<33>

innititur: quæq magis perspicua et ornata evadet si fundamenta quædam pro more methodi syntheticæ præsternantur; qualia sunt haec.

< insertion from between the lines >

Axiomata.

< text from p 33 resumes >

Ax. 1. Quæ fluxionibus æqualibus simul generantur sunt æqualia.

Ax. 2. Quæ fluxionibus in data ratione simul generantur, sunt in ratione fluxionum.

Nota {illeg} \{illeg}/, simul generari intelligo quæ tota eodem tempore generantur.

Ax. 3. Fluxio totius æquatur fluxionibus partium simul sumptis.

Ubi nota quod profluxiones affirmativè {illeg}|a|c defluxiones negativè ponendæ sint.

< insertion from lower down the right marginParagraph >

Ax. \4/. Fluxio major est quæ ex minori facit æquale vel majus, aut ex æquali majus producit.

< text from p 33 resumes > < insertion from higher up the right marginParagraph >

Ax 5|4|. Fluxiones sunt ut momenta \contemporanea/ fluxionibus istis \continuè/ generata.

< text from p 33 resumes > < insertion from lower down the right marginParagraph >

Ax: 4. Momenta contemporanea sunt ut fluxiones.

< text from p 33 resumes >

Theoremata.

Th. 1. Positis quatuor \perpetuò/ proportionalibus fluentibus quantitatibus: summa extremarum reciprocè ductaru in suas fluxiones æquatur summæ mediarum reciprocè ductarum in suas fluxiones. Sint A.BC.D et erit A×fl:D+D×fl:A=B×fl:C+C×fl:B. \Id quod eodem modo demonstrari potest ac solutio Prob 1; vel etiam sic./ {Nam} esto M momentum ipsius A, et cùm momenta fluentium sint ut fluxiones, erit fl:Bfl:AM momentum ipsius B, fl:Cfl:AM momentum ipsius C, et fl:Dfl:AM momentum ipsius D. Quare ubi A profluendo evadit A+M, B evadet B+fl:Bfl:AM & C evadet C+fl:Cfl:AM, ac D evadet D+fl:Dfl:AM ubi vero \& similiter ubi/ defluendo A evadit AM. B evadet Bfl:Bfl:AM C evadt {sic}{illeg} Cfl:Cfl:AM ac D evadet Dfl:Dfl:AM hac lege scilicet ut hæ quantitates etiamnum maneant proportionales. Duc ergo extrema et media in se & provenient AD+fl:Dfl:AAM+DM+fl:Dfl:AMM=BC+fl:Cfl:ABM+fl:Bfl:ACM+fl:B×fl:Cfl:A×fl:AMM. Et ADfl:Dfl:AAMDM+fl:Dfl:AMM=BCfl:Cfl:ABMfl:Bfl:ACM+fl:B×fl:Cfl:A×fl:AMM. Aufer jam hæc posteriora æqualia \æqualia AD & BC/ a prioribus æqualibus, & restantia æqualia \duc in fl:A ac/ divide per <34> {illeg} M. Emerget enim A×fl:D+D×fl:A+fl:D×M=B×fl:C+C×fl:B+fl:B×fl:Cfl:AM. Ubi propter infinitam parvitatem momenti M rejectis terminis per id multiplicatis{.} Si{illeg}t AB.ADAE.AC, et Figure erit AB×fl:AC+AC×fl:AB=AD×fl:AE+AE×fl:AD. Nam augeantur hæ lineæ momentis suis fluendo Bb, Dd, Ee, Cc fluendo, & propter perpetuam earum proportionalitatem, adeoq rectangula ab extremis et medijs constituta perpetuo æqualia \nempe AF=AG & Af=Ag/; augmenta rectangulorum \istorum/ BFCf & DGEg æqualia erunt: hoc est Ab×CcCf+AC×BbbF=Ad×EeEg+AE×DddG. Cùm autem fluxiones \{illeg}/ sint ut momenta \quantitatum ab/ istis {illeg} continuò descripta. hoc est fl:AC.Ccfl:AB.Bb &c. Erit Ab×fl:AC.Ab×CcAC×flAB.AC×BbAb×fl:AC+AC×fl:AB.Ab×Cc+AC×Bb. Et eodem ratiocinio AD×fl:AE+AE×fl:AD erit ad AD×Ee+AE×Dd in eadem ratione. Quare Ab×flAC+AC×fl:AB & Ad×fl:AE+AE×flAD, cùm sint in eadem ratione ad æqualia, etiam æqualia erunt. \*/ < insertion from the left margin > * sive Ab+AC×BbCc=Ad×EeCc+AE×DdCc. Adeoq cùm fluxiones sint ut momenta quantitatum ab istis continuò generata, hoc est BbCc=flABflAC{,} EeCc=flAEflAC & DdCc=flADflAC, erit Ab+AC×flABflAC=Ad×flAEflAC+AE×flADflAC. Sive Ab×flAC+AC×flAB=Ad×flAE+AE×flAD. < text from p 34 resumes > Decrescant jam rectangula Af et Ag donec in prima rectangula AF & AG redierint, & in ultimo istius infinitè parvæ defluxionis momento hoc est in primtunc Ab evadet AB atq Ad evadet AD. Quare in ultimo istius infinitè parvæ defluxionis momento, hoc est in primo momento fluxionis quadrangulorum AF et AG quando vel \incipiunt/ augeri vel diminui, erit AB×fl:AC+AC×flAB=AD×flAE+AE×flAD. Q.E.D.

