<3>

divisoris termino hoc modo x+baaprodibitaaxaabxx+aabbx3aab3x4&c.

Ad eundem modum fractio 11+xx reducitur ad 1xx+x4x6+x8&c vel ad x2x4+x6x8&c

Et fractio 2x12x321+x123x ad 2x122x+7x3213x2+34x52&c

Ubi obiter notandum est quòd usurpo x1, x2, x3, x4, &c: pro 1x, 1xx, 1x3, 1x4; & x12, x32, x52, x13, x23, &c: pro x, x3, x5, c:x, c:xx; & x12, x23, x14, &c pro 1x, 1c:xx, 14:x. Idq ob analogiam rei, quæ deprehendi potest {illeg}|ex| hujusmodi \geometricis/ progressionibus x3, x52, xx, x32, x, x12, x0 (sive 1,) x12, x1, x32, x2 &c

Sic vice Ad hunc modum pro aaxaabxx+aabbx3&c scribi potest aax1aabx2+aabbx3&c. Et sic vice aaxx_ scribi potest aaxx_12; et aaxx_2 vice quadrati ex aaxx; et abby3by+yy13 vice c:abby3by+yy. Et sic in alijs. Unde meritò potestates distingui possunt in affermativas et negativas, integras, et fractas.

Exempla \reductionum/ per extractionem radicum.

Proposito aa+xx, radicem ejus ut sequitur extrah{illeg}|e|s,
aa+xxa+xx2ax48a3+x616a55x8128a7+7x10256a921x121024a11&c aa_ 00+xx 00+xx+x44aa_ 00+xxx44aa 00+xxx44aax68a4+x864a6_ 00+xxx44aa+x68a4x864a6 00+xxx44aa+x68a4+x816a6x10064a8+x12256a10_ 00+xxx44aa+x68a45x864a6+x10064a8x12256a10&c 00+xxx44aa+x68a45x864a65x8128a8+5x12512a10_ 00+xxx44aa+x68a45x864a67x10128a87x12512a10 00+xxx44aa+x68a45x864a67x10128a8+7x12512a10_ 00+xxx44aa+x68a45x864a67x10128a821x12512a10 <4> et prodit a+xx2ax48a3&c. Ubi notandum venit quòd circa finem operis eos omnes terminos negligo quorum dimensiones trascenderent dimensiones ultimi termini ad quem cupio quotientem solummodò produci, puta x12a11. Potest etiam ordo terminorum inverti ad hunc modum xx+aa, et radix est x+aa2xa48x3+a616x5&c.

Sic ex aaxx radix est axx2ax48a3x616a5&c

Et ex xxx est x1212x3218x52116x72&c

* |* et ex aa+bxxx est a+bx2axx2abbxx8a3&c|

Et ex 1+axx1bxx est 1+12ax218aax4+116a3x6 112bxx18bbx4116b3x6 &c. {illeg} \{illeg}/ factâq \in super/ divisione, {illeg}|fit| {illeg} 10 +12b+12ax2 +38bb+14ab18aax4 +516b3+316abb116aab+116a3x6 &c

Operationes verò per debitam æquationis præparatione non rarò abbreviari possunt; {illeg}|U|t in allato exemplo {illeg} |ad extrahendam| {illeg} 1+axx1bxx, si non eadem fuisset numeratoris ac denominatoris forma, utrumq multiplicassem per 1bxx_ & sic prodijsset :1+abxxabx4: 1bxx , et reliquum opus perficeretur extrahendo radicem numeratoris tantùm ac dividendo per denominatorem.

Ex hisce credo manifestum es{illeg}|t| quo pacto radices aliæ possunt ex{illeg}|t|rahi et quælibet compositæ quantitates (quibuscunq radicibus vel denominatoribus perplexæ, ut hic videre est x3+ x1xx__ 3:axx+x3 5:x3+2x5x32_ 3:x+xx_2xx23_ .) in series infinitas simplicium terminorum reduci.

De {illeg}|A|ffectarum æquationum reductione.

Propositis verò affectis æquationibus, modus quo radices earum ad hujusmodi series reduci possint obnixiùs explicari debet idq cùm earum doctrina quam hactenus in numeris exposuerunt Mathematici, per ambages (superfluis etiam operationibus adhibitis) obscurè trada{illeg}tur, ut in specimen <5> operis in speciebus non debeat adhiberi. Imprimis itaq numerosam affectarum æquation{illeg}|um| resolutionem compendiosè tradam, dein spe{illeg}|ci|osam similiter explicabo.

Proponatur æquatio y32y5=0 resolvenda, Et sit 2 numerus utcunq inventus qui minùs quàm decimâ sui parte differt a radice quæsitâ. Tum pono 2+p=y, et \pro y/ substituo hunc sibi valorem \2+p/ in æquationem, et inde nova prodit p3+6pp+10p1=0. cujus radix p exquirenda est ut quotienti addatur. Nempe (neglectis p3+6pp ob parvitatem) 10p1=0 sive p=0,1 prope \ad/ veritatem {illeg} est \proxime accedit/. Scribo itáq 0,1 in quotiente & suppono 0,1+q=p, et hunc ejus fictitiu valorem ut ante substituo, et prodit q3+6,3qq+11,23q+0,061=0. Et cùm 11,23q+0,061 ad \=0/ veritatem prope accedi|a||t| \appropinque{illeg}|t|{illeg}/ sive ferè sit q=0,0054 (dividendo nempe \0,061 per 11,23/ donec tot eliciantur figuræ quot loca primis figuris hujus et principalis quoti{illeg}|e|ntis exclusivè intercedunt, quemadmodum hic duo sunt inter 2, & 0,005) scribo 0,0054 in inferiori parte quotientis siquidem negativa sit, et supponens 0,0054+r=q, hunc ut priùs substituo. Et sic operationem ad placitum produco, pro more subjecti diagrammatis.

_________________________________________ +2,100000000,00544852 +2,09455148 _________________________________________ 2+p=y.0,0000000+y3 2y 5 +8+12p+6pp+p3 402p 5 p3Summap3 1+10p+6pp+p3 _________________________________________ 0,1+q=p.0000000+p3 +6pp +10p 1 +0,001+00,03q+0,3qq+q3 +0,061+01,20q+6,3qq +1,001+10,0q 1 q3Summaq3 +0,061+11,23q+6,3qq+q3 _________________________________________ 0,0054+r=q.00000 0.+q3 0.+6,3qq +11,23q +0,061 0,0000001 5. 7. 4. 6. 4. +00,000 0. 8. 7. 4. 8.r 0. , 0. 1. 6. 2.rr+1.r3q3 +0,0001837 0. 8.00,068 0. 4.+ 6. , 3.q3 0,0606420+11,23q +0,061 q3Summaq3 +0,0005416 0. 0. 0. 0. 0.+11,162r0000000000000000000 _________________________________________ 0,00004852+s=r. 0 _________________________________________

<6>

{illeg}|O|pus verò sub fine (præsertim in æquationibus plurium dimensionum) hac methodo multùm abbreviabitur. Determinato quousq velis radicem extrahi, tot loca post prima figuram coefficientis penultimi termini æquationum in dextra parte diagrammatis resultantium {illeg} ad{illeg}|n|umera, quot supersunt loca in quotiente complenda, et subsequentes decimales neglige. In ultimo verò termino decimales post tot plura loca neglige quot in quot in quotiente complentur loca decimalia. Inq antepenultimo termino neglige omnes post tota pauciora loca. Et sic deinceps, Arithmeticè progrediendo per intervallu istud locorum, s{illeg}ive quod perinde est, tot figuras passim elidendo quot in penultimo termino, modò depressissima earum loca sint in Arithmeticâ progressione juxta seriem terminorum, aut circulis compleri subintelligantur ubi res aliter eveniat. Sic in exemplo jam posito, si cupiam ut quotiens ad octavum tantùm decimalem locum compleatur; inter substituendum 0,0054+r pro q, u{illeg}|b|i quatuor loca decimalia in quotiente complentur ac totidem supersunt complenda, potui figuras \in inferioribus {illeg}|q|uinq locis/ omisisse quas eapropter lineolâ transversim notavi; imò primum terminum r3, etsi coefficiente habui 99999 habuisset, potui tamen penitus omi{illeg}|sis|se. Expunctis itaq figuris istis, pro subsequente operatione prodit summa 0,0005416+11,162r, quæ per divisione ad usq præscriptum terminum peractam dat 0,00004852 pro r, quod quotientem ad optatam periodum complet.

Deniq negativam partem quotientis ab affirmativâ subduco, et oritur 2,09455148 quotiens absoluta.

Præterea notandum est quòd sub initio operis si dubitarem an {illeg} 0,1=p ad veritatem satis accederet, vi{illeg}|c|e 10p1=0 finxissem 6pp+10p1=0, et ejus radicis nihilo propioris primam figuram in quotiente scripsissem. Et hoc modo secundam vel etiam tertiam quotientis figuram explorare convenit ubi in æquatione secundaria circa quam <7> versaris, quadratum coefficientis penultimi termini non sit decies {illeg}|m|ajor quàm factus ex ultimo termino ducto in coefficientem termini antepenultimi. Quinimò laborem plerumq minues, præsertim in æquationibus plurimarum dimensionum, si figuras omnes quotienti addendas hoc modo (id est extrahendo minorem radicum ex tribus ultimis terminis æquation{illeg}|is| novissimè resultantis ejus secundariæ) quæras. Sic enim figur{illeg}|a|s duplo plures in quotiente quâlibet vice lucraberis.

His in numeris sic ostensis, consimiles operationes in speciebus explicandæ restant, de quibus juvabit \convenit/ sequentia prænoscere. 1 Quod e speciebus radicem definientibus \coefficientibus/ aliqua{illeg} præ reliquis (si sint plures) insignio|e||nda| \sit/, {illeg} \ea/ nempe quæ{illeg} s{illeg}o aut m{illeg}s possum fingere \{illeg}|e|st, aut fingi potest esse/ esse omnium longè minimam vel maximam \vel datæ quantitati vicinissima; sive indefinitè parvam vel magnam datæ{illeg} quantitati vicinam./. Cujus rei causa est, ut {illeg} dimensionum ob ejus dimensiones in numeratoribus vel denominatoribus terminorum quotientis perpetim auctas, illi termini continuò minores et inde quotiens radici propinquior evadat, sicut ante de specie x in exemplis reductionum per divisionem et extractionem radicum manifestum est|s||e| \potest/. Pro isthâc verò specie in sequentibus ut {illeg}|p|lurimùm usurpabo {illeg} etiam x vel z, quemadmodum ety, p, q, r, s &c pro specie radicali extrahenda.

2 Siquando fractiones {illeg}|int|ricatæ \complexæ/ vel surdæ quantitates in æquatione propositâ vel post in operatione occurrant, tolli debent per \me/m|th|odos Analystis satis notas. Quemadmodum si habeatur y3+bbbxyyx3=0, multiplico per bx et {illeg} \ex facto{illeg}/ by3xy3+bbyybx3+x4=0 resolvo \valorem y elicio./ Vel possum fingere y×bx_=v, et sic scribendo vbx pro y, orietur v3+bbyybbx3+2bx4x5=0 dein extractâ radice v, divido quotientem per bx ut obtineatur valor y. Item si proponatur {illeg} |y3xy12+x43|{illeg}=0 fingo {illeg} y12=v, et x13=z, et sic scribendo vv pro y et z3 pro x, oritur {illeg} |v6z3v+z| {illeg}; qua \æquatione/ resolutâ restituo y et x. Scilicet radix invenietur v=z+z3+6z5&c, et restitutis y et x orietur <8> y12=x13+x+6x53&c; {illeg} e{illeg}|t| quadrando, y=x23+2x43+13xx&c. Ad eundem modum siquæ sint negativæ ips{illeg}|o|ru x et y, facio nullas esse \tollo/ multiplicando per easdem x et y Sic habito x3+3xxy12x116y3=0, multiplico per x et y3, oriturq x4y3+3x3yy2y316=0. Et habito x=aay2a3yy+3a4y3 duco in y3 et oritur xy3=yy2y+3. Et sic de cæteris.

3 Æquatione sic præparatâ, ob|p|us ab inventione primi termini quotientis initium sumit, de quâ ut et consimili subsequentium terminorum inventione hæc esto regula generalis cùm species indefinita \(x vel z)/ parva esse fingitur, * |* ad quem casum cæteri duo \casus/ sunt reducibiles|. E terminis in qu{illeg}|i|bus species radicalis (y, p, q vel r &c) non reperitur selige depressissimum respectu dimensionum indefinitæ speciei ({illeg}|x| vel z &c) dein alium terminum in quo sit illa species radicalis selige, talem {illeg}|n|empe ut progressio dimensionum utriusq præfatæ speciei a termi{illeg}|n|o priùs assumpto ad hunc terminum continuata, quàm maximè potest descendat vel minimè ascendat. Et siqui sint alij termini quorum dimensiones cum hâc progressione ad arbitrium continuatâ conveniant, eos etiam selige. Deniq ex his selectis terminis tanquam nihilo æqualibus quære \primum terminum/ valore{illeg}|m| dictæ speciei radicalis et quotienti appone {illeg}, \vel {illeg} primum terminum ejus/ et quotienti appone.

Cæterùm ut hæc regula magis elucescat, placuit insuper ope sequentis diagrammatis exponere. Descripto angulo recto BAC, latera ejus BA, AC di{illeg}|v|ido in partes æquales, et inde normales erigo distribuentes angulare spatium in æqualia quadrata vel parallelogramma, quæ conci{illeg}|p|io denominata esse a dimensionibus specierum x et y, {illeg} \pro ut/ vides in fig 1 inscriptas. Deinde cùm æquatio aliqua proponitur, parallelogramma singulis ejus terminis Figure correspondentia insignio notâ aliquâ et Regulâ ad duo vel forte plura ex insignitis parallelogrammis applicatâ, quoru unum sit humillimum in columnâ sinistra juxta AB, et alia \ad regulam/ dextrorsum sita, cæteraq omnia non contingentia <9> regulam supra eam jaceant: seligo terminos æquationis per parallelogramma contingentia regulam designatos et inde quæro quantitatem quotienti addendam.

Sic ad extrahendam radicem y ex y65xy5+x3ay47aaxxyy+6a3x3+bbx4=0; parallelogramma hujus terminis respondend|t|ia signo nota aliqua ∗ ut vides in schem. 2. Dein applico regulam DE ad inferiorem e locis \signatis/ in sinistra columna, eámq ab inferioribus dextrorsum ad superiora dextrorsum gyrare facio donec alium similiter vel fortè plura e reliquis signatis locis quam primum attinget \cœperit attingere/, videóq loca sic attracta esse x3, x2y2, & y6. E terminis itáq y67aaxxyy+6a3x3 tanquam nihilo æqualibus (et insuper si placet reductis ad v67vv+6=0 ponendo y×ax) quæro valorem y, et invenio quadruplicem +ax, ax, +2ax & 2ax, quorum quemlibet pro initio quotientis accip{illeg}|er|e \liceat/ prout e radicibus quampiam extrahere decre{illeg}|tu|m est

Sic ex y5byy+9bxxx3=0 seligo byy+9bxx, et inde obtineo +3x pro initiali termino quotientis

Et ex y3+axy+aayx32a3=0 seligo y3+aay2a3, et radicem ejus +a scribo in quotiente.

