continuari potest. Scilicet in tertij quartique ordinis seriebus prioris Catalogi, numeri coefficientes initialium terminorum (2, 4, 16, 96, 868 &c) generantur multiplicando numeros 2, 4, 6, 8, 10 &c in se continuò; et subsequentium terminorum coefficientes ex initialibus in tertio <102> ordine derivantur multiplicando gradatim per 32, 54, 76, 98, 1110 &c, vel in quarto ordine multiplicando per 12, 34 56, 78, 910 &c. Denominatorum verò coefficientes (1, 3, 15, 105 &c) ex ductu numerorum 1, 3, 5, 7, 9 &c in se gradatim oriuntur.

In secundo autem Catalogo series ordinum 1, 2, 3, 4, 9 & 10 ope solius divisionis infinitè producuntur. Sic habito dz4η1e+fzη=y, si divisionem ad usque convenientem periodum instituas, orietur exempli gratia dfz3η1deffz2η1+deef3zη1de3f3zη1e+fzη=y{.} Priores tres termini sunt primi ordinis prioris Catalogi et quartus primæ speciei hujus ordinis: unde constat aream valere d3ηfz3ηde2ηffz2η+deeηf3zηe3ηf3s; positâ nempe s areâ sectionis conicæ cujus basis x sit =zη, et incedens applicata v=de+fx.

Quinti autem sextique ordinis series ope duarum Theorematum in quinto ordine prioris Catalogi per debitam Additionem vel subductionem infinitè producuntur, ut et septimi octavique series ope Theorematum in subsequenti sexto ordine; ac undecimi series ope Theorematis in decimo ordine ejusdem prioris Catalogi. Exempli gratia. si præfati quinti ordinis series ultra producenda sit; finge θ=4η, et quinti ordinis alterius Catalogi Theorema primum evadet 8ηez4η15ηfz3η1in12e+fzη_=y. R3z4η=t. Est autem juxta quartum Theorema hujus producendæ seriei, (scripto 5ηf2 pro d,) 5η2fz3η1e+fzη_=y, 1zη=x, fx+exx_=v, & 10fv315ffs12e=t. Quare subductis prioribus ipsarum y ac t valoribus restabunt 4ηez4η1e+fzη_=y, et 10dfv315ffs12eR3z4η=t. Ipsisque in d4ηe ductis, et pro R3z4η scripto si placet xv3, emerget quintum producendæ seriei Theorema dz4η+1e+fzη_=y. 1zη=x. fx+exx_=v, & 10dfv315dffs48ηeedxv34ηe=t.

4{.} Horum ordinum nonnulli ex alijs etiam possunt aliter derivari, utpote in posteriori Catalogo quintus, sextus, septimus et undecimus ab octavo, ac nonus a decimo, . Adeo ut omisisse potuissem, nisi quod usui esse possint, quamvis non prorsus necessariæ. <103> Nonnullos tamen ordines omisi quos a primo et secundo, nec non a nono decimoque derivasse potuissem, utpote qui denominatoribus magis compositis afficiuntur, et proinde vix ulli unquam usui esse possunt. *[1]

< insertion from p 101 >

5. Si Curvæ alicujus definiens æquatio ex pluribus æquationibus diversorum ordinum vel diversarum specierum ejusdem ordinis componatur, ejus aream ex areis correspondentibus componere oportet; cavendo tamen ut signis + et − rectè connectantur{.} Nam parallelè incedentes paralleles incedentibus et areæ correspondentes correspondentibus areis non semper sunt simul addendæ vel simul subducendæ; sed aliquando harum summa et illarum differentia sumenda est pro nova linea incedente et area correspondente constituenda. Et hoc fieri debet cùm constituentes areæ positæ sunt ad diversam partem parallelè incedentis . Ut autem hoc incommodum cauti promptiùs devitare possint, singulis arearum valoribus propria signa. (Etiamsi nonnunquam negativa, ut fit in posterioris Catalogi quinto septimóque ordine,) præfixi.

< text from p 103 resumes > < insertion from p 168 >

[2]6. De Arearum signis observandum est præterea quod +s vel denotat aream Conicæ sectionis Basi adjacentem esse reliquis quantitatibus in valore t addendam, vel aream ex altera parte ordinatim applicatæ esse subducendam. Et contra s ambiguè denotat aream basi adjacentem esse subducendam, vel aream ex altera parte ordinatim applicatæ esse addendam: prout commodum videbitur. Deinde valor ipsius t si affirmativus prodierit, designat aream Curvæ propositæ adjacentem basi ejus: Et contra si fuerit negativus, designat aream ex altera parte ordinatim applicatæ.

7{.} Cæterùm ut Area illa certiùs definiatur, prospiciendum est de limitibus ejus. Et quidem limitum ad Basin, parallelè incedentem, et Curvæ perimetrum, nulla potest esse incertitudo: sed limes initialis sive principium a quo incipit descriptio ejus varias positiones obtinet. In sequentibus exemplis vel est ad initium basis vel ad infinitam distantiam, vel in concursu curvæ cum basi ejus. Sed potest alibi locari. Et ubicunque sit, invenies quærendo illam Basis longitudinem ad quam valor ipsius t evadit nullus, et parallelè incedentem erigendo. Nam erecta illa linea erit limes quæsitus.

8{.} Siqua pars areæ infra basin posita sit, t designabit differentiam ejus et partis supra basin.

9{.} Siquando dimensiones terminorum in valoribus x, v et t nimis altæ vel nimis depressæ obvenerint, ad justum gradum liceat reducere dividendo vel multiplicando toties per datam quamvis quantitatem quæ vices unitatis gerere fingitur, quoties dimensiones illæ sint justo altiores vel depréssiores.

< text from p 103 resumes >

10. Præter præcedentes catalogos possunt etiam Catalogi Curvarum ad alias Curvas in suo genere simplicissimas (ut ad e+fx3_=v, vel ad xe+fx3_=v, vel ad e+fx4_=v &c) relatarum construi, eò ut Curvæ cujuslibet propositæ aream ex origine simplicissima possimus derivare, et cum quibus curvis affinitatem habeat cognoscere. Cæterùm præcedentes tandem exemplis aliquot illustremus.

Exemplum 1. Sit QER ejusmodi Conchoidalis Figure ut, Semicirculo QHA descripto et ad diametrum AQ erigatur erecto AC perpendiculo si compleatur parallelogrammum QACI, agatur diagonalis AI semicirculo occurrens in H, et ab H demittatur ad IC normalis HE, punctum E incidat in Curvam. Et quæratur area ACEQ. Dic itaque AQ=a. AC=z, CE=y, et propter continuè proportionales AI, AQ, AH, EC, erit EC, sive y=a3a2+z2.

Jam ut hæc induat formam æquationum in Catalogis, finge η=2 et pro z2 in denominatore scribe zη, ac a3z12η1 pro a3 sive a3z11 in numeratore, et emerget y=a3z12η1a2+zη, æquatio primæ speciei secundi ordinis posterioris Catalogi; collatisque terminis fit d=a3, e=a2 et f=1; Adeoque a3a2+z2=x a3a2x2_=v, et xv2s=t.

Ut autem inventi valores x et v ad justum dimensionum numerum reducantur selige datam quamlibet quantitatem, velut a, per quam tanquam unitatem semel multiplicetur a3 in valore x, et in valore v dividatur a3 semel et a2x2 bis. Et hoc pacto obtinebis a4a2+z2=x, a2x2_=v, xv2s=t. Quorum constructio est ejusmodi.

<104>

Centro A intervallo AQ describe quadrantem circuli QDP, in AC cape AB=AH, erige normalem BD quadranti occurrentem in D, et age AD. Et sectoris ADP duplum æquabitur areæ quæsitæ ACEQ. Est enim a4a2+z2(=AQ×EC=AH)=AB sive x; et a2x2_=ADqABq_=BD sive v; et xv2s=2ΔADB2ABDQ vel etiam 2ΔADB+2BDP hoc est vel =2QAD vel =2DAP: quorum valorum affirmativus 2DAP competit areæ ACEQ citra EC, et negativus 2QAD competit areæ RECR ultra EC in infinitum protensæ.

