<57>

Prob: 5.
Curvæ alicujus ad datum punctum
curvaturam invenire.

Problema cum primis elegans videtur et ad curvarum scientiam utili|e|. In ejus autem constructionem generalia quædam præmittere convenit.

1{.} Diversorum \Ejusdem circuli eadem est undiq curvatura et/ Inæqualium circulorum curvaturæ sunt reciprocè proportionales diametris. Si alicujus diameter diametro alterius duplo minor est, ejus periferiæ curvatura erit duplo major, si diameter triplo minor est curvatura erit triplo major, &c.

2. Si c|C|irculus c|C|urvam aliquam ad partem concavam in dato puncto tangat, sitq talis magnitudinis ut alius contingens circulus in angulis conta{illeg}|c|tûs inter proximè punctum istud interscribi nequeat, \circulus ille/ ejusdem est curvitatis ac Curva in \isto/ puncto contactûs. Nam circulus, qui inter curvam et alium circulum interjacet juxta punctum contactus interjacet, minus deflectit a curva ejusq curv{illeg}|aturam| magis appropinquat qua{illeg}m ille alius circulus; et proinde curv{illeg}|aturam| ejus maximè appropinquat \inter/ qui|e|m et Curv{illeg}|a|m {illeg} non alius quisquam potes intercedere.

3. Itaq centrum curvitatis|aminis| ad aliquod Curvæ punctum est centrum tangentis circuli æqualiter incurvatæ; et sic radius vel semidiameter curvitatis|aminis| est pars perpendiculi ad {illeg}|i|stud centrum terminata.

4{.} Et proportio curvitatis|aminis| ad diversa ejus puncta e proportione cui curvitatis|aminis| c{illeg}|i|rculorum æque curvorum sive e reciproca proportione radiorum curvitatis|aminis| innotescit.

Problema itaq ad hunc locum red{illeg}|ij|t ut radius aut \aut|vel|/ centrum curvitatis|aminis| inveniatur{.}

Concipe ergo quod ad tria curvæ puncta δ, D, ac d ducantur perpendicula quorum quæ sunt ad Figure D et δ conveniant in H; et quæ ad D et d, conveniant in h. Et puncto D existente medio si major est curvitas a parte Dδ quam Dd, erit DH<dh {sic}. Sed quo perpendicula δH ac dh propiora sunt intermedio perpendiculo, {illeg} eò minùs distabunt puncta H et h. Et convenientibus <58> tandem perpendiculis, coalescent. Coalescant autem in puncto C et erit illud C centrum curvitatis|aminis| at|d| curvæ punctum D cui perpendicula insistunt. Id quod per se manifestum est.

Hujus autem C varia sunt symptomata {illeg} quæ ad ejus determinationem inservire possunt: Quemamodum {sic} 1{.} Quod sit concursus perpendiculorum hinc et inde a DC infinitè parùm distantium. {illeg}

2{.} Quod perpendiculorum finitè parùm distantium intersectiones hinc et inde dirimit ac disterminat. Ita ut quæ sunt a parte curviori Dδ citiùs ad H conveniant, et quæ sunt ex alterâ minùs curvâ parte Dδ remotiùs conveniant ad h.

3. Si DC dum cu{illeg}|rvæ| perpendiculariter insist{illeg}|at| moveri concipiatur, illud ejus punctum C (si demas motum accedendi vel recedendi a puncto insistentiæ C) minimè movebitur sed centri motionis rationem habebit.

4{.} Si centro C intervallo DC circulus describatur, non potest alius describi circulus qui juxta contactum interjacebit.

5. Deniq si alterius alicujus \tangentis/ circuli centrum ut H vel h paulatim ad hujus centrum C accedat donec tandem conveniat, tunc aliquod e punctis in quibus circulus ille curvam secavit simul conveniet punctum contactûs D.

Et unumquodq horum Symptomatum ansam præbet diversimodè resolvendi Problema. Nos autem primum tanquam simplici{illeg}|ss|imum eligemus.

Ad quodlibet {illeg}|C|urvæ punctum D Figure esto DT tangens, DC perpendiculum et C centrum curvitatis|aminis| ut ante. {illeg}|Si|tq AB basis ad quam DB in angulo recto applicatur, \et cui DC occurrit in P/. Age DG parallelam AB, inq perpendicularem Et CG perpendiculum, inq eo cape Cg cujuslibet datæ magnitudinis, et age gδ parallelam perpendiculum quod occurrat DC in δ: eritq Cg.TB.BD fluxio Basis ad fluxionem Apl|p|licatæ. Concipe præterea punctum D per infinitè parvum intervallum Dd in curva prom{illeg}|o|veri et actis dE ad DG et Cd ad curvam normalibus quarum Cd occurrit DG in F et δg in f; erit DE momentum Basis <59> dE momentum Applicatæ, ac δf contemporaneum momentum rectæ gδ. Estq DF=DE+dE×dEDE. Habitis itaq horum momentorum rationibus sive quod perinde est fluxionum generantium rationibus, habebitur ratio GC ad datam gC (quippe quæ est DF ad δf,) et inde punctum C determinabitur.

Sit ergo AB=x, BD=y, Cg=1, et =z valebit nm, dic autem z, et |et erit 1.zm.n seu z=nm, hujus autem z| momentum ejus δf dic r×o (factum \nempe/ ex velocitate et infinite parva quantitate,) eritq momentum DE=m×o, dE=n×o, et inde DF=mo+nnom. Est ergo Cg1.CG(δf.DF)ro.mo+nnom. Adeoq CG=mm+nnmr.

Cùm {illeg} insuper Basis fluxioni m (ad quam ta{illeg}|n|quam correlatam et uniformem fluxionem cæteras referre juvat \convenit/) liberum sit quancunq velocitatem tribuere; dic esse 1, et erit n=z, et CG=1+zzr. vel = {illeg} siquidem est {illeg} /Et inde DG=z+z3r, ac DC=1+zz_1+zz_r{.}\

Expositâ itaq quâvis æquatione quâ relatio BD ad AB pro curvâ definiendâ designetur, imprimis quære relationem inter m et n per Prob 1, et interea substitue 1 pro m et z pro n. Dein ex æquatione resultante \per idem Prob 1/ quære relationem inter m, n, et r et interea substitue 1 pro m et z pro n ut ante. Atq ita per priorem operationem obtinebis valorem z, et per posteriorem obtinebis va{illeg}|l|orem r; quibus habitis, produc DB ad H versus concavam partem curvæ ut sit DH=1+zzr, et age HC \parallelam AB et/ perpendiculo DC occurrentem in C, eritq C centrum curvaturæ ad curvæ punctum D. Vel cùm sit 1+zz=PTBP, fac DH=PTr×BP, {illeg} vel DC=DP3r×DB3.

Exempl: 1. Sic exposita ax+bxxyy=0, æquatione ad Hyperbolam cujus latus rectum est a ac transversum ab; emerget (per Prob 1) a+2bx2zy=0 substituto (scriptis nempe 1 pro m et z pro n \in æquatione resultante, quæ secus foret am+2bmx2ny=0)/ et hinc denuò prodit 2b2zz2ry=0 substitutis iterum scriptis iterum 1 pro m et z pro n. Per priorem est z=a+2bx2y, et per posteriorem r=bzzy. Dato itaq quovis curvæ puncto D et per consequentiam x {illeg} et y, ex his dabuntur z et r, quibus cognitis fac 1+zzr=GC vel DH, et age HC /Quemadmodum si definitè sit a=3, & b=1, adeoq 3x+xx=yy Hyperbolæ conditio: et si {illeg}\ <60> perpendiculo DC occurrentem in C et erit C centrum |assumatur x=1, erit y=2, z=54, r=932 & DH=919. Invento H, erige HC occurrente perpendiculo DC priùs ducto. Vel quod perinde est fac HD.HC1.z1.54 et age DC curvedinis Radium.|

Siquando computationem non admodum perplexam fore censeas, possis indefinitos valores ipsorum r et z in {illeg} 1+zzr valore CG substituere. Et sic in hoc exemplo per debitam reductionem obtinebis DH=y+4y3+4by3aa . Cujus tamen DH valor per calculum negativus prodit \sicut in exemplo numerali videre est/. At hoc tantùm arguit {illeg} DH ad partes versus B capiendam esse{.} Nam si f{illeg}|u|is{illeg}|set| affirmativ{illeg}|u|s ad contrarias partes duxisse oporter{et}.

Coroll. Hinc si signum quod +b præfigitur \symbolo +b præfixum/ muta|e|t{illeg}|u|r, ut fi{illeg}|a|t axbxxyy=0, æquatio ad Ellipsin; erit DH=y+4y34by3aa{.}

At posito b=0 ut æquatio fiat axyy=0 ad Parabolam; erit DH=y+4y3aa. V|I|ndéq facilè colligitur esse DG=12r+2x {sic}. /Ex hi{illeg}|s| facilè colligitur radium curvaturæ cujusvis conicæ sectionis valere 4DPcubumaa\.

Exempl 2. Si x3=ayyxyy (æquatio ad Cissoidem Dioclis) exponatur; Per Prob 1 impb|r|imis obtinebitur 3xx=2azy2xzyyy; ad|c| deinde 6x=2ary2azz2zy2xry2xzz2zy. Adeoq est z=3xx+yy2ay2xy. Et r=3xazz+2zy+xzzayxy. Dato itaq quolibet Cissoidis puncto et inde x et y, dabuntur z et r: Quibus cognitis fac 1+zzr=CG.

Exempl: 3{.} Si detur b+y_ccyy_=xy æquatio ad Conchoidem, ut supra; Finge ccyy_=v, et emerget bv+yv=xy. Jam harum prior (viz ccyy=vv) per Prob 1 dat 2yz=2vl (scripto nempe z pro n,) et posterior dat bl+yl+zv=y+xz. Et ex his æquationibus rite dispositis determinantur l et z. Ut autem r præterea determinetur, e novissimâ {illeg}|æ|quatione extermina fluxionem l substituendo yzv et emergi|e|t byzvyyzv+zv=y+xz, sive byzyy+zvv=yvxyz æquati{illeg}|o| {illeg} quæ fluentes quantitates sine aliquibus earum fluxionibus (prout exigit resolutio Prob {illeg}|1|{illeg}mi) complectitur. Hinc itaq per Prob {illeg}|1| elic{illeg}|i|es bzzvbyrv+byzlvv2yzzvyyrv+yyzlvv+rv+zl=2z+xr. Qua æquatione in ordinem redactâ et concinnatâ, dabitur r. <61> Inventis autem z et r fac 1+zzr=CG.

Si penultimam æquationem per z divisissem|s|, exinde postmodum per Prob 1 obtinuisse{illeg}|s| bzv+bylvv2yzv+yylvv+l=2yrzz, æquationem \priori/ simpliciorem pro determinando r.

Dedi quidem hoc exemplum ut modus operandi in surdis æquationibus constaret. At Conchoidis curvatura sic breviùs inve{illeg}|n|iri potuit. Æquationis b+y_ccyy_=xy partibus quadratis et per yy divisis, exurgit bbccyy+2bccy+ccbb2byyy=xx{.} Et inde per Prob 1 exoritur 2bbcczy32bcczyy2bz2yz=2x. sive bbccy3bccyyby=xz. Et hinc denuo per Prob 1 exoritur 3bbcczy4+2bcczy3z=1zxrzz. Per priorem exitum determinatur z, et per posteriorem r.

Exempl 4. Sit IADF Trochois ad circulum \ALE/ (cujus diameter est AE) accommodata; et ordinatâ BD secante circulum in L, dic AE=a, AB=x, BD=y, BL=v, et arc {sic} AL=t ejusq arcûs fluxionem dic k. Et imprimis (ducto PL semidiametro) erit Fluxio Basis AB ad fluxionem arcus Figure AL ut BL ad PL; hoc est, msive1.kv.12a. Atq adeo {illeg} a2v=k.

Porrò ex natura circuli est axxx=vv. Et inde per Prob: 1 a2x=2lv, sive a2x2v=l.

Adhæc ex natura Trochoidis est AP=PD LD= arc {sic} AL; adeoq v+t=y. Et inde per Prob: 1, l+k=z.

Deniq pro fluxionibus l et k valores hic substi\tu/antur et emerget axv=z. Unde per Prob: 1 deducitur alvv+xlvv1v=r{.} Et his inventis fac 1+zzr=DH et erige HC.

|Coroll.| Cæterum ex his consectatur, 1{.} Quod sit DH=2BL et CH=2BE, sive quod EF \in N/ bisecat CD radium curvaminis. Et hoc patebit substituendo valores r et z jam inventos in æquatione 1+zzr=DH et \exitum/ probè reducendo.