Et ex xxy53c4xyyc5xx+c7=0 seligo xxy5+c7, quod exhibet 5:c7xx pro initio quotientis. Et sic de cæteris.

Cæterùm invento hoc termino, si \is/ contingat esse negativæ potestatis, æquationem per eandem potestatem indefinitæ speciei potestatem deprimo, \eo ut/ non opus sit inter solvendum deprimere, et \insuper/ ut regula de superfluis termin{illeg}|i|s elidendis \mox tradenda/ aptè possit adhiberi. Sic proposito 8z6y3+az6yy27a9=0, cujus quotiens exordiri debet a 3a32zz, deprimo per zz, ut fiat 8z4y3+az4yy27a9z2=0, antequam solutionem {illeg}|i|neo.

Subsequentes q{illeg}|uo|tientum termini eâdem methodo ex æquationibus secundarijs inter operandum prodeuntibus eruuntur, sed \ut plurimum/ leviori tamen curâ. Res enim peragi solet dividendo depressi\ssi/mum e terminis cum indefinit{illeg}|è| \parva/ specie (x, xx, x3 &c) absq specie radicali (p, q, r &c) affectis, per quantitatem quâcum species illa radicalis unius tantùm dimensionis abq alterâ indefinitâ specie afficitur, et exitum scribendo in quotiente. Sic in exemplo sequente termini quotientis x4, xx64a, {illeg} 131x3512aa &c eliciuntur dividendo aax, 116axx{,} 131128x3 &c per 4aa.

Cæterùm

<10>

His praemissis restat ut praxis|n| resolutionis exhibe{illeg}|a|m. Sit itáq y3+aay+axy2a3x3=0 æquatio resolvenda, et ex ejus terminis y3+aay2a3=0 \æquatione fictitiâ,/ juxta tertium e præmissis elicio ya=0, & scribo {illeg} +a in quotiente. Deinde cùm +a non accurate valet|a|t y, pono a+p=y, et pro y substit{illeg} in terminis æquationis \in/ margine {illeg} scriptis substituo a+p, terminosq resultantes (p3+3app+axp &c) {illeg}rursum {illeg} scribo in margin{illeg}|e|, ex quibus iterum juxta tertium e præmissis excerpo terminos +4aap+aax=0 pro æquatione fictitiâ, quæ cùm {illeg}exhibet|a|t {illeg} p=14x, scribo 14x in quotiente. Præterea cùm 14x non accurate valet|a|t p, pono 14x+q=p, & pro p in terminis margi{illeg}|n|a\libus/ adscriptis substituo 14x+q, terminosq resultantes ({illeg} q334xqq+3aqq &c) iterum {illeg} scribo \in/ margine, ex quibus {illeg}|d|e{illeg}|n|u{illeg}|ò| juxta regulam præfatam seligo terminos 4aaq116axx=0 pro æquatione fictitiâ quae cùm {illeg} exhibet|a|t {illeg} q=xx6aa scribo +xx64a in quotiente. Porrò cùm xx64a non accuratè valet|a|t q, pono xx64a+r=q & pro q in terminis marginalibus adscriptis substituo xx64a+r, & sic opus ad placitum produco prout indicat subjectum diagramma.

_________________________________________ ax4+xx64a+131x3512aa+509x416384a3&c _________________________________________ +a+p=y.000000000+y3 +axy p0+aay x3 2a3 +a3+3aap+3app+p3 +aax+axp +a3+aap x3 2a3 _________________________________________ 14x+q=p.000000000+p3 00+3ap2 00+axp +4aap +aax x3 164x3+316xxq34xqq+q3 +316axx32axq+3aqq 14axx+axq aax+4aaq +aax x3 _________________________________________ +xx64ax+r=q.000000+q3 34xqq x00+3aqq x00+316xxq 12axq 00+4aaq 6564x3 116axx 00 00 +3x44096a+332xxr+3arr +3x41024a+316xxr 1128x312axr +116axx+4aar 6564x3 116axx _ +4aa12ax +131128x315x44096a +131x3512aa+509x416384a3 . _

<11>

Quod si Quotientem ad certam usq periodum continuari \produci/ cupi{illeg}|am|, ut x nempe in ultimo ejus termino ultra datum dimensionum numerum non ascendat; inter substituendum, terminos istas \inter substituendum/ semper omitto quos nulli deinceps usui fore prævide{illeg}|am|. Cujus rei regula esto, quòd post primum terminum ex qualibet quantitate sibi in margine collaterali resultantem non addan\tur/ plures dextrorsum, quàm istius primò resultantis termini dimensio a periodica \sive maximâ/ dimensione quotientis distat unitatibus \deficit gradibus/. Ut in hoc exemplo si cupiam ut quotiens (sive x in quotiente) ad quatuor tantùm dimensiones ascendat, omitto omnes terminos post x4, & post x3 pono unicum tantùm. Terminos itaq post notam ∗ delendos esse concipe: Et opere sic continuato donec ultimò ad terminos 15x44096a131128x3+4aar12axr deveniatur in quibus (p, q, r vel s &c) residuum radicis extrahendæ sit uni|c|æ tantùm dimensionis; tot terminos +131x3512aa+509x416384a3 per divisionem elicio|e|s, quot ad complendum quotientem deesse videbis. Atq ita tandem obtinebitur y=a14x+xx64a+131x3512a2+509x416384a3.

Plenioris illustrationis gratia dedi aliud exemplum resolvendi|o| 15y514y4+13y312yy+yz=0 \{illeg}/, {illeg}|u|bi proponitur inventio quotientis ad quintam tantùm dimensionem, {illeg}|te|rminiq superflui post notam (&c) negliguntur.

_________________________________________ z+12zz+16z3+124z4+1120z5&c _________________________________________ z+p=y0000000000+15y5 14y4 +13y3 12y2 +y z +15z5&c 14z4z3p&c +13z3+z2p+zpp+&c 12z2zp12pp +z+p z _________________________________________ +12zz+q=p.00000000+zp2 12p2 00z3p 00+z2p 00zp 00+p +15z5 14z4 +13z3 12z2 +14z5&c 18z412z2q+&c 12z5&c +12z4+z2q 12z3zq +12z2+q +15z5 14z4 +13z3 12z2 _ 1z+12zz +16z318z4+120z5 +16z3+124z4+1120z5 . _

Atq ita si cupiam æquationem 63y112816+351152y9+5112y7+ <12> 340y5+16y3+yz=0 ad usq nonam tantùm dimensione quotientis resolvi, ante opus initum {illeg} negligo terminum 632816y11, deinde inter operandum negligo etiam omnes term{illeg}|i|nos post z9, post z7 pono unicum, ac duos tantum post z5, eò quòd percipio quotientem ubiq per gradus binarum {unitatum} (hoc modo z, z3, z5, &c) \debere/ ascendere. Tandemq prodit /y=z16z3+1120z515040z7+1362880z9 {illeg}\

Et hinc pad|t|et {illeg} artificium quo æquationes in infinitum affectæ, vel utcunq {illeg} multis {illeg} numeróve infinitis terminis constantes possunt solvi. Scili{illeg}|c|et omnes termini ante opus initum debent negligi in quibus dimensio speciei indefinita|è| parvæ non affectæ cum {illeg}|r|adicali specie transcendit maximam desideratamdimensionem in quotiente \desideratam/ vel ex quibus, (substituendo \pro {illeg}|r|adicali specie {illeg}/ primum terminum quotientis ope tessellatæ tabulæ inventum), non nisi ejusmodi transcendentes termini possunt emergere. Sic in exemplo novissimo terminos omnes supra y9, {illeg}|q|uamvis infinitè progrederentur, omiss|i|ssem. Et sic in hâc æquatione
0= 8+zz4z4+9z616z8+&c +yinzz2z4+3z64z8+&c yyinzzz4+z6z8+&c +y3inzz12z4+13z614z8+&c
ut radix cubica ad quatuor tantùm dimensiones ipsius z extrahatur, mitto omnes in infinitum terminos post +y3inzz12z4+13z6, et post yyinzzz4+z6 et post +yinzz2z4, et post 8+zz4z4. Et hanc tantù \æquationem/ 13z6y312z4y3+zzy3z6yy+z4yy2z4y+zzy4z4+zz8=0 resolvendam sumo, siquidem 2z23 (primus nempe quotientis terminus,) pro y in reliquâ æquatione per |z23| substitutus, dat plures ubiq quàm quatuor dimensiones{.}

Quæ de altioribus æquationibus dixi, ad quadraticas etiam applicari possunt. Quemadmodum si hujus
0= +yy. yina+x+xxa+x3aa+x4a3+&c +x44aa.
radicem ad usq periodum x6 desiderem, mitto terminos in infinitum post yina+x+xxa et isthanc tantùm <13> yyayxy+xxay+x44aa=0, sive id fiat hâc lege y=12a+12x+xx2a14aa+12ax+34xx+x32a_, ut solet, sive expeditiùs per methodum de affectis æquationibus jam traditam, resolvo; et exit y=x44a3x54a4, ultimo desiderato termino existente nullo.

Postquam verò radices ad convenientem periodum extractæ sunt, poss{illeg}s plerumq \possunt aliquando/, ex analogiâ seriei observatâ, ad placitum produci{illeg}. Sic hanc z+12zz+16z3+124z4+1120z5&c (radicem æquationis infinitæ x=y+12yy+13y3&c) perpetuò produces dividendo ultimum terminum per hos ordine numeros 234567 &c. Et hanc z16z3+1120z515040z7+1362880z9&c dividendo per hos 2×34×56×78×9 &c [Et hanc a+xx2ax48a3+x616a55x8128a7&c multiplicando per hos 12143658710 &c.] Et sic in alijs.

Cæterùm in in{illeg}|v|entione primi termini quotientis et nonnunquam secundi tertijve difficultat|s|is etiamnum enodanda superest. Potest enim valor ejus secundum præcedentia quæsitus esse surda sive inextricabilis radix æquationis multipliciter affectæ. Quod cùm accidit, modò non sit insuper impossibilis, illum literâ aliquâ designabis, dein operabere tanquam si {illeg}cognitum haberes. Quemadmodu in exemplo y3+axy+aayx32a3=0, si radix hujus y3+aay2a3=0 fuisset surda vel ignota finxissem quamlibet b, pro ea ponendam esse, et resolutionem \(puta ad tertiam dimensionem )|q|uotientis)/ ut sequitur perfecissem.

_________________________________________ babxcc+a4bxxc6+x3cc+a4b3x3c8a5bx3c8+6a5b3x3c10. _________________________________________ b+p=y.0000000b0+y3 b+axy b+aay x3 2a3 +b3+3bbp+3bpp+p3 +abx+axp +aab+aap x3 2a3 _________________________________________ b0c0abxcc+q=p.00000+p3 b0c0+3bpp bc+axp b+ccp x3 +abx a3b3x3c6+&c +3aab3xxc46abbxccq+&c aabxxcc+axq abx+ccq x3 +abx _ cc+ax6abbxcczz a4bxxc4+x3+a3b3x3c6 a4bxxc6+x3cc+a3b3x3c8&c _

<14>

Scribens b in quotiente suppono b+p=y & pro y substituo ut vides: unde prodit p3+3bpp &c, rejectis terminis b3+aab2a3, qui nihilo sunt æquales propterea quod b supponitur radix hujus y3+aay2a3=0. Deinde termini 3bbp+aap+abx dant abx3bb+aa, quotienti apponendum & abx3bb+aa+q substituendum pro p. Brevitatis autem gratiâ scribo cc pro 3bb+aa, cavendo tamen ut 3bb+aa restituatur ubi terminos sic abbreviari posse percipiam. Completo opere assumo numerum aliquem pro a, et hanc y3+aay2a3=0 (sicut de numerali æquatione ostensum supra) resolvo, et quamvis \quamlibet/ ejus radicem (modo tres haberet) pro b substituo. Vel potiùs hujusmodi æquationes a speciebus, ut possum, libero, præsertim ab indefinitâ; idq pro morequem volui innuere pag 9 lin 14: et pro cæteris tantùm (siquæ supersint indelebiles) pono numeros. Sic y3+aay2a3=0 liberabitur ab a dividendo radicem per a, fietq y3+y2=0, cujus {illeg}|i|nventa radix ducta in a substitui debet pro b.

Hactenus indefinitam speciem suposui parvam esse. Quod si datæ quantitati vicina supponatur, pro indefinitè parvâ differentiâ pono speciem aliquam, et hâc substitutâ, solvo ut ante. Quemadmodum in 15y514y4+13y312y2+yax=0, cognito vel ficto x esse ejusdem prope quantitatis ac a, pono z differentiam ex \inter ea/, & scribendo a+z, {illeg} {illeg} |vel az| pro x, orietur 15y514y4+13y312y2+y− vel +z=0 solvendum ut in præcedentibus.

Si verò species illa \supponatur/ indefinitè magna, pro reciproco ejus indefinitè parvo pono speciem \aliquam/, et hâc substitutâ, solvo ut ante. Sic in {illeg} y3+y2+y=0, cognito vel ficto z esse valde magnum, pro reciprocè parvo 1z pono x, et substituto 1x pro z {illeg}|o|rietur 15y514y4+13y312yy+y1x=0 sive {illeg} {illeg}=0, cujus radix secundum præcedentia extrahitur fitq 5:5x+14185:x1125:5x&c.

Sin autem species ilia supponatur indefinite magna, pro reciproco ejus indefinitè parvo pono speciem aliquam, quâ substitutâ solvo ut ante. Sic habito y3+y2+yx3=0 ubi x cognoscitur vel fingitur esse valde magnum, <15> pro reciprocè parvo 1x pono z, et substituto 1z pro x, orietur y3+yy+y1z3=0, cujus radix est 1z1329z+781zz+581z3&c. {illeg} et x si plat|c|et restituto fit y=x1329x+781xx+581x3&c{.}

Siquando ex aliquâ harum trium suppositionum res non {illeg}omninò aut non commodè succedat, ad aliam recurri potest. Quemadmodum \Sic/ in y4xxyy+xyy+2yy2y+1=0 {illeg} \cùm/ primus terminus obtineri debet|a|t \deberet/ fingendo y4+2yy2y+1=0, quæ tamen nullam admittit possibilem radicem, Tento {illeg}q quid fiet aliter: quemadmodum si fingam x parùm differre a +2 sive \esse/ 2+z=x, substituendo \2+z vice x/ prodibit y4zzyy2zyy2y+1=0, et quotiens exordietur ab +1. Vel si fingam x indefinitè magnam esse, sive 1x=z, obtinebitur y4yyzz+yyz+2yy2y+1=0, & +z pro initio quotientis. Et hac ratione secundum varias Hypotheses procedendo, licebit varijs modis extrahere ac designare radices.