Solutiones Problematum sic inventæ nonnunquam concinnari possunt. Sic in hoc casu actâ RH circuli QHA semidiametro, propter arcus QH, DP æquales, erit sector QRH dimidium sectoris DAP, atque adeò pars quarta superficiei ACEQ.

[3]Exemplum 2. Sit AGE curva Figure quam normæ AEF punctum angulare E describit dum crurum alterum AE interminatum continuò transit per datum punctum A, et alterum EF datæ longitudinis super recta AF positione data prolabitur. Demitte EH ad AF normalem, et comple parallelogrammum AHEC, ac dictis AC=z, CE=y, et EF=a, propter HF, HE, HA continuè proportionales erit HA sive y=z2a2z2_. Jam ut innotescat area AGEC, finge z2=zη, sive 2=η et inde fiet z32η1a2zη_=y. Ubi cum z sit fractæ dimensionis in numeratore, deprime valorem y dividendo per z12η et fiet zη1a2zη1_=y, æquatio secundæ speciei septimi ordinis posterioris Catalogi. Ac terminis collatis evadet d=1, e=1, et f=a2. Adeoque z2=1zη=x2. a2x2_=v & sxv=t. Cùm itaque x et z æquentur, et sit a2x2_=v æquatio ad circulum cujus semidiameter est a: centro A intervallo a sive EF describatur circulus PDQ cui occurrat CE in D, et compleatur parallelogrammum ACDI, eritque AC=z, CD=v, et area quæsita AGEC=sxv=ACDPACDI=IDP.

Exemplum 3. Sit AGE Cissois ad Circulum ADQ diametro <105> AQ descriptum pertinens. Agatur Figure DCE diametro normalis et curvis occurrens in D et E. Et nominatis AC=z, CE=y et AQ=a, propter CD, CA, CE continuè proportionales erit CE y=z2azz2_, ac dividendo per z, fit y=zaz11_. Est itaque z1=zη sive 1=η et inde z2η1azη1_=y, æquatio tertiæ speciei, septimi ordinis posterioris catalogi. Collatisque terminis fit d=1. e=1. et f=a. Adeoque z=1zη=x. axx2_=v. et 3s2xv=t. Quare est AC=x, CD=v, et inde ACDH=s, adeoque 3ACDH4ΔADC=3s2xv=t= areæ Cissoidali ACEGA. Vel quod perinde est, 3segment:ADHA=areæADEGA. 4segADHA=areæAHDEGA

Exemplum 4. Esto PE prima Conchoides Figure Veterum centro G, Asymptoto AL et intervallo LE descripta. Age GAP axin ejus ac demitte EC ordinatim applicatam. Dictisque AC=z, CE=y, GA=b, et AP=c, propter proportionales AC.CEALGC.CE, erit CE sive y=b+zzc2z2_.

Jam ut ejus area PEC exhinc inveniatur, partes applicatæ CE seorsim considerandæ sunt. Et quidem si illa CE ita dividatur in D ut sit CD=c2z2_ ac DE=bzc2z2_ erit CD ordinatim applicata circuli centro A intervallo AP descripti: adeoque pars areæ PDC innotescet, et restabit pars altera DPED invenienda. Cùm itaque DE (pars applicatæ quacum describitur) valeat bzc2z2_, suppone 2=η, et evadet bzc2zη_=DE, æquatio primæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi. Collatisque terminis, fiet d=b e=c2 et f=1; atque adeò 1z=1zη=x. 1+ccxx_=v. et 2bccsbv3x=t.

<106>

His inventis redige ad justum dimensionum numerum multiplicando terminos nimis depressos ac dividendo nimis altos per datam quamvis quantitatem. Id quod si fiet per c, prodibit c2z=x. c2+x2_=v, & 2bscbv3cx=t Et horum constructio est ejusmodi.

Centro A, vertice principali P, et parametro 2AP Hyperbolam PK describe. Deinde a puncto C age rectam CK quæ tangat Hyperbolam in K: et erit ut AP ad 2AG ita area CKPC ad aream quæsitam DPED.

Exemplum 5. Norma GFE ita circa polum G rotante ut ejus punctum angulare F super recta AF positione data continuò prolabatur: concipe curvam PE a puncto quolibet E in crure EF sito describi. Jam ut inveniatur hujus area, demitte GA et EH ad rectam AF perpendiculares et completo parallelogrammo AHEC, dic AC=z, CE=y, AG=b et EF=c, et propter proportionals HF.EHAG.AF, erit AF=bzcczz_. Adeoque CE sive y=bzc2z2_c2z2_ Cùm autem ccz2_ sit ordinatim applicata circuli semidiametro c descripti: circa centrum A describe talem circulum PDQ, eique CE producta Figure occurat in D, et erit DE=bzc2z2_: cujus æquationis ope restat area PDEP vel DERQ determinanda. Supponatur ergo η=2 et evadet DE=bzη1cczη_ æquatio primæ speciei quarti ordinis prioris catalogi. Et collatis terminis fiet b=d, cc=e, et 1=f; adeoque bcczz_=bR=t. Jam cum valor t negativus existat, et inde area per t designata jaceat ultra lineam DE; ut ejus limes initialis inveniatur quære illam ipsius z longitudinem qua t evadit nulla et invenies esse c. Quare produc AC ad Q ut sit AQ=c, et erige applicatam QR et erit DQRED area illa cujus <107> valor jam inventus est bcczz_.

Quod si quantitatem areæ PDE juxta basin AC positæ et cum ea coextensæ desideres, possis ignoto limite QR sic determinare. A valore quem t ad basis longitudinem AC sortita est subduc valorem ejus ad initium basis. hoc est a bcczz_ subduc bc et proveniet quantitas bcbcczz_ quam quæris. Comple ergo parallelogrammum PAGK et ad AP demitte normalem DM quæ cum GK occurrat in M et erit parallelogrammum PLMK æquale areæ PDE.

Siquando æquatio curvam aliquam definiens non reperiatur in Catalogis, neque ad simpliciores terminos ope divisionis vel alio pacto reduci possit: transformanda est in alias affinium Curvarum æquationes pro more in Problemate 8 ostenso, donec tandem obvenerit aliqua cujus area ex Catalogis innotescat. Et conatibus omnimodo institutis, si nulla talis obveniat, certum est Curvam propositam neque cum figuris rectilineis neque cum Conicis Sectionibus comparari posse.

Ad eundem modum cùm de Curvis Mechanicis agitur illæ imprimis transformandæ sunt in æquales Geometricas prout in eodem Problema 8 ostensum fuit, ac deinde Geometricarum areæ ex Catalogis eliciendæ. Cujus rei accipe sequens exemplum.