2. Hinc Curva FCK in qua {illeg} centrum curv{illeg}|am|inis indefinite versatur est alia Trochois huic æqualis, quam cuspide hujus {illeg} <62> contingunt in ejus verticibus huic æqualis Trochois cujus vertices ad I et F adjacent hujus cuspidibus. Nam circulus Fλ æqualis ALE et similiter positus describatur et agatur Cβ parallela EF circuloq occurrens in λ; et erit arc {sic} Fλ (= arc. {sic} EL=NF)={.}

3. CD quæ recta est ad Trochoidem IAF, contingit Trochoidem IKF in C.

4. Hinc (inversis Trochoidibus) si superioris Trochoidis cuspidi K innitatur pondus ad distantiam KA sive 2EA filo appensum innitatur, et undulante pondere filum se applicet ad Trochoidis partes KF et KI hinc inde obsistentes ne in rectum distendatur, et cogentes ut ad earum normam dum digreditur a perpendiculo \paulatim/ desuper inflectatur, parte CD sub infimo contactûs puncto manente rectâ: pondus in inferioris Trochoidis perimetro movebitur, utpote cui filum CD semper perpendiculari|e|s est.

5. Est itaq tota fili longitudo KA æqualis perimetro Trochoidis KCF, ejusq pars CD æqualis parti perimetri CF.

6. Cum filum circa mobile punctum C tanquam centrum undulando convo{illeg}|lva|tur; superficies per quam tota CD \continuò/ tra{illeg}|j|icitur erit ad superficem {sic} per quam pars CN supra rectam IF \simul/ trajicitur ut CDq ad CNq hoc est ut 4 ad 1. Est itaq area CFN quarta pars areæ CFD, et area KCNE quarta pars areæ ACDB {sic}.

7. Quinimò cùm subtensa EL circa centrum immobil sit æqualis et parallela CN, et circa immobile centrum E perinde ac CN circa mobile centrum C utraq per \circumaga|i|tur,/ æquales erunt superficies per quas simul trajiciuntur; nempe area CFN et circuli segmentum EL. Et inde area NFD tripla erit segmenti istius, ac tota EADF tripla semicirculi{.}

8. Deniq cùm pondus D attingit punctum F, totum filum circum Trochoidis perimetrum KCF flectetur, radio curvaminis CD manente null{illeg}|o|. Et proinde Tro{illeg}|ch|ois ad ejus IAF ad ejus cuspidem F curvior est quàm quilibet circulus, et cum tangente BF productâ constituit angulum contactus infinitè majorem quàm circulus \cum rectâ/ potest constituere.

Sunt etiam anguli contactûs Trochoidalibus infinitè majores <63> et illis deinceps alij infinite majores et sic in infinitum, et tamen maximi sunt infinitè m{illeg}|i|nores rectilineis. Sic {illeg} xx=ay. x3=byy. x4=cy3. x5=dy4 &c denotant seriem curvarum quarum quælibet {illeg}|post|erior cum Basi constituit angulum contactus infinitè majorem quàm prior cùm eadem Basi potest constituere. Estq angulus contactus quem prima xx=ay constituit, ejusdem generis cum circularibus, et ille quem secunda x3=byy constituit, ejusdem generis cum Trochoidalibus. Et quamvis subsequentium anguli angulos præcedentium perpetim infinitè superant, tamen anguli rectilinei magnitudinem nunquam possunt assequi.

Ad eundem modum x=y. xx=ay. x3=bby. x4=c3y &c denotant seriem linearum quarum subsequentium anguli ad vertices cum basibus confecti sunt angulis præcedentiu perpetim infinitè minores. Quinetiam inter angulos contactus duorum quorumlibet ex his generibus possunt \possunt/ alia anguloru se infinite superantium \intercedenti{illeg}|a|/ genera in infinitum excogitari. possunt

Angulorum verò contactus unum genus esse infinitè majus alio constat cùm unius genes|r|is curva utcunq parva \magna/ inter {illeg} et {illeg} rectam tangentem et alterius generis curvam quantumvis parvam juxta pu{illeg}|n|ctum contactus non potest interjacere: Sive cujus angulus conta{illeg}|c|tus necessariò contine{illeg}t alterius angulum conta{illeg}|c|tûs ut partem totius. Sic curva x4=cy3 {illeg}|a|ngulus contactûs quem cum basi constituit, necessario cont{illeg}|in|et angulum contactus curvæ x3=byy. Qui verò se mutuò superare possunt anguli sunt ejusdem generis, uti de præfatis angulis Trochoidis et hujus curvæ x3=byy contigit.

Et|x| hi{illeg}|s| {illeg} patet curvas in quibusdam punctis posse infinitè rectiores esse vel infinitè curviores quolibet circulo et tamen formam curvarum non ideo amittere. Sed hæc in transitu.

*** < insertion from p 65 > ***[1]

Exempl: 5. Esto ED Quadratrix ad circulum centro A descriptum pertinens, ac DB ad AE normaliter demissâ dic AB=x. BD=y et AE=1. Erit{illeg}|q| nxnyynxx=my ut supra. quæ æquatio, {illeg}|s|criptis 1 pro m et z pro n, fit Figure zxzyyzxx=y; Et inde per Prob 1 elicitur rxryyrxx+zm2zmx2zny=n. Factâq reductione et scriptis iterum 1 pro m et z pro n, e{illeg}|x|it r=2zzy+2zxxxxyy. Inventis autem z et r fac 1+zzr=DH, et age HC ut supra.

Si constructionem concinnare placet, perbrevem invenies; nempe ad DT duc normalem DP occurrentem AT in P, et fac esse 2AP.AEPT.CH.

Scilicet est z=yxxxyy=BDBT, et zy=BDqBT=BP. et zy+x=AP, et 2zxxxyyinzy+x=2BDAE×BTqinAP=r Præterea est 1+zz=PTBT, (utpote =1+BDqBTq=DTqBTq,) adeóq 1+zzr=PT×AE×BT2BD×AP=DH. Deniq est BT.BDDH.CH=PT×AE2AP. Ubi valor negativus tantum arguit CH capiendam esse ad partes DH versus AB.

Eadem methodo Spiralium et aliarum quarumvis Curvarum curvatura{illeg} calculo brevissimo determinare|i| pot{illeg}|est|.

Ad curvaturam praæterea, cum curvæ alijs modis ad rectas referuntur, sine prævia reductione determinandam, jam potuit hæc methodus applicari perinde ut in determinando Tangentes factum est. Sed cùm omnes Geometricæ curvæ ut et Mechanicæ (præsertim ubi definientes conditiones ad infinitas æquationes uti post ostendam reducu|a|ntur) ad rectangulas ordinatas referri possi|e|nt videor satis præstitisse.

[2] < text from p 63 resumes >

Ad curvaturam determinandam cum curvæ aljis <64> modis ad rectas referuntur determinandam jam potuit hæc methodus applicari perinde ut in determinando tangentes factum est. Sed cum omnes Geometricæ Curvæ, ut et Mechanicæ mediantibus infinitis æquationibus uti posthac ostendetur, ad p{illeg} rectangulas ordinatas referri possunt, videor satis præstitisse. Qui plura desiderat haud difficulter propr{illeg}|i|o Marte supplebit Præsertim si Methodum in ejus rei illustrationem pro {illeg} ex abundanti methodum pro Sp{illeg}|i|ralibus adjecero.

Esto BK circulus, A centrum ejus, \B punctum in circumferentia datum,/ ADd spiralis, DC perpendiculum ejus, et C centrum curvitatis ad punctum D. Ductâq ADK recta, et ei parallela {illeg} et Figure cujusvis datæ longitudinis \æquali CG,/ \ut/ et normali GF occurrente CD in F; S|d|ic AB vel AK={illeg}\1=CG/, BK=x, AD=y AK=1=CG, BK=x, AD=y, & GF=z. Præterea concipe punctum D per infinitè parvum spatium Dd in spirali moveri, et perinde per d agi semidiatrum Ak, eiq parallelam et æqualem Cg, et normalem gf occurentem {illeg} Cd in f, cui etiam GF occurrit in P; Produc GF ad φ ut sit =gf, et ad AK demitte normalem dE et produc donec cum CD conveniat ad I: Et ipsarum BK, AD, ac Gφ contemporanea momenta erunt Kk, DE, et Fφ, quæ proinde dicentur m×o, n×o, et r×o.

Jam est AK.AEADkK.dE=oy ubi assumo m=1 ut supra. Item CG.GFdE.ED=oyz {illeg} adeóq yz=n. Præterea CG.CFdE.dD=oy×CFdD.dI=oy×CF. Ad hæc propter angPCφ=angGCg=angDAd, angCPφ=angCdI=angEdD+rect:=angADd, triangula CPφ et ADd sunt similia, et inde {illeg} AD.DdCPCF.=o×CFq, unde aufer Fφ et restabit PF=o×CFqo×r. Deniq de{illeg}|m|issa CH normali ad AD est PF.dICG.EHvelDH=y×CFqCFqr. Vel substituto 1+zz pro CFq, erit DH=1+yzz1+zzr{.}

Et not{illeg}|a| quod in hujusmodi computationibus quantitates (ut AD et AE) pro ǽqualibus habeo quarum ratio a ratione aequa <67> litatis non nisi infinitè parùm differt.

Ex his autem prodit hujusmodi Regula: Relatione inter x et y per quamlibet æquationem definitâ, quære relationem fluxionum m et n ope Prob 1, et substitue 1 pro m et yz pro n. Deinde ex æquatione prodeunte quære denuò per Prob 1 relationem inter {illeg} m n et r et iterum substitue 1 pro m. Prior exitus per debitam reductionem dabit n et z et posterior dabit r; quibus cognitis fac y+yzz1+zzr=DH, et erige normalem HC spiralis perpendiculo DC priùs ducto occurrentem in C, quod \et/ erit C centrum curvaminis. Vel quod eodem recidit cape CH.HDz.1, et age CD.

Exempl 1. Si detur ax=y æquatio ad Spiralem Archimedeam; erit per Prob 1 am=n sive (scripto 1 pro m et yz pro n) a=yz. Et hinc denuò per Prob 1 exit 0=nz+yr. Est ita Qua{illeg}re{illeg} ex dato quolibet spiralis puncto D et inde longitudine AD sive y, dabuntur z=ay et r=nzysive=azy: Quibus cognitis fac 1+zzr.1+zzDAy.DH. et 1.zDH.CH.

Et hinc facilè deducitur hujusmodi constructio. Produc AB ad Q ut sit AB.arcBKarcBK.BQ, et fac AB+AQ.AQDA.DHa.HC.[3]

Exempl: 2. Si axx=y3 definit relationem inter BK et AD: obtinebis (per Prob 1) 2amx=3ny2, sive 2ax=3zy3, et inde rursus 2am=3ry3+9znyy. Est itaq z=2ax3y3 et r=2a9zzy33y3. Quibus cognitis fac 1+zzr.1+zzDA.DH. Vel opere concinnato, fac 9xx+6.9xx+4DA.DH.

Exe{illeg}|m|pl 3. Ad eundem modu si axxbxy=y3 determinat relationem BK ad AD, orietur 2axbybxy+3y3=z, et 2a2bzybzzxy9zzy3bxy+3y3=r. Ex quibus DH, et inde punctum C determinatur ut ante.

Et sic aliarum quarumvis spiralium curvaturam nullo negotio determinabis. Imo et ad horum exemplar Regulas pro <68> quibuslibet curvarum generibus excogitare.

Absolvi tandem Problema sed cum methodum adhibueri{m} a vulgaribus operandi modis satis diversam, et ipsum Problema non sit ex eorum numero quorum contemplatio apud Geometras increbuit: in ablatæ solutionis illustrationem et confirmationem non gravabor aliam \magis {illeg} obviam/ solutionem attingere attingere, in quam veri simile est GEometras \statim/ incidisse ut incœpissent speculari magis obviam et usitatis in ducendo tangentes methodis affinem. Utpote si centro et intervallo quovis circulus describi concipiatur, qui curvam quamlibet in pluribus punctis secet, et circulus ille contrahetur vel dilatetur donet|c| duo intersectionum puncta conveniant, is curvam ibidem tanget. Et præterea si tertium centrum ejus accp|e|du accedere vel recedere a puncto contactûs fingatur, donec tertium intersectionis punctum cum {illeg}|p|rioribus in puncto contactûs conveniat, is æque curvus ac Curva in illo puncto contactûs evadet. Quemadmodum in ultimo quinq symptomatum centri curvaminis supra monui, e quorum singulis dixi Problema diversimodè confici potuisse.

