<1r>

Sent by Dr. Barrow to Mr. Collins in a Letter dated July 31. 1669.

<2r>

De Analysi per æquationes numero terminorum infinitas.

Methodum generalem quam de curvarum quantitate per infinitam terminorum seriem mensuranda olim excogitaveram, in sequentibus brevitèr explicatam potiùs quàm accuratè demonstratam habes.

Basi AB, curvæ alicujus AD, sit applicata Figure BD perpendicularis: & vocetur AB=x, & BD=y; & \sint/ a, b, c &c quantitates datæ; & m, {illeg} n numeri integri. Deinde

[1] Reg: I. Si axmn=y, erit nam+nxm+nn=AreaABD. Figure Res exemplo patebit. Exemp 1. Si x2 (=1×x21)=y; hoc est si a=1=n, & m=2; erit 13x3=ABD. Exempl 2. Si 4x(=4x12)=y erit 83x32(=83x3)=ABD. Exemp 3. Si 3:x5(=x53)=y, erit 38x83(=383:x8)=ABD. Exemp 4. Si 1x2(=x2)=y, id est si a=1=n & m=2, erit {illeg}(11x11 ) =)x1(=1x) =αBD infinitè versus α protensæ; quam calculus ponit negativam propterea quòd jacet ex altera parte lineæ BD. Exemp: 5. Si 23x3(=23x32)=y, erit 21x12=2x=BDα. Exemp 6. Si 1x(=x1) =y , erit 10x01=10x0=10×1=10=infinitæ, qualis est area Hyperbolæ utraq parte linea BD.

Reg II. Si valor ipsius y ex pluribus istius modi [2] terminis componitur, area etiam componetur ex areis quaæ a singulis terminis emanant.

Hujus Exempla prima S|s|unto. Si x2+x32=y Figure erit 13x3+25x52=ABD. |Et|E|e|nim si semper sit x2=BF, & x32=FD; erit ex præcedenti {illeg}|R|egula x33= superficiei AFB descriptæ per lineam BF, & {illeg} 25x52=AFD superf descriptæ per DF; Quare x33+25x52= totæ ABD. Sic si x2x32=y erit 13x325x52=ABD. Et si \3/x2x2+x35x4=y, erit 32x223x3+14x4x5=ABD.

Exempla secunda. Si x2+x32=y , erit Figure x12x12=αBD. Vel si x2x32=y, erit x1+2x12=αBD. Quarum signa si mutaveris habebis aff{illeg}|i|rmativum valorem (x1+2x12 vel x12x12) <2v> Superficiei αBD, modò tota cadat supra Basin Figure ABα; sin aliqua pars cadat infra, (quod fit cùm curva decussat suam Basin inter B & α, ut hic vides in δ,) istâ parte a parte superiori subductâ, habebis valorem differentiæ. Earum verò summam si cupis, quære u{illeg}|t|ramq superficiem seorsim, & adde. Quod idem in reliquis hujus regulæ exemplis notandum volo.

Exempla tertia. Si x2+x2=y, erit 13x3x1= superficiei descriptæ. Sed hic notandum est quod dictæ superficiei {partes} sic inventæ jacent ex diverso latere lineæ Figure BD: nempe, posito x2=BF & x2=FD, erit 13x3=ABF superficiei per BF descriptæ, & x1=DFα descriptæ per DF. Et hoc semper accidit cum indices (m+nn) rationum basis x in valore superficiei quæsitæ sint varijs signis affectæ. In hujus modi casibus pars aliqua BDδβ superficiei media (quæ sola dari poterit, cùm superficies sit utrinq infinita) sic invenitur. Subtrahe superficiem ad minorem basin Aβ pertinentem a Superficie ad majorem basin AB pertinente{illeg} & habebis βBDδ superficiem differentiæ {illeg}|b|asium insistentem. Sic in hoc exemplo, Si AB=2 & =1, erit βBDδ=176. Enim superficies ad AB pertinens (viz ABFDFα) erit 8312, sive 136; Et superficies ad Aβ pertinens (viz Aφβδφα) erit 131, sive 23: Et earum differentia (viz ABFDFαAφβ +δφα=βBDδ) erit 136+23 sive 176. Eodem modo si =1, & AB=x erit βBDδ=23+13x3x1. Sic si 2x33x523x4 +x35=y, & =1; Erit βBDδ=12x412x6+29x3+52x254918.

Deniq notari poterit quòd si quantitas x1 in valore ipsins {sic} y reperiatur, iste terminus (cùm hyperbolicam superficiem generat) seorsim a reliquis considerandus est. Ut si x2+x3+x1 =y: Sit x1=BF, & x2+x3=FD, ac AB =1; Figure Et erit δφFD=16+x33x22, u{illeg}|t|pote quæ ex terminis x2+x3 generatur: quare si reliqua superficies ββFB {sic}, quæ Hyperbolica est, ex calculo aliqua sit data, dabitur tota βBDδ.

<3r>

[3] Reg III. Sin valor ipsius y vel aliquis ejus terminus sit præcedentibus magis compositus, in terminos simpliciores reducentus est, operando in literis ad eundem modum quo Arithmetici in numeris decimalibus dividunt, radices extrahunt, vel affectas Æquationes solvunt. Et ex istis terminis quæsitam curvæ superficiem per præcedentes regulas dinceps elicies.

Exempla dividendo.