Cor: 1. Positis tribus continuè proportionalibus, {illeg} summa extremarum reciproce ductarum in suas fluxiones æquatur duplo mediæ ductæ in suam fluxionem. Si{illeg}t A.BB.C et erit A×fl:C+C×fl:A(=*[1]B×fl:B+B×flB)=2B×flB.

Cor 2. Positis tribus continuè proportionalibus A.B.C si summa extremarum sit data quantitas, fluxio minoris extremæ erit ad fluxionem mediæ ut duplum mediæ ad differentiam extremarum. 2B.CAflA.flB. Nam cùm A+C ex Hypothesi non fluat, *[2] erit fl:A+fl:C=0, sive <35> flC=flA. adeoq A×fl:C=A×flA. Quare CA_×flA=A×fl:C+C×flA*[3]=2B×flB, hoc est 2B.CAflA.flB.

Cor 3{.} Sin differentia extremarum detur, fluxio alterutrius extremæ erit ad fluxionem mediæ, ut duplum mediæ ad summam extremarum. 2B.A+CflA.flB. Demonstratur ut Cor 2.

Cor 4. Quod si summa primæ et secundæ quantitatis detur, erit fluxio secundæ ad fluxionem tertiæ ut prima ad duplum secundæ auctum tertia. A.2B+CflB.flC. Nam cùm ex Hypothesi A+B non fluat, *[4] erit flA+flB=0 sive flB=flA, adeoq C×flB=C×flA. Quare A×flC=2B×flBC×flA=2B+C_×flB; hoc est A.2B+Cfl:B{.}fl:C.

Cor: 5. Si deniq differentia primæ et secundæ datur erit fluxio primæ vel alterutrius ad fluxionem tertiæ ut prima ad duplum secundæ diminutum tertia. fl A.2BCflB.flC. Demonstratur ut Cor 4.

Cor 6. Positis quotcunc continuè proportionalibus, quarum una sit data quantitas & cæteræ fluentes: fluxiones fluentium erunt inter se ut fluentes illæ ductæ in numerum terminorum quibus distant a dato \illo/ termino. Sint A.B.C.D.E.F.{illeg} continuè proportionales et si datur C, erit 2A.B.D.2E.3FflA.fl:B.flD.flE{.}flF. Nam propter C.D.E, est C×flE+E×flC=2D×flD, p{illeg}|e|r Cor 1. At \ex Hypothesi/ flC=0. Ergo C×fl:E=2D×flD. hoc est flD.flEC.2DD.2E.