Centro itaq C et radio Figure CD describatur circulus secans curvam in punctis d, D, ac δ. Et demissis db, DB, et δβ, et CF ad Basin AB normalibus: dic AB=x, BD=y, AF=v, FC=t, ac DC=s; et erit BF=vx, ac DB+FC=y+t; Quorum quadratorum aggregatum æquatur qua\d/rato DC. Hoc est vv2vx+xx+yy+2ty+tt=ss. Quam < insertion from p 201 > {æquationem si pl}acet abbreviare possis fingendo vv+ttss= symbolo cuivis qq, et evadet xx2vx+yy+2ty+qq=0. Postquam verò t, v, et qq inveneris si s desideres fac =vv+ttqq_. < text from p 68 resumes >

Proponatur jam quælibet æquatio pro Curva definienda cujus flexuræ quantitatem invenire oportet et ejus ope alterutram f quantitatem x vel y extermina et emerget æquatio cujus radices (db, DB, δβ &c si extermines x, vel Ab, AB, Aβ &c si extermines y) sunt ad intersectionum puncta (d, D, δ &c). Et proinde cùm <69> ex istis tres evadent æquales, {illeg} circulus et curvam continget et erit ejusdem curvitatis ac curva in puncto contactus{.} Æquales autem evadent conferendo æquationem cum alia totidem dimensionum æquatione fictitia cujus tres sunt æquales radices ut docuit Cartesius; vel expeditiùs multiplicando terminos ejus bis per Arithmeticam progressionem.

Exempl. Sit ax=yy æquatio ad Parabolam, et exterminato x (substituendo nempe valo in æquatione superiori valorem ejus yya) prodibit y4a2vayy+yy+2ty+qq=0 4.2.1.0. 3.1.0.1.
cujus e radicibus y t{illeg}|r|es de{illeg}|b|ent fieri æquales. Et in hunc finem terminos per Arithmeticam progressionem bis multiplico ut hic videre est, et exit 12y4aa4vayy+2yy=0 sive v=3yya+12a. Hoc est AF=3x+12a Unde facilè colligitur esse BF=2x+12a ut supra.

Quamobrem dato quovis Parabolæ puncto D, duc perpendiculum DP et in axe cape PF=2AB et erige normalem FC ocrrentem {sic} DP in C et erit C desideratum centrum curvitatis.

Idem in Ellipsi et Hyperbola præstare possis sed calculo satis molesto, et in alijs curvis utplurimùm fastidiosissimo.

De Quæstionibusdab quibusdam huic Problemati
cognatis.

Ex hujus Problematis resolutione consectantur aliorum nonnullorum confectiones. Cujusmodi sunt

1. Invenire punctum ubi linea datam habet curvaturam.

Sic in Parabola ax=yy si punctum quæratur ubi ad quod radius curvaturæ sit datæ longitudinis f: {illeg} e centro curvaturæ \ut prius/ invento radium determinabis esse r+4x2rrr+4rx_ {sic}, quem pone æqualem {illeg} f. Et factâ reductione emerget x=14a+c:116aaf {sic}.

2. Invenire punctum rectitudinis.

Punctum rectitudinis voci|o|t ad quod radius flexionis infinitus e{illeg}|vadit|, sive centrum infinitè distans; qual{illeg}|e| est ad verticem Parab{illeg}|o|ax3=y4. Et hoc idem plerumq limes est flexionis contrariæ cujus <70> determinationem supra posui. Sed et alia haud inelegans ex hoc Problemate scaturit. [4]Nempe quo longior est radius flexionis eo minor evadit angulus DCd, et pariter momentum δf adeóq fluxio quantitatis z unà diminua|i|ntur, ita ut per ejus radij infinitatem prorsus evanescant. Quære ergo fluxionem r et suppone nullam esse{.}

Quemadmodum si limitem flexûs contrarij {illeg}|i|n Parabola secundi generis cujus ope Cartesius construxit æquationes sex dimensionum determinare oportet. Ad illam Curvam æquatio est x3bxxcdx+bcd+dxy=0. Et hinc per Prob 1 exit 3mxx2bmxcdm+dmy+dxn=0; Quæ, scripto 1 pro m et z pro n, fit 3xx2bxcd+dy+dxz=0: Unde rursus per Prob 1 exit 6mx2bm+dn+dmz+dxr=0, Et hæc, scripto iterum 1 pro m, z pro n, et 0 pro r, fit 6x2b+2dz=0. Jam extermina z scribendo pro dz valorem 2b3x {sic}, et proveniet {illeg} in æquatione 3xx2bxcd+dy+dxz=0, et proveniet cd+dy=0, sive y=c. Figure Quamobrem ad punctum A erige perpendiculum AE=c, et per E duc ED parallelam AB, et punctum D ubi Parabolæ partem convexo-concavam secuerit erit in confinio flexionis contrariæ.

Similiq methodo alia rectitudinis puncta quæ non interjacent partibus contrariè flexis determinare|i| possis|u|nt. Veluti si x44ax3+6aaxxb3y=0 Curvam defini{illeg}|a|t, Exinde per Prob 1 imprimis producetur 4x312axx+12aaxb3z=0 et hinc denuò {illeg} 12xx24ax+12aab3r=0, Ubi suppone r=0 et factâ reductione prodibit x=a. Quamobrem sume AB=a et BD normaliter erecta curvæ in desiderato \rectitudinis/ puncto D occurret{.}

3. Invenire punctum flexionis infinitæ.

Ad ejusmodi puncta radius curvaturæ nullus est, et fluxio quantitatis z infinita. Quære ergo fluxionem ejus r, et suppone infinitam esse, hoc est denominatorem valoris ejus pone =c.

Quære radium curvatur flexionis et suppone nullum esse Sic ad Parabolam secundi generis æquatione x3=ayy definitam erit {illeg} radius ille CD=4a+9x6axa; qui nullus evadit cum sit

<71>

3. Invenire punctum flexio|ûs|nis infiniti{illeg}

Quære radium flexionis \curvaminis/ et suppone nullum esse. Sic ad Parabolam secundi generis æquatione x3=ayy definitam, erit radius ille CD=4a+9x6a4ax+9xx_; qui nullus evadit cùm sit x=0.

4{.} Flexûs maximi minimive punctum determinare.

Ad hujusmodi puncta radius curvaturæ aut maximus aut minimus evadit. Quare centru{illeg}|m| curvaturæ ad id temporis momentum nec versus punctum contactus neq ad contrarias partes movetur sed penitus quiescit. Quæratur itaq fluxio Radij CD; vel expeditiùs, quæratur fluxio alterutrius rectæ BH vel AK, et supponatur nulla.

Quemadmodum si de Parabola secud|n|di generis x3=aay quæstio proponatur: imprimis ad curvaturæ centrum determinandum invenies DH=aa+9xy6x, adeoq est BH=aa+15xy6x, dic autem BH=v, et erit aa6x+52y=v, unde juxta Prob 1 educitur aam6xx+5n2=l 15my+15xx=6mv+6xl. Jam vero Figure [5]l ipsius BH fluxionem suppone nullam esse, et insuper cùm ex hypothesi sit x3=aay, et inde per Prob 1 3mxx=aan, posito m=1 substitue 3xxaa pro n, ut est aa+15xy6x pro {illeg}, et emerget 45x4=a4. 15y+45x3aa=aa+15xyx; Factâq reductione, 4:x445. Cape ergo AB=4:x445. Et BD normaliter erecta occurret curvæ in puncto maximæ fluxionis \curvaturæ/. Vel, quod perinde est fac AB.BD35.1.

Ad eundem modum Hyperbola secundi generis per æquationem xxy=a3 designata maximè flex|c|titur in Figure [6] punctis D, d, quæ determinabis sumendo AQ=1 in Basi, et erigendo QP=5. \eiq æqualem Qp ex altera parte/ et agendo AP et Ap, quæ curvæ occurrent in desideratis punctis D ac d.

5. Locum centri curvaminis determinare; sive Curvam describere in quâ centrum istud perpetuo versatur.

Trochoidis centrum curvaminis in alia Trochoide <72> versari ostensum est. Et sic Parabolæ centrum istud in alia secundi generis (quam æquatio axx=y3 definit) Parabola versatur, ut inito calculo facilè constabit.

6. Lucis a quacunq

6. Luce in quamlibet curvam incidente, invenire focum sive concursum radiorum circa quodpiam ejus punctum refractorum.

Curvaturam ad istud Curvæ punctum quære, et centro radioq curvaturæ Circulum describe; Dein quære concursum radiorum a Circulo circa istud punctum refractoru. Nam idem erit concursus refractorum a propositâ Curvâ.

7. His addi potest particularis inventio curvaturæ ad vertices curvarum ubi normaliter secant Bases. Nempe punctum in quo Curvæ perpendiculum cum Basi conveniens ipsam ultimò secuerit, est centrum curvaturæ ejus. Quamobrem habitâ relatione inter Basin x et rectangulum applicatum y et inde (per Prob 1) relationem inter fluxiones m et n; valor mn; si in eo scribas 1 pro m et fingas y=0, erit radius curvaturæ.

Sic in Ellipsi axabxx=yy, est am2amxb=ny, qui valor ny si supponas y=0 et consequenter x=0 et scribas 1 pro m evadet 12a radius curvaturæ. Et sic ad vertices Hyperbolæ et Parabolæ radius curvaturæ erit etiam dimidium lateris recti.

Atq ita ad Conchoiden æquatione bbccxx+2bccx+ccbb2bxxxyy definitam valor ny ope Prob 1 invenietur bbccx3bccxxbx. Qui supponendo y=0, et inde x=c vel c evadet bbc2bc, vel bbc2b+c radius curvaturæ. [7]Fac ergo AE.EGEG.EC, et Ae.eGeG.ec, et habes curvaturæ centra C et c ad vertices conjugatarum Conchoidum E et e.

<73>

Prob 6.
Curvaturæ ad datum Curvæ alicujus punctum
qualitatem determinare.

Per qualitatem Curvaturæ intelligo formam ejus quatenus est plus vel minùs inæquabilis, sive quatenus plus vel minùs variatur in processu per diversas partes Curvæ. Sic interroganti qualis sit circuli curvatura, responderi potest quod sit uniformis, sive invariata; [8]et interroganti qualis sit curvatura Spiralis quæ describitur per motum puncti D cum accelerata celeritate AD in recta AK uniformitèr circa centrum A gyrante progredientis ab A, adeo ut recta AD ad arcum BK dato puncto K descriptum rationem habe{illeg}|a|t numeri ad Logarithmum ejus, responderi potest quod sit uniformiter variata sive quod \sit/ æquabiliter inæquabilis. Et sic aliæ curvæ in singulis earum punctis aliquales pro curvaturæ variatione denominari possunt.

Quæritur itaq Curvaturæ circa aliquod Curvæ punctum inæquabilitas sive variatio. Qua de causa animadvertendum est 1 Quod ad puncta in similibus curvis similiter posita similis est inæquabilitas sive variatio curvaturæ. 2 Et quod momenta radiorum curvaturæ ad illa puncta sunt proportionalia contemporaneis momentis curvarum, et fluxiones fluxionibus. 3 Atq adeò quod ubi fluxiones illæ non sunt proportionales dissimilis erit inæquabilitas curvaturæ. Utpote major erit inæquabilitas ubi major est ratio fluxionis radij curvaturæ ad fluxionem Curvæ, At|d| fluxionum ratio illa non immeritò dici potest index inæquabilitatis sive variationis curvaturæ.

Ad Curvæ alicujus AD puncta D ac d Figure infinitè parùm distantia sunto radij curvaturæ DC ac dc, et existente Dd momento Curvæ erit Cc contemporaneum momentum radij curvaturæ, et CcDd index {illeg}|i|næquabilitatis curvaturæ. Nempe tanta dicetur inæquabilitas illa, quantam esse indicat rationis illius CcDd quantitas. Sive curvatura dicetur tanto dissimilior {illeg}|c|urvaturæ circuli.