Quod si cupias explorare quot modis id potest fieri, tentabis quænam quantitates pro indefinitâ specie in æquationem propositam substitutæ, efficient divisibilem per y + vel − aliquâ quantitate vel per y solum. Id quod verbi gratia in æquatione y3+axy+aayx32a3=0 eveniet substituendo +a, vel a, vel 2a, vel c:2a3, &c \pro y/. Atq ad{illeg} \ita/ possis commodè supponere quantitatem x parùm ab +a, vel a, vel 2a, vel c:2a3 differre, et \inde/ radicem propositæ æquationis tot modis extrahere. Imò et fortasse tot alijs mo{illeg}|d|is fingendo differentias istas esse indefinitè magnas. Quinetiam si aliam atq aliam e speciebus radice definientibus pro indefinitâ adhibeas, possis alijs adhuc fortassè modis propositum consequi; et etiamnum alijs substituendo valores quâcunq ratione fictos et (quales sunt az+bzz, ab+z, a+czb+z &c) pro indefinitâ specie & in æquatione resultante operando sicut in præcedentibus.

Cæterùm ut conclusionum veritas constet, quotientes nempe sic extractos, dum producuntur, ita propiùs ad radicem accedere, ut minùs tandem quâvis datâ quantitate differant, adeóq in infinitum productos non omninò differre: perpende <16> \quod/ quantitates in sinistrâ columnâ dextræ partis diagrammatum, quòd sint ultimi termini æquationum quarum p, q, r, s, &c existunt radices et inde quòd ipsis evanescentibus, illæ p, q, r, s, id est differentiæ \inter/ quotient{illeg}|e| {illeg}|&| quæsita radice, simul evanescunt. Adeóq quotiens tunc non differt a radice. Quamobrem sub initio operis si terminos in dictâ columnâ sese omnes destruere videas, conclude quotientem eatinus extractam, esse justam radicem. Sin aliter, videbis tamen terminos in quibus {illeg} est indefinite parva species est pauciorum dimensionum, id est longè maximos, e columna ista perpetuò tolli, ut tandem non restent nisi datâ quâvis quantitate minores, et proinde non majores nihilo cùm opus infinitè producitur. Quare quoti{illeg}ens infinitè extracta fiet etiam justa radix.

[Etsi deniq species, quam|s| hactenus perspicuitatis gra supposui indefinitè parva{illeg}|s|{illeg} esse, quantumvis magnæ supponàtur, \tamen veræ erunt/ quotientu|es|m, ut ut minùs citò ad justam radicem converge|a|ntium veritas tamen \ad ve/ \quemadmodum/ ex analogiâ rei consta|e|bit. Sed hic radicum termini, maximæq et minimæ quantitates spectandæ veniunt: Nam infinitarum cum finitis asquationibus communia sunt hujusmodi symptomata {illeg}. Radi{illeg}|x| autem in his maxima fit vel minima quando maxima vel minima est differentia summæ affirmativorum terminorum a summâ negativorum, ac terminatur cùm indefinita parva quantitas \(quam {illeg}|ideò| parvam esse non immeritò finxi)/ non potest major sumi quam quin magnitudo radicis in infinitum prosiliet, ho{illeg}|c| est fiet impossibilis. Verbi gratiâ posito ACD semicirculo super diametro AD descripto, et BC ordinatim applicatâ: Dic AB=x {illeg} \BC=y/ AD=a et {illeg} erit y=axxx_=axx2aaxxx8aaax Figurex316a3ax&c. Fitq \ergo/ BC sive y maxima cum ax maximè superat omnes x2aax+xx8aaax+x316a3ax&c, id est cùm sit x=12a: terminabitur autem cùm sit x=a s|q|uia si sumas {sic} x|____a, summa omnium terminorum x2aaxxx8aaaxx316a3ax&c erit infinita. Est et alius ter{illeg}|m|inus cùm ponitur x=0, propter impossibilitatem radicalis ax; {illeg}|Q|uibus terminis correspondent semicirculi limites A et D.] Et hic differentia inter in finitas

<17>

Hactenus de modis computandi quorum poshac {sic} frequens erit usus: Jam restat ut in illustrationem hujus Artis \Analyticæ/ tradam aliquot Problematum specimina qualia præsertim natura curvarum ministrabit. Sed imprimis observandum venit quod hujusmodi difficultates possunt omnes ad hæc duo tantùm problemata reduci quæ circa spatium motu locali utcunq accelerato vel retardato descriptum proponere licebit.

1. Spatij longitudine continuò (sive ad omne τα νυν \tempus/) data, celeritatem motûs ad tempus propositum invenire.

2. Celeritate motûs continuò datâ longitudinem spatij \2/ {illeg}descripti \1/ ad tempus propositum invenire.

Sic in æquatione xx=y si y designat spatij longitudinem ad quodlibet tempus quod aliud spatium x uniformi celeritate in crescendo mensurat et exhibet descriptam: tunc 2mx designabit celeritatem qua spatium y ad idem temporis momentum describi pergit; et contra. Et hinc est quod in sequentibus considero|e|m quantitates quasi generatæ essent per incrementum continuum ad modum spatij quod mobile percurrendo describit{.}

Cùm autem temporis nullam habe|a|mus æstimationem nisi quatenus, \id/ per æquabilem motum localem exponitur et mensuratur, et præterea cùm quantitates ejusdem tantùm generis inter se conferri possint et earum incrementi et decrementi celeritates inter se, \eapropter ad tempus formaliter spectatum in sequentibus haud respiciam, sed e propositis quantitatibus quæ sunt ejusdem generis aliquam/ quantitatum aliquam {sic} æquabili fluxione ad generatam augeri debemus fingere|am| quæ cui cæteræ tant|q|uam tempori referantur, adeoq cui nomen temporis analogie|c|è tribui mereatur. Siquando itaq vocabulum temporis in sequentibus occurrat (quemadmodum perspicuitatis et distinctionis gratia nonn{illeg}|u|{illeg}|quàm| intertexui) eo nomine non tempus formaliter spectatum subintelligi debet sed illa alia quantitas cujus æquabili incremento sive fluxione tempus exponitur et mensuratur.

Quantitates autem quas ut {illeg}|se|nsim crescentes indefinitè considero, quo distinguam ab alijs quantitatibus quæ in æquationibus quibuscunq pro determinatis et cognitis habendæ sunt ac <18> initialibus literis a, b, c, &c designantur, posthac denominabo fluentes, ac designabo finalibus literis v, x, y, et z. Et celeritates {illeg} quibus singulæ \a motu generante/ fluunt et augentur (quas possim fluxiones vel simpliciter celeritates vocita{illeg}|r|e) designabo literis l, m, n et r. Nemp{e} pro celeritate quantitatis v ponam l et sic pro celeritatibus aliarum quantitatum x, y, et z ponam m, n, et r respectivè. His præmissis, e vestigio rem aggredior, imprimis duorum jam modo propositoru problematum solutionem exhibiturus.

Prob: 1.
Relatione quantitatum fluentium inter se datâ, fluxionum relationem determinare.
Solutio.

Æquationem qua data relatio exprimitur dispone secundum dimensiones alicujus fluentis quantitatis puta x, ac terminos ejus multiplica per quamlibet Arithmeticam progressionem ac deinde per mx. Et hoc opus in qualibet fluenti quantitate seorsim institue. Dein omnium factorum summam pone nihilo æqualem, et habes æquationem desideratam.

Exemp: 1. Si quantitatum x et y relatio sit x3axx+axyy3=0, terminos primò secundum x ad|c| deinde secund{illeg}|u|m y dispositos multiplico ad hunc modum.
Mult:x3axx+axyy3.0+x0. per3mx.2mx.mx.0. fit3mxx2max+may.. 0+x0.Multy3+axyaxx+x3. per3ny.ny.+0. fit3nyy+anx.+.
Et factorum summa est 3mxx2amx+amy3nyy+anx=0. æquatio quæ dat relationem inter fluxiones m et n. Nempe si assumas x ad arbitrium, æquatio x3axx+axyy3=0 dabit y. Quibus determinatis erit m.n3yyax.3xx2ax+ay.

Exempl 2. Si quantitatum x, y, et z relatio sit 2y3+xxy2cyz+3yzzz3=0,
Mult2y3+xx2cz+3zzyz3. per2ny.0.ny. fit4nyy+nz3y.000 Multxyy+2y32cyz+3yzzz3. per2mx.0.000 000fit2mxy.000 Multz3+3yzz2cyz+xxy+2y3. per3rz.2rz.rz.0 . 000fit3rzz+6ryz2cry.
Qu{illeg}|a|re fluendi celeritatum m n et r relatio est 4nyy+nz3y+2mxy3rzz+6ryz2cry=0.

Cæterùm cùm tres s{illeg}|i|nt hic fluentes quantitates x, y, et z deberet alia insuper æquatio dari qua relatio inter ipsas ut et inter earum fluxiones penitiùs determinetur. Quemadmodum si ponitur esse x+yz=0. exinde fluxionum alia relatio juxta Regulam erit m+nr=0. Confer <19> jam hasce cum præcedentibus æquationibus, eliminando quamlibet e tribus quantitatibus et quo|a|d\m/libet \etiam/ e tribus earum momentis \fluxionibus/, et reliquorum relationes penitiùs determinatas obtinebis.

Siquando in æquatione propositâ insint fractiones intricatæ \complexæ/ aut surdæ quantitates, pro singulis pono totidem literas, easq fingens designare quantitates mutabiles \fluentes/, operor ut ante. Dein supprimo \et extermino/ literas ascriptitias, ut hi{illeg}|c| videre est{.}

Exempl: 3. Si quantitatum x et y relatio sit yyaaxaaxx_: pro xaaxx_ {illeg} scribo z et inde habeo duas æquationes yyaaz=0, et aaxxx4zz=0 quarum prior {illeg}|u|t ante dabit 2nyr=0 pro relatione momentorum \fluxionum celeritatum/ n et r, et posterior dabit 2aamx4mx32rz=0 sive aamx2mx3z=r pro relatione momentorum \celeritatum/ m et r. Jam r suppresso fiet 2nyaamx+2mx3z=0, & \{illeg}|d|ein/ restituto xaaxx_ pro z habebitur 2nyaam+2mxxaaxx_=0 relatio inter m et n quæ quærebatur.

Exempl: 4. Si x3ayy+by3a+yxxay+xx_=0 designat relationem inter x et y: pono z pro by3a+y, et v pro xxay+xx_ et inde nactus sum tres æquationes x3ayy+zv=0, az+yzby3=0, & ax4y+x6vv=0. Prima dat 3mxx2any+rl=0, secunda dat ar+ry+nz3bnyy=0, et tertia dat 4amx3y+6mx5+anx42lv=0 pro relationibus momentorum \celeritatum/ l, m, n et r. Ipsorum verò r et l valores per secundam ac tertiam inventos (nempe 3bnyynza+y pro r, et 4amx3y+6mx5+anx42v pro l) substituo in primam et oritur 3mxx2any3bnyynza+y4amx3y6mx5anx42v=0. Et vice z et v restitutis valoribus by3a+y et xxay+xx_, prodit æquatio quæsita 3mxx2any3abnyy+2bny3aa+2ay+yy4amxy6mx3anxx2ay+xx_=0 quâ relatio momentorum \celeritatum/ m et n designatur.

Quo pacto in ali{illeg}|j|s casibus operandum est, quemadmodu cùm in æquatione propositâ reperiuntur surdi denominatores, radicales cubicæ, radicales intra radicales ut ax+aaxx__ <20> aut alij ejusmodi perplexi termini, ex his credo manifestum esse. Quinimò si in æquatione quantitates invol{illeg}|van|tur quæ nullâ ratione geometricâ determinari et exprimi possunt, quales sunt areæ vel longitudines curvarum: tamen relationes momentorum \fluxionum/ haud secus investigantur, prout in exemplo sequente manif constabit.

Præparatio in Exemplum 5.

Exempl: 5. Pone BD ordinatam esse Figure in angulo recto ad AB et quod ADH sit curva quæ per relationem inter AB et BD æquatione qualibet exhibitam definitur. AB verò dica{illeg}|tur| {illeg} x et curvæ area ADB ad unitatem applicata dicatur {illeg} z{.} Dein erige perpendiculum AC =|æ|q{illeg}|u|ale unitati et per C {illeg} duc CE parallelam AB et occurrentem BD in E, et concipiendo has duas superficies ADB et ACEB genitas esse per motum rectæ BED, manifestum erit quòd earum momenta \fluxiones/ (hoc est momenta \fluxiones/ quantitatum 1×z et 1×x, sive quantitatum z et x) sunt inter se ut BD & BE lineæ generantes. Est ergo r.mBD.BE sive 1, adeóq r=m×BD. Et hinc fit quod z in æquatione quâlibet designante relationem inter x et aliam quamvis mutabilem \fluentem/ quantitatem y involvi potest, et tamen momentorum \fluxionorum/ m et n relatio nihil minùs inveni{illeg}ri.

Exemplum 5. Quemadmodum si proponitur zz+axzy4=0 pro designanda relatione inter x et y, ut et axxx_=BD pro curvâ determinandâ, quæ proin erit circulus: æquatio zz+axzy4=0 sicut in præcedentibus dabit 2rz+arx+amz4ny3=0, pro determinanda relatione momentorum \celeritatum/ m, n, et r. Et præterea cùm sit r=m×BD sive maxxx_, pro eo substitue hunc valore, et orietur 2mz+amx_axxx_+amz4ny3=0 æquatio definiens relationem momentorum \celeritatum/ m et n.

Demonstratio.

Fluentium quantitatum momenta (i.e. earum partes indefinitè parvæ quarum additamento per singula temporis indefinita parva spatia augentur,) adeoq sunt ut fluendi celeritates. Quare si cujusvis ut x momentum per momentum per factum ex {illeg}cel ejus celeritate m et indefinitè parva quantitate o desi{illeg} (i.e. per mo) designetur, cæterorum v, y, z momenta per lo, no, ro designabuntur, siquidem lo, mo, no, et ro sunt <21> inter se ut l, m, n, et r.

Demonstratio

Jam \cùm/ quantitatum fluentium (ut x et y) momenta (ut mo et no) {illeg} sint additamenta infinitè parva quibus illæ quantitates per singula temporis infinite parva intervalla augentur, sequitur quod quantitates illæ x & y post quodlibet infinite parvum temporis intervallum futuræ sunt x+mo et y+no. e|E|t inde æquatio quæ relationem quantitatum fluentium ad omne tempus indifferenter designat, æque designabit relationem inter x+mo et y+no, ac inter x et y: adeò ut x+mo et y+no pro quantitatibus istis vice x et y in dictam æquationem substitui poss{illeg}|i|nt.

Detur itaq quælibet æquatio x3axx+axyy3=0, et substitue x+mo pro x et y+no pro y, et emerget
+x3+3moxx+3mmoox+m3o3 axx2amoxammoo00 +axy+amoy+anox+amnoo00 y33noyy3nnooyn3o3 =0
Jam ex Hypothesi sunt x3axx+axyy3=0, quibus deletis et reliquis terminis per o divisis restabunt 3mxx+3mmox+m3oo2amxammo+amy+anx+amno3nyy3nnoyn3oo=0{.} Et insuper cùm o {illeg}|s|upponitur esse infinitè parvum, eo ut momenta quantitatum designare possit, termini per illud multiplicati respectu cæterorum nihil valebunt. Rejicio itaq, et restat 3mxx2amx+amy+anx3nyy=0, ut supra in Exempl: 1.

Hinc observare est primò quòd termini non multiplicati per o semper evanesc{illeg}|e|nt, {illeg} ut et illi multiplicati per o plusquam unius dimensionis: et quòd reliquo\ru/ termino\rum/ per o divisi|o|rum ea semper erit forma quam juxta præcedentia debent habere Regulam habere debent. Id quod volui ostendere.