Iterum quia D.E.F, erit D×fl:F+F×fl:D=E×2flE. Sed e jam ostensis est Dfl{illeg} sive D×flF=E×2fl:EF×fl:D. Sed e jam ostensis est D×flE2E=fl:D. Ergo D×flF=4EEDF2E×flE flD.flED.2EE.2F. Ergo F×flD=12E×flE. adeoq D×flF=32E×flE. Et fl:E.fl:F2D.3E2E.3F. Atq ita in cæteris.

Theorem 2. In triangulo quovis rectangulo summa laterum ductarum in suas fluxiones æquatur Hypothenusæ ductæ in fluxionem su{illeg}|a|m.

<36>

Cor. 7. Si fluentes duæ quantitates se multiplicant fluxio Quoti \Facti/ compon{illeg}|i|tur ex fluxionibus factorum mul alterne ductis in factores. Fl:AB=B×flA+A×flB{.} Nam 1.AB.AB. Ergo per Th 1.

Cor 8. Si fluens quantitas per fluentem quantitatem divid{illeg}|i|tur: fluxio Quoti est quæ produ prodit auferendo fluxionem divisoris {illeg}|m|ultiplicatam per dividuum, a fluxione dividui multiplicata per divisore{illeg}|m| & dividendo residuum per quadratum divisoris. Fl:BA=A×fl:BB×fl:AAA. Nam A.1B.BA. Ergo per Th: 1, A×flBA+BA×flA=1×fl:B, nam B×fl:1 nihil est. Aufer utrobiq BA×flA et residuum divide per A, et prodibit fl:BA=A×flBB×flAAA.

Theor. 2. In Triangulo quovis rectangulo

Cor 9. Fluxio radicis est ad fluxionem potestatis \su/ alicujus ut radix ad potestatem illam multiplicatam per numerum dimensionum fl:A.flA3A.3A3. vel fl:3:A.fl:A3:A.3A & sic in alijs potestatibus. Patet per c|C|or: 6.

Theor. 2. In triangulo quovis \perpetim/ rectangulo \cujus latera {illeg}|quom|odocunq fluunt/ summa laterum duct{illeg}|o|rum in suas fluxiones æquatur {illeg}|h|ypotenusæ {illeg}|d|uctæ in flux{illeg}|i|onem suam. Sit AA+BB=CC et erit A×fl:A+B×fl:B=C×fl:C Figure Nam per Cor 9 Th 1 est fl:A.fl:AAA.2AA{}1.2A, adeoq fl:AA=2A×flA. Eadem ratione flBB=2B×flB & flCC=2C×fl:C. Quare cum AA+BB=CC atq adeo per Ax: 1 & 3 fl:AA+fl:BB=fl:CC \erit/ 2A×flA+2B×flB=2C×flC. Quod dimidiatum fit A×flA+B×flB=C×flC. Q.E.D.

Cor 1. Si crus alterutrum sit data quantitas, erit fluxio Hypotenusa alterius cruris ad fluxionem hypotenusæ ut hypotenusa ad crus illud alterum. Detur A, et erit C.Bfl:B.fl:C, \nam B×flB=C×flC/ propterea quòd A×flA nihil sit.

Cor 2. Si hypotenusa datur, erit profluxio unius <37> cruris ad defluxionem alterius ut alterum illud alterum crus ad crus primum. Detur C, et erit B.Afl:A.fl:B propterea quod C×fl:C nihil sit.

Theor. 3|4|. Si recta circa datum punctum Figure gyrans, secet alias duas positione datas & ad commune punctum terminatas rectas: fluxiones earum quæ positione dantur, erunt ut ipsæ illæ rectæ ductæ in conterminas partes lineæ gyrantis.      Circa datum punctum A gyret recta AC, & inter gyrandum secet ea p|r|ectas positione datas DC ac DB in punctis C et B. Dico esse DB×AB.DC×ACflDB.flDC. Sit enim Abc positio rectæ gyrantis in proximo temporis momento, hoc est Cc momentum rectæ DC et Bb contemporaneum momentum rectæ DB; et ipsi DB parallela agatur ce occurrens AC in e: et propter sim: tri: CBD, Cec, erit DC.DBCc.ce. Dein propter sim: tri: Aec, ABb, erit Ac.Abec.Bb, et additis rationibus DC×Ac.DB×AbCc.Bb (per ax 4) fl:DC.fl:DB. Coeant jam lineæ infinitè parùm distantes Ac & AC, et in momento concursus evadet DC×AC.DB×ABfl:DC.fl:DB. Q.E.D.