Exemplum 6{.} Proponatur figura arcuum cujusvis Conicæ Sectionis ad sinus rectos applicatorum determinanda. Utpote sit A centrum Conicæ Sectionis, AQ & AR semiaxes, CD ordinatim applicata ad axin AR, et PD perpendiculum ad punctum D. Sit etiam AE dicta figura Mechanica occurrens CD in E, et ex ejus natura præfinita erit CE æqualis arcui QD. Quæritur itaque area AEC, vel parallelogrammo ACEF completo quæritur excessus AEF. In quem finem sit a latus rectum Conicæ Sectionis, et <108> b latus transversum sive 2AQ. sit etiam AC=z, et CD=y, eritque 14bb+bazz_=y æquatio ad conicam sectionem, ut notum est. Erit etiam PC=baz et inde PD=14bb+bb+abaazz_ {.} Atque adeò cùm sit fluxio arcus QD ad fluxionem Basis AC ut PD ad CD, si fluxio basis supponatur 1 erit arcus illius QD, sive applicatæ CE fluxio Figure 14bb+bb+abaazz14bb+bazz. Hanc duc in FE sive z et proveniet z14bb+bb+abaazz14bb+bazz fluxio areæ AEF adeoque si in applicata CD capias CG=z14bb+bb+abaazz14bb+bazz, area AGC quam illa CG super AC incedens describet, æquabitur areæ AEF, et erit AG curva geometrica. Quæritur itaque area AGC. Et in unc finem substituatur zη pro zz in æquatione novissima et evadet zη114bb+bb+abaazη14bb+bazη=CG, æquatio secundæ speciei undecimi ordinis posterioris Catalogi. Et collatis utrobique terminis fit d=1. e=14bb=g. f=bb+abaa, et h=ba; adeoque 14bb+bazz_=x, 14b3a+a+baxx_=v & abs=t. Hoc est CD=x. DP=v et abs=t. Et inventorum talis est constructio. Ad Q erige QK perpendicularem et æqualem QA et huic parallelam æqualem vero DP age HI per punctum D. Et linea KI in quam HI terminatur erit Sectio Conica areaque comprehensa HIKQ ad aream quæsitam AEF ut b ad a, sive ut PC ad AC.

Nota, si mutes signum b, sectio Conica cujus arcui recta CG æquatur, evadet Ellipsis; et præterea si fiat b=a Ellipsis evadet circulus: In quo casu linea KI fit recta parallela AQ.

<109>

Postquam Curvæ alicujus area sic inventa fuerit; de constructionis demonstratione consulendum est, quacum sine Computo Algebraico quantùm liceat contexta ornetur Theorema ut evadat publicæ notitiæ dignum. Estque demonstrandi methodus generalis quam sequentibus exemplis illustrare conabor.

Demonstratio Constructionis in Exemplo 5. In arcu PQ sume punctum d proximum ad D et age de ac dm parallelas DE ac DM et occurrentes DM et AP in p et l: et erit DEed momentum areæ PDEP et LMmt momentum areæ LMKP. Age semidiametrum AD, et concipe indefinitè exiguum arcum Dd esse instar rectæ et triangula Dpd et ALD erunt similia, adeoque Dp.pdAL.LD. Est autem HF.EHAG.AF, hoc est AL.LDML.DE. Et proinde Dp.pdML.DE. Quare Dp×DE=pd×ML. Hoc est momentum DEed æquale momento LMml. Et cùm hoc de quibuslibet contemporaneis momentis indeterminatè demonstretur, patet singula momenta areaæ PDEP esse singulis contemporaneis momentis areæ PLMK æqualia, adeoque totas areas ex istis momentis compositas æquari. Q.E.D.

Demonstratio Constructionis in exemplo 3. Esto DEed momentum superficiei AHDE ac AdDA contemporaneum momentum segmenti ADH age semidiametrum DK, et de occurrat AQ in c, estque Cc.DdDC.DK. Præterea est DC.QA2DKAC.DE. Adeoque Cc.2DdDC.2DKAC.DE. et Cc×DE=2Dd×AC×. Jam ad periferiæ momentum Dd rectà productum (i.e. ad tangentem circuli) demitte normalem AI et erit AI æqualis AC, adeoque 2Dd×AC=2Dd×AI=4triangulisADd. Quare 4triangADd=Cc×DE= momento DEed. Spatij ergo AHDE singula momenta sunt quadrupla momentorum contemporaneorum segmenti ADH et proinde totum illud spatium quadruplum totius segmenti{.} Q.E.D.

Demonstratio constructionis in Exemplo 4. Parallelam CE age indefinitè parùm distantem ce, et Hyperbolæ tangentem Ck ac demitte KM rectam ad AP: Et ex Hyperbolæ natura erit AC.APAP.AM{.} Adeoque AGq.GLqACq.LEqsiveAPqAPq.AMq ac divisim AGq.ALqDEqAPq.AMqAPqMKq. Et inversè AG.APDE.MK. Est autem <110> areola DEed ad triangulum CKc ut altitudo DE ad semissem altitudinis KM. Hoc est, ut AG ad 12AP. Quare omnia spatij PDE momenta ad omnia contemporanea momenta spatij PKC sunt ut AG ad 12AP. Et proinde tota illa spatia sunt in eadem ratione. Q.E.D.

Demonstratio Constructionis in Exemplo 6. Parallelam et proximam CD age cd et occurrentem curvæ AE in e age hi & fe occurrentes DC in p et q. Et erit ex Hypothesi Dd=Eq et ex similitudine triangulorum Dpd, DCP erit Dp.DdEqCP.PDHI. Adeoque Dp×HI=Eq×CP, et inde Dp×HI(momentHIih).Eq×AC(momentEFfe)Eq×CP.Eq×ACCP.AC. Quare cum PC et AC sint in data ratione lateris transversi ad latus rectum Conicæ Sectionis QD, et arearum HIQK et AEF momenta HIih & EFfe in illâ ratione, erunt ipsæ areæ in eâdem ratione. Q.E.D.

In hujusmodi demonstrationibus observandum est quod quantitates pro æqualibus habeo quarum ratio est æqualitatis. Et ratio æqualitatis censenda est quæ minùs differt ab æqualitate quàm qualibet inæqualis ratio potest assignari. Sic in postremâ demonstratione posui rectangulum Eq×AC, sive FEqf æquale spatio FEef quia (propter differentiam Eqe infinite minorem ipsis sive respectu ipsarum nullam) non habent rationem inæqualitatis. Et eadem de causa posui DP×HI=HIih, & sic in alijs.

Hac methodo probandi curvas per æqualitatem vel datam rationem momentorum æquales esse vel datam rationem habere hic usus sum quòd cùm methodis in his rebus usitatis affinitatem habeat; sed magis naturalis videtur quæ genesi superficierum ex fluendi motu innititur. Sic si constructio in Exemplo 2 demonstranda sit; Ex natura circuli est fluxio rectæ ID ad fluxionem rectæ IP, ut AI ad ID: Estque AI ad ID ut ID ad CE ex natura Curvæ AGE: et proinde CE×flux:ID=ID×flux:IP. Sed CE×flux:ID= fluxioni areæ ACEG, et ID×fluxIP= fluxioni areæ PDI. Et propterea areæ illæ æqualiter fluendo genitæ æquales erunt. Q.E.D.

Plenioris illustrationis gratia adjiciam demonstrationem Constructionis qua Cissoidis area in Exemplo 3 determinatur. <111> Lineæ punctim notatæ in schemate deleantur, et agatur DQ et Cissoidis Asymptoton QR: Et ex natura circuli est DQq=AQ×CQ, et inde per Problema 1 2DQ×flux:ipsiusDQ=AQ×flux.CQ. Adeoque AQ.DQ2flux:DQ.flux:CQ. Est et ex natura Cissoidis ED.ADAQ.DQ. Quare ED.AD2flux:DQ.flux:CQ. Et ED×fluxCQ=AD×2flux:DQ sive =4×12AD×flux:DQ. Jam cùm DQ perpendicularis sit ad terminum ipsius AD circa A gyrantis, est 12AD×fluxDQ= fluxioni generanti aream ADOQ{.} Est et ejus quadruplum ED×fluxCQ= fluxioni generanti Cissoidalem aream QREDO. Et proinde area illa infinitè longa QREDO generatur quadrupla alterius ADOQ. Q.E.D.



Scholium.