Demissis jam ad quamlibet AB occurrentem DC in P, <74> rectangulis applicatis DB ac db dic AB=x, BD=y, DP=t, DC=v, et inde Bb=m×o, eritq Cc=l×o, et BD.DPBb.Dd=tmoy. ac CcDd=lytm sive =lyt supposito m=1. Quamobrem relatione inter x et y per quamlibet æquationem definitâ, et inde juxta Prob 4 & 5 invento perpendiculo DP sive t et radio curvaturæ v, ejusq radij fluxione l per Prob 1; dabitur index inæquabilitatis curvaturæ lyt.

Exempl: 1. Sit 2ax=yy (æquatio ad Parabolam{)} et per Prob 4) erit BP=a, adeoq DP=aa+yy_=t. Item per Prob 5 BF=a+2x \*/[9] et BP.DPBF.DC=at+2txa=v. Jam æquationes 2ax=yy et aa+yy=tt, et at+2txa=v per Prob 1 dant 2am=2ny, et 2ny=2kt, et ak+2kx+2tma=l. Quibus ordinatis et posito m=1, orientur n=ay, k=nyt vel =at et l=ak+2kx+2ta. Et sic inventis n, k, et l habebitur curvatur lyt index inæquabilitatis curvaturæ.

Quemadmodum si in numeris definiatur a=1, sive 2x=yy, et x=12, erit nay={illeg} y2x=1, nay=1, taa+yy_=2, kat=12, et lak+2kx+2ta=32. Adeoq lyt=3 ind{illeg}|ic|i inæquabilitatis{.}

Sin autem definiatur x=2, erit y=2, n=12, t=5, k=15 et l=35, {illeg}Adeoq lyt=6 index inæquabilitatis. Qua{illeg}|mo|brem inæquabilitas Curvaturæ {illeg}ad punctum Parabolæ a quo \ad axin/ demissa ordinatim applicata æquatur lateri recto Parabolæ dupla est ejus ad punctum a quo demissa ordinatim applicata æquatur dimidio ejusdem lateris recti. |Hoc est curvatura in priori casu duplo dissimilior est curvaturæ circuli, quàm in posteriori.|

Exempl: 2. Sit 2axbxx=yy, et per Prob 4 erit abx=BP et inde aa2abx+bbxx+yy=tt, sive aabyy+yy=tt. Item per Prob. 5 erit DH=y+y3by3aa ubi si yybyy substituas ttaa evadet DH=ttyaa. Et est {illeg} BP.DPDH.DC=t3aa=v. Jam per Prob 1 æquationes 2axbxx=yy et aabyy+yy=tt et t3aa=v dant abx=ny et nybny=tk, et 3ttkaa=l. Et sic invento l, dabitur lyt index inæquabilitatis curvaturæ.

Sic posita a=1 et b=3, {illeg} \ad/ /ad Ellipsin\ 2x3xx=yy, ubi est a=1 et b=3 si supponatur x=12, erit y=12, n=1, t=12, k=2, l=312 et lyt=32 indi{illeg}|c|i inæquabilitatis curvaturæ. Unde patet curvatura <75> hujus Ellipsis ad hic definitum punctum D, esse duplo minus inæquabilem (sive duplo similiorem curvaturæ circuli,) quàm curvatura Parabolæ ad illud ejus punctum a quo ad axin demissa ordinatim applicata æquatur dimidio ejus lateris recti.

Si conclusiones in his exemplis concinnare placet, ad Parabolam 2ax=yy exibit lyt=3ya index inæquabilitatis et ad Ellipsin 2axbxx=yy exibit {illeg} index lyt=3y3byaa×BP, et sic ad Hyperbolam 2ax+bxx=yy, observata analogiâ, erit index lyt=3y+3byaa×BP. Unde patet quod ad diversa puncta cujusvis Conicæ sectionis seorsim spectatæ curvaminis inæquabilitas est ut rectangulum BD×BP. Et quod ad diversa puncta Parabolæ est ut ordinatim applicata BD.

Cæterùm cum Parabola sit linearum simplicissima linearum inæquabili curvaturâ flexarum, ejusq curvaturæ inæquabilitas tam levi negotio determinatur (up|t|pote cujus index sit 6×ordin: applic.lat: rect:;) aliarum curvarum curvaturæ ad curvaturam hujus non incommodè referri possunt. Quemadmodum si quæratur qualis sit Ellipseωs {sic} curva 2x3xx=yy curvatura ad illud ejus punctum quod definitur assumendo x=12: Quoniam index ejus (ut {illeg} supra) sit 32, responderi potest esse similem curvaturæ Parabolæ 6x=yy ad illud ejus punctum inter quod et axin recta =32 ordinatim applicatur.

Sic cum lineæ Spiralis ADE jam ante descriptæ[10] fluxio sit ad fluxio sit ad fluxionem {illeg} subtensæ AD in data quadam ratione, puta d ad e: versus partes concavas ejus erige ad AD normalem AP=eddee_×AD, et erit P centrum curvaturæ, et APAD sive ddee_e {sic} index inæquabilitatis ejus. Quare Spiralis hæcce curvaturam habet ubiq similiter inæquabilem ac Parabola 6x=yy habet in illo ejus puncto a quo demittitur ad axin ordinatim applicata =ddee_e.

Et sic index inæquabilitatis ad quodvis Trochoidis punctum D (fig      ) invenietur esse ABBL. Quare curvatura ejus ad idem D tam inæquabilis est sive tam dissimilis curvaturæ <76> circuli, quàm curvatura Parabolæ cujusvis Parabolæ ax=yy ad illud ejus punctum ubi ordinatim applicata æquatur 16a×ABBL.

Ex his credo sensus Problematis satis elucescet, quo benè perspecto non difficile erit animadvertenti seriem rerum supra traditarum plura exempla de proprio suppeditare et hujusmodi complures alias operandi methodos, prout res exiget, concinnare. Quineti{illeg}|à|m cognata Problemata (ubi perplexa computatione non conteritur et fatigatur,) haud majori difficultate {illeg}|t|ransiget: Cujusmodi sunt, 1{.} Invenire punctum curvæ alicujus ubi vel nullam, vel infinitam, vel maxima aut minimam, vel datam quamvis habe{illeg}|a|t inæquabilitatem curvaturæ. Sic ad vertices Conicarum sectionum nulla est inæquabilitas curvaturæ, ad cuspidem Trochoidis infinita est, et ad puncta Ellipseos {illeg} maxima est ubi rectangulu BD×BP fit maximum, hoc est ubi lineæ diagonales rectanguli Parallelogramma|i| circumscripti Ellipsin secant cujus latera tangunt illam in principalibus verticibus{.}

2. Curvam alicujus definitæ speciei, puta Conicam Sectionem, numericè (ut loquuntur) determinare, cujus curvaturæ ad daliquod punctum & æqualis sit et similis curvaturæ alterius alicujus curve ad datum ejus punctum ejus.

3. Conicam Sectionem determinare ad cujus punctum aliquod curvatura & lineæ tangentis (respectu axis) positio sit similis curvaturæ ac tangentis positioni alterius alicujus Curvæ ad assignatum punctum ejus. Et hujus problematis usus est ut vice Ellipsium secundi generis quarum refringendi proprietates Cartesius in Geometria demonstravit, Conicæ sectiones idem in refractionibus quàm proximè præstantes subrogari possint. Atq idem di|e| all|i|js curvis intellige.

<77>

Prob: 7.
Curvas pro arbitrio multas invenire quarum areæ
per finitas æquationes designari possunt.

|Figure|Sit AB basis curvæ, BC rectangula applicata ad cujus initium A erigatur normalis AC=1 et agatur CE parallela AB, sit etiam DB rectangula applicata occurrens \rectæ/ DE in E et curvæ AD in D. Et concipe has areas ACEB et ADB per motum a rectis BE et BD per AB delatis generari. Et incrementum sive fluxio areæ ACB {sic} erit {illeg} earum incrementa sive fluxiones perpetim erunt ut lineæ describentes BE et BD. Quare parallelogrammum ACEB sive AB×1 dic x, et curvæ aream ADB dic {illeg} z: et fluxiones m et r erunt ut BE et BD, adeoq posito m=1=BE erit r=BD.

Si jam ad arbitrium assumatur æquatio quævis pro definienda relatione z ad x, exinde per prob 1 elicietur r. Atq ita duæ habebuntur æquationes quarum posterior Curvam definiet et prior aream ejus.

Exempla. Assumatur xx=z et inde per Prob: 1 elicietur 2mx=r, sive 2x=r siquidem est m=1.

Assumatur x3a=z et inde prodibit 3xxa=r, æquatio ad Parabola.

Assumatur ax3=zz, sive a12x32=z, et emerget 32a12x12=r, sive 94ax=rr æquatio iterum ad Parabolam.

Assumatur præterea a3x=zz, sive sive a32x12=z et elicietur 12a32x12=r sive a3=4xrr{.}

Item assumatur a3x=z sive a3x1=z et elicietur a3x2=r sive a3+rxx=0 Ubi negativus valor \ipsius r/ tantùm denotat BD capiendam esse ad partes contra BE.

Adhæc si assumas ccaa+ccxx=zz, eliciet|s| 2ccx=2zr et exterminato z proveniet {illeg} cxaa+xx_=r.

Vel si assumas aa+xxbaa+xx_=z, dic aa+xx_=v et erit v3b=x, et inde per Prob 1 3lvvb=r. Item æquatio aa+xx=vv dat {illeg} per Prob 1 dat 2x=2vlcujus ope si extermines l fiet 3vxb=r=3xbaa+xx_.

Si deniq assumas 83xz+25z=zz, elicies {illeg} 3z3xr+25r=2rz. Quare per assumptam \æquationem/ imprimis quære \aream/ z, ac deinde \applicatam/ r per elicitam{.}

Atq ita ex areis qualescunq effingas semper possis applicatas determinare.

<78>

Prob: 8.
Curvas pro arbitrio multas invenire quarum
areæ ad aream datæ alicujus Curvæ relationem habent per finitas æquationes
designabilem.

|Figure|Sit FDH data curva, ac GEI quæsita Figure et earum applicatas DB et EC concipe super Basibus AB et AC erectas incedere: Et arearum qu{illeg}\a/s ita transigunt incrementa sive fluxiones erunt ut applicatæ illæ ductæ in earum velocitates incedendi, hoc est in fluxiones basium. Sit ergo AB=x, BD=v, AC=z ac{sic} {illeg} \CE=y/, area AFDB=s, & area AGEC=t, ac arearum fluxiones sint p, et q, nempe p ipsius s, et q ipsius t: Eritq m×v.r×yp.q. Quare si supponatur m=1, et v=p, ut supra; erit ry=q et inde qr=y.

Assumantur itaq duæ quævis æquationes quarum una definiat relationem arearum s ac t, et altera relationem basium x et z et inde per Prob 1 quærantur fluxiones q et r, et statuatur qr=y.

Exemp 1. Data curva AFD sit circulus æquatione axxx=vv designatur|s|, et quærantur aliæ curvæ quarum areæ adæquant aream ejus. Ex hypothesi ergo est {illeg} s=t adeoq et inde p=q=v. et y=qr=vr. Superest ut {illeg} r determinetur assumendo relationem aliquam inter bases x et z.

Veluti si fingas ax=zz erit per Prob 1 a=2rz. Quare substitue azz pro r et fiet y=vr=2vza. Est autem v=axxx_=zaaazz_, adeoq {illeg} 2zzaaaazz_=y, æquatio ad curvam cujus area æquatur areæ circuli{.}

Ad eundem modum si fingas xx=z, proveniet 2x=r, et inde y=vr=v2x et exterminato v \et x/ fiet {illeg} y=az12z_2z12.

<79>

Vel si fingas cc=xz, proveniet 0=z+xr; et inde vxz=y=c3z3azcc_.

Atq ita si fingas ax+s1=z, ope Prob 1 obtinebitur a+p=r et inde va+p=y=va+v quæ Curvam Mechanicam designat.

{illeg}|Ex|empl 2. Detur iterum Circulus axxx=vv et quærantur Curvæ quarum areae ad aream ejus habeant aliam quamlibet assumptam relationem. Veluti si assumes cx+s=t, et præterea fingas ax=zz, mediante Prob 1 elicies c+p=q et a=2rz. Quare est y=qr=2cz+2pza, et substituto axxx_ pro p, et zza pro x fit y=2cza+2zzaaaazz_{.}

Quod si assumas s2v33a=t, et x=z, invenies ope Prob 1 p2lvva=q et 1=r. Adeoq y=qr=p2lvva sive =v2lvva. Jam vero pro exterminando l, æquatio axxx=vv per Prob 1 dat a2x=2vl et proinde est y=2vxa ubi si supprimas v et x substituendo valores axxx_ et z, emerget y=2zaazzz_.