Cor 1{.} Iisdem positis, et ab A demissis ad DB et DC normalibus AG et AH: erit primo DC×AC.DB×BGfl:DC.fl:AB. Nam per Cor. 1 Th. 2, est AB.BGfl:DB.fl:AB. sive DB×AB.DB×BGfl:DB.flAB, et supra erat DC×AC.DB×ABfl:DC.flDB. {illeg}|E|rgo ex æquo DC×AC.DB×BGfl:DC.fl:AB.

Cor 2. Er{illeg}|i|t secundò {sic} DC×CH.DB×BGflDC.flAB. Nam per Cor 1 Th 2 est CH.ACvelDC×CH.DC×ACflAC.flDC. Et supra erat DC×AC.DB×BGflDC.flAB. Ergo ex æquo DC×CH.DB×BGflAC.flAB.

Theor 4 3{.} Si Trianguli alicujus Basis et longitudine et positione detur, vertex autem sit ad rectam positione datam; demisso \ab alterutro termino basis ad rectam illam positione datam/ perpendiculo, quod occurrat {casis} opposito cruri trianguli, erit fluxio ejus oppositi cruris ad fluxionem alt{illeg}|e|rius cru{illeg}|r|is |ut| illud alter{illeg}|u|m crus ad partem hujus cruris inter verticem trianguli et perpendiculum illud situm. Sit AB basis trianguli, C vertex, DE locus verticis, et <38> BD {sic} perpendiculariter demissa ad DC occurrat AC in F, eritq BC.FCflAC.flBC. Nam ab A ad DE Figure demisso perpendiculo AD, erit (per Cor 1. Th 2) BC.ECflEC.flBC, et DC.AC(siveEC.FC)flAC.flBC=flEC. Ergo ex æquo perturbatè BC.FCflAC.flBC. Q.E.D.

Cor. 1{.} Si a {sic} D demittatur K perpendicularis ad BC erit AC.KCflAC.flBC quovis \rectæ DC/ puncto R rectæ DE demittantur ad AC et BC perpendicula RS et RT: erit {illeg} SC.TCflAC.flBC. Nam RS.RTBC.FC SC.TCBC.FC. |Est fl:AC ad fl:BC ut {illeg}|c|osinus anguli ACD ad cosin: ang. BCD. Nam cosinus isti sunt ut BC ad FC.|

C{illeg}|o|r 2. Si punctum A infinitè Figure distet a B, hoc est si AC sit ipsi AB parallela, age quamvis {illeg} RQ occurrenten {sic} AC in Q, sitq RQ positione data, et demisso ad BC normali RT, erit TC.QCfl:BC.flQC. {illeg} Nam demisso insuper ad QC normali RS, erit per Cor. 1, TC.SCfl:BC.flAC=fl:SC, & propter datam rationem SC ad QC erit per ax 2 SC.QCfl:SC.fl:QC. Ergo additis rationibus TC.QCfl:BC.fl:QC. Q.E.D.

Theor 5

Hujusmodi alia T{illeg}|h|eoremata non inutilia proponi possent: sed ad fluxiones superficierum festinamus.

Theor. 5. Si recta quævis motu Figure parallelo per aream aliquam, a duabus parallelis & positione datis rectis terminatam transferatur: erit fluxio areæ ut fluxio alterutrius rectæ parallelæ. Sint AB, DC rectæ parallelæ, & BC recta per spatium interjectum ADCB in data inclinati{illeg}|o|ne ABC translata et AD terminus a quo incipit transferri; et erit fl:ADCB ut flAB. Nam area BD est ut longitudo AB Quare per Ax: 2 fl:BD ut fl:AB.