Per præcedentes catalogos non tantùm areæ curvarum sed et aliæ cujuscunque generis quantitates analoga fluendi ratione generatæ, e fluxionibus derivari possunt. Idque mediante hoc Theoremate, Quod quantitas cujuscunque generis sit ad unitatem congeneram ut area Curvæ ad unitatem superficialem, si modò fluxio quantitatem illam generans sit ad unitatem sui generis ut fluxio generans aream ad unitatem sui generis, hoc est ut linea super Basi normaliter incedens qua area ilia describitur, ad unitatem linearem. Et proinde si fluxio qualiscunque exponatur per ejusmodi lineam incedentem quantitas ab illa fluxione generata exponetur per aream ab illa incedente descriptam{.} Vel si fluxio per eosdem terminos Algebraicos cum incedente linea exponatur, quantitas generata exponetur per eosdem cum area descripta. Æquatio itaque quæ fluxionem <112> cujuscunque generis exhibet quærenda est in prima collumna Catalogorum, et valor t in ultima collumna indicabit quantitatem generatam.

Quemadmodum si 1+9z4a_ fluxionem cujuscunque generis exhibeat, pone æqualem y, et ut ad formam æquationum in catalogis reducatur substitue zn pro z, sic enim evadet zη11+94azη_=y, æquatio primæ speciei tertij ordinis prioris Catalogi et collatis terminis fiet d=1, e=1, f=94a, et inde 8a+18z271+9z4a_=2d3ηfR3=t. Est itaque 8a+18z271+9z4a_ quantitas quæ generatur fluxione 1+9z4a_.

Atque ita si 1+16z239a23_ designet fluxionem, per debita{m} reductionem (extrahendo z23 e radicali, et scribendo zη pro z23) habebitur 1zη+1zη+169a23_=y, æquatio secundæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi, et collatis terminis fit d=1, e=169a23, et f=1, Adeoque z23=1zη=xx, 1+16xx9a23_=v, et 32s=2dηs=t. Quibus inventis, quantitas per fluxionem 1+16z239a23_ generata innotescet ponendo esse ad unitatem sui generis ut area 32s ad unitatem superficialem. Vel quod eodem recidit, ponendo quantitatem t non amplius superficiem significare, sed alterius generis quantitatem quæ est ad unitatem ejusdem generis ut superficies illa ad unitatem superficialem. . Sic posito quod 1+16z239a23_ designet fluxionem linearem imaginor t non ampliùs superficiem sed lineam jam significare, eam nempe quæ ad unitatem linearem est ut area quam t iuxta Catalogos designat ad unitatem superficialem, hoc est eam quæ producitur applicando aream illam ad linearem unitatem. Qua ratione si linearis unitas statuatur e longitudo per præfatam fluxionem generata erit 3s2e. Et hoc fundamento Catalogi illi ad longitudines curvarum, contenta solidorum & alias quascunque quantitates æque ac areas curvarum determina{n}das applicari possunt.

<113>

De Quæstionibus cognatis.



1. Curvarum areas per Mechanicam approximare.

Methodus est ut duarum pluriumve rectilinearum figurarum valores ita componantur inter se ut valorem areæ curvæ quamproximè constituant. Sic ad circulum AFD quem æquatio xxx=rr designat postquam inventus est areæ AFDB valor 23x3215x52128x72172x92&c. quærendi sunt aliquot rectangulorum valores, quales sunt ipsius BD×AB valor xxxx_ sive x3212x5218x72116x92&c. ac ipsius AD×AB valor xx_ sive x32. Dein hi valores Figure per literas quaslibet diversas (quæ numeros indefinitè designent) multiplicandi sunt et addendi summæque termini cum correspondentibus terminis valoris areæ AFDB comparandi, ut quantum liceat evadant æquales. Quemadmodum si per e et f multiplicentur, fiet summa e+fx32e2x52e8x72&c cuius terminis cum terminis hisce 23x3215x52128x72&c collatis, prodit e+f=23, et e2=15; Sive e=25 et f=23e=415. Adeoque est 25BD×AB+415AD×AB=areæAFDB proximè. Scilicet 25BD×AB+415AD×AB valet 23x3215x52120x72140x92&c quod ab area AFDB subductum relinquit solummodò errorem 170x72+190x92&c{.}

Sic bisectâ AB in E, rectanguli AB×DE valor erit xx34xx_ sive x3238x529128x72271024x92 &c Et hoc collatum cum rectangulo AD×AB dat 8DE+2AD15inAB=areæAFDB, errore tantùm existente 1560x72+15760x92&c qui semper minor est quam 11500 totius areæ, etiamsi AFDB ponatur quadrans circuli. Hoc autem Theorema sic enunciari potest. Ut 3 ad 2 ita rectangulum ABinDE plus quinta parte differentiæ inter AD ac DE ad aream AFDB proxime.

Atque ita conferendo duo rectangula AB×ED et AB×BD, vel omnia tria rectangula inter se, vel adhibendo adhuc alia rectangula <114> possunt aliæ regulæ excogitari, eæque tanto exactiores quo plura rectangula adhibentur. Et idem de area Hyperbolæ ac aliarum curvarum intelligendum est. Imò et per unicum tantùm rectangulum area plerumque commode exhiberi potest, ut in prædicto circulo si capiatur AE ad AB ut 5 ad 5, rectangulum AB×ED erit ad aream AFDB ut 3 ad 2, errore tantùm existente 1175x72+112250x92&c.

2. Ex Datâ areâ, Basem et incedentem
lineam determinare.

Ubi area per finitam æquationem exhibetur nihil occurrit difficultatis. Ubi verò per infinitam exhibetur, affecta radix extrahenda est quæ Basem designat. Sic ad Hyperbolam quam æquatio aba+x=r designat postquam inventum est z=bxbxx2a+bx33aa&c; ut ex data area z vicissim innotescat Basis x, extrahe radicem affectam et proveniet x=zb+zz2abb+z36aab3+z424a3b4+z596a4b5&c et præterea si incedens r desideretur divide ab per a+x hoc est per a+zb+zz2abb+z36aab3&c et emerget r=bza+zz2aabz36a3bb+z424a4b3&c.

Sic ad Ellipsin quam æquatio axacxx=rr designat, postquam inventa fuerit area z=23a12x32a12x525ca12x7228cca12x9272c3&c. scribe v3 pro 3z2a12 ac t pro x12, et evadet v3=t33t510c3t756cct948c3&c, et extracta radice t=v+v310c+81v51400cc+1171v725200c3&c. Cujus quadratum vv+v45c+22v6175cc+823v87875c3&c valet x. Et hoc valore pro x in æquatione axacxx=rr substituto, et extracta radice, proveni{et} r=a12v2a12v35c38a12v5175cc407a12v72250c3&c{.} Adeoque ex data area z et inde v sive cub:3z2a12, dabitur Basis x et Incedens r. Quæ omnia ad Hyperbolam etiam accommodantur si modo signum quant < insertion from p 155 > itatis c ubique mutetur ubi existit imparium dimensionum. < text from p 114 resumes >

<115>

Problema 10. Curvas pro arbitrio
multas invenire quarum longitudines
per finitas æquationes
designari possunt.

Ad hujus resolutionem via Figure per sequentes positiones sternitur.

1. Si recta DC in curvam quamvis AD perpendiculariter insistens moveri concipiatur, singula ejus puncta G, k, r &c describent alias æquidistantes sibique perpendiculares curvas GK, gk, rs &c.

2. Si recta illa hinc inde indefinitè producatur ejus extremitates movebuntur ad contrarias plagas, et punctum quod distinguit inter contrarios motus, quodque ideo dici potest centrum motionis, idem est cum centro curvaturæ quam curva AD habet ad punctum D, ut supra diximus. Istud autem punctum esto C.

3{.} Si lineam AD non circularem esse sed difformiter incurvatam supponamus puta magis curvam in δ et minùs in Δ, illud centrum continuò mutabitur propriùs accedens ad partes magis curvas ut in K et longiùs recedens a partibus minùs curvis ut in k, eoque pacto lineam aliquam qualis KCk describet.