Ex hoc monstrato cætera quæ {illeg}|R|egula involvit facilè consequentur; quemadmodum quòd in æquatione propositâ plures fluentes quantitates involvi possunt, et quòd termini non modò per numerum d{illeg}|i|mensionum {illeg} quantitatum fluentium sed per quaslibet alias Arithmeticas progressiones multiplicari possunt dummodò {illeg} in operatione juxta quamlibet fluentem quantitatem sit eadem terminorum differentia, et progressio secundum eundem cujusq dimensionum ordinem disponatur. Et his concessis quæ præterea in exemplis 3, 4, et 5 docentur, per se manifesta sunt.

<22>

Prob 2

Exposita quantitate fluent{illeg}|e| ad cujus momenta relatio momentorum alterius alicujus fluentis quantitatis datur, quantitatum relationum inter se relationem invenire.

Rationis momentorum {illeg} quæsitæ quantitatis ad momenta quantitatis exposit{illeg}|æ| valorem multiplica per expositam quantitatem (si liber sit ab assymmetria et non afficitur denominator|e| {illeg} \aliquo/ plurium dimensionum terminorumy) multiplica per expositam quantitatem, dein termin{illeg}|um| \unumquemq/ sigillatim divide per \proprium/ numerum dimensionum \ejusdem/ quantitatis; et quod oritur valebit qu{illeg}|anti|tate quæsitâ.

Quemadmodum {illeg} si exponatur x, et y quæratur: Rationis nm valorem in datâ quâlibet æquatione, exhibitum duc{illeg} in x, et unumquemq te{illeg}|r|minum divide per numerum dimensionum ejus. Dein pone =y.

Exemplum 1. Si detur nm=xa, duco xa et fit xxa, ubi cùm x sit duarum dimensionum divido per 2 et fit xx2a quod pono æquale y.

<23>

Prob 2
Exposita æquatione fluxiones quantitatum
involvente, invenire relationem quantitatum
inter se.

Solutio particularis.

Cum hoc Problema \sit/ præcedentis contraria|e|turversum, contrario modo solvi debet: Utpote terminos per m multiplicatos disponendo secundum dimensiones ipsius x, dividendoq per mx ac deinde per numerum dimensionum aut fortasse per aliam arithmeticam progressionem, Atq idem opus in terminis per l, n, vel r multiplicatis instituendo, Et resultantium summam, rejectis terminis redundantibus, ponendo æqualem nihil{illeg}|o|.

Exempl. Sic expositâ æquatione 3mxx2amx+amy3nyy+anx=0; Operor ad hunc modum,
Divido3mxx2amx+amy0 permx, & fit3x32axx+axy Dein divido per3.2.1. et fitx3axx+axy 0Div:3nyy+anx perny, fit3y3+axy Div: per3.1. fity3+axy.

Et summa x3axx+axyy3=0 erit relatio desiderata quantitatum x et y. Ubi observandum venit quod etsi terminus axy bis resultavit, tamen non pono bis in hac summâ x3axx+axyy3 sed redundantem terminum negligo rejicio. Et sic ubicunq terminus aliquis bis \resultat/ (aut sæpius si de pluribus fluentibus quantitatibus agitur,) semel tantùm in summâ terminorum scribo{.}

Sunt et aliæ circumstantiæ quas Artificis ingenio pro re nata observandas esse remitto; nam supervacaneum esset his multa verba impendere, siquidem Problema non semper potest hoc artificio solvi. Addo tamen quod postquam Artifex relationem fluentium quantitatum hac methodo adeptus est, si juxta Prob:{illeg} 1 {illeg} potest regredi ad expositam æquationem fluxiones involventem, rectè operatus est; sin secùs, vitiosè. Sic in exemp{illeg}|l|o proposito, ubi æquationem x3axx+axyy3=0 adeptus sum, si relatio inter m et x jux ope primi Problematis <24> vicissim exquir{illeg} inde requiratur, obtinebitur æquatio exposita 3mxx2amx+amy3nyy+anx=0. Unde constat æquationem x3axx+axyy3=0 rectè inventam fuisse. At si æquatio mmy+na=0 exponeretur, et inde præscripta methodo elicerem 12xxxy+ay=0, pro relatione inter x et y, vitiosa foret operatio siquidem exinde per Prob 1 vicissim produceretur mxmynx+na=0, quæ differt ab æquatione primo exposita{.}

Hæc itaq perfunctoriè no{illeg}|t|ata prætermittens, solutionem generalem aggredior.

Præparatio in generalem solutionem.

Et in hunc finem convenit ut exposita æquatio ad talem formam semper reducatur ut ex una parte habeatur rati{illeg}|o| fluxionum ut nm (vel mn aut rm &c prout fluxiones alijs atq alijs symbolis exprimuntur,) et ex altera parte valor ejus rationis simplicibus terminis Algebraicis designatus. Sicut hic videre est nm=2+2xy.

Quamobrem cum in illo valore terminus aliquis a compositis|a| quantitate denomin{illeg}|e|tur, vel sit radicalis vel si nm ratio illa nm sit aff æquationis radix affecta, æquatio semper debet ad præscriptam formam reduci, idq vel dividendo per compositum denominatorem, vel extrahend{illeg}|o|{illeg} radicem, vel affectam æquationem resolvendo, prout in superioribus ostensum est.

Quemadmodum si exponitur nanxma+mxmy=0. Sive (facta reductione) nm=1+yax. Terminum yax a composita quantitate ax denominatum reduco ad infinitam seriem simplicium terminorum ya+xyaa+xxya3+x3ya4&c dividendo numeratorem y per denominatorem ax. Et sic obtineo nm=1+ya+xyaa+xxya3+x3ya4&c cujus ope{illeg} relatio inter x et y determinanda est.

Sic exposito nn=mn+mmxx. Sive nnmm=nm+xx, et ulteriori reductione, nm=12±14+xx_: Radicem quadratica e terminis 14+xx extraho, & obtineo infinitam seriem 12+xxx4+2x65x8+14x10&c quam pro 14+xx subti

<25>

Præparatio in generalem solutionem.

Et imprimis observandum est quod in exposita æquatione symbola Fluxionum (cum sint quantitates diversi generis a quantitatibus quarum sunt fluxiones) in singulis terminis debent ad æque-multas dimensiones ascendere. Et ubi res aliter se habet, alia alicujus fluentis quantitatis fluxio subintellegi debet esse unitas per quam termini {illeg}|d|epressiores t{illeg}|o|ties multiplicantur ut in omnibus symbola fluxionum ad eundem dimensionum gradum ascendant. Quemadmodum si exponitur æquatio m+mnxaxx=0, tertiæ alicujus fluentis quantitatis ut z fluxio r subintelligi debet esse unitas per quam primus terminus semel m semel et ultimus axx bis multiplicetur ut fluxiones inibi ad æque-multas dimensiones ac in secundo termino mnx ascendant quasi exposita æquatio ex hac mr+mnxrrxx=0 derivata fuisset ponendo r=1. Et sic in æquatione nx=yy debes imaginari m esse unitatem per quam terminus yy multiplicatur.

Æquationes autem in quibus duæ tantum sunt fluentes quantitates quæ ad æquè multas dimensiones passim ascendunt, semper possunt ad talem formam reduci ut ex una parte habeatur ratio fluxionum (velut nm vel mn vel rm &c ) prout et ex altera parte valor ejus rationis simplicibus terminis Algebraicis designatus; sicut hic videre est nm=2+2xy. Et ubi æquationibus præcedens particularis solutio non satisfacit, requiritur ut ad hanc formam reducas.

Quamobrem cum in illius rationis valore terminus aliquis a composita quantitate denominetur vel sit radicalis vel si ratio illa sit æquationis radix affecta: reductio vel per divisionem, vel extractionem radicis, {illeg}|v|el æquationis affectæ resolutionem institui debet, prout in se|u|perioribus ostensum est.

Quemadmodum si exponitur nanxma+mxmy=0. Hæc imprimis reductione \vel/ fit nm=1+yax, {illeg}|ve|l mn=axax+y. Et in priori casu si terminum yax a composita quantitate ax denominatum reduco ad infinitam seriem dividendo simplicium terminorum dividendo ya+xyaa+xxya3+x3ya4&c dividendo numeratorem y per denominatorem ax, obtinebo nm=1+ya+xyaa+xxya3+x3ya4&c cujus ope relatio inter x et y determinanda est.

Sic exposita nn=mn+mmxx, sive nnmm=nm+xx, et ulteriori reductione nm=12±14+xx_: Radicem quadraticam e terminis 14+xx extraho et obtineo infinitam seriem 12+xxx4+2x65x8+14x10&c <26> quam pro 14+xx_ substituendo prodit nm=1+xxx4+2x65x8&c. Vel nm=xx+x42x6+5x8&c, prout 14+xx_ additur vel subducitur a 12.

Atq ita si exponitur n3+axmmn+aammnm32m3a3=0. sive n3m3+axnm+aanmx32a3=0, extraho radicem cubicè affectam et prodit nm=ax4+xx64a+131x3512aa+509x416384a3&c prout videre est ad pag 10.

Cæterum hic observandum venit quod terminos solummodò pro compositis habeo qui ex parte fluentium quantitatum componuntur. Terminos ubi nulla est nisi ex parte datarum quantitatum \compositio/ pro simplicibus habeo, siquidem ad simplices reduci possunt fingendo æquales esse alijs datis. Sic quantitates ax+bxc, xa+b, bccax+bx, b4axx+bxx, ax+bx_ &c pro simplicibus habeo siquidem ad simplices exc, xe, bccex, b4exx, ex {illeg} sive e12x12 &c reduci possunt fingendo esse a+b=e.

Præterea quo fluentes quantitates a se invicem clarius distinguantur, Fluxionem quæ in Numeratore Rationis disponitur, sive Antecedentem Rationis haud impropriè {illeg}|R|elatam Quantitatem nominare possum, et alteram ad quam reftur {sic}, Correlatam; {illeg}|u|t {illeg}|e|t {illeg} fluentes Quantitates ijsdem respectivè nominibus insignire possunt. Et quo sequentia promptiùs intelligantur, possis imaginari Correltam {sic} Quantitatem esse Tempus vel potiùs aliam quamvis æquabiliter fluentem quantitatem qua Tempus exponitur et mensuratur, et alteram sive Relatam Quantitatem esse spatium quod mobi{illeg}|l|e utcunq acceleratum vel retardatum in illo tempore transigit. Et quod Problematis intensio est ut e celeritate motûs ad omne tempus datâ spatium in toto tempore transactum determinetur.

Cæterùm æquationes respectu hujus Problematis in tres ordines distingui convenit. 1 In quibus duæ quantitatum fluxiones et alterutra tantùm fluens quantitas involvuntur. 2 In quibus duæ involvuntur fluentes quantitates unà cum earum fluxionibus. 3 Quæ plures duabus quantitatum fluxionibus complectuntur. Et his præmissis, Problematis confectionem secundum hosce tres casus aggrediar.

Solutionis Cas: 1.

Fluentem quantitatem, quam unicè æquatio complectitur suppone Correlatam esse, et æquatione perinde dispositâ, (hoc est faciendo ut ex una parte habeatur fluxionis alterius ad hujus fluxionem R{illeg}atio, et valor ejus i{illeg}|n| simplicibus terminis ex altera) Multiplica valorem r|R|ationis Fluxionum per Correlatam Quantitatem, dein singulos ejus terminos {illeg}|d|ivide per numerum dimensionum quibus illa q|Q|uantitas inibi afficitur, et quod oritur valebit altera Fluenti Quantitate.

Sic habit {illeg} expositâ nn=mn+mmxx, et æquatio suppono x esse fluentem Q Correlatam Quantitatem, et æquatione perinde reduc{illeg}|t|â habebitur nm=1+xxx4+2x6&c. Jam duco valorem nm in x et oritur x+x3x5+2x7&c quos terminos sigillatim per numerum dimensionum divido et exitum x+13x315x5+27x7&c pono =y. Et isthac æquatione desiderata relatio inter x et y determinatur.

Sic habitâ nm=ax4+xx64a+131x3512aa&c, prodibit y=axxx8+x3192a+131x42048aa pro determinanda relatione inter x et y.

<27>

Et sic æquatio nm=1x31xx+ax12x12+x32 dat y=12xx+1x+2ax1223x32+25x52. n|N|am valorem nm duc in x, et fit 1xx1x+ax12x32+x52, sive x2x1+ax12x32+x52 Quibus terminis per numerum dimensionum divisis emergit valor assignatus y.

Ad eundem modum æquatio bb mn=2bbcay3+3yya+b+by+cy_ dat x=4bbcay+y3a+b+23by3+cy3_. Nam valore mn ducto in y, oritur 2bbcay+3y3a+b+by3+cy3_ sive 2bbca12y12+3a+by3+b+c_×y32. Et inde prodit valor x, dividendo per numerum dimensionum cujusq termini.

Atq ita nr=z23 dat y=35z53. Et nm=abcx13 dat y=3abx232c. At æquatio nm=ax dat y=a0. Nam ax ductum in x fit a, quo per numerum dimensionum (qui nullus est) diviso prodit a0 quantias {sic} infinita pro valore y{.}

Quamobrem siquando consimilis terminus (cujus denominator involvit {illeg} \Correlatam Quantitatem/ unius tantùm dimensionis) in valore nm reperiatur, quantitas x \debet/ auger {illeg} vel minui per datam quamvis \pro Correlatam Quantitatem/ quantitatem. Veluti substituendo z + vel − quavis data quantitate s pro x, ut et ejus fluxionis symbolo r pro {illeg} pro {illeg} substitue summam vel differentiam inter eandem \quantitatem/ {illeg} et aliam quamvis datam quantitatem pro arbitrio assumptam. Nam quantitatum x et y \fluentium/ juxta prodeuntem æquationem eadem erit inter se fluendi r{illeg}|ela|tio ac juxta æquationem primò expositam; et infinita quantitas {illeg} \{illeg}|R|elata/ hoc pacto parte infinitâ diminuetur et evadet finita, sed terminis /tamen numero infinitis constans.\

Æquatione itaq nm=am expositâ, si pro x scribam {illeg} b+x, quantitatem b pro lubitu assumptâ\ens/; prodibit nm=ab+x; factâq divisione, nm=abaxbb+axxb3ax4b4&c. Et inde Regula ut in superioribus dabit y=axbaxx2bb+ax33b3ax44b4&c /relationem inter x et y\.

Sic etiam habitâ æquatione nm=2m+3xx, si (propter terminum 2x) scribam 1+x pro x, emerget nm=21+x+22xxx terminoq 21+x in infinitam seriem 22x+2xx2x3+2x4&c <28> reda|u|cto erit nm=44x+xx2x3+2x4&c. Adeoq juxta Regulam obtinebitur y=4x2xx+13x312x4+25x5&c relatio inter x et y.