Schol.. Si angulus ABC rectus sit, tum quemadmodum statui solet BD=AB×BC, sic nos statuemus <39> flBD=flAB×BC hoc est (per Cor 7 Th 1) =BC×flAB. Sed hic sicut per AB×BC non intelligitur linea sed productum arithmeticum quod exprimit numerum unitatum in area BD ex Hypothesi quod unitas superficialis sit quadratum cujus latera sunt unitates lineares: sic in hoc Scholio per BC×flAB non intelligitur fluxio linearis sed fluxio generans productum arithmeticum quod \exprimit/ numerum unitatum superficialium in BD exprimit ex {hac} Hypothesi quod {BD} momentum basis fluentis ductum in datam al{illeg}titudinem parallelogrammi facit momentum parallelogrammi.

Theor 6. Si recta quævis motu Figure parallelo transferatur per aream alijs duabus {illeg} ad {illeg} positione datis et non parallelis rectis terminatam, erit fluxio areæ ut fluxio alterutrius rectæ positione datæ ducta in rectam mobilem. Transferatur BC per spatium CAB rectis AC AB positione datis terminatum: et erit fl:CAB ut BC×fl:AB. Etenim triangulum CAB est ut ABq. ergo, per Ax. 2, fl: tri: CAB est ut flABq. Sed per Cor: 6 & 9, Th: 1, flABq est ut 2AB×flAB Ergo hoc est cùm 2AB et BC sint in data ratione, ut BC×flAB.

Schol. Si ang ABC rectus sit, potest juxta Schol præcedens, poni flCAB=12BC×fl:AB.

Theor 7{.} Si recta circa datum punctum gyrans, continuò terminetur ad aliam rectam positione datam: erit fluxio spatij a gyrante recta descripti, ut fluxio alterius rectæ. Gyret recta CB Figure circa punctum C sitq CA terminus a quo incipit gyrare, et AB recta ad quam terminatur, et erit area ABC ut recta AB; adeoq (per Ax 2) flABC ut flAB.

Schol. Demisso ad AB normali CD, erit (juxta Schol Theor 5) 12CD×fl:AB=flABC, quia 12CD×AB=ABC.

<40>

Theor 8. Iisdem positis, si ab alio insuper quovis dato puncto recta perpetim ducatur ad concursum priorum rectarum, et a primo puncto ad hanc rectam agatur demittatur \linea/ perpendicularis terminatam ad rectam positione datam: erit fluxio hujus novæ rectæ ducta {illeg} in lineam perpendicularem, ut fluxio areæ a prima recta descriptæ. A da

A dato E agatur EB, et ad hanc perpendicularis {illeg} CH occurrens AB in H, eritq CH×fl:EB, ut fl:ABC. Nam ad demisso ad AB normali EF, erit per Cor: 1 Th: 2, flABfl:FB.fl:EBEB.FB. (hoc est propter sim. tri. EBF, HCD) HC.CD. Ergo CD×fl:AB=HC×fl:EB. Quare cùm CD datum sit, adeoq CD×fl:AB ut fl:AB, sitq etiam (per Th 7) flAB ut flABC, erit HC×flEB ut flABC.

Schol. Est et per Schol. sup. 12HC×flEB=flABC=12CD×flAB=flABC. Et insuper in eo temporis momento quo contingit angulum EBC rectum esse, est 12BC×fl:EB=fl:ABC quia tunc HC et BC coincidunt.

Theor 9. Si recta circa datum punctum gyrans, secet alias duas positione datas rectas: superficie{illeg}|r|u inter datum punctum et rectas positione dat{illeg}|a|s isto motu generataru \fluxiones/ erunt ut quadrata longitudinum generantium. Sit A datum Figure punctum circa quod AC gyrat, sintq BD et CD rectæ positione datæ, & AD principium a quo AC incipit gyrare, et erit fl:ADB.flADCABq.ACq. Sit enim {illeg} Abc positio rectæ gyrantis in proximo temporis momento, et triangula infinitè parva ABb, ACc erunt momenta superficierum ADB, ADC, adeoq ut ipsarum fluxiones. Sed per 15. 6. Elem. ista triangula sunt ut AB×Ab ad AC×Ac: Quæ ratio, si Abc retro volvatur donec redeat in AC, in ultimo ejus regressûs momento, hoc est in primo momento progressûs ubi AC incipit <41> pergere ad Ac evadit ABq ad ACq. Q.E.D.