Sin assumas ss=t, et x=tt emerget 2ps=q, et 1=2rz atq adeò y=qr=4psz, et pro p et x substitutis axxx_ et zz fiet y=4szzazz_ æquatio ad Curvam Mechanicam.

Ad

Exempl: 3. Ad eundem modum figuræ assumptam quam relationem ad aliam quamvis datam figuram habentes inveniuntur. Sic datâ Hyperbolâ cc+xx=vv, si assumas s=t et xx=cz elicies per Prob 1 p=q et 2x=cr et inde y=qr=cp2x, et substitut{illeg}|i|s cc+xx_ pro p et c12z12 pro x, proveniet y=czcz+zz_ {sic} {.}

Atq ita si assumas xvs=t, et xx=cz, elicies v+lxp=q, et 2x=cr. Est autem v=p et inde lx=q. Quare y=qr=cl2. Jam vero cc+xx=vv {illeg}|o|pe Prob 1 dat x=lv. Adeóq est y=cx2v et substitutis cc+xx_ pro v et c12z12 pro x, fit y=cz2cz+zz_.

Exempl 4. Ad hæc si detur Cissoides xxaxxx_=v q ad quam relatæ f aliæ figuræ sunt inveniendæ, et ea de causa assumatur x3axxx_+23s=t, finge x3axxx_=h ejusq fluxionem k et erit h+23s=t et inde per Prob 1 k+23p=q. A{illeg}|e|quatio {sic} autem ax3x49=hh d|p|er Prob 1 dat 3axx4x39=2kh ubi si extermines h fiet k=3ax4xx6axxx_. Quare cùm præterea sit 23p=23v=4xx6axxx_ erit ax2axxx_=q. Porro ad determinandum <80> z et r assumatur aaax_=z et ope Prob 1 emerget a=2rz sive r=a2z. Quare est y=qr=zxaxxx_=zzxax=ax=aazz_. Quæ æquatio cùm sit ad circulum, habebitur relatio arearum circuli et Cissoidis.

Atq ita si assumpsisses 2x3axxx_+13s=t et x=z prodijsset y=azzz_ æquatio denuò ad circulum.

Haud secus si de{illeg}tur curva aliqua Mechanica, possunt aliæ ad eam relatæ curvæ Mechanicæ inveniri, sed ad eliciendum Geometricas convenit ut recta aliqua \e rectis ab invicem/ Geometricè {noscibilis} \dependentibus/ \aliqua/ pro Basi adhibeatur, et ut area ad parallelogrammum complementalis quæratur supponendo fluxionem ejus valere Basin ductam in \fluxionem/ ordinatim applicatæ{illeg}.

Exempl 5. [11]Sic Trochoide ADF propositâ, refero ad Basin AB et completo parallelogrammo ABDG quæro complementalem superficiem ADG concipiendo descriptam esse per motum rectæ GD, et proinde fluxionem ejus valere illam GB in celeritatem progrediendi ductam, hoc est x×l. Jam cùm AL sit parallela tangenti DT, erit AB {illeg} ad BL ut fluxio ejusdem AB ad fluxionem {illeg} applicatæ BD hoc est ut 1 ad l. Quare est l=BLAB, a{illeg}|d|eóq x×l=BL, Et proinde area ADG describitur fluxione BL; Atq adeo cùm area circularis ALB eadem fluxione describátur æquales erunt.

[12]Pari ratione si concipias ADF esse figuram arcuum sive sinuum versorum, hoc est cujus applicata BD æquatur arcui AL: cùm fluxio arcus AL sit ad fluxionem Basis AB ut PL ad BL, hoc est l.112a.axxx_ erit l=a2axxx_. Adeoq \l×x/ fluxio areæ ADG erit ax2axxx_. Quare si ad ipsius AB punctum B recta ax æqualis ax2axxx_ in angulo recto applicari concipiatur, illa ad curvam \quandam/ Geometricam terminabitur cujus area Basi AB adjacens æquatur areæ ADG.

Et sic alijs figuris per arcuum circuli, Hyperbolæ vel cujusvis Curvæ ad arcuum istorum sinus rectos vel vers versos aut alias quasvis geometricè determinabiles rectas lineas in datis angulis applicationem constitutis, æquales Geometric{æ} <81> figuræ inveniri possunt.

[13]Circa Spiralium areas levissimum est negotium. Utpote centro {illeg}|c|onvolutionis A radio quovis AG descripto arcu DG occurrente AF in G et spia|ra|li in D; cùm arcus ille ad instar lineæ super Basi AG incedentis describat Spiralis Aream AHDG, ita ut ejus areæ fluxio sit ad fluxionem rectanguli 1×AG, ut arc {sic} GD ad 1; si rectam GL arcui isti æqualem erigas illa similiter incedendo super eadem AG describet aream ALG æqualem areæ Spiralis AHDG; curvâ EIL existente Geometricâ. Et præterea si subtensa AL ducatur, erit triang ALG=12AG×GL=12AG×GD=sectoriAGD, adeoq segmenta complementalia \segmenta/ ALI et ADH erunt etiam æqualia. Et hæc non tantum Spirali Archimedeæ (ubi AIL evadit Parabola Apolloniana) conveniunt, sed et alijs quibuscunq conveniunt, adeo ut omnes eodem negotio in æquales Geometricas converti possu|i|nt.

Possem plura hujus construendi Problematis specimina afferre, sed hæc suffice{illeg}|iant| possunt qua \cùm/ sunt cùm sint adeò generalia ut quicquid hactenus circa curvarum areas inventum fuerit, vel ni fallor inveniri po{illeg}|ssit|, aliquo saltem modo complectantur, et utplurimùm leviori curâ sine solitis ambagibus determina|e|nt.

Præcipuus autem hujus & præcedentis Problematis usus est, ut assumptis conicis sectionibus vel quibuslibet notæ magnitudinis curvis, aliæ curvæ quæ cum \{illeg}/ his conferri possunt, investit|g|entur, et earum definientes æquationes in Catalogum ordinatim disponantur. Et constructo ejusmodi Catalogo, cum curvæ alicujus area quæritur, si æquatio ejus definiens vel immediatè in Catalogo reperiatur, vel in aliam quam \{illeg}/ Catalogus complectitur transformari potest, exinde cognosces aream ejus. Quinetiam Catalogus ille determinandis Curvarum longitudinibus, centris gravitatum, solidis per convolutionem generatis, solidorum superficiebus, et cuilibet fluenti quantitati per analogam fluxionem generatæ, inservire potest. In præsentia In hujus rei illustrationem accipe imp{illeg}||sentia sequentem curvarum aliquo{illeg}|t| simpliciorum Catalogum, ubi literæ F, G, H datas quasvis quantitates, denotant {illeg} x, z bases; \Curvarum/ v, y \incedentes/ applicatas \incedentes/, ac s, t areas Curvarum ut supra |denotant| Litera autem v quantitati z suffixa denotat ejusdem z dimensionum numerum sive sit integer vel fractus, sive /Ast quomodo formandus sit et utendus in sequente Problemate patebit ubi duplicem exhibuimus.\ <82> Figure affirmativus vel negativus{.} Veluti si sit v=3, erit zv=z3 \et z2v=z6, et zv+1=z4 et zv=z3 sive 1z3./ et ita si sit v=1 vel 1, {illeg}|aut| =12 vel 12 erit zv=z vel z1, vel z12 aut =z12 vel z12. Et sic in alijs.

Præterea QER {illeg} (Fig      ) denotat curvam expositam cujus area +t sit ACEQ et t sit RECQ. Et sic PDS (fig      ) denotat conicam sectionem cujus area +s sit aPDB vel APDB et s sit ABDS: Basi (sive x) existente aB vel AB, applicata (sive v) BD centro figuræ         A, vertice a rectangulo semidiametro AP, tangente DT occurrente AB in T, Asymptoto A et ABDO parallelogrammo rectangulo. Et nota quod +s |Expositam Curvam linea QER (Fig      ) designavi et Conicam sectionem (fig.      ) linea PD, cujus centrum sit A, vertex a, rectanguli semidiametri Aa, AP, Basis AB vel aB, ordinatim applicata BD, tangens DT occurrens AB in T et inscriptum vel ascriptum rectangulum ABDO Et nota quod +s vel denotat aream Basi AB vel aB adjacentem esse addendam vel aream ex altera parte BD jacentem esse substrahendam et contra s vel denotat aream Basi conterminam esse| substrahendam vel aream ex altera parte BD addendam esse. Et pari ratione valor t cùm affirmativus est designat aream ex parte CE versus A, areamq ex altera parte cùm negativus est.

Catalogus Curvarum aliquot ad rectilineas
figuras relatarum ope Prob 7 constructus.

Curvarum0000000Arearum quantitas. Ordo primus. Hzv=y.Hv+1zv+1=t. 0 Ordo secundus 1.HzvvF+Gzv_=y.2Gzv+2F3vGHF+Gzv_=t 2.Hz2vvF+Gzv_=y.6GGz2v+2FGzv4FF15vGGHF+Gzv_=t 3.Hz3vvF+Gzv_=y.30G3z3v+6FGGz2v8FFGzv+16F3105G3HF+Gzv_=t 0 Ordo tertius 1.Hzv1:F+Gzv_:=y.2HvGF+Gzv_=t. 2.Hz2v1:F+Gzv_=y.2Gzv4F3vGGHF+Gzv_=t. 3.Hz3v1:F+Gzv_=y.6GGz2v8GFzv+16FF15vG3HF+Gzv_=t.

<83>

Prob: 9.
Propositæ alicujus Curvæ aream determinare{.}

Problematis resolutio in eo fundatur ut quantitatum fluentium relatio ex relatione fluxionum (per Prob: 2) d|e|liciatur. Et imprimis si recta BD cujus motu quæsita area AFDB describitur, super basi AB positione datâ erectè incedat, concipe ut supra parallelogrammum ABEC a parte ejus BE unitatem æquante interea describi. Et posita BE fluxione parallelogrammi erit BD fluxio areæ quæsitæ.

Dic ergo AB=x, et erit etiam ABEC=1×x=x et BE=m dic insuper aream AFDB=z, et erit BD=r ut et =rm, eo quod sit m=1. Et proin datâ BD per æquationem definientem BD simul definitur fluxionum ratio rm, et exinde per Prob 2, Cas 1, elicietur relatio fluentium quantitatum x et z.

Exempla 1ma. Ubi BD sive r valet simplicem
aliquam quantitatem{.}

Detur xxa=r vel =rm æquatio nempe ad Parabolam, et (per Prob 2) emerget x33a=z. Est ergo x33a sive 13AB×BD= areæ Parabolicæ AFDB{.}

Detur x3aa=r æquatio ad Parabolam secundi generis et (per Prob 2) emerget x44aa=z, hoc est 14AB×BD=areæAFDB.

Detur a3xx=r æquatio ad Hyperbolam secundi generis et emerget {illeg}

Detur a3xx=r sive a3x2=r æquatio ad Hyperbolam secundi generis, et emerget a3x1=z sive a3x=z: hoc est AB×BD= areæ infinite longæ HDBH ex altera parte applicatæ BD jacentis, ut innuit valor negativus.

Atq ita si detur a4x3=r, emerget a42xx=z{.}

<84>

Præterea sit ax=rr. sive a12x12=r, æquatio iterum ad Parabolam, {illeg} ope P et proveniet 23a12x32=z, hoc est 23AB×BD=areæAFDB{.}

Sit a3x=rr, et fiet 2a32x12=z, =|siv|e 2AB×BD=AFDB.

Sit a5x3=rr, et fiet 2a52x12=z, sive 2AB×BD=HDBH.

Sit axx=r3, et fiet 35a13x53=z, sive 35AB×BD=AFDB.

Et sic in alijs.

Exempla 2a. ubi prævia reductio per divisionem
requiritus|r|

Exempla 2a. Ubi r valet plures ejusmodi termino{s} /connexas quantitates.\

Sit x+xxa=r , et fiet xx2+x33a=z{.}

Sit a+a3xx=r, et fiet axa3x=z.

Sit 3x125xx2x12=r et fiet 2x32+5x4x12=z.

Exempl: 3{.} ubi prævia reductio per divisionem
requiritur.