4. Hanc a centro curvaturæ descriptam lineam recta DC continuò tanget. Nam si rectæ illius punctum D moveat versus δ, ejus punctum G quod interea transit ad K et situm est ad eandem partem centri C movebit versus eandem plagam (per Positionem secundam) . Deinde si idem D moveat versus Δ punctum g quod interea transit ad k et situm est ad contrariam partem centri C movebit ad contrariam plagam hoc est ad eandem plagam ad quam G in priori casu movebat <116> dum transijt ad K. Et proinde K et k jacent ad eandem partem rectæ DC. Quare cum K et k indeterminatè pro quibuslibet punctis sumantur, patet totam illam curvam jacere ad eandem partem rectæ DC, proindeque ab illa non secari sed tangi tantùm.

Hic supponitur lineam δDΔ magis curvam esse a parte δ continuò et minùs a parte Δ. Quod si maxima minimáve curvatura fuerit ad ipsum D, tunc recta DC secabit curvam KC, sed in angulo tamen qui sit quovis rectilineo minor. Quod perinde est ac si tangere dicatur. Imo punctum C in hoc casu termi < insertion from p 153 > nus est instar cuspidis, ad quem partes curvæ obliquissimo concursu desinentes se mutuò contingunt, proindeque a recta DC quæ angulum illum contactûs dividit rectius dicatur tangi quàm secari. < text from p 116 resumes >

5. Recta CG æquatur curvæ CK. Nam concipe rectæ illius singula puncta r, 2r, 3r, 4r &c describere curvarum arcus rs, 2r2s, 3r3s &c interea dum per motum rectæ illius accedant ad curvam CK; et arcus illi, cùm (per Positionem primam) sint perpendiculares ad rectas quæ (per Positionem 4) tangunt curvam CK, erunt etiam perpendiculares ad curvam illam. Quare partes istius CK inter arcus illos interjectæ quæ propter infinitam parvitatem pro rectis haberi possint æquantur intervallis eorundem arcuum, hoc est (per Positionem 1) totidem partibus rectæ CG. Et additis utrinque æqualibus, tota CK aæquabitur toti CG.

Idem constare potest imaginando singulas partes rectæ CG inter movendum successivè applicari ad singulas partes curvæ CK, easque mensurare, perinde ut rotæ super planum per gyros promoventis circumferentia distantiam metitur quam punctum contactûs transigit.

Ex his pateat Problema resolvi posse assumendo pro lubitu curvam quamvis AδDΔ et inde determinando alteram curvam KCk in qua assumptæ centrum curvaturæ versatur. Ad rectam itaque quamvis positione datam AB demissis perpendiculis DB, CL et in AB sumpto quovis puncto A dictisque AB=x et BD=y, pro curva AD definienda assumatur relatio quævis inter x et y et inde per Problema 5 elicietur punctum C quo et curva KC et ejus longitudo GC determinatur.

Exemplum. Sit ax=yy æquatio ad curvam AD, Parabolam <117> nempe Apollonianam. Et per Problema 5, Figure invenientur AL=12a+3x, CL=4y3aa, ac DC=a+4xa14aa+ax_. Quibus habitis, curva KC determinatur AL et LC et longitudo ejus per DC. Utpote cùm liberum sit ubivis in curva KC assumere puncta K et C, supponamus K esse centrum curvaturæ Parabolæ ad verticem, et positis perinde AB et BD seu x et y nullis evadet DC=12a, estque hæc longitudo AK vel DG quæ subducta a superiori indefinito valore DC relinquit GC seu KC=a+4xa14aa+ax_12a.

Jam si qualis sit hæc curva quantaque ejus longitudo, non ampliùs habita relatione ad Parabolam scire desideretur; Dic KL=z et LC=v, et erit z==AL12a=3x seu 13z=x, et az3=ax=yy, adeoque 4z327a=4y3aa=CL=v. sive 16z327a=vv. Quod indicat curvam KC esse Parabolam secundi generis. Et pro ejus longitudine prodit 3a+4z3a14aa+13az_12a, scribendo 13z pro x in valore CG.

Potest etiam Problema resolvi per assumptionem æquationis quæ relationem inter AP et PD (posita nempe P intersectione Basis et Perpendiculi) definiat. Nam dictis AP=x, et PD=y, concipe CPD per spatium quàm minimum moveri puta ad locum Cpd, inque CD et Cd sumpto CΔ et Cδ ejusdem cujusvis datæ longitudinis puta 1, et ad CL demissis Δg, δγ perpendiculis quorum Δg (quod dic z) occurrat Cd in f, et completo parallelogrammo gγδe, positisque m, n, et r fluxionibus quantitatum x y et z ut supra; erit Δe.ΔfΔe×Δe.Δδ×ΔδCg×Cg.×Cg×Cg.. Et Δf.Pp.CP. Et ex æquo Δe.PpCg×Cg.CP. Est autem Pp <118> momentum Basis AP cujus additamento evadit Ap, ac Δe contemporaneum momentum perpendiculi Δg cujus ablatione evadit δγ. Adeoque Δe et Pp sunt ut fluxiones Figure linearum Δgz et APx, hoc est ut r et m. Quare r.mCgquadr.CP. Et proinde cùm sit Cgquadr=quadrΔgquad=1zz, et =1, erit CP=mmzzr{.} Et insuper cùm e tribus m, n, et r quamlibet pro uniformi fluxione ad quam cæteræ referantur habere liceat, si ista ponatur m ejusque quantitas unitas, evadet CP=1zzr.

Præterea est 1.ΔgzCP.PL, et 1.Cg1zz_CP.CL, Adeoque fit PL=zz3r et CL=1zzr1zz_. Ac denique acta pq parallela arcui infinitè parvo Dd seu perpendiculari DC erit Pq momentum ipsius DP cujus additamento evadit dp simul ac AP evadit Ap. Et idcirco Pp et Pq sunt ut fluxiones ipsarum APx et PDy, hoc est ut 1 et n, Atque adeò cùm propter similia triangula Ppq & CΔg, CΔ ac Δg seu 1 et z sint in eadem ratione erit n=z. Unde talis evadit Problematis resolutio.

E proposita æquatione quæ relationem inter x et y designet quære relationem fluxionum m et n per Problema 1. Et posito m=1 habebitur valor n cui z æquatur. Dein substituto z pro n ope æquationis novissimæ quære relationes fluxionum m n et r per idem Problema 1, et et iterum substituto 1 pro m obtinebitur valor r. [4]Quibus habitis fac 1nnr=CP, z×CP=PL et CP×1nn_=CL; Et erit C ad curvam cujus pars quævis KC æquatur rectæ CG differentiæ nempe tangentium ductarum a punctis C et K perpendiculariter ad curvam Dd.

Exemplum. Sit ax=yy æquatio quæ relationem inter AP et PD designet et per Problema 1 primò erit am=2yn seu <119> a=2yz. Deinde 0=2nz+2yr seu zzy=r. Indeque fit CP=1nnr=y4y3aa, PL=z×CP=12a2yya, et CL=aa4yy2aa4yyaa_. Et a CP ac PL ablatis y et x restat CD=4y3aa et AL=12a3yya. Aufero autem y et x quòd CP et PL ubi valores habent affirmativos cadant ad partes puncti P versus D et A, et tunc diminui debent auferendo affirmativas quantitates PD et AD. Ubi verò negativos valores obtinent, cadent ad contrarias partes puncti P et tunc augeri debent, id quod etiam fit auferendo affirmativas quantitates PD et AD.

Jam ut curvæ in qua punctum C locatur longitudo inter duo quævis puncta K et C noscatur; quæro longitudinem tangentis ad punctum K et aufero a CD. Quemadmodum si K sit punctum ad quod tangens terminatur ubi CΔ et Δg seu 1 et z ponuntur æquales quodque proinde in ipsa basi AP situm est, scribe 1 pro z in æquatione a=2yz et prodit a=2y. Quare pro y scribe 12a in valore CD nempe in 4y3aa, et oritur 12a. Estque hæc longitudo tangentis ad punctum K, sive ipsius DG inter quam et superiorem indefinitum valorem CD differentia 4y3aa12a est GC cui curvæ pars KC æquatur.