Atq ita si propononitur nm=x12+x1x12 Quia terminum x1 (sive 1x) inesse video, transmuto x: quemadmodum pro eo substituendo 1x, et oritur nm=11x_+11x1x_. Terminus autem 11x valet 1+x+xx+x3&c; Et 1x_ valet 112xxx8x316&c. adeoq 11x_ sive 1112x18xx116x3&c valet 1+12x+38xx+58x3&c. Quamobrem (valoribus hisce substitutis) e{illeg}|r|i{illeg}|t| nm=1+2x+32xx+2716x3&c Et inde per regulam fit y=x+xx+12x3+2764x4&c. Et sic in alijs.

Hujusmodi etiam transmutatione fluentis quan{illeg}|t|itatis æquati{illeg}|o| in alijs casibus nonnunquam commode reduci poterit. Quemadmodum si exponitur nm=ccxc33ccx+3cxxx3 pro {illeg} x scribo cx et obtineo nm=c3ccxx3 sive =c3x3ccxx et inde per Reg: y=c32xx+ccx. At harum transmutationum usus in sequentibus magis elucescet.

In Casu 2 Præparatio.

Hæc itaq de æquationibus involventibus unica{illeg}|m| tantum fluentem quantitatem. Cum verò utraq in {sic} exposita æquatione involvitur, {illeg}|æ|quatio imprimis ad præscriptam formam redigenda est, e{illeg}|f|ficiendo scilicet ut ex una tantum parte habeatur Fluxionum ratio æqualis aggregato simplicium terminorum ex alterâ. Quemadmodum si exponitur {illeg} nanxma+mxmy=0 eadem per debitam reductionem vel fiet mn=axax+y, vel nm=1+yax. Et in posteriori casu si yax ad infinitam seriem simplicium terminorum reducatur, emerget nm=1+ya+xyaa+xxya3+x3ya4&c Cujus ope relatio inter x et y determinanda restat. Haud secus ad exemplar eorum quæ in priori casu tradita sunt possis vel radicales vel utcunq affectas <29> æquationes (siquando opus est) reducere.

{illeg}|Et|{illeg} præterea siquæ sunt {illeg}in æquationibus sic reductis fractiones quæ denominantur a fluenti{illeg} quantitate{illeg}, a denominatoribus istis liberari debent per transmutationem |ejus| fluentis quantitatis paulo ante commemoratam. Sic exposita æquatione naxmxymaa=0 sive nm=ya+ax. \propter terminum ax/ assumo b ad arbitrium et pro x vel scribo b+x {illeg}, {illeg} vel bx vel xb. Quemadmodum si scribam b+x fiet nm=ya+ab+x. Adeóq termino ab+x, in infinitam seriem per divisionem redacto erit nm=ya+abaxbb+axxb3ax3b4&c{.}

Et ad eundem modum exposita æquatione nm=3y2x+xy2yxx; si (propter terminos xy & 2yxx) scribam 1y pro y et 1x pro x, orietur nm=13y+2x+1x1y+2y212x+xx. Terminus autem 1x1y per infinitam divisionem dat 2y2+4xy4x+6xxy6xx+8x3y8x3+10x4y10x4&c Quare est mn=3x+3xy+yyxyy+y3yy3&c+6xxy6xx+8x3y8x3+10x4y10x4&c.

Regula.

Æquatione cùm opus est sic præparata: terminos ordina juxta dimensiones fluentium quantitatum ponendo imprimis non affectos Relata Quantitate, deinde affectos minima ejus dimensione, &c {sic} sic deinceps. Terminos etiam in his singulis classibus juxta dimensiones alterius Correlatæ quantitatis pariter dispone, eosq in prima classe (i.e. quos Relata Quantitas non afficit) scriba in serie collaterali dextrorsum pergente, et cæteros in seriebus descendentibus in s{illeg}|i|nistra col{illeg}lumnâ prout indicant subsequentia Diagrammata. Opere sic instituto Primum sive depressissimum e terminis in prima classe duc{illeg} in c|C|orrelatam q|Q|uantitatem dividéq per numerum <30> dimensionum, et in Quotiente, (pro initiali termino valoris r|R|elatæ Quantitatis ,|r|e{illeg}|p|one. Hunc deinde in æquationis terminos \in sinistrâ columnâ dispositos/ pro r|R|elatâ q|Q|uantitate substitue, et e terminis proximè depressissimis secundum Quotientis terminum eadem ratione quâ primum elicies. Et eâdem operatione sæpiùs repetitâ Quotientem ad arbitrium producere possis. Se{illeg}|d| res exemplo clariùs patebit{.}

Ex: 1. Exponatur æquatio nm=13x+y+xx+xy cujus
0+13x+xx +y++xxx+13x316x4+130x500 +xy++xxx313x416x5+130x6 Summa+12x+xx23x3+16x4+430x500 0 y=xxx+13x316x4+130x5+145x6&c
terminos 13x+xx non affectos Relata quantitate y vides in suprema serie collateraliter dispositos, cæterosq y et xy in sinistrâ columnâ. Et imprimis terminum initialem 1 duco in Correlatam quantitate{illeg}|m| x fitq x, quem per numerum dimensionum 1 divisum repono in subscripta Quotiente. Dein hoc termino pro y in marginalibus substituto, vice +y et +xy \substituto,/ obtineo +x et +xx, quos e regione dextrorsum scribens, ex omnibus excerpo depressimos {sic} terminos 3x & {illeg} +x quorum aggregatum 2x ductum in x fit 2xx, et per d numerum dimensionum 2 divisum dat xx pro secundo termino valoris y in Quotiente. Hoc proinde termino ad complendum valorem y in marginalibus +y et +xy adscito, oriuntur præterea xx et x3 prioribus terminis priùs oriundis +x et +xx adnectend{illeg}|i|. Quo facto iterum terminos proximè depressissimos +xx, xx, et +xx in unam summa xx colligo et inde ut priùs tertium terminum 13x3 in valore y reponendum elicio. Iterumq 13x <31> in valore y reponendum elicia {illeg} marginalium terminorum valores adscito, e proxime depressissimis 13x3 et x3 in unum aggregatis elicio 16x4 quartum terminum valoris y. Et sic in infinitum.

|Ex: 2.| Ad eundem modum si relationem inter x et y, habita æquatione nm=1+ya+xyaa+xxya3+x3ya4&c cujus terminorum series infinite progredi subintelligitur, determinare oportet. Operationem ex adjuncto diagrammate credo satis manifestam esse.
0+1 +ya+xa+xx2aa+x32a3+x42a4+x52a5&c +xyaa++xxaa+x32a3+x42a4+x52a5&c +xxya3+++x3a3+x42a4+x52a5&c +x3ya4++++x4a4+x52a5&c +x4ya5+++++x5a5&c Summa1+xa+3xx2aa+2x3a3+5x4a4+3x5a5&c 0 y=x+xx2a+x32aa+x42a3+x52a4+x62a5&c
Pono 1 in capite reliquosq terminos in sinistra columna. Reliquamq \Et/ opus deinde prosequor pro more adjuncti diagrammatis. Ubi propositum est mihi elicere valorem y ad usq sex dimensiones x, et eâ de causâ terminos omnes quos proposito nihil conducere prævideo, inter operandun missos facio, sicut innuit nota &c quam seriebus intercisis adnexui.

Ex: 3. Pari methodo si proponitur æquatio n=3x+3xy+yyxyy+y3xy3+y4xy4&c+6xxy6xx+8x3y8x3+10x4y10x4+12x5y12x5&c. Et valorem y ad usq septem dimensiones x eruere institutum est, terminos, ut in adjuncto diagrammate, in ordinem redigo et operor sicut in præcedentibus hoc tantùm excepto quod cùm hic in sinistrâ columnâ y non tantùm unius dimensionis sed etiam duarum ac trium dimensionum existit (vel \etiam/ plurium prout valorem y ultra gradum <32> x7 extrahere statuam) subjicio quadratum et cubum valoris
000000003x6xx8x310x412x514x6&c +3xy++92x36x4758x527320x6&c +6xxy+++9x412x5754x6&c +8x3y++++12x516x6&c +10x4y+++++15x6&c 000&c000_000000000 +yy++++94x4+6x5+1078x6&c xyy++++94x56x6&c +y3+++++278x6&c &c00000000 Summa3x6xx252x3914x43338x53025x60 0 y=32xx2x3258x49120x511116x630235x7&c yy=+94x4+6x511116x6+1078x6&c y3=278x6&c
y eatinus gradatim productu, ut cùm in valoribus marginaliu terminoru dextrorsum gradibus inscribuntur, termini tot dimensionum emergant quot ad sequentem operationem requiri percipio. Et hac methodo prodit tandem y=32xx6x3258x4&c æquatio desiderata. |Qui valor cùm sit negativus, patet alterum e quantitatibus x et y decrescere dum altera increscit * |* Atq idem pariter concludi debet cum fluxionum diversa sunt altera affirmativa est et altera negativa.||

|Ex: 4.| Haud secus cùm \Relata/ quantitas indefinitè quæsita fractis dimensionibus afficitur \possis/ valorem ejus extrahere. {illeg} Veluti si proponitur mn=12y4yy+2yx1245xx+74y52+2y3, ubi x in termino 2yx12 (sive 2yx fracta
0+12y·4yy+7y52+2y30·0·0 2yx12+··+yy+·2y3+4y722y4&c 45xx+··+·+·+·+·120y4&c Summa+12y·3yy+7y520·+4y72+4120y40 0 x=+14yy·y3+2y72·+89x9241100y5&c x12=+12yyy+2y52y3&c xx=116y4&c
dimensione 12 afficitur: Ejus x12 valorem e valore x paulatim elicio (extrahendo nempe radicem quadraticam) sicut in inferiori parte diagrammatis videre est; eò ut in maginalis {sic} termini vale 2yx12 <33> valorem gradatim adap transferri \et inseri/ possit. Et sic tandem adipiscor æquationem x=14yyy3+2y72+89y9241100y5&c qua x \respectu y/ indefinitè determinatur.

Et sic in alijs quibuscunq casibus operari licet.

Cæterùm di{illeg}|x|i hasce solutiones infinitis modis præstari posse. Et hoc fiet si non tantùm initialem quantitatem supremæ seriei sed et aliam quamvis datam quantitatem pro primo termino Quotientis ad arbitrium assumas, ad ac deinde opereris ut in æquantibus præcedentibus. Sic in primo præcedentium exemplorum si pro primo termino
0+13x+xx +y+1+2x+·+x3+14x4&c +xy+·+x+2xx+· +x4&c Summa+2+·+3xx+x3+54x40 0 y=1+2x·+x3+14x4+14x5&c
valoris y assumas 1, et pro y in terminis marginalibus (+y & +xy) substituas, reliquamq operationem (cujus specimen adjunxi) sicu{illeg}|t| in præcedentibus prosequaris, ipsius y alius exurget valor 1+2x+x3+14x4&c. Et sic alius atq alius exurget assumendo 2, 3, vel alium quemvis numerum pro primo ejus termino. Vel si symbolum aliquod, ut a, pro illo termino indefinitè designando usurpes,
0000000+13x+xx +y+a+x00+ax00xx00+axx00+12x3+23ax3&c. 000 +xy·+ax+xx00+axx00x3+ax3&c. Summe+100+a002x00+2ax00+xx00+2axx0023x3+53ax30 0 y=a+x00+ax00xx00+axx00+13x3+23ax316x4+512ax4&c.
eadem operandi method{illeg}|o| (quam hic etiam designatam habes) elicies tandem y=a+x+axxx+axx+13x3+23ax3&c. Qua inventa possis pro a arbitrio substiture {sic} 1, vel 2, vel 0, {illeg} 12, {illeg}|aut| quem vi{illeg}|s| numerum, et sic relationem inter x et y modis infinitis obtinere.

Et nota quod ubi quantitas elicienda afficitur fracta dimensione (ut in præcedentium exemplorum quart{illeg}|ó| vides) convenit plerumq unitatem (vel alium quemvis aptum <34> numerum{)} pro primo ejus termino adhibere; immò hoc necesse est ubi radix (ad fractæ illius dimensionis valorem obtinendum) propter negativum signum nequit alias ex{illeg}|t|rahi, ut et ubi nulli sunt termini in prima sive capitali classe reponendi, ex quibut|s| {illeg} initialis ille terminus eliciatur.

Sic tandem {illeg} hoc molestissimum et omnium difficillimum Problema, ubi duæ tantùm fluenti{illeg}|es| quantitat{illeg}|es| una cum earum fluxionibus in æquatione compl|r|eh\en/duntur, absolvi. Sed præter generalem methodum qua omnes difficultates complexus sum sunt aliæ plerumq contractiores qu{illeg}|i|bus opus aliquando sublevari possit, et quarum aliqua specimina ex abundanti perstringere forte non erit ingratum.

1. Siquando itaq quantitas elicienda sit alicubi negatæ {sic} dimensionis non est absolutè necessarium ut æquatio propterea ad aliam formam reducatur. Sic enim expositâ æquatione {illeg} n=1yxx ubi y est unis|u|s negatæ {sic} dimensionis, possim equidem ad aliam formam reducere, {illeg} \veluti/ scribendo 1+y pro y {illeg}, sed expeditior erit resolutio quam in
0·+·xx 1y1x+32xx&c Summa1x+12xx&c 0 y=1+x+12x2+16x3&c 1y=1x+32xx&c
annexo diagrammate designatam habes, ubi assumpto 1 pro initio valoris y cæteros ejus terminos ut in præcedend|t|ibus extraho, et interea valorem 1y exinde per divisionem paulatim institutam elicio et insero in valorem marginalis termini.

<35>

2. Neq \semper/ opus est ut alterius fluentis quantitatis dimensiones sint passim affirmativæ. Nam ex æquatione n=3+2yyyx, absq termini yyx reductione præscriptâ emerget y=3x32xx4x3&c. Et ex n=y+1x1xx (opere ad modum annexi speciminis instito {sic}) emerget y=1x.
01xx+1x y+·1x Summa1xx+0 0 y=1x
{illeg}|Ub|i \obiter/ nota quod inter modos infinitos quibus quælibet æquatio resolvi potest sæpe numero contingit aliquos esse quibus \ad/ finitum valorem quantitatis elicient|d|æ sicut in allato specimine finiuntur, et quod|s| haud difficile{illeg} est invenire si pro primo valoris termino symbolum aliquod assumatur. Et resolutione peractâ consulatur de symboli illius quantitate qua valor elicitus evadat finitus.

Porro si æquatio valor y ex æquatione n=y2x+12x+12xx eliciendus si{illeg}|t|, id sine aliqua reductione termini y2x non incommodè fiet fingendo (pro more Analytico) datum esse quod quæritur. Utpote pro primo termino valoris ejus effingo 2ex assumendo 2e pro
000000012x+12xx y2xe+fx+gxx+hx3 Summa+100+e002x00+fx00+12xx00+gxx00+hx300 0 Hypotheticèy=2ex+2fxx+2gx3+2hx4 000==== Consequentery=+x00+ex00 xx00+12fxx00 +16x3+13gx3 +14hx4 Reveray=2x43xx+15x3
numerali coefficiente quæ nondum innotescit. Et hunc 2ex pro y in termino marginali \y2X/ substituens prodit e quem scribo ad dextram et summa{illeg} 1+e dabit x+ex pro
eodem primo termino valoris y quem prius designaveram <36> termino 2ex. Pono itaq 2ex=x+ex et inde elicio e=1. Adeoq primus valoris y {illeg} primus terminus (2ex) est 2x. Et sic p{illeg} Ad eundem modum pro secundo termino designando effictum 2fx2 usurpo et inde tandem eruo {illeg} 23 pro valore f, adeoq 43xx pro secundo termino. Et sic effictus {illeg} g {illeg} in tertio termino valebit 110 {illeg}, at h in quarto valebit 0, et proinde cum nullos præterea terminos superesse video, concludo opus finitum esse et y valere 2x43xx+15x3 præcisè. |Ad eundem ferè modum si esset n=3y4x, effinge y=exs ubi e ignotum coefficientem et s numerum dimensionum similiter ignotum denotet. Et ** |** Et {sic} exs pro y substituto, prodibit n=3exs14. et inde rursus y=3exs4s. Conferantur jam valores y, et videbis esse 3e4s=e, adeòq s=34, et e indefinitum. Quare assumpto utcunq e, erit y=ex34.||.