Theor: 10. Si recta positione data tangat curva positione datam et utraq secentur ab alia utcunq motâ rectâ: fluxiones curvæ illius & tangentis ejus in eo temporis momento æquales erunt, quo mota illa linea secat utramq in puncto contactû;s. Esto curva RS, Tangens ejus AB punctum contactûs C Figure et linea mobilis DE: dico fluxiones linearum RC et AC æquales evadere quando DE pertingit ad C. Nam in RC sumatur arcus infinitè parvus Cc, & cum hæc juxta Hypothesin Archimedeam pro recta haberi possit, produc eam utrinq in directum, sitq ea producta AB propterea quod ipsa AB tantùm tangat curvam. RS itaq et AB commune habent momentum Cc, & proinde eandem fluxionem dum DE {illeg}|t|ransit per illud momentum. Q.E.D.

Cor. Hinc omnia quæ in Theor: 3 et 4 de fluxionibus rectarum positione datarum demonstrata sunt, conveniunt etiam fluxionibus curvarum quas rectæ illæ tangunt in intersectione cum linea mobili.

Theor. 11|2|. Si recta illa DE circa datum punctum D convoluta, describat duas superficies quarum una DRC terminatur ad curvam RC, altera DAC ad tangentem curvæ AC: fluxiones illarum superficierum æquales erunt in eo temporis momento quo recta circumacta transit per punctum contactus C {illeg}. Nempe flDRC=flDAC quia tunc commune est utriusq momentum CDc.

Cor:{.} Hinc omnia quæ in Theor 7, 8 & 9 de fluxionibus superficierum rectis positione datis terminatarum demonstrata sunt, conveniunt etiam fluxionibus superficierum terminatarum curvis positione datis quas rectæ illæ tangunt.

<42>

Theor 12|3|. Si recta mobilis perpetuò tangat curvam, punctum contactûs in si|om|ni temporis momento erit centru{illeg}|m| circa quod recta Figure in illo momento volvitur. Concipe Curvam TV lineolis parvitate et multitudine infinitis constare quarum duæ sunto AB & BC. Hasce produc utrinq in directum, nempe AB ad D et E et BC ad d et e, et manifestum est quod \tangens mobilis/ in eo temporis momento quo tangens mobilis volvitur de loco DE in locum de, convertitur circa punctum contactus B, propterea quod istud B sit communis intersectio locorum DE ac de.

Cor 1. Hinc omnia quæ in Theor 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11 de recta circa datum punctum \ceu centrum/ volvente demonstrata sunt, conveniunt etiam rectæ perpetuò tangente|i| curvam lineam positione datam, si modò punctum contactûs pro centro habeatur circa quod recta illa in momento contactûs illius convolvitur, vicem centri dati gerere concipiatur. Et proinde sigillatim{.}

Cor 2. S

<45>

cruris ad defluxionem alterius ut illud alterum crus ad crus primum. Detur C, et erit B.Afl:A.flB propterea quod C×fl:C nihil sit.