Ut insuper pateat qualis sit hæc curva, ab AL (mutato prius signo ut evadat affirmativa) aufer AK quæ erit 14a et restabit KL=3yya34a quam dic t et in valore lineæ CL quam dic v scribe 4at3 pro 4yyaa et prodibit 2t3a43at=v. seu 16t327a=vv æquatio ad Parabolam secundi generis ut supra.

Siquando relatio inter t et v minùs commodè ad æquationem redigi possit, sufficit investigasse tantùm longitudines PC et PL. Quemadmodum si pro relatione in AP et PD assumatur æquatio 3aax+3aayy3=0. Inde per Problema 1 primò prodit aa+aazyyz=0, deinde aar2yzzyyr=0{.} <120> Atque adeo est z=aayyaa, & r=2yzzaayy. Unde dantur PC=1nnr & PL=z×PC, quibus punctum C quod ad curvam situm est determinatur. Et longitudo curvǽ inter duo ejusmodi puncta e differentia correspondentium duarum tangentium DC sive PC1 innotescit.

Exempli gratia. Si ponatur a=1 et ad determinandum aliquod curvæ punctum C sumatur y=2; evadet AP seu {x=y33aay3aa=23}. z=13. r=49. PC=2 & PL=23. Deinde ad aliud punctum C determinandum si sumatur y=3 evadet AP=6. z=18. r=3256. PC=84 et PC=1012. Quibus habitis si auferatur y a PC restabit 4 in priori casu et 87 in secundo casu pro longitudinibus DC quarum differentia 83 est longitudo curvæ inter inventa duo puncta C et C.

Hæc ita intelligenda sunt ubi curva inter puncta duo C et C vel K et C continuatur sine termino quem cuspidi assimilavimus. Sed ubi unus vel plures ejusmodi termini interjacent istis punctis (qui termini inveniuntur per determinationem maximæ aut minimæ PC vel DC) longitudines singularum partium Curvæ inter illos et puncta C vel K seorsim investigari debent et addi.

<121>

Problema 11. Curvas invenire quotascunque quarum longitudines cum propositæ alicujus curvæ longitudine, vel cum area ejus ad datam lineam applicatâ, ope finitarum æquationum comparari possunt.

Peragitur involvendo longitudinem areamve propositæ Curvæ in æquatione quæ in praecedente Problemate assumitur ad determinandam relationem inter AP et PD. Sed ut z et r inde per Problema 1 eliciantur, fluxio longitudinis vel areæ illius priùs investigari debet.

Fluxio longitudinis ejus determinatur ponendo æqualem radici quadraticæ summæ quadratorum a fluxionibus Basis, et perpendiculariter incedentis. Sit enim RN linea perpendiculariter incedens super Basi MN, et QR curva proposita ad quam RN terminatur. Dictisque MN=s, NR=t, et QR=v, et earum fluxionibus Figure p, q, et l respectivè; concipe lineam NR ad locum quam proximum nr promoveri, et demisso ad nr perpendiculo Rs, erunt Rs, sr, et Rr contemporanea momenta linearum MN, NR, et QR quorum additamentis evadunt Mn, nr, et Qr. Et cùm hæc sint inter se ut earundem linearum fluxiones, ac propter angulum rectum Rsr sit Rs×Rs+sr×sr_=Rr, erit pp+qq_=l.

Ad determinandas autem fluxiones p et q duæ requiruntur æquationes una quæ definiat relationem inter MN et NR seu s et t, unde relatio inter fluxiones p et q eruenda est, et alia quæ definiat relationem inter MN vel NR ad datam figuram et AP seu x ad quæsitam, unde relatio fluxionis p vel q ad fluxionem m seu 1 innotescit{.}

<122>

Invento l, fluxiones n et r per assumptam tertiam æquationem qua longitudo PD sive y definitur investigandæ sunt, et capienda PC=1nnr, PL=n×PC, ac DC=PCy ut in præcedente Problemate{.}

Exemplum 1. Sit asss=tt æquatio ad datam curvam QR utpote circulum, xx=as relatio inter lineas AP et MN, et 23v=y relatio inter longitudinem datæ curvæ QR et rectæ PD. Per primam fit ap2sp=2tq seu a2s2tp=q et inde ap2t=pp+qq_=l. Per secundam fit 2x=ap adeoque est xt=l. Et per tertiam fit 23l=n hoc est 2x3t=z, dein hinc fit 23t2xq3tt=r. Quibus inventis capienda sunt PC=1nnr, PL=n×PC, ac DC=PCy sive PC23QR. Ubi patet longitudinem datæ curvæ QR inveniri non posse quin simul innotescat longitudo rectæ DC, indeque longitudo curvæ ad quam punctum C cadit. Et contra.

Exemplum 2. Stante asss=tt, ponatur x=s et vv4ax=4ay. Perque primam invenietur ap2t=l ut supra. Per secundam verò 1=p, atque adeo a2t=l. Et per tertiam 2lv4a=4an, seu (eliminato l) v4t1=z, dein hinc l4tvq4tt=r.

Exemplum 3. Ponantur tres æquationes aa=st, a+3s=x et x+v=y. Et per primam (quæ Hyperbolam denotat) evadit 0=pt+qs, seu pts=q, et inde psss+tt_=pp+qq_=l. Per secundam evadit 3p=1, adeoque est 13sss+tt_=l. Et per tertiam fit 1+l=n sive 1+13sss+tt_=z, dein hinc fit k=r, posita scilicet k fluxione radicalis 13sss+tt_, quæ si fingatur æqualis φ sive 19+tt9ss=φφ, proveniet inde 2tq9ss2ttp9s3=2φk. Et substituto imprimis pts pro q, deinde 13 pro p, factaque divisione per 2φ, habebitur 2tt27φs3=k=r. Inventis n et r cætera peraguntur ut in exemplo primo.

<123>

Quod si, a quovis curvae puncto Q perpendiculum QV ad MN demittatur, & curva invenienda sit cujus longitudo ex longitudine quæ oritur applicando aream QRNV ad datam aliquam lineam innotescat: ponatur illa data linea e, longitudo QRNMe quæ ex applicatione oritur v, et ipsius v fluxio l. Et cùm fluxio areæ QRNV sit ad fluxionem areæ parallelogrammi rectanguli super MN ad altitudinem e constituti ut incedens linea NR seu t qua hæc describitur ad incedentem lineam e qua illud eodem tempore describitur; et longitudinum quæ oriuntur applicando areas illas ad datam e; hoc est linearum v et MN seu s fluxiones l et p sint in eadem ratione, erit l=pte. Per hanc itaque regulam valor l inquirendus est, cæteraque ut in præcedentibus exemplis peragenda.

Exemplum 4. Sit QR Hyperbola quam æquatio aa+assc=tt definit, et inde juxta Problema 1 evadet aspc=tq sive aspct=q. Dein si pro alijs duabus æquationibus assumantur x=s, et y=v; prior dabit 1=p, unde fit l=pte=te; et posterior dabit imprimis n=l, sive z=te, dein hinc r=qe, et substituto aspct sive asct pro q evadet r=asect. Inventis n et r fac 1nnr=CP et n×CP=PL ut in præcedentibus, et inde punctum C adeoque curva in quam omnia ejusmodi puncta cadunt determinabitur, cujus curvæ longitudo ex longitudine DC quæ valet CPv innotescet, uti satis ostendimus.

Est et alia Methodus qua Problema resolvitur; quærendo nempe Curvas quarum fluxiones vel æquentur fluxioni Curvæ propositæ, vel ex illius et aliarum linearum fluxionibus componantur. Et hæc aliquando usui esse potest præsertim in convertendo Mechanicas curvas in æquales geometricas. Cujus rei insigne est Exemplum in <124> Spiralibus.