4. Adhæc nonnunquam opus ab altissima dimensione æquabilis quantitatis inch\o/ari potest et ad depressiores continuo pergere. Veluti si detur n=yxx+1xx+3+2x4x, & ab altissimo termino 2x opus inchoetur
0+2x+34x+1xx. +yxx+·+1+4x+·1x3+12x4&c Summa2x+4+·+1xx1x3+12x4 0 y=xx+4x·1x+12xx16x3&c
disponendo capitalem seriem in ordine præcedentibus contrario, emerget tandem y=xx+4x1x&c prout in appositâ operandi forma videre est. Et hic in tran{illeg}|situ| notari potest quod inter operandum potuit inter terminos 4x et 1x pro intermedio deficienti termino quælibet data quantitas inseri et sic valor y modis infinitis extrahi.

5. Siquæ præterea s{illeg}|i|nt fractæ dimensionum Relatæ Quantitatis indices, ad integras reduci possunt fingendo Quantitatem illam sua fracta dimensione affectam esse alij cuilibet tertiæ fluenti quantitati æqualem, et substituendo tum illam quantitatem tum fluxionem ejus ab ilia fi{illeg}|c|tâ æquatione oriundam pro Relata Quantitate et ejus fluxione. Quemadmodum si exponitur <37> æquatio n=3xy23+y, ubi Relata Quantitas fractâ dimensionis indice 23 afficitur, assumpta ad arbitrium fluenti quantitate z fingo esse y13=z sive y=z3 et fluxio
num relatio juxta Reg Prob: 1. erit n=3rzz. Quare substituto 3rzz pro n ut et z3 pro y ac zz pro y23, emerget 3rzz=3xzz+z3 sive r=x+13z. Ubi z supplet vices Relatæ quantitatis. Postquam vel vel|r|o valor z \eo nomine/ eruitur utpote z=12xx+118x3+1216x4+13240x5&c, {illeg} pro z restitue y13 et habebis desideratam relationem inter x et y nempe y13=12xx+118x3+1216x4&c, et cubis partium utrobiq positis erit y=18x6+124x7+1288x8&c. Pari ratione si detur n=4y+xy, s{illeg}|i|ve =2y12+x12y12. fingo z=y12 sive zz=y, et inde per Prob 1 elicio 2rz=n et consequenter est 2rz=2z+x12z sive r=1+12x12. Adeoq per casum priorem hujus est zy12=x+13x32 vel {illeg} e{illeg}|t| partibus quadratis y=xx+23x52+19x3. Sin valorem y modis infinitis desideres fac z=c+x+13x32 assumpto utcunq initiali termino c, et erit yzz=cc+2cx+23cx32+xx+23x52+19x3.

Ast haec nimis officiose tractare videor siquidem rarissime usui esse possunt. Quamobrem de resolutione |Ast haec nimis officiose tractare videor siquidem rarissime usui esse possunt.|

|Casus 3.|

Problematis ubi tres vel plures quantitatum flux{illeg}iones æquatio complectitur haud operæ pretium \Resolutio brevi absolvitur/ erit aliquid disserere; sed dicam tamen brevitur quod \Scilicet/ inter duas quaslibet istarum quantitatum relatio (ubi ex statu Probl{illeg} Quæstionis non determinatur) quælibet effingi debet, et earum fluxionum exinde quæri, eo ut alterutra unà cum ejus fluxione ex æquatione expositâ exterminari possit. Quâ de causâ, si trium insunt in æquati quantitatum fluxiones unica effingenda est æquatio ac duæ si insunt quatuor, et sic porro, ut exposita <38> æquatio in aliam tandem æquationem transformetur cui non insint plures duabus; Et hæ|â|c deinde ut supra resol{illeg}|u|{illeg}, qu{illeg} reliquarum fluentium quantitatum obtinentur relationes \eruentur/. Sic æquatione 2mr+nx=0 exposita; quo {illeg} quantitatum x y et z (quarum fluxiones m n et r æquatio complectitur) relationes \inter se/ obtineam, relationem inter duas quaslibet ut x et y pro lubitu effingo puta quod sit x=y, vel 2y=a+z, vel x=yy &c{.} Sit autem x=yy et inde erit m=2ny, Quare scriptis 2ny pro m et yy pro x, exposita æquatio transform\ab/itur in 4nyr+nyy=0. Ubi si x vicissim pro yy scribatur prodibit etiam Et inde relatio inter y et z emerget 2yy+13y3=z. Ubi si x pro yy et x32 pro y3 vicissim scribatur prodibit etiam 2x+13x32=z. Adeóq inter x, y et modos infinitos quibus x, y et z ad invicem referuntur uni{illeg}us his aequationibus x=yy. 2yy+13y3=z et 2x+13x32=z designatus investigatur.

Demonstratio.

Jam {deniq harum} \Problema tandem cofecimus sed/ demonstratio superest. Et in tanta rerum copiâ ne per nimias ambages e proprijs fundamentis Syntheticè derivetur, sufficiat per Analysin sic breviter indicare. Scilicet æquatione quâlibet expositâ, postquam opus ad finem perduxeris experiri est quod ex elicita æqu\a/tione exposita vicissim (per Prob 1) eruetur. Et proinde quantitatum relatio in elicita æquatione exigit relationem fluxionum in exposita, et contra: sicut ostendendum erat. Sic æquatione n=x expositâ elicietur y=12xx et \inde/ vicissim (per prob 1) {illeg} n=mx sive =x quandoquidem m supponitur esse 1. [1]Et sic ex n=13x+y+xx+xy provenit y=xxx+13x316x4+130x5145x6&c et inde vicissim per Prob 1, et n=12x+x223x3+16x4215x5&c Qui <39> duo valores ipsius n conveniunt, ut patet substituendo xxx+13x316x4+130x5&c pro y in priori.

Cæterùm in æquationum reductione adhibui operationem de qua præterea rationem reddere oportet: {illeg}|E|stq transmutatio fluentis quantitatis per connexionem cum quantitate data. Sunto AE et ae Figure linæ utrinq infinitæ per quas mobilia duo e longinquo trajiciantur simul{illeg} attingentia locos A et a, B et b, C et c, D et d &c; et sit B punctum a cujus et rei mobilis distantiâ in AE motus æstimetur ita ut BA, {illeg} {illeg} BC, BD, BE successive sint fluentes quantitates quando mobile sit in locis A, C, D, E. Sitq b consimile punctum in altera linea: et erunt BA ac ba contemporaneæ fluentes quantitates, ut et BC ac bc, BD ac bd, BE ac be &c. Quod si vice punctorum B et b substituantur A et c ad quæ tanquam quiescentia motus referantur, tunc 0 & ca, AB et cb, AC et 0, AD et cd, AE et ce &c erunt contemporaneæ fluentes quantitates. Mutantur itaq fluentes quantitates additione et substractione datarum AB et be, sed non mutantur quoad motûs celeritatem et fluxionis mutuum respectum: nam ejusdem longitudinis sunt partes contemporaneæ AB et ab, BC et bc, CD et cd, DE e{illeg}|t| de in utroq casu. {illeg}|E|t sic in æquationibus quibus hæ quanti{illeg}|t|ates designantur partes contemporaneæ quantitatum non ideo mutantur quod earum absoluta longitudo datâ aliquâ augeatur vel minuatur. Unde constat Propositum: Nam Problematis hujus scopus propriè non alius est quam contemporaneas partes sive absolutat|r|um quantitatum (v, x, y, aut z) contemporaneas differentias data fluendi ratione descriptas determinare. Et perinde est cujusnam sint absolutæ longitudinis quantitates illæ dummodo contemporaneæ sive correspondentes earum differentiæ cum exposita <40> fluxionum relatione conveniat|n|t.

Potest et hujus rei ratio sic Algebraicè reddi. Proponatur n=mxy, et finge x=1+z, eritq (per Prob 1) n=r. Adeoq pro n=mxy scribi potest r=my+mzy. Jam cum sit n=r, patet quantitates x et z etsi non sint ejusdem longitudinis, pariter tamen fluere respectu ipsius y, et pares habere partes contemporaneas. Quid itaq si ijsdem symbolis denotem quæ fluendi ratione conveniunt et vice ad contt|e|mporaneas differentias determinandas vice n=mxy usurpem n=my+mxy.

Jam deniq quo pacto partes contemporaneæ ex ex æquatione quantitates involvente inveniri possint per se manifestum est. E.G. Sit y=1x+x æquatio. Et posito \cum sit/ x=2 erit y=212, dein posito cum verò sit x=3 erit y=313. Ergo dum x fluit a 2 ad 3 y fluet a 212 ad 313. Adeoq partes in hoc tempore transactæ sunt 321 et 31321256. Atq ita cum x sit \0 erit y infinit {sic} et cum x sit 1 / erit y=2. Ergo dum x fluit a 1 ad +3 y fluet ab 2 per infinitatem ad +313. Et x in hoc tempore {illeg} Hoc est Adeoq partes contemporanæ sunt 4 et infinitum spatium.

Jactis hisce sequentium fundamentis, ad Problemata magis particularia jam transeo.

<41>

Prob 3.
Determinare maximas et minimas.

Quantitas ubi maxima est vel minima, in illo momento nec profluit nec refluit. n|N|am si profluit, sequitur \id arguit/ minorem fuisse et statim majorem fore quam jam est; et contra si refluit. Quamobrem fluxionem ejus per Prob: {illeg}|1| quære et pone nullam esse.

Exemp 1. Si maxima quantitas x in æquatione x3axx+axyy3=0 desideretur. [2]Quantitatum x et y fluxiones quære et prodibit 3mxx2amx+amy3nyy+anx=0. Positóq m=0 restabit 3nyy+anx=0 sive {illeg} 3yy=ax. Cujus ope possis alterutram x vel y in æquatione primariâ exterminare, et per æquationem {resu{illeg}|l|tantem}{restantem} determinare alteram, et utramq deinde per 3yy+ax=0 {sic}.

Perinde est hæc operatio ac si multiplicasses terminos propositæ æquationis per numerum dimensionum alterius fluentis quantitatis y. Unde prodit Huddeniana notissima Regula quod ad obtinendum maximam {illeg} aut minimam Relatam Quantitatem Æquatio juxta dimensiones Correlatæ q|Q|uantitatis disponi debet et per quamlibet Arithmeticam progressionem multiplicari. Ast cùm neq hæc regula ad æquationes surdis quantitatibus affectas neq ulla alia hactenus quod sciam evulgata se extendit absq prævia reductione se extendi|a|t: ejus rei accipe sequens exemplum.

[3]Ex: 2. Si maxima quantitas y in æquatione x3ayy+by3a+yxxay+xx_=0 determinanda est; ipsarum x et y fluxiones \quære/ et emerget 3mxx2any+3abnyy+2bny3aa+2ay+yy4amxy6mx3anxx2ay+xx_=0. Et cum ex hypothesi sit n=0 neglige terminos in n ductos (id quod inter operant|d|um ad minuendum laborem antea fieri potuit) cæterosq per mx <42> divide et restabit 3x 2ay3xxay+xx_=0, factaq reductione exurget 4ay+3xx=0. Cujus ope possis utramvis quantitatem x vel y ex æquatione primò proposita exterminare ac deinde ex æquatione resultante (quæ cubica erit) valorem alterius elicere.

Ex hoc problemate sequentium resolu{illeg}|t|io petenda est. cujusmodi Problematis hujus beneficio sequentia resolvenda sunt, unà et alia permulta facilius excogitari
cum ejusmodi permultis alijs quæ ut plurimùm facilius excogitari possunt quam (propter computandi molestiam) resolvi.

In dato Triangulo aut Segmento cujusvis c|C|urvæ, maximum rectangulum inscribere.

Maximam vel minimam rectarum ducere quæ inter datum punctum et curvam positione datam interjacent. Sive, A dato puncto ad Curvam ducere perpendiculum.

Maximam vel minimam rectarum ducere quæ per datum punctum transeuntes interjacent alijs duabus sive rectis sive curvis linei{illeg}s.

A puncto intra Parabolam dato rectam ducere quæ Parabolam omnium obliquissimè secabit. Et idem in alijs curvis facere.

Curvarum \vertices/ maximam|s| a{illeg}|u|t minimam|s| latitudines \vertices puncta in quibus partes circumactæ se decussant/ determinare.

Curvarum puncta invenire ubi maxime aut minimè curvantur.

Invenire minimum angulorum in quibus rectæ ad diametros {illeg}|s|uas in data Ellipsi ordinatim applicantur.

Ellipsium per data quatuor puncta transeuntium vel minimam definire vel \eam/ quæ ad formam circularem maximè accedit.

Amplitudinem sphæricæ superficiei determinare quam lux e longinquo fluens postquam ab anteriori hemisphærio refracta fuit illustrat in posteriori.

Et hujusmodi alia permulta facilis|ù|s excogitari possunt quàm (propter computandi molestiam \fastidium/) resolvi.

<43>

Prob 4.
Curvarum Tangentes ducere.
Modus 1.

Tangentes pro varijs relationibus curvarum ad rectas, variè ducuntur. [4]Et imprimis esto BD recta in dato angulo ad aliam rectam AB tanquam basin ordinata et ad curvam ED terminata. Et moveatur hæc ordinata per indefinitè parvum spatium ad locum bd, ita ut momento Figure{illeg} cd augeatur dum AB augetur momento Bb, cui Dc æqualis{illeg} est. Jam producatur Dd donec cum AB in T conveniat et hæc tanget curvam in D vel d, Eruntq triangula dcD, DBT similia. Adeóq TB.BDDc.cd.

Cùm itaq relatio BD ad AB in æquatione qualibet pro curvâ determinandâ exponitur; quære relationem fluxionum \per Prob 1/, et cape TB ad BD in ratione fluxionis AB ad fluxionem BD, ac TD tanget curvam in D.

Exemp 1. Nominata AB x et BD y esto earum relatio x3axx+axyy3=0. Et fluxionum relatio erit 3mxx2amx+amy3nyy+anx=0. Adeoq n.m3xx2ax+ay.3yyaxBDy.BT. Est ergo BT=3y3axy3xx2ax+ay. Quamobrem data vel assumpta utcunq longitudine AB per x, et inde per expositam Dato itaq puncto D, et inde x et y \DB et AB sive y et x;/ dabitur longitudo BT {illeg}|q|ua tangens TD determinatur.