Detur aab+x=r, \æquatio ad Hyperbolam Apollonianam/ et factâ in infinitum divisione, evadet r=aabaaxbb+aaxxb3aax3b4&c. Et inde per Prob 2 (ut in secundis exemplis) obtinebitur z=aaxbaaxx2bb+aax33b3aax44b4&c{.}

Detur 11+xx=r et per divisionem elicietur r=1xx+x4x6&c vel etiam r=1xx1x4+1x6&c{.} Indeq per prop {sic} 2, z=x13x3+15x517x7&c=AFDB vel z=1x+13x315x5&c=HDBH.

Detur 2x12x321+x123x=r, et per {illeg}|d|ivisionem evadet r=2x122x+7x3213x2+34x52&c et inde per Prop {sic} 2, z=43x32xx+145x52134x3+687x72&c.

<85>

Exempl: 4. Ubi prævia reductio per extractionem
radicum requiritur.

Detur aa+xx_=r r=aa+xx_ \æquatio nempe ad Hyperbolam/ et radice ad usq terminos infinitè multos extractâ, evat|d|et r=a+xx2ax48a3+x616a55x8112a7&c Atq inde ut in præcedentibus z=ax+x36ax540a3+x7112a55x91008a7&c &c{.}

Ad eundem modum si detur r=aaxx_ æquatio {illeg}|s|cilicet ad circulum, obtinebitur z=axx36ax540a3x7112a55x91008a7&c{.}

Atq ita si detur r=xxx_ \æquatio iterum ad circulum/ proveniet extrahendo radicem r=x1212x3218x52116x72&c adeoq {illeg} \est/ z=23x3215x52128x72172x92&c{.}

Sic r=aa+bxxx_ æquatio denuò ad circulum per extractionem radicis dat r=a+bx2axx2abbxx8a3&c unde per Prop {sic} 2 elicitur z=ax+bxx4ax36abbx324a3&c.

Et sic 1+axx1bxx=r, per debitam reductionem dat 11r=1+12bx2+12a+38bbx4+14ab18aa11&c.. Unde per Prop {sic} 2 fit 11z=x+16bx3+16a+340bbx5+120ab140aa11&c.{.}

Sic deniq r=3:a3+x3_ per extractionem radicis cubicæ dat r=a+x33aax69a5+5x981a8&c. Indeq z=ax+x412aax763a5+x10162a8&c=AFDB. vel etiam r=x+a33xxa69x5+5a981x8&c. Indeq z=xx2a33x+a636x45a9567x7&c=HDBH.

Exempl: 5. Ubi prævia reductio per æquationis affectæ
resolutionem exigitur requiritur.

Si {illeg} curva per æquationem r3+aar+axr2a3x3=0 definiatur, extrahe radicem affectam r et proveniet r=ax4+xx64a+131x3512aa&c. Unde ut in prioribus obtinebitur z=axxx8+x3192a+131x42048aa&c{.}

Sic {illeg} æquationis r3+rr+rx3=0 radix est {illeg}

Sin r3crr2xxrccr+2x3+c3=0 sit æquatio ad curvam resolutio dabit triplicem radicem nempe r=c+xxx4c+x332cc&c et r=cx+3xx4c15x332cc&c, et r=cxx2cx32cc+x54c4&c et inde trium \correspondentium/ arearum valores z=cx+12xxx312c+x4128cc&c. z=cx12x+x34c15x4128cc&c, ac z=cxx36cx46cc+x624c4&c.

<86>

|De Curvis Mechanicis hic nihil adjicio, siquidem reductio ad formam Geometricarum post ostenditur.|

Cæterum cum sic inventi valores z areis quandoq ad Basis finitam partem AB, quandoq ad partem BH infinitè versus H productam, et quandoq ad utramq partem sitis secundum diversos eorum terminos competant: quò debitus areæ ad quamlibet Basis portionem sitæ valor assignetur, Area illa semper ponenda est æqualis differentiæ valorum z partibus Basis ad initium et finem istius areæ terminatis competentium.

E. G. Ad curvam quam æquatio 11+xx=r definit inventum est z=x13x3+15x5&c. Jam ut quantitatem areæ bdDB adjacentis parti Basis bB determinem, a valore z qui fit scribendo ponendo AB=x subduco valorem z Figure qui fit ponendo Ab=x, et (distinctionis gratia scriptâm X majuscula{illeg} pro AB) et x minusculâm pro Ab) restat X13X3+15X5&cx13x3+15x5&c valor areæ \illi{illeg}|u|s/ bdDB. Unde si Ab seu x ponatur nullum habebitur tota area AFDB=X13X3+15X5&c.

Ad eandem Curvam inventum est etiam z=1x+13x315x5&c unde rursus ut ante invenitur juxta præcedentia erit area illa bdDB=1x13x3+15x5&c1X+13X315X5&c. Adeoq si AB seu x statuatur infinitum, area adjacens {illeg} bdH a parte H similiter infinite longa valebit 1x13x3+15x5&c. Siquidem posterior series 1X+13X315X5&c propter infinitatem denominatorum evanescat.

Ad Curvam æquatione a+a3xx=r designatam, inventum est axa3x=z. Unde fit aXa3Xax+a3x=areæbdDB. Haec autem evadit infinita sive x fingatur nulla sive X infinita et proinde utraq area AFDB et bdH infinitè magna est, ac solæ partes intermediæ (qualis bdDB) exhiberi possunt. Id quod semper evenit ubi basis x t|c|um in numeratore|i|bus aliquorum tum in denominatoribus aliorum terminorum valoris z reperitur. Ubi vero x < insertion from p 183 > in numeratoribus solummodo, ut in primo exemplo, reperitur; valor z competit areæ sitæ ad AB cis parallelè incedentem. Et ubi in denominatoribus tantùm, ut in secundo exemplo; valor ille mutatis omnium terminorum signis, competit areæ omni ultra parallelè incedentem infinitè productæ. < text from p 86 resumes >

Siquando Curva linea secat Basin inter puncta b et B puta in E, vice areæ habebitur arearum \ad diversas Basis partes/ differentia Figure bdEBDE, ad diversas partes cui si addatur rectangulum BDGb obtinebitur area dEDG

<87>

Præcipuè aud|t|em notandum est quod ubi in valore r terminus aliquis per {illeg} x unius tantùm dimensionis dividitur, area illi termino correspondens pertinet ad Hyperbolam conicam et proinde per infinitam seriem seorsim exhibenda est; quemadmodum in sequentibus factum.

Sit a3aaxax+xx=r æquatio ad Curvam et per divisionem fie{illeg}|t| r=aax2a+2x2xxa+2x3aa&c. Indeq z=aax2ax+xx2x33a+x42aa&c{.} Adeo Et area bdDB=aaX2aX+X22X33a&caax+2axxx+2x33a&c. Ubi per notas aaX et aax designo areolas terminis aaX et aax. Jam ut aaXaax investig{illeg}|e|tur, fingo Ab seu x def datam \definitam/ esse et {illeg} bB indefinitam seu fluentem lineam, quam itaq {illeg}|s|i dicam y, erit aax+y= areæ \isti/ Hyperbolicæ adjacenti bB, {illeg} \nempe/ aaXaax. Est autem, factâ division{illeg}|e|, aax+y=aaxaayxx+aayyx3aay3x4 {sic}{.} Adeoq aax+y seu aaXaax=aayxaayy2xx+aay33x3aay44x4&c. Et proinde tota area quæsita bdDB=aayxaayy2xx+aay33x3&c2aX+XX2X33a&c+2axxx+2x33a&c.

Ad eundem modum AB seu X pro definita linea d|a|dhiberi potuit et sic prodijsset aaXaax=aayXaayy2XX+aay33X3aay44X4&c{.}

Quinetiam si bisecetur bB in C et assumatur AC \esse/ definitæ longitudini{illeg}|s| et Cb ac CB indefinitæ. Tum dicto AC=e et Cb vel CB=y, erit aaey {illeg} bd=aaey=aae+aayee+aayye3+aay3e4+aay4e5&c, indeq area \Hyperbolica/ parti Basis bC adjacens aaye+aayy2ee+aay33e3+aay44e4+aay54e5&c. Erit etiam {illeg} CB=aae+y=aaeaayee+aayye3aay3e4+aay4e5&c et inde area alteri basis parti CB adjacens aayeaayy2ee+aay33e3aay44e4+aay54e5&c{.}

Et harum arearum summa 2aaye+2aay33e3+2aay53e5&c {illeg} valebit aaXaax.

Sic æquatione r3+rr+rx3=0 ad Curvam existente, ejus radix erit r=x1329x+781xx+581x3&c. Unde fit <88> z=12xx13x29x781x5162xx&c, et area bdDB=12XX13X29X781X&c12xx+13x+29x+781x&c, hoc est =12XX13X781X&c12xx+13x+781x&c4y9e4y327e34y545e5&c.

Potest autem terminus iste Hyperbolicus utplurimùm com
modè devitari mutando initium Basis, id est, augendo vel minuendo eam per datam aliquam quantitatem. Quemadmodum in exemplo priori ubi a3aaxax+xx=r erat æquatio ad Curvam, si faciam b esse initium Basis, et fingent|s| Ab cujuslibet esse determinatæ longitudinis \puta 12a/, pro Basis residuo {illeg} bB jam scribam x: Hoc est si diminuam Ba{illeg}|s|em per 12a scribendo x+12a pro x: evadet 12a3aax34aa+2ax+xx=r, et per divisionem r=23a289x+200xx27a&c. Unde fit z=32ax149xx+200x381a&c=areæbdDB.

Et sic adhibendo aliud atq aliud initium Basis punctum pro initio ejus

Et sic pro initio Basis adhibendo aliud atq aliud ejus punctum, potest area cujusvis curvæ modis infinitis exprimi.

Potuit etiam æquatio a3aaxax+xx=r in duas series infinitas resolvi prodeunte r=a3xxa4x3+a5x4&ca+xxxa+x3aa&c ubi terminus per x unius tantùm dimensionis divisus non reperitur. Sed hujusmodi series, {illeg} ubi dimensiones x in unius numeratoribus et alterius denominatoribus infinitè ascendunt, minùs aptæ sunt ex quibus z per computum Arithmeticum obtineri possit, ubi cùm in ejus valore nubmeri pro speciebus substituuntur.

Instituenti computum hujusmodi numerosum, postquam valor areæ in speciebus habetur, haud aliquid difficile occurret. Tamen in præcedentem doctrinam penitiùs illustrandam exemplum unum et alterum subjungere placuit{.}

Proponatur Hyperbola \AD/ quam æquatio x+xx_=r designat, utpote cujus vertex est ad A, et uterq Axis æquatur unitati. Et e præcedentibus Area ejus ADB erit 23x32+15x52128x72+172x925704x112&c hoc est x12in23x+15xx128x3+172x4 <89> 5704x5&c. Quæ series infinitè producitur multiplicando ultimum terminum continuò per succedaneos terminos hujus progressionis 1,32,5x. 1,54,7x. 3,76,9x. 5,98,11x. 7,1110,13 {sic} &c. Nempe primus terminus 23x32in1,32,5x facit 15x52 secundum terminum. Hic in1,54,7x facit 128x72 tertium terminum. Hic in3,76,9x facit 172x92 quartum terminum. Et sic in infinitum. Sumatur jam AB seu x cujuslibet longitudinis puta 14, et Figure hunc numerum scribe pro x ejusq radicem 12 pro x12, et primus terminus 23x32 sive 23×18 in decimale{illeg}|m|{illeg} fractionem reductus evadit 0,08333333 &c. Hic in1,32,5,4 facit 0,00625 secundum terminum. Hic in1,54,7,4 facit {illeg} 0,0002790178 &c tertium terminum. Et sic in infinitum. Terminos autem quos sic gradatim elicio dispono in duas Tabulas affirmativos nempe in unam et negativos in aliam, et addo, ut hic vides.
+0,08333,33333,333333 625,00000,000000 2,71267,361111 5135,169396 144,628917 4,954581 190948 7963 352 16 1 +0,08961,09885,646618 00000 0,00027,90178,571429 34679,066051 834,465027 26,285354 961296 38676 1663 75 4 0,00028,25719,389575 .
Dein a summa affirmativorum aufero summam negat{illeg}|i|vorum et restat 0,0893284166257043 quantitas areæ Hyperbolicæ ADB quam quærere oportuit.