Sit AB recta positione data, BD arcus super Figure AB tanquam Basi incedens ac interea retinens A pro centro, ADd Spiralis ad quam arcus ille perpetim terminatur, bd arcus quam proximus sive locus in quem arcus BD dum incedit proximè movetur, DC perpendicularis ad arcum bd, dG differentia arcuum, AH alia curva spirali AD æqualis, BH recta super AB normaliter incedens ac terminata ad curvam AH, bh locus quam proximus in quem recta illa incedit, et HK perpendicularis ad bh. Et in triangulis infinitè parvis DCd ac HKh, cùm DC et HK æqualia sint eidem tertio Bb, indeque sibi mutuo æqualia, ac Dd et Hh ex Hypothesi sint correspondentes partes æqualium curvarum et inde etiam æqualia, nec non anguli ad C et K recti, tertia etiam latera dC et hK æqualia erunt. Quare cùm insuper sit AB.BDAb.bCAbABBb.bCBDCG. Adeoque BD×BbAB=CG, si hoc auferatur a dG restabit dGBD×BbAB=dC=hK. Dic itaque AB=z, BD=v, & BH=y, et earum fluxiones r, l, et n respectivè; et cùm bB, dG et hK sint earundem contemporanea momenta quorum additamentis evadunt Ab, bd, et bh, et proinde inter se sint ut fluxiones, ideo pro momentis in æquatione novissima substituantur fluxiones, juxta et notæ pro lineis et emerget lvrz=n. Ubi si e fluxionibus r < insertion from p 145 > pro æquabili habeatur et supponatur unitas esse ad quam cæteræ referantur evadet lvz=n. < text from p 124 resumes >

Quamobrem data per æquationem aliquam relatione inter AB et BD (sive x et v) qua Spiralis definiatur, dabitur (per Problema 1) fluxio l, et inde etiam fluxio n ponendo æqualem lvz. Atque hæc per Problema 2 dabit lineam y sive BH cujus est fluxio.

Exemplum 1. Si detur zza=v, æquatio nempe ad Spiralem Archimedeam, inde per Problema 1, elicietur 2za=l. A quo aufer vz sive za et restabit za=n, et inde per Problema 2 fit zz2a=y. Quod indicat curvam AH cui hæc spiralis AD æquatur esse Parabolam Apollonianam cujus latus rectum existit 2a; sive cujus incedens BH perpetuò æquatur semissi arcus BD.

Exemplum 2. Si proponatur Spiralis quam æquatio z3=avv sive z32a12=v definit, emerget per Problema 1 3z122a12=l, A quo si auferatur vz seu z12a12 restabit <125> z122a12=n et inde per Problema 2 producetur z323a12=y. Hoc est 13BD=BH, existente AH Parabola secundi generis.

Exemplum 3. Si ad Spiralem sit za+zc=v. Exinde per Problema 1 elicietur 2a+3z2ac+cz_=l, A quo si auferatur vz sive a+zc, restabit z2ac+cz_=n. Jam cum quantitas hac fluxione n generata nequeat inveniri per ea quæ in Problema 2 habentur, nisi fiat resolutio in infinitam seriem; juxta tenorem Scholij Problema 9 reduco ad formam æquationum in prima collumna Catalogorum substituendo zη pro z, et evadit z2η12ac+czη_=n, æquatio nempe secundæ speciei quarti ordinis prioris Gatalogi. Et conferendo terminos fit d=12, e=ac, et f=c, adeoque z2a3cac+cz_=t=y. Quæ æquatio est ad curvam geometricam AH cui spiralis AD æquatur.

<127>

Problema 12. Curvarum Longitudines
determinare.

Fluxionem curvæ lineæ in superiore Problemate ostendimus æqualem esse radici quadraticæ summæ quadratorum a fluxionibus Basis et perpendiculariter Incedentis. Et proinde si Basis fluxionem pro uniformi ac determinata mensura, nimirum unitate, ad quam cæteræ fluxiones referantur, habeamus, et insuper per æquationem quæ curvam definit quæramus fluxionem Incedentis, habebitur fluxio Curvæ lineæ a qua longitudo ejus per Problema 2 elicienda est.

Exemplum 1. Proponatur Curva FDH quam æquatio z3aa+aa12z=y definit, posito scilicet z= basi AB, ac y= incedenti DB: et ex æquatione illa per Problema 1 elicietur 3zzaaaa12zz=n, existente nimirum 1 pro fluxione ipsius z et n fluxione y. Dein additis fluxionum quadratis fit summa 9z4a4+12+a4144z4=99, et extracta radice 3zzaa+aa12zz=q, indeque per Problema 2, z3aa+aa12z=t, ubi q fluxionem Curvae ac t longitudinem designat.

Itaque si cujusvis portionis Curvæ Figure hujus puta dD longitudo desideretur a punctis d ac D demitte ad AB perpendicula db ac DB et in valore t substitue quantitates Ab et AB seorsim pro z, ac differentia productorum erit longitudo quæsita dD. Quemadmodum si sit Ab=12a et AB=a, scripto 12a pro z evadet t=a24, dein scripto a pro z evadet t=11a12, a quo si prior valor auferatur restabit 23a24 pro longitudine dD. Vel si Ab tantùm definiatur esse 12a et AB spectetur indefinitè, restabit z3aaaa12z+a24=dD.

Quod si cupias noscere portionem Curvæ quam t designat, finge valorem t æquari nihilo, et evadet z4=a412, sive <128> z=a12. Adeoque si sumatur Ab=a12, et erigatur bd, longitudo arcus dD erit t sive z3aaaa12z. Et hæc de alijs curvis generaliter intelligenda sunt.

Ad eundem modum quo hujus longitudinem determinavimus si pro alia Curva definienda proponatur æquatio z4a3+a332zz=y proveniet z4a3a332zz=t, vel si proponatur z32a1213a12z12=y, proveniet z32a12+13a12z12=t. Vel generaliter si sit czθ+z2θ4θθc8θc=y, ubi θ pro quolibet numero sive integro sive fracto designando adhibetur, erit czθz2θ4θθc8θc=t.

Exemplum 2. Proponatur curva quam æquatio 2aa+2zz3aaaa+zz_=y definit, et per Problema 1 obtinebitur n=4a4z+8aaz3+4z53a4y sive, exterminato y, n=2zaaaa+zz_ cuius quadrato adde 1, et summa erit 1+4zzaa+4z4a4, eiusque radix 1+2zzaa=q{.} Unde per Problema 2 obtinetur z+2z33aa=t.

Exemplum 3. Proponatur Parabola secundi generis ad quam æquatio est z3=aay seu z32a12=y et inde per Problema 1 elicietur 3z122a12=n, adeoque est 1+9z4a_=1+nn_=q. Jam cùm longitudo per fluxionem q generata nequeat inveniri per Problema 2 absque reductione in infinitam seriem simplicium terminorum, consulo Catalogos ad Problema 9 et juxta ea quæ in Scholio ejus habentur prodit t=8a+18z271+9z4a_.

Et sic Parabolarum z5=ay4, z7=ay6, z9=ay8 &c longitudines inveniri possunt.

Exemplum 4. Proponatur Parabola ad quam æquatio est z4=ay3, sive z43a13=y, et inde per Problema 1 orietur 4z133a13=n. Adeoque 1+16z239a23_=nn+1_=q. Quo invento consulo Catalogos juxta Scholium prædictum et facta collatione cum secundo Theoremate quinti ordinis posterioris <129> Catalogi, prodit z13=x, 1+16xx9a23_=v, et 32s=t. Ubi x designat basem y ordinatim applicatam et s aream Hyperbolæ atque t longitudinem quæ oritur applicando aream 32s ad unitatem linearem.