Potest autem hæc operandi methodus sic {illeg}\con/cinnari. Æquationis expositæ terminos \fac esse nihilo aequales; deinde/ per proprium numerum dimensionum ordinatæ quantitatis multiplica, et exitum colloca in numeratore; Dein terminos ejusdem æquationis per proprium numerum dimensionum Basis multiplica et exitum per Basin divisum colloca in denominatore valoris BT. Et illam BT cape \ad partes/ adversus A si valor ejus sit affirmativus, aut versus A si sit negativus.

Sic æquatio 0.0.1.3. x3axx+axyy3=0 3.2.1.0. per superiores <44> numeros multiplicata dat axy3y3 pro numeratore, et per inferiores multiplicata dat ac divisa per x dat 3xx2ax+ay pro denominatore valoris BT.

[5]Sic æquatio y3byycdy+bcd+dxy=0 (quæ designat Parabolam secundi generis cujus beneficio Des-Cartes construxit æquationes 6 dimensionum) primâ fronte dat 3y32byycdy+dxydy, sive 3yyd2bydc+x=BT.

Et sic aarqxxyy=0 (quæ designat Ellipsin cujus centrum A) dat 2yy2rqx sive qyyrx=BT. Et sic in alijs.

Et nota quod nihil interest cujusnam quantitatis sit angulus ordinationis ABD.

Ast hæc Regula se ad æquationes surdis quantitatibus affectas \Curvasq Mechanicas/ non extendit. In istis casibus ad fundamentalem methodum recurrendum est.

[6]Exempl: 2. Esto x3ayy+by3a+yxxay+xx_=0 æquatio designans relationem inter AB et BD, et per Prob 1 relatio fluxionum erit 3mxx2any+3abnyy+2bny3aa+2ay+yy4amxy6mx3anxx2ay+xx_=0. Atq adeò est 3xx4axy6x32ay+xx_.2ay+3abyy+2by3aa+2ay+yyaxx2ay+xx_n.mBD.BT.

Exempl. 3. Sit ED prima Conchoïdes Nichomedea {Vetera} Polo G, Asymptoto AT Figure et intervallo LD descripta. Sitq GA=b, LD=c, AB=x et BD=y. Et propter similia triangula DBL et BMG {sic} erit LB.BDDM.MG ccyy_yxb+y . Adeoq b+y_inccyy_=yx. Nactus hanc æquationem fingo ccyy_=z et sic duas æquationes {illeg} <45> bz+yz=yx et zz=ccyy habeo. Quarum ope velocitates qua fluxiones quantitatum x, y, et z (Per Prob 1) quæro et e prima prodit br+yr+nz=nx+my, ac e secunda 2rz=2ny, |sive rz+ny=0.| E quibus exterminato r, oritur bnyznyyz+nz=nx+my. Quâ resolutâ fit y.zbyzyyzxn.mBD.BT. Cùm ergo BD sit =y, erit BT=zxbyyyz. Hoc est BT=AL+BD×GMBL. Ubi signum − ipsi BT præfixum denotat punctum T ad partes adversus A capiendum esse.

Schol:{} Et hinc obiter {determinatio} \inventio/ puncti disterminantis concavam et convexam partem Conchoidis prodit. Nempe cùm AT sit omnium minima, erit D ejusmodi punctum. Esto itaq AT=v, et cùm sit BT=z+x+by+yyz erit v=z+2x+by+yyz. Ubi ad opus abbreviandum pro x substitue bz+yzy valorem e superioribus erutum et fiet 2bzy+z+by+yyz=v. Unde per Prob 1 fluxionibus l, n, et r quæsitis, et per Prob 3 supposita l=0, emerget 2bry2bnzyy+r+bn+2ynzbryryyzz=l=0. In hâc deniq substitue nyz pro r et ccyy pro zz (valores r et zz e superioribus petendos) et facta reductione obtinebitur y3+3byy2bcc=0. Cujus æquationis constructione dd|a|bitur y sive AM; et per M acta MD ipsi AB parallela ind|c|idet in punctum flexùs contrarij D. ***

< insertion from p 53 > ***[7]

Præterea si curva Mechanica est cujus tangentem ducere oportet, quantitatum fluxiones ut in exemplo 5 Prob 1 quærendæ sunt, cæteráq ut in præcedentibus peragenda.

Exempl 4. Sunto AC et AD duæ curvæ quibus recta BCD ad Basin AB in dato angulo applicata occurrit in C et D Figure et appelletur AB=x, BD=y, et area ACB1=z; et per Prob: 1, Præparat: ad Exempl 5, erit r=m×BC.

Jam sit AC circulus aut curva quævis nota et ad alteram curvam AD definiendam exponatur quævis æquatio cui z intexta est veluti zz+axz=y4. Et per Prob 1 erit 2rz+axr+amz=4ny3. Et scripto m×BC pro r, fiet 2mz×BC+amx×BC+amz=4ny3. Adeoq 2z×BC+ax×BC+az.4y3n.mBD.BT. Quamobrem si ex natura curvæ AC detur ordinata BC et area ACB sive z, dabitur punctum T per quod tangens DT transibit.

Ad eundem modum si 3z=2y sit æquatio ad curvam AD, erit 3r3m×BC=2n. Adeoq 3BC.2n.mBD.BT. Et sic in alijs.

Exempl: 5. Sit AB=x, BD=y ut ante, et Curvæ cujusvis AC longitudo sit z; ductâq ad eam tangente Ct, erit Bt.Ctm.r, sive r=m×CtBt.

Jam ad aliam curvam AD cujus tangens ducenda est, detur quælibet æquatio in qua z involvitur, puta si z=y, erit r=n. Adeoq Bt.Ctn.mBD.BT. Invento autem T age DT tangentem.

Sic posito xz=yy erit mz+rx=2ny, et pro r scripto m×CtBt, emerget mz+mx×CtBt=2ny. Quare est z+x×CtBt.2yBD.DT.

Exempl: 6. Sit AC circulus aut alia quævis nota curva quam tangat Ct, et sit AD alia curva cujus tangentem DT ducere oportet, et quæ definitur assumendo AB=arcuiAC, et (CE, ac BD in dato angulo ad AB ordinatis) referendo BD ad CE vel AE in æquatione aliqua. Dic ergo AB vel AC=x, BD=y, AE=z, et CE=v, et patet l, m, et r Figure fluxiones ipsarum CE, AC, et AE esse inter se ut sunt CE, Ct et Et, Adeoq m×CECt=l, et m×EtCt=r.

Detur jam quælibet æquatio ad definiendam Curvam AD, veluti y=z, et erit n=r, Adeoq Et.Ctn.mBD.BT.

Vel detur y=z+vx, et erit n=l+rm=m×CE+EtCtCt. Adeoq CE+EtCt.Ctn.mBD.BT.

Vel deniq detur ayy=v3, et erit 2any=3lvv=3mvv×CECt. Adeoq 3vv×CE.2ay×CtBD.BT.

Exempl 7. Sit FC circulus quem tangat Ct {sic}, sitq FD Curva quæ definitur assumendo quamvis relationem applicatæ DB ad FC arcum quem DA ad centrum ducta intercipit. Et demissa CE in circulo <54> applicata dic AC vel AF=1, AB=x, BD=y, AE=z, Figure CE=v, CF=t et ipsius t fluxionem k, et erit kx=k×CECS=l {sic}, et kv=k×ESCS=r. Ubi pono r negativè, quòd AE diminuitur dum EC augetur. Est insuper AE.ECAB.BD, adeoq zy=vx et inde per Prob: 1, ry+nz=lx+mv. Et hi|æ|c, exterminatis l, r, et v, fit \faciunt/ nxkyykxx=my.

Definiatur jam curva DF æquatione quavis unde \a qua/ valor k hic substituendus deduci possit: puta sit t=y \(æquatio ad primam Quadratricem,)/ et per Prob: 1 erit k=n. Adeoq nxnyynxx=my. Unde {illeg} y.xx+yyxn.mDBy.BT. {illeg} Quare BT=xx+yyx. Et AT=xx+yy=ADqAF.

Ad eundem modum si sit tt=by, proveniet 2kt=bn, et inde AT=b×ADqzt×AF. Et sic in alijs.

Exempl 8. Quod si AD sumatur æqualis Figure arcui FC, existente ADH spirali Archimedea, tum stantibus jàm positis linearum nominibus, est (propter ang: ABD rect:) xx+yy=tt. Et inde per Prob: 1 mx+ny=kt. Est etiam AD.ACDB.CE, adeoq tv=y et inde per Prob 1 kv+tl=n. Deniq est fluxio arcus FC ad fluxionem rectæ CE ut AC ad AE sive ut AD ad AB hoc est k.lt.x, et inde kx=tl. {illeg} Confer jam inventas æquationes et videbis esse kv+kx=n, et \inde/ mx+ny=kt=ntv+x. Atq adeo (completo parallelogrammo ABDQ) si fiat QD.QPBD.BTn.mx.ytv+x, hoc est si capiatur AP=tv+x, erit PD ad spiralem perpendicularis.

Ex his opinor satis manifestum est quo pacto curvarum omnium tangentes ducendæ sunt. Attamen ut facillima et simplicissima methodus pro singulis curvis adhibeatur, non abs re erit si præterea confectionem Problematis ubi curvæ alijs quibuscunq modis ad rectas referuntur ostendero, ut \e pluribus Methodis/ facillima et simplicissima methodus semper possit adhiberi.

< text from p 45 resumes >

[8]Cæterùm ad Tangentium doctrinam {illeg} revertamur earum determinatione jam aggressi cum curvæ alijs modis ad rectas referuntur. \Mod: 2./ Sit itaq D punctum in curva a quo subtensa DG ducitur ad datum punctum G ac DB in dato quovis angulo ordinatur ad Basin AB. Figure Punctum verò D per infinitè parvum intervallum Dd in curva fluat, inq GD sumatur GK æqualis Gd et compleatur parallelogrammum dbBC. Et erunt {illeg} DK ac DC contemporanea momenta ipsarum GD et BD quibus nempe diminuuntur dum D transfertur ad d. Jam <46> Dd rectà producatur donec cum AB conveniat in T et ab isto T ad subtensam GD demittatur perpendiculum TF et erunt Trapezia DCdK ac DBTK {sic} similia adeoq DB.DFDC.DK.

Cùm itaq relatio BD ad GD in æquatione qualibet, pro curva definienda exponitur, quære relationem fluxionum et cape FD ad DB in ratione fluxionis GD ad fluxionem BD. Dein ab F erige perpendiculum FT quod cum AB concurrat in T et acta TD curvam tanget in D. Cape autem DF versus G si sit affirmativa; sin secus, cape ad contrarias partes{.}

Exempl 1. Dic GD=x et BD=y et esto earum relatio x3axx+axyy3=0 Eritq fluxionum relatio x3axx 3mxx2amx+amy+axn3nyy=0. Atq adeò 3xx2ax+ay.3yyaxm.nDBy.DF. Et hinc dato quolibet in curva puncto D Est ergo DF=3y3axy3xx2ax+ay. Adeoq dato quolibet in curva puncto D, et inde BD et GD sive y et x; dabit hinc dabitur punctum F: Unde si normalem FT erigas; ad ejus concursum cum basi AB ducta DT curvam tanget.

Et hinc patet Regulam perinde ac in priori casu concinnari posse. Scilicet æqu\a/tionis expositæ terminos \omnes ad easdem partes dispone et/ sigillatim per terminos dimensiones ordinatæ y multiplica et exitum colloca in Numeratore. Dein terminos ejus sigillatim per dimensiones subtensæ x multiplica, et exitum per subtensam illam x divisum colloca in Denominatore valoris DF. Illamq DF cape ad partes contra G si sit affirmativa, sin secus, cape ad easdem partes. |Et nota quod nihil intersit quanto intervallo punctum G distat a Basi AB, si {illeg}|fortè| distat, neq quinam sit angulus ordinationis ABD.|

Sic æquatio superior x3axx+axyy3=0 prima fronte dat axy3y3 pro numeratore et 3xx2ax+ay pro Denominatore valoris DF.

Sic etiam a+baxy=0, (quæ æquatio est ad Conicam sectionem) \dat/ y pro numeratore et ba pro denominatore valoris DF quæ ideo erit =ayb.

Et sic in Conchoide, (ubi res si expeditiùs obsolvitur quàm <47> ante) posito GA=b, LD=c, GD=x, et BD=y, erit BD.DLGA.GL ycbxc.[9] Adeoq xycy=cb, sive xycycb=0 Quæ æquatio juxta Regulam dat xycyy hoc est xc=DF. Produc ergo GD ad F ut sit DF=LG, et ab|d| F erige normalem FT occurrentem {illeg} Asymptoto AB in T, et acta DT Conchoidem tanget.

Siquando compositæ quantitates in æquatione reperiantur ad methodum generalem recurrendum est, nisi ubi malueris æquationem reducere.

Exe{illeg}|m|pl. 2. Si detur æquatio {illeg} b+x_ccyy_=yx pro relatione inter GD et BD determinanda, fluxionum relationem juxta Prob 1 quære. Utpote ficto ccyy_=z, æquationes bz+yz=yx et ccyy=zz habebis, et inde fluxionum \m n et r/ relationes br+yr+nz=nx+ym, et 2ny=2rz. Et exterminatis r et z orietur nccyy_bnynyyccyy_nx=my. Est ergo y.ccyy_byyyccyy_nxn.mBDy.DF.

[10]|Mod: 3.| Præterea si Curva ad duas subtensas AD et BD referatur quæ a datis punctis A ac B {illeg}ductæ ad Curvam terminantur conveniunt: \concipe/ punctum illud D per infinitè parvum spatium Dd in curva profluere Figureet in AD et BD cape AK=Ad et BC=Bd et erunt KD et CD contemporanea momenta linearum AD et BD. Cape jam DF ad BD in ratione momenti DK ad momentum DC (i.e. in ratione fluxionis Li{illeg}|ne|æ AD ad Fluxionem lineæ BD,) et Lineam erige perpendicula BT, FT concurrentia in T eruntq trapezia DTFB ac DKdC similia, et proinde diagonalis DT curvam tanget.

Per æquationem itaq qua relatio inter AD et BD definitur, quære relationem fluxionum ope{illeg} Prob 1, et cape <48> FD ad BD in eadem ratione{.}

Exempl. Posito AD=x et BD=y sit earum relatio a+exdy=0 (quæ æquatio est ad Ellipses secundi generis quarum proprietates ad Lucem refringendam Des-Cartes in {illeg}|L|ib 2 Geometriæ docuit) et fluxionum relatio erit emdn=0. Est itaq {illeg} e.dn.mBD.DF. {illeg}

Et pari ratione si aexdy=0, Figure erit e.dBD.DF. In priori casu cape DF versus A, et in poster ad contrarias partes in posteriori.

Coroll: 1. Hinc si d=e (quo casu curva evadit conica sectio) erit DF=DB. et inde triangula DFT, DBT æqualia, angulusq FDB a tangente bisecabitur.