Proponatur jam circulus AdF quem æquatio xxx_=r designat, hoc est cujus diameter AF sit unitas, et e præcedentibus area ejus AdD {sic} erit 23x3215x52128x72172x92&c{.} In qua serie cùm termini non differant a terminis seriei supra exprimentis aream Hyperbolicam nisi in signis + et −, nihil aliud agendum restat quam ut eo\s/dem numerales terminos cum alijs signis nectamus, subducendo nempe connexas ambarum præfa{illeg}|t|arum Tabularum summas 0,0898935605036193 <90> a primo termino duplicato 0,1666666666666666 et residuum 0,0767731061630473 erit areæ circularis portio AdB, posito scilicet AB quadrante diametri. {illeg} sive {illeg} Atq ita videre est quod etsi areæ circuli et Hyperbolæ non conferantur ratione geometrica, tamen utraq eo{illeg}|de|m computo arithmetico prodit.

Inventa circuli portione AdB, exinde tota area facilè eruitur. Nempe \radio dC acto,/ duc Bd seu 143inBC seu 14 et facti dimidium 1323 seu 0,0541265877365274 valebit triangulum CdB, quod adde areæ AdB et habebitur Sector ACd=0,1308996938995747 cujus sextuplum 0,7853981633974482 est area tota.

Et hinc obiter exit peripheriæ longitudo {illeg} 3,1415926535897928, dividendo nempe aream per quadrantem diametri.

Hisce calculum areæ inter Hyperbolam \dFD/ et ejus Asymptoton CA interjectæ subnectimus. Sit C centrum Hyperbolæ et posito CA=a, AF=b, et AB=Ab=x; erit Figure aba+x=BD, et abax=bd et inde area AFDB=bxbxx2a+bx33aabx44a3&c, et area AFdb=bx+bxx2a+bx33aa+bx44a3&c {illeg} ac earum summa bdDB=2bx+2bx33aa+2bx55aa+2bx77aa&c. Ponamus jam CA=AF=1, et Ab vel AB=110, existente Cb=0,9 et CB=1,1: et substituendo hos numeros pro a b et x, primus seriei terminus evadet 0,2, secundus 0,00066666&c, tertius 0,000004, et sic deinceps ut vides in hac Tabula
,Summa 0,20000,00000,000000 66,66666,666666 40000,000000 285,714286 2,222222 18182 154 1 0,20067,06954,621511 =areæbdDB, .

Et omnium summa 0,20067069 &c est area bdDB.

Quod si areæ hujus partes Ad et AD seorsim desiderentur subduc minorem AD e majori Ad et restabit bxxa+bx42a3+bx63a5+bx84a7&c. <91> Ubi si 1 scribatur pro a et b, ac 110 pro x, termini in decimales redacti conficient sequentem Tabulam
,Summa 0,01000,00000,000000 5,00000,000000 3333,333333 25,000000 200000 1667 1 0,01005,03358,535014 =AdAD, .

Jam si hæc arearum differentia addatur et auferatur summæ earum priùs inventæ, aggregati dimidium 0,10536,05156,578263 erit major area Ad, et residui dimidium 0,09531,01798,043248 minor AD.

Per easdem Tabulas obtinentur etiam areæ illæ AD et Ad ubi AB et Ab ponuntur 1100 \sive CB=1,01 & Cb=0,99/ si modo numeri in depressiora loca \debitè/ transferantur ut hic videre est
,Sum_ 0,02000,00000,000000 6666,666667 400000 28 0,02000,06667,066695 =bD., 00000 ,Sum 0,00010,00000,000000 50,000000 3333 0,00010,00050,003333 =AdAD.,

12Aggreg0,01005,03358,535014=Ad. 12Resid0,00995,03308,531681=AD.

Et sic positis AB & Ab 11000 \seu CB=1,001 et Cb=0,999/, obtinebitur Ad=0,00100,05003,335835 et AD=0,00099,95003,330835.

Ad eundem modum si stantibus CA et AF=1, ponat|n|t{illeg}|u|r AB et Ab=0,2 vel =0,02 vel =0,002 elicientur al|r|eæ illæ, nempe
Ad=0,22314,35513,142097,0etAD=0,18232,15567,939546 velAd=0,02020,27073,175194,0etAD=0,01980,26272,961797 velAd=0,0020020etAD=0,001

Ex inventis hisce areis jam facile est alias per solam additionem et subductionem derivare. Utpote cum sit 1,20,8in1,20,9=2, arearum pertinentium ad rationes 1,20,8 & 1,20,9 (hoc est, insistentium partibus Basis 1,20,8 et 1,20,9) summa 0,6931471805599453 erit area AFδβ, existente =2, ut notum est. Dein cum sit 1,20,8in2=3, {illeg}|are|arum pertinentium ad 1,20,8 et 2 summa 1,0986122886681097 erit area AFδβ, existente =3. Pariter cùm sit 2in20,8=5, et 2in5=10, per debitam arearum additionem obtinebitur {1,1312925464970228=} existente =5, et 1,6093379124341004=AFδβ, existente <92> =5, et 2,3025850929940457=AFδβ existente =10. Atq ita cùm sit 10in10=100, et {illeg} 10in100=1000, {illeg} et 5in10in0,98_=7, et 10in1,1=11, et 1000in1,0017in11=13 100in1,022in3=17, et 1000in0,9993in3in3=37, et 1000in1,0022in3in3 100in1,01=101, et 1000in1,0022in3=167, et 1000in0,9982=499. patet aream AFδβ per arearum supra inventarum compositionem inveniri posse, existente =100; 1000; 7; aut ali{illeg}|o| quolibet e recensitis numeris, Id quod et stante AB=BF=1 {sic}.Id quod significare volui ut Methodus construendo Logarithmorum Canoni aptissima pateret quæ areas Hyperbolicas (ex quibus Logarithmi facilè deducuntur) tot numeris primis correspondentes, quasi per binas tantum haud molestas operationes determinat. Cæterùm cùm Canon iste ex hoc fonte præ cæteris feliciter deprom{illeg}|i|tur \videatur/, quid si Constructionem ejus coronidis loco perstringam.

Imprimis itaq assumpto 0 pro Logarithmo numeri 1, et 1 pro Logarithmo numeri 10 ut solet, investigandi sunt Logarithmi primorum numerorum 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, &c, 101, et 167, et 499. Id quod fit dividendo inventas areas Hyperbolicas per 2,3025850929940457 aream ne{illeg}|m|pe {illeg}|cor|respondentem numero 10, vel quod eodem recidit, multiplicando per ejus reciprocum 0,4342944819032518. Sic enim e.g. Si 0,69314718&c area correspondens numero 2 dat 0,3010 si multiplicetur per 0,43429{&c} facit 0,30102999566398128 Logarithmum numeri 2 facit 0,3010299956639812 Logarithmum numeri 2.

Deinde Logarithmi numerorum omnium in Canone qui ex horum multiplicatione fiunt indagandi sunt per additionem eorum Logarithmorum, ut solet, et loca vacu{illeg}|a| postmodum interpolanda {illeg} ope hujus Theorematis. Sit n numerus Logarithmo donandus, x differentia inter illum et proximos numeros hinc inde æqualiter distantes quorum logarithmi inventi sunt, {illeg} {illeg} \habentur/ logarithmus minoris numeri ac et d semissis differentiæ logarithmorum, et quæsitus Logarithmus numeri n erit {illeg} \obtinebitur addendo/ d+dx2n+dx312n3 \logarithmo minoris numeri./ Nam si numeri exponantur per Cp, Cβ et CP. Et existente rectangulo CBD vel Cβδ=1 ut supra, ac erectis parallelè incedentibus pq et PQ, si pro Cβ \n/ scribatur pro Cβ et x pro βp vel BP erit area pqQP sive 2xn+2x33n3+2x55n5&c ad aream pqδβ <93> sive xn+xx2nn+x33n3&c, ut differentia inter logarithmos extremorum numerorum sive 2d, ad differentiam inter logarithmos mimos minoris et medij, quæ proinde erit dxn+dxx2nn+dx33n3&cxn+x33n+x55n&c, hoc est facta f|d|ivisione d+dx2n+dx312n3&c.

Hujus autem seriei duos primos terminos d+dx2n pro Canone construendo sat accuratos existimo etiamsi ad usq quatuordecim vel forte quindecim figurarum loca logarithmi producerentur, si modò numerus logarithmo donandus non sit minor quam 1000. Quod sane calculum haud difficilem præbere potest siquidem x utplurimùm erit unitas vel numerus binarius. Non opus est tamen omnia loca beneficio hujus regular interpolare. Nam logarithmi numerorum qui prodeunt e multiplicatione vel divisione numeri novissimè transacti per numeros quorum logarithmi prius habebantur obtineri possunt per additionem vel divi subductionem eorum logarithmorum. Quinetiam observando analogiam inter \per/ differentias logarithmorum et illarum differentiarum secundas differentias tertiasq S|s|i opus est, loca vacua expeditiùs impleri possunt, adhibitâ tantùm prædictâ regulâ ubi ad obtinendu illas differentias continuatio aliquot locorum plenorum de desideratur.

Eadem methodo Regulæ pro intercalatione Logarithmorum inveniri possunt ubi e tribus \æqualiter differentibus numeris/ numeris in Aruthmetica progressione continuè proportio{illeg}nabus \numeris/ dantur logarithmi minoris et medij, vel medij et majoris, vel etiam ubi d idq licet numeri non sint in Arithmetica progressione.

Imò et hujus methodi vestigijs insistendo {lo{illeg}ca} vacua Regulæ pro construendis artificialium sinuum et Tangentium Tabulis sine adminiculo naturalium haud difficulter depromi possunt. Sed hæc in transitu.

<94>

Hactenus Curvarum tantùm simpliciorum areas per finitas æquationes exhibuimus, aliarum verò quæ per æquationes minùs simplices definiuntur Quadraturam mediante reductione in æquationes ex infinite multis terminis simplicibus constantes ostendimus. Cum verò ejusmodi curvæ per finitas etiam æquationes \nonnunquam/ quadrari possint vel saltem comparari cum alijs curvis quarum areæ faciliùs inveniuntur quodammodo pro cognitis habeantur, quales sunt sectiones conicæ: eapropter sequentes duos Theorematum catalogos in illum usum ope Propositionis 7æ & 8æ {sic} ut promisimus constructos, jam visum est adjungere. Horum prior exhibet areas curvarum quæ quadrari possunt, et posterior complectitur curvas quarum areæ|a|s cum areis conicarum sectionum conferre liceat. In utrisq literæ latinæ <95> In hujus rei illustrationem accipe impræsentia sequentem curvarum aliquot simpliciorum Catalogum, ubi d, e, f, g, et h datas quasvis quantitates, x et z bases curvarum, v et y \parallelè/ incedentes applicatas, et s ac t areas ut supra denotant. Graecæ autem η et θ quantitati z suffixæ denotant ejusdem z dimensionum numerum sive sit integer vel fractus, sive affirmativus aut negativus. Veluti si sit {illeg} η=3 erit zη=z3, z2η=z6, zη=z3 sive 1z3, zη+1 vel zη+1=z4, |&| zη1 vel zη1=zz. Insuper in valoribus arearum abbreviandi causâ scribitur R vice radicalis illius e+fzη_ vel e+fzη+gz2η_ quâ valor applicatæ \incedentis/ y afficitur.

Catalogus Curvarum aliquot ad rectilineas
figuras relatarum, ope Prob 7 constructus.

___________________________________________________________________________________________________ Curvarum Ordo primus.Arearum valores. dzη1=y. dηzη=t. 0 Ordo secundus. dzη1ee+2efzη+ffz2η=y. dzηηee+ηefzη=t,veldηef+ηffzη=t. 0 Ordo tertius. 1.dzη1e+fzη_=y. 2d3ηfR3=t. 2.dz2η1e+fzη_=y. 4e+6fzη15ηffdR3=t. 3.dz3η1e+fzη_=y. 16ee24efzη+30ffz2η105ηf3dR3=t. 4.dz4η1e+fzη_=y. 96e3144eefzη180effz2η+210f3z3η945ηf4dR3=t. 0 Ordo quartus. 1.dzη1e+fzη_=y. 2dηfR=t. 2.dz2η1e+fzη_=y. 4e+2fzη3ηffdR=t.