Theor. 3. Si recta utcunq Figure moveatur per superficiem aliquam: fluxio superficiei isto motu generatæ erit ut fluxio alterius alicujus rectæ a dato puncto ad medium primæ rectæ demissæ, ducta in primam rectam. Describat recta AB superficiem ABC motu quocunq, & ad medium ejus punctum D erigatur perpendiculum DE ad datum quodvis punctum E terminatum: et fluxio superficiei ABC erit ut AB×fl:ED. Sit enim adb, positio r in momento temporis proximè sequenti, positio rectæ AB motu quocunq prolabentis, et erit ABβ ABba momentum superficiei ABC, et Dd mo momentum contemporaneum momentum rectæ ED. Quare cùm ABba æquetur AB×Dd, & fluxiones sint ut momenta, erit fluxio generans ABba ut AB in fluxionem generantem Dd. Q.E.D. Quod autem dixerim esse AB×Dd= ABba=AB×Dd: ad A et B erige ipsi AB perpendicula AF, BG occurentia Aα, Bβ occurentia ab in α & β, et erit trapezium ABβα=AB×12+12_=AB×Dd. Et hoc trapezium non differt a momento ABβα {sic} nisi in spatijs Bβb & Aαa, quæ \ex Hypothesi/ sunt infinitè minora dicto trapezio & ad eam collata instar nihili, vel puncti ad lineam.

Schol. Dixi fluxionem superficiei ACB esse ut AB×fl:ED: sed quemadmodum Geometræ statuere solent parallelogrammum æquale esse facto ex lateribus, quod (veriùs loquendo) est ut factum ex lateribus; sic eg{illeg} ego ob usum commodiorem Theorematis hujus dicam in sequentibus esse fl:ACB=AB×fl:ED.

Cor. Si in semicirculo ACB recta AC Figure generet segmentum ACE gyrando circa termi/num\ <46> diametri A, turn ab altero diametri termino B demisso BC normali ad AC, erit fluxio segmenti ACE ut dimidium fluxionis perpendiculi BC ductum in AC: vel juxta Scholium fl:ACE=12AC×flBC.



Jactis hisce demonstrationum fundamentis, methodus tenendi demonstrationes, uno et altero exemplo constabit. Proponatur itaq constructio in Exemplo 2do demonstranda. Per Cor. 2 Th. 1, est fl:ID ad fl:IP {illeg} ut AI ad ID. Estq AI ad ID {illeg}|ut| ID ad CE ex natura Curvæ AGE. Et proinde CE×fl:ID=ID×fl:IP. Sed \(per Schol. Th. 3)/ CE×flID= fluxioni areæ ACEG, et ID×fl:IP= fluxioni areæ PDI. et proinde areæ illæ per Ax: 1 æquantur. Q.E.D.

Proponatur denuò constructio qua Cissoidis area in Exemplo 3 determinatur. Ad hanc autem demonstrandam, lineæ punctim notatæ deleantur in schemate deleantur et aga\n/tur DQ, \AE/ et Cissoidis Asymptoton QR. Iam propter AQ,DQ,CQ, est (per Cor 2 Th 1) flDQ.flCQDQ.2CQ. Et propter sim. tri. QDC, DEA, est DQ.2CQED.2AD. Ergo flDQ.flCQED.2AD. & ED×flCQ=2AD×fl:DQ sive = 4AD×12flDQ {illeg} 4×12AD×flDQ. Sed per Cor. 1, Theor. 3, est 12AD×flDQ= fluxioni generanti aream ADOQ, est et ejus quadruplum ED×flCQ= fluxioni generanti Cissoidalem aream QREDO. Et proinde \per Ax: 2/ area illa infinite longa QREDO generatur quadrupla alterius ADOQ. Q.E.D.

Deniq ad demonstrandam constructionem areæ Conchoidalis in Exempl: 4; Ubi demonstraveris ut supra quod sit AG.APDE.MK, sic procede. Est autem (per Cor. 2, Th. 3) MK×flPC=fl:areæ PKC & DE×flPC=flareæ DPE. Ergo flPKC.flDPEMK.DEAP.AG. Adeoq per Ax. 2 Areæ PKC et DPE sunt in eadem ratione.

[1] * Theor 1.

[2] * Ax 3

[3] * {illeg}|C|or 1.

[4] * Ax 3.

© 2017 The Newton Project

Professor Rob Iliffe
Director, AHRC Newton Papers Project

Scott Mandelbrote,
Fellow & Perne librarian, Peterhouse, Cambridge

Faculty of History, George Street, Oxford, OX1 2RL - newtonproject@history.ox.ac.uk

Privacy Statement

  • University of Oxford
  • Arts and Humanities Research Council
  • JISC