Coroll 2. Hinc etiam quæ Des-Cartes haud absq circuitu de his curvis circa refractiones haud absq circuitu demonstravit, per se manifesta sunt: siquidem DF ac DB (quæ sunt in data ratione d ad e) respectu sinus totius DT su|i|nt sinus angulorum {illeg} et {illeg} DTF ac DTB. id est incidentiæ radij AD in superficiem curvæ, et reflectionis vel refractionis ejus DB. Estq par ratio de refractionibus Conicarum Sectionum si modo punctorum A vel B alterutrum {illeg} infinitè dista{illeg}|r|e concipiatur.

Perfacile est hanc regulam pro more præcedentium concinnare et pluribus exemplis donare.|.| et ad harum Quinimò ubi curvæ alijs quibuscunq modis ad rectas referuntur, et ad præcedentes formas haud commodè reduci possunt; perfacile est alias Regulas ad harum exemplar pro re nata excogitare.

[11]|Mod 4| Quemadmodum si rectæ BD circa datum punctum B volventis punctum D sit ad Curvam aliquam, et C \sit/ intersectio \ejus/ cum rectâ AC positione datâ; habeaturq relatio inter BC et BD quacunq æquatione designata; Age BF parallelam AC, eiq occurrat DF normalis ad <49> BF {sic}. Et ad DF itidem erige Figure normalem FT, et cape in ratione ad BC quam habet fluxio ipsius BD ad fluxionem ipsius BC: Actáq DT curvam tanget.

[12]|Mod 5| Sin, dato puncto A, æquatio relationem inter AC et BD designat, duc CG parallelam DF, et cape FT in ratione ad BG quam habet fluxio BD ad fluxionem AC.

[13]|Mod 6| Vel deniq si æquatio relationem inter AC et CD definit: conveniant AC et FT in H, et cape HT in ratione ad BG quam habet fluxio CD ad fluxionem AC. Et sic in alijs.

[14]|Mod 7|. Præterea cum \Haud secus absolvitur Problema ubi/ curvæ non ad rectas sed ad alias curvas referuntur \lineas/ (uti solent Mechanicæ) possis \uti solent/ tangentes nihil secans ducere \referuntur/. Sit BG circuli periferia in cujus semidiametro AG, dum circa centrum A convolvitur, moveatur utcunq punctum D et spiralem ADE describat. Et concipe Figure Dd et partem curvæ infinitè parvam per quam D fluit, et in AD cape AC=Ad et erunt CD ac Gg contemporanea momenta rectæ AD et {illeg} arcus periferiæ BG. Duc ergo At parallelam CD, id est perpendicularem AD, et cum ea tangens DT convenit|a|t in T, eritq cd.CDAD.A CD.CdAD.AT. Sit insuper Gt parallela tangenti, et erit {illeg} Cd.GgAdvelAD.AGAT.At.

Quare obrem exposita quacunq æquatione quâ relatio inter AD et BG \BG ad AD/ definitur, quære r{illeg}ationem {sic} fluxionum per Prob 1, et cape At {illeg}|i|n illa ratione ad AD. Eritq Gt tangent et ipsi Gt parallelam age DT quaæ curvam tanget erit Gt tangenti parallela.

Exempl 1. Dictis BG=x et AD=y, sit earum relatio x3axx+axyy3=0 et ope Prob 1 emerget 3xx2ax+ay.3yyaxn.mAD.AtAP.AG{.} Puncto t sic invento duc <50> Gt eiq parallelam DT, et illa Curvam tanget.

Exempl 2. Si sit axb=y (quæ æquatio est ad Spiralem Archimedeam) erit amb=n. Adeoq a.bn.mAD.At. |Unde obiter si TA producatur ad P ut sit AP.ABa.b, PD ad curvam recta erit.|

Exempl 3. Si xx=by, erit 2mx=bn. Adeoq 2x.bAD.At. Et sic tangentes ad quibascunq spirali|e|bus nullo negotio determina{illeg}ri possunt.

[15]|Mod 8|. Ad hæc si curva sit ejusmodi ut per centrum A ductâ utcunq AGD quæ circulo Figure in G, curvæq in D occurrat, relatio inter arcum BG et rectam DH quæ in dato angulo ad Basin AB ordinat{illeg}|a| est, æquatione quavis definiatur: Concipe punctum D per infinitè parvum intervallum ad d in curva moveri et completo parallelogrammo {illeg} dhHK productâq Ad ad C ut sit AC=AD; erunt Gg arcûs BG et DK ordinatæ DH contemporanea momenta. Produc jam Dd rectà ad T ubi cum AB conveniat et demitte TF in DC perpendicularem, eruntq trapezia DKdc, DHTF similia; At{illeg} atq adeo DK.DCDH.DF. Et præterea si Gf ad AG normalis erigatur quæ cum AF concurrat in {illeg} f propter parallelas DF, Gf erit DC.GgDF.Gf. Quamobrem ex æquo est DK.GgDH.Gf, hoc est, ut momenta sive fluxiones linearum DH et BG.

Per æquationem itaq quâ relatio BG ad DH definitur quære rationem fluxionum \per Prob. 1/ et in ea ratione cape Gf (tangentem circuli BG) ad DH ordinatur DH. Age DF parallelam Gf quæ cum Af producta conveniat in F Et ad F erige normalem FT occurrentem AB in T et acta DT Qu{illeg}|adr|atrice tanget.

Exempl 1. Nominatis BG=x, ac DH=y, esto xx=by et (per Prob. 1) erit 2mx=bn. Adeoq 2x.bn.mDH.Gf. Et invento f, cætera ut præscriptum est determinabis.

<51>

Cæterum hæc Regula forte sic elegantior evadet. Cape AL Fac est {illeg} Cape {illeg} Fac m.nAB.AL. Dein AL.ADAD.AT et DT curvam tanget. Nam propter æqualia triangula AFD, ATD, est AD×DF=AT×DH. Adeoq AT.ADDF.DH, sivenmGfAD.nmAG, siveAL.

Exempl 2. Esto x=y (quæ æquatio est ad simplicem \veterum/ Quadratricem) et erit m=n. Adeoq AB.ADAD.AT.

Exempl 3. Esto axx=y3, et erit 2amx=3nyy. Fac ergo {illeg} 3yy.2axm.nAB.AL. Dein AL.ADAD.AT.

Et sic tangentes ad alias utcunq compositas Quadratrices possis expeditè determinare; et hujusmodi Regulas pro alijs quibuscunq Mechanicarum Curvarum generibus excogitare.

Siquando in æquationibus Mechanicæ quantitates involvantur earum fluxiones ut in exemplo 5 Prob 1 quærere oportet cæteraq ut supra peragere{.}.

[16]Exempl 1. Rectâ BCD in dato angulo ad basin AB ordinatâ, {illeg} dic AB=x, BD=y, & aream ACB1=z, et sit axxx_=BC æquatio ad curvam AC et zz+axzy4=0 æquatio ad alteram curvam cujus tangens ducenda est: et per Prob 1 exempl 5 relatio fluxionum m et n erit 2mz+amx_axxx_+amz4ny3=0. Fac itaq 2z+ax_axxx_+az.4y3n.mBD.BT, et {illeg} juxta casu 1, et age tangentem DT.

< insertion from p 52 >

Exempl 1. Sunto AC et AD duæ curvæ quibus \re{illeg}|c|ta/ BCD ad Basin AB in dato angulo ordinata occurrit in C et D. Et appelletur AB=x, BD=y, et areaACB1=z et per Prob 1 Præparat: ad Exemp: 5 erit r=m×BC.

Jam sit AC circulus aut curva quævis nota et ad alteram curvam AD definiendam exponatur quævis æquatio cui z {illeg} intexta est: veluti zz+axz=y4. Et per Prob 1 erit 2rz{illeg}+axr+amz=4ny3. Et inscripto m×BC pro r, fiet {illeg} 2mz×BC+amx×BC+amz=4ny3, Adeoq 2z×BC+ax×BC+az.4y3n.mBD.BT sicut in primo præcedentium casuum. Quamobrem si ex natura cur{illeg}|v|æ AC detur ordinata BC et area ACB sive z dabitur punctum T per quod tangens DT transibit.

Ad eundem modum si 3z=2y sit æquatio ad curvam AD, erit 3r{illeg}3m×BC=2n. Adeoq 3BC.2n.mBD.BT. Et sic in alijs.

< text from p 51 resumes >

Exempl: 2. Sit AB=x, BD=y (ut ante) et Figure curvæ \cujusvis/ AC longitudo =z, angulusq ABD rectus. Sit etiam ax+xx_=BC æquatio ad curvam AC (quæ proinde erit Hyperbola) sit etia z=y æquatio ad curvam ADE cujus tangentem {illeg} ducere oportet. Jam quo relatio inter m et n determinetur video imprimis (propter z=y) esse {illeg} r=n. Dein ad Hyperbolam \curvam AC/ ductâ tangente Ct erit|sse| r.mCt.Bt. Sit autem Bt=2ax+2xxa+2x cujus quadrato adde Btq et fiet Ctq=a3x+9aaxx+16ax3+8x4aa+4ax+4xx curvæ cujusvis AC longitudo sit z, ductaq ad eam tangente Ct erit Bt.Ctm.r sive r=m×CtBt.

Jam ad aliam curvam AD cujus tangens ducenda est detur <52> quælibet æquatio in qua z involvitur, puta si z=y r=n Adeoq Ct.Btn.mBD.BT, ut in primo casu. Invento autem T age tangentem DT.

Vel Sic \posito/ xz=yy, erit mz+rx=2ny, et pro r scripto m×CtBt emerget mz+mx×CtBt=2ny Quare z+x×CtBt.2y{}BD.DT.

Exempl 3{.} Sic AC circulus aut alia quævis \nota/ curva quam tangat Ct, et sit AD alia curva cujus tangentem DT ducere oportet, et quæ definitur assumendo AB= arcui AC, et (CE, BD in dato angulo ad AB ordinatis) referendo BD ad CE vel AE in æquatione aliqua. Dic ergo AB, vel AC=x. BD=y. AE=z et CE=v, et patet l, m, et r (fluxiones ipsarum v, x {illeg} CE, AC, et AE) esse inter se ut sunt CE, Ct et Et. Adeóq m×CECt=l, Figure et m×EtCt=r.

Detur jam quælibet æquatio ad curvam AD deter{illeg}|m|inandam veluti y=z et erit n=r=m×EtCt. Adeoq Et.Ctn.mBD.BT.

< insertion from the left margin of p 52 >

Vel detur y=vz+x, et erit n=lr+m=m×CE+Et+CtCt. Adeoq CE+Et+Ct.Ctn.mBD.BT.

{illeg}|V|el deniq detur ayy=v3 e{illeg}|t| erit 2any=3lvv3mvv×CECt. Adeoq 3vv×CE.2ay×CtBD.BT.

Quemadmodum in primo præcedentium octo casuum his exemplis illustrato sic etiam in quovis alio hujusmodi æquationibus adhibitis tangentes duci possunt{.}

Et hæc in hujus explicationem hujus methodi generalis qua curvarum om{illeg}|n|ium tangentes absq solitâ calculi molestiâ prompte et concinnè determinantur, adduxisse sufficiat.

< text from p 52 resumes > <51 [55]>

Cæterum hæc Regula forte sic elegantior evadet, Fac m.nAB.AL. Dein AL.ADAD.AT, et DT curvam tanget. Nam propter æqualia triangula AFD, ATD, est AD×DF=AT×DH. Adeoq AT.ADDF.DH, sivenmGfAD.nmAG, siveAL.

Exempl 2. Esto x=y (quæ æquatio est ad Veteru Quadratricem per Prob 1 erit m=n. Adeoq AB.ADAD.AT.

Exempl 3. Esto axx=y3 et erit 2amx=3nyy. Fac ergo 3yy.2axm.nAB.AL. Dein AL.ADAD.AT.

Atq ita tangentes \aliarum/ Quadratricum utcunq compositarum possis expeditè determinare.

Mod. 9. Si deniq ABF sit curva quævis data quam tangat recta recta Bt, et rectæ BC in dato Figure angulo ad basin AC applicatæ pars BD inter hanc et aliam curvam DE intercepta relationem at|d| curvæ portionem AB in æquatione quacunq definitam habeat: alterius curvæ tangentem DT duces capiendo in hujus tangente, BT in ea relatione ad BD, quam habet fluxio curvæ AB ad fluxionem rectæ BD.

Exempl 1. Dictis AB=x et BD=y, esto ax=yy et per{illeg} Prob: 1, erit am=2ny, adeoq a.2yn.mBD.BT.

Exempl 2. Sit abx=y (æquatio ad Trochoidem si modò ABF sit circulus) et erit abm=n. Adeoq a.bBD.BT.

Et nihilo difficiliùs tangentes, ubi ipsius BD ad AC vel ad BC relatio in æquatione quavis exp{illeg}|r|imitur, vel ubi curvæ alijs quibuscunq modis ad rectas aliasve curvas refe{illeg}|r|untur, possis ducere.

Sunt etiam alia non pauca Problemata quorum solutiones ex hisce s{illeg}turiunt \fluunt/. Cujusmodi sunt; 1{.} Invenire punctum Curvæ ubi tangens est ad Basin (vel quamvis positione datam rec{illeg}|t|am) parallela vel perpendicularis vel in alio quovis angulo inclinata.

2{.} Invenire punctum ubi tangens maxime minimève ad Basin {illeg} aut aliam positione datam rectam inclinatur. Hoc est invenire <56> confinium flexûs contrarij. Hujus autem specimen in Conchoide jam ante exhibui{.}

3. A dato quovis extra curvæ perimetrum puncto rectam ducere quæ cum curva \perimetro/ aut angulum contactûs aut rectum angulum, aut alium quemvis datum conficiet. Hoc est rectas tangentes vel perpendiculares rectas vel \aliter/ ad curvam in datis >inclinatas rectas \a dato quovis puncto/ ducere{.}

4{.} A dato quovis intra Parabolam puncto rectam ducere quæ maximum minimumve quem potest angulum cum perimetro ejus conficiet. Et idem de alijs curvis intellige.

5. Rectam ducere quæ duas positione datas curvas, vel eandem curvam (si modò potest) in duobus punctis tangat.

6. Curvam quamvis sub datis conditionibus ducere quæ aliam positione datam curvam in dato puncto tanget.

7{.} Luce in \quamlibet/ curvam superficiem incidente, cujusvis radij fractionem determinare.

Horum et similium Problematum confectiones, ubi non obstat computandi tædium, non sunt ita difficiles ut {illeg} ijs explicandis immorari opus sit. Et Geometris, credo, magis gratum erit sic tantùm recensuisse.

[1] pag 30

[2] pag {18.}

[3] pag 19.

[4] C|M|od. 1.

[5] Geom: Cart: p 42

[6] pag 19

[7] This {leafe} must bee inserted in the middle of pag 45.

[8] Mod: 2

[9] Fig

[10] Mod: 3.

[11] Mod 4

[12] Mod 5

[13] Mod 6

[14] Mod 7 De Spiralibus

[15] Mods {sic} 8. De Quadratricibus

[16] Exemp 1 e sequenti pag: pete.

© 2017 The Newton Project

Professor Rob Iliffe
Director, AHRC Newton Papers Project

Scott Mandelbrote,
Fellow & Perne librarian, Peterhouse, Cambridge

Faculty of History, George Street, Oxford, OX1 2RL - newtonproject@history.ox.ac.uk

Privacy Statement

  • University of Oxford
  • Arts and Humanities Research Council
  • JISC