<96>

3.dz3η1e+fzη_=y. 16ee+8efzη+6ffz2η15ηf3dR=t. 4.dz4η1e+fzη_=y. 96e3+48eefzη36effz2η+30f3z3η105ηf4dR=t. ___________________________________________________________________________________________________

His adjiciantur sequentia magis generalia Theoremata quibus via ad altiora sternitur.

______________________________________________________________________________________0______________________________________ Ordo quintus.Arearum valores. 1.2θezθ1+2θ+3ηfzθ+η1in12e+fzη_=y. zθR3=t. 2.2θezθ1+2θ+3ηfzθ+η1+2θ+6ηgzθ+2η1in12e+fzη+gz2η_=y. zθR3=t. 0 Ordo sextus. 1.2θezθ1+2θ+ηfzθ+η12e+fzη_=y. zθR=t. 2.2θezθ1+2θ+ηfzθ+η1+2θ+2ηgzθ+2η1 2e+fzη+gz2η_=y. zθR=t. 0 Ordo septimus. 1.2θezθ1+2θηfzθ+η1 e+fzηin2e+fzη_ =y. zθR=t. 2.2θezθ1+2θηfzθ+η1+2θ2ηgzθ+2η1 e+fzη+gz2ηin2e+fzη+gz2η_ =y. zθR=t. 0 Ordo octavus. 1.2θezθ1+2θ2ηfzθ+η1 ee+2efzη+ffz2η=2y. zθRRsivezθe+fzη=t. 2.2θezθ1+2θ2ηfzθ+η1+2θ4ηgzθ+2η1 ee+2efzη+ff+2egz2η+2fgz3η+ggz4η =2y. zθRRsivezθe+fzη+gz2η=t. 0 Ordo nonus, ubi (ut et in decimo) pro radicalih+izη_in arearum valoribus substituiturP. 1. 2θehzθ1+2θ+3ηfh+2θ+ηeizθ+η1+2θ+4ηfizθ+2η1 in e+fzη_2h+izη_ =y. zθR3p=t.

<97>

______________________________________________________________________________________0______________________________________ Ordo decimus. 1. 2θehzθ1+2θ+3ηfh+2θηeizθ+η1+2θ+2ηfizθ+2η1 in e+fzη_h+izηin2h+izη_ =y. zθR3p=t.

Possint et hujusmodi alia adjici, sed ad alterius generis curvas quæ cum Con{illeg}|i|cis sectionibus conferri possunt jam transeo. Et in hoc Catalogo expositam Curvam linea QEχR (fig      ) designatam habes, cujus basis principium sit A, basis AC, \parallelè/ incedens applicata CE areæ principium αχ, et area descripta αχEC. Ejus autem areæ principium sive terminus initialis (quod utplurimùm vel basis principio A insistit, vel ad infinitam distantiam recedit) invenitur quærendo basis longitudinem Aα cùm areæ valor nullus est, et erigendo normalem αχ.

Ad eundem modum Conicam sectionem (fig        ) habes designatam linePDG, cujus centrum sit A, vertex a, rectangulæ semidiametr{illeg}|i| Aa & AP, basis principium A vel a, \vel α,/ basis AB vel aB, \vel αB{,}/ ordinatim applicata BD tangens DT occurrens AB in T, subtensa aD et inscriptum vel ascriptum rectangulum ABDO.

Itaq retentis jam ante definitis literis, erit AC=z, CE=y, αχEC=t, AB vel aB=x, BD=v, et ABDP, vel aGDB=s. et præterea siquando ad alicujus areæ determinationem duæ Conicæ Sectiones requiruntur, posterioris area dicetur σ, basis ξ, et \parallelè/ incedens applicata Υ.

Catalogus Curvarum aliquot ad Conicas Sectiones
relatarum ope Prob 8 constructus.

00000Sectionis Conicæ00000 Curvarum_______________________________ Basis.parall. Incedens. __________________________ _______________________________ Arearum valores. _________________________________________________ Ordo primus. 1.dzη1e+fzη=y. zη=x. de+fx=v. 1ηs=t=αGDBη.Fig 2.dz2η1e+fzη=y. zη=x. de+fx=v. dηfzηeηfs=t. 3.dz3η1e+fzη=y. zη=x. de+fx=v. d2ηfz2ηdeηffzη+eeηffs=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________ Ordo secundus. 1.dz12η1e+fzη=y. de+fzη=x. dfefxx_ =v. 2xv÷4sη=t=4ηADGa.

<98>

2.dz32η1e+fzη=y. de+fzη=x. dfefxx_ =v. 2deηfzη2+4es2exvηf=t. 3.dz52η1e+fzη=y. de+fzη=x. dfefxx_ =v. 2de3ηfz3η22deeηffzη2+2eexv4eesηff=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________

_______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________ Ordo tertius. 1.dzη1e+fzη+gz2η=y. {0zη=x.zη=ξ. 2dgf+ff4eg_+gx=v. 2dgfff4eg_+gξ=Υ.00} σsηff4eg_=t. 1.Vel generaliùs fac de+fzη+gz2η=x. dg+ff4eg4ggxx_=v. xv÷2sη=t. 1.Vel (quod perinde est) dz2ηe+fzη+gz2η=x. de+ff4eg4eexx_=v. xv÷2sη=t. 2.dz2η1e+fzη+gz2η=y. {0zη=x.zη=ξ. df+dff4eg_f+ff4eg_+gx=v.df+dff4eg_f+ff4eg_+gξ=Υ.00} σsηff4eg_=t. 0 1.In sequentitertio quartoque ordineabbreviandi causa scribiturpproff4eg_. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________ Ordo tertius. 1.dzη1e+fzη+gz2η=y. {0zη=x.zη=ξ. 2dgf+p+gx=v.2dgfp+gξ=Υ.0} σsηp=t. 1.Vel generaliùs fac de+fzη+gz2η=x. dg+pp4ggxx_=v. xv÷2sη=t=2ηADGa 1.Vel (quod perinde est) dz2ηe+fzη+gz2η=x. de+pp4eexx_=v. 2s÷xvη=t=2ηADGa 2.dz2η1e+fzη+gz2η=y. {0zη=x.zη=ξ. df+dpdf+dp+gx=v.dfdpdfdp+gξ=Υ.0} sσηp=t.

< insertion from p 171 >

0 1.Ordo tertius 1.dzη1e+fzη+gz2η=y. de+fzη+gz2η=x. dg+ff4eg4ggxx_=v. xv2sη=t. 2.Vel sic, dz2ηe+fzη+gz2η=x. de+ff4eg4eexx_=v. 2sxvη=t. 3.dz2η1e+fzη+gz2η=y. {00de+fzη+gz2η=x. fzη+gz2η=ξ. dg+ff4eg4ggxx_=v. 1e+ξ=Υ.000} dσ+2fsfxv2ηg=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________

< text from p 98 resumes >

0 1.Ordo quartus, ubi abbreviandi causâ scribiturpproff4eg_. 1.dz12η1e+fzη+gz2η=y. {02dgfp+2gzη=x. 2dgf+p+2gzη=ξ. df+p2gxx_=v. dfp2gξξ_=Υ.00} 2xv4s2ξr+4σηp=t. 2.dz32η1e+fzη+gz2η=y. {02dezηfzηpzη+2e=x. 2dezηfzηpzη+2e=ξ. df+p2exx_=v. dfp2exx_=Υ.00} 4s2xv4σ+2ξrηp=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________

<99>

Ordo quintus. 1.dze+fzη_=y. 1zη=xx. f+exx_ =v. 4deηfinv32exs=t=4deηfinaGDT, velinAPDB÷TDB. Vel sic,1zη=x.fx+exx_=v.8deeηffin:s12xvfv4e+ffv4eex_=t=8deeηffinaGDA+ffv4eex. 2.dzη+1e+fzη_=y. 1zη=xx. f+exx_ =v. 2dηs=t=2dη×APDB, ceu2dη×aGDB. Vel sic,1zη=x.fx+exx_=v.4deηfins12xvfv2e=t=4deηf×aGDK. 3.dz2η+1e+fzη_=y. 1zη=x. f+exx_ =v. dηs=t=dη×aGDB, velBDPK. 4.dz3η+1e+fzη_=y. 1zη=x. f+exx_ =v. 3dfs2dv36ηe=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________ Ordo sextus. 1.dze+fzη+gz2η_=y. {0zη=x.1zη=ξ. e+fx+gxx_=v. g+fξ+eξξ_=Υ. 00} 4deeξΥ+2defΥ2dffv8deeσ+4dfgs4ηegηff=t. 2.dzη1e+fzη+gz2η_=y. zη=x. e+fx+gxx_=v. dηs=t=dηinαGDB. 3.dz2η1e+fzη+gz2η_=y. zη=x. e+fx+gxx_=v. d3ηgv3df2ηgs=t. 4.dz3η1e+fzη+gz2η_=y. zη=x. e+fx+gxx_=v. 6dgx5df24ηggv3+5dff4deg16ηggv3=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________ Ordo septimus. 1.dze+fzη_=y. 1zη=xx. f+exx_=v. 4dηfin12xv÷s=t=4dηfinPADvelinaGDA. Vel sic 1zη=x. fx+exx_=v. 8deηffins12xvfv4e=t=8deηffinaGDA. 2.dzη+1e+fzη_=y. 1zη=xx. f+exx_=v. 2dηeinsxv=t=2dηeinPOD,velinAODGa. Vel sic 1zη=x. fx+exx_=v. 4dηfin12xv÷s=t=4dηfinaDGA. 3.dz2η+1e+fzη_=y. 1zη=xx. fx+exx_=v. dηein3s÷2xv=t=dηein3aDGA÷ΔaDB. 4.dz3η+1e+fzη_=y. 1zη=xx. fx+exx_=v. 10dfxv15dfs2dexxv6ηee=t.

<100>

Ordo octavus. 1.dzη1e+fzη+gz2η_=y. zη=x. e+fx+gxx_=v. 8dgs4dgxv2dfv4ηegηff=t=8dg4ηegηffinαGDB±ΔDBA. 2.dz2η1e+fzη+gz2η_=y. zη=x. e+fx+gxx_=v. 4dfs+2dfxv+4dev4ηegηff=t. 3.dz3η1e+fzη+gz2η_=y. zη=x. e+fx+gxx_=v. 3dff4degs2dff+4degxv2defv 4ηeggηffg=t. 4.dz4η1e+fzη+gz2η_=y. zη=x. e+fx+gxx_=v. 36defg15dfffs+8degg2dffgxxv28defg+10dfffxv+10defg16deegv24ηeg36ηffgg=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________ Ordo nonus. 1.dzη1e+fzη_ g+hzη=y. dg+hzη=x. dfh+ehfghxx_=v. 4fg4ehs2fg+2ehxv+2dfvx ηfh=t. 2.dz2η1e+fzη_ g+hzη=y. dg+hzη=x. dfh+ehfghxx_=v. 4egh4fggs2egh+2fggxv+23dhv3x32dfgvx ηfhh=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________ Ordo decimus. 1.dzη1 g+hzη_e+fzη_=y. dg+hzη=x. dfh+ehfghxx_=v. 2xv4sηf=t=4ηfADGa. 2.dz2η1 g+hzη_e+fzη_=y. dg+hzη=x. dfh+ehfghxx_=v. 4gs2gxv+2dvxηfh=t. _______________________________ __________________________ ________________________________________________________________________________ Ordo undecimus. 2.dzη1e+fzηg+hzη=y. g+hzη_=x. ehfgh+fhxx_=v. 2dηhs=t. 3.dz2η1e+fzηg+hzη=y. g+hzη_=x. ehfgh+fhxx_=v. dhxv33dfgdehs2ηfhh=t. 1.dz1e+fzηg+hzη=y. {0g+hzη_=x.h+gzη_=ξ. ehfgh+fhxx_=v.fgehh+egξξ_=v.00} dxv3zη4dfs4deσηfgηehs=t.

[1] This pag: must bee inserted at the end of pag 59.

[2] pag 60, lin. 6

[3] here a particular figure is required

[4] Fig

[5] Figure

[6] Figure

[7] Fig

[8] Fig.

[9] is. fig. for. 5.

[10] pag & fig

[11] Fig

[12] Fig

[13] Fig

© 2017 The Newton Project

Professor Rob Iliffe
Director, AHRC Newton Papers Project

Scott Mandelbrote,
Fellow & Perne librarian, Peterhouse, Cambridge

Faculty of History, George Street, Oxford, OX1 2RL - newtonproject@history.ox.ac.uk

Privacy Statement

  • University of Oxford
  • Arts and Humanities Research Council
  • JISC