Eadem methodo Parabolarum z6=ay5, z8=ay7, z10=ay9 &c longitudines etiam per aream Hyperbolæ determinantur{.}

Exemplum 5. Proponatur Cissois Veterum, et existente ad eam æquatione aa2az+zzazzz_=y, inde per Problema 1 elicietur a2z2zzazzz_=n, et consequenter a2za+3zz=nn+1_=q{.} Quæ scribendo zη pro 1z seu z1 evadit a2z=azη+3_=q æquatio primæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi et collatis terminis fiunt a2=d, 3=e, et a=f; adeoque z=1zη=xx. a+3xx_=v, et 6s2v3x=4deηfinv32exs=t. Et adhibita a pro unitate per cujus multiplicationem vel divisionem hæ quantitates ad justum dimensionum numerum reducantur, evadunt az=xx, aa+3xx_=v, et 6sa2v3ax=t. Quorum hæc est constructio.

Existente VD Cissoide, AV diametro Figure circuli ad quem aptatur, AF asymptoto ejus, ac DB perpendiculari ad AV; cum semiaxe AF=AV, et semiparametro AG=13AV describatur Hyperbola FkK, et inter AB et AV sumpta AC media proportionali, erigantur ad C et V perpendicula Ck et VK, et agantur kt et KT rectæ tangentes Hyperbolam in k et K et occurrentes AV in t ac T, et ad AV constituatur rectangulum AVNM æquale spatio TKkt; et Cissoidis VD longitudo erit sextupla altitudinis VN{.}

<130>

[5]Exemplum 6. Existente Ad ellipsi quam æquatio az2zz_ definit: proponatur curva Mechanica AD talis ut si Bd seu y producatur donec huic curvæ ad D occurrat, sit BD æqualis arcui Ellipticæ Ad. Jam quo hujus longitudo determinetur æquatio az2zz_=y dabit a4z2az2zz_=n. Cujus quadrato si 1 addatur prodit aa4az+8zz4az8zz quadratum fluxionis arcûs Ad, et huic si iterum addatur 1, provenit aa4az8zz cujus radix a2az2zz_=n est fluxio curvæ lineæ AD. Ubi si e radicali z et pro z1 scribatur zη, habebitur a2zazη2_ fluxio primæ speciei septimi ordinis posterioris Catalogi; Collatisque terminis exibunt d=12a, e=2, et f=a, adeoque z=1zη=x, ax2xx_=v, et 8sa4xva+v=8deηffins12xvfv4e=t. Quorum constructio est ut, ad Ellipsis centrum C acta recta dC constituatur super AC parallelogrammum æquale sectori ACd, et duplum altitudinis ejus ponatur esse longitudo Curvæ AD.

Exemplum 7. Existente =φ, & Figure αδ Hyperbola ad quam æquatio sit a+bφφ_=βδ, actaque δT tangente ejus; proponatur curva VdD cujus basis AB sit 1φφ, & normaliter incedens BD longitudo quæ oritur applicando aream αδTα ad unitatem linearem. Jam ut hujus VD longitudo determinetur quæro fluxionem areæ αδTα cum AB uniformiter fluit & invenio esse a4bzbaz_ posita AB=z & fluxione ejus unitate. Nam est AT=abφ=abz, ejusque fluxio a2bz, cujus dimidium ductum in altitudinem βδ seu a+bz_ est fluxio areæ αδT descriptæ per tangentem δT. Quare fluxio illa est a4bzbaz_, atque hæc applicata ad unitatem fit fluxio Symbol (cross enclosed in circle) in text Symbol (cross enclosed in circle) in text incedentis BD. Hujus quadrato aaba3z16bbzz adde 1 quadratum fluxionis ipsius AB et prodit aaba3z+16bbzz16bbzz, cujus radix 14bzaaba3z+16bbzz_ est fluxio curvæ VD. Est autem hæc fluxio primæ speciei sexti ordinis posterioris Catalogi, collatisque terminis <131> exeunt 14b=d, aab=2, a3=f, 16bb=g, adeoque z=x, & aaba3x+16bbxx_=v (æquatio ad unam Conicam sectionem, puta HG, cujus area EFGH sit s, existente EF=x & FG=v:) Item 1z=ξ & 16bba3ξ+aabξξ_=Υ (æquatio ad aliam Conicam sectionem, puta ML, cujus area IKLM sit σ, existente IK=ξ & KL=Υ:)Denique 2aabbξΥa3bΥa4v4aabbσ32aabbs64b4a4=t.

Quare ut curvæ VD portionis cujuscunque Dd longitudo noscatur, demitte db normalem ad AB fingeque Ab=z & exinde per jam inventa quære t, dein finge AB=z et exinde etiam quære t & horum duorum t differentia erit longitudo Dd.

Exemplum 8.Proponatur Hyperbola ad quam æquatio est aa+bzz_=y et inde per Problema 1 elicietur n=bzy seu bzaa+bzz, cujus quadrato adde 1 & summæ radix erit aa+bzz+bbzzaa+bzz=q. Hanc fluxionem cùm non reperiatur in tabulis reduco in infinitam seriem, & primò per divisionem evadit q=1+bbaazzb3a4z4+b4a6z6b5a8z8&c_ dein per extractionem radicis q=1+bb2aazz+4b3+b48a4z4+8b4+4b5+b616a6z6&c. Et hinc per Problema 2 obtinetur t seu longitudo Hyperbolæ =z+bb6aaz3+4b3+b440a4z5+8b4+4b5+b6112a6z7&c{.}

Quod si Ellipsis aabzz_=y proponatur debet signum ipsius b ubique mutari & habebitur z+bb6aaz3+4b3b440a4z5+8b44b5+b6112a6z7&c pro longitudine ejus et posita insuper unitate pro b, emerget z+z36aa+3z540a4+5z7112a6&c pro longitudine circuli: cujus seriei numerales coefficientes in infinitum inveniuntur multiplicando continuo per terminos hujus progressionis, 1×12×3.3×34×5.5×56×7.7×78×9.9×910×11&c.

<132>

Exemplum 9. Proponatur denique Quadratrix VDE cujus vertex est V, existente Figure A centro et AV semidiametro circuli interioris ad quem aptatur, atque angulo VAE recto. Acta jam recta qualibet AKD secante circulum istum in K, et Quadratricem in D demissisque ad AE normalibus KG, DB; dic AV a{,} AG z, VK x, et BD y, eritque ut in superiore Exemplo, x=z+z36aa+3z540a4+5z7112a6+&c. Extrahe radicem z et emerget =xx36aa+x5120a4x75040a6+&c. Cujus quadratum aufer de AKq & residui radix axx2a+x424a3x6720a5+&c erit GK. Jam cùm ex natura Quadratricis sit AB=VK sive x, sitque etiam AG.GKAB.BDy, divide AB×GK per AG et orietur y=axx3ax445a32x6945a5&c. Et inde per Problema 1, n=2x3a4x345a34x5315a5&c. Cujus quadrato adde 1 et summa radix erit 1+2xx9aa+14x4405a4+604x612757a6+&c=q. Unde per Problema 2 obtinetur t seu Quadratricis arcus VD=x+2x327aa+14x52025a4+604x7893025a6+&c

[1] * Hic intersere notas 5, 6, 7, 8, et 9

[2] Vide Exemplum 1 sequentem

[3] Fig   

[4] Note:The contents of this note are only visible in the diplomatic transcript because they were deleted on the original manuscript

[5] Fig
Figure

© 2017 The Newton Project

Professor Rob Iliffe
Director, AHRC Newton Papers Project

Scott Mandelbrote,
Fellow & Perne librarian, Peterhouse, Cambridge

Faculty of History, George Street, Oxford, OX1 2RL - newtonproject@history.ox.ac.uk

Privacy Statement

  • University of Oxford
  • Arts and Humanities Research Council
  • JISC