Sit aab+x=y, curvâ nempe exist ente Hyperbolâ: Iam ut æquatio ista a denominatore suo liberetur divisionem sic instituo b+x)aa+0(aabaaxbb+aax2b3aax3b4&c b+x___ aa + aaxb _________ 0 aaxb + 0 aaxb aax2bb ____________ 0 + aax2bb + 0 + aax2b2 + aax3b3 ____________ 0 aax3b3 + 0 aax3b3 aax4b4 ____________ 0 + aax4b4 &c Et sic vice hujus y=aab+x nova prodit y=aaba2xb2+a2x2b3a2x3b4 &c serie {istûc}{istâc} infinitè continuatâ. Adeoq per Reg 2am erit area Figure ABDC=a2xba2x22b2+a2x33b3a2x44b4 &c infinitæ etiam seriei, tamen cujus termini pauci initiales erunt in usum aliquem satis exacti cùm x sit aliquoties minor quam b.

Eodem modo si 11+xx=y, dividendo prodibit y=1xx+x4x6+x8 &c: Unde per Reg 2 erit ABDC=xx33+x55x77 &c Vel si terminus xx ponatur in divisore primus, hoc modo xx+1)1: prodibit x2 x4 + x6 x8 &c pro valore ipsius y. Unde per Reg 2 erit BDα= x1 + x33 x55 + x77 &c. Priori modo procede cum x sit satis parva, posteriori cùm satis magna supponitur.

Deniq si 2x12x321+x123x=y, dividendo prodit 2x122x+7x3213x2+34x52 &c: Unde erit ABDC=43x32x2+145x52133x3 &c. {Præstat} aliquando partes numeratoris sersim considerare, ad {illeg}vitandum terminum x1 in quotiente; ut si x21x3+x=y

Exempla Radicem extrahendo.

Si : aa+xx = y , radicem sic extraho aa+xx(a+x22ax48a3+x616a55x8128a7+7x10256a921x121024a11+&c aa ___ 0 + xx xx + x44aa _________ 0 x44aa x44aa x68a4 + x864a6 _______________ 0 + x68a4 x864a6 + x68a4 + x816a6 x1064a8 + x12256a10 _____________________ 0 5x864a6 + x1064a8 x12256a10 &c. Unde pro : aa+xx = y y, nova producitur, viz: y=a+xx2ax48a3 &c: Et area Hyperbolæ quæsita erit Figure ABDC=ax+x36ax540a3+x7112a55x91152a7 &c.

Eodem modo si : aaxx = y <4r> ejus radix erit ax22ax48a3x616a55x8128a7 &c: Adeóq area circuli Figure quæsita \ABDC=/ axx36ax540a3x7112a55x91152a7 &c. Vel si ponas : xxx = y , erit radix x1212x3218x52116x725128x92 &c Figure Et area quæsita \ABD=/ 23x3215x52128x72172x925704x112 &c: Sive x12in23x15x2128x3172x45704x5 &c.

Si : 1+ax2 : 1bx2 =y, (cujus quadrad|t|ura dat longitudinem curvæ ellipticæ,) ex{illeg}|t|rahendo radicem utramq, prodit 1+12x218x4+116x6512 / 1+12ax2a28x4+a316x65a4128x8 112bx2bb8x4b316x65b4128x8 &c. \ Et dividendo sicut fit in
fractionibus decimalibus, habes 1+12bx2+38bbx4+516b3x6+35128b4x8 +12a+12ab+316abb+532ab3 18aa116aab364aabb +116a3+132a3b 5128a4 &c 000000000000 Adeóq unā quæsitam x+16bx3+340b2x5 +16a+120ab 140aa &c 000000

Sed observandum est quod operatio non rarò abbreviatur per debitam Æquationis præparationem. Ut in allato {illeg}|e|xemplo : 1+ax2 : 1bx2 =y Si utremq partem fractionis per : 1bx2 multiplices prodibit : 1+abx2abx4 1bx2 =y, & reliquum opus perficitur extrahendo radicem numeratoris tantum & dividendo per denominatorem.

Ex hisce credo satis patebit modus reducendi quemlibet valorem ipsius y (quibuscunq) radicibus vel denominatoribus sit perplexus, ut hic videre est x3+x:1x23: ax2+x3 5:x3+2x5x32: 3:x+x2_ :2xx23_ =y) in series infinitas simplicium terminorum, ex quibus, per Reg 2, quæsita superficies cognoscetur.

Exempla per resolution{illeg}|e|m Æquationum affectarum.

[4] Quia tota difficultas in Resolutione latet, modu quo ego utor in æquatione numerali primùm illustrabo. Sit y32y5=0 resolvenda: Et sit 2 numerus qui minùs quàm decimâ sui parte differt a radice quæsitâ. Tum pono 2+p=y, & substituo hunc sibi valorem in Æquationem; & inde nova prodit p3+6p2+10p1=0, cujus radix p exquirenda est ut quotienti addatur: Nempe (neglectis p3+6p2 ob parvitatem) 10p1=0, sive p=0,1 veritate \2/ prope \1/ est; itaq scribo 0,1 in quotiente, & suppono 0,1+q=p & hunc ejus valorem, ut priùs, substituo, <4v> ( +2,10000000 0,00544853 ( +2,09455147 2+p=y) 2y 5 p3S +y3 2y 5 p3Summa +8+12p+6pp+p3 42p 5 1+10p+6p20+p3 0,1+q=p) p2 2y 5 p3S +p3 +6p2 10p 1 p3Summa +0,001+00,03q+0,3q2+q3 +0,06+01,2+6,0 +1,+10,p 1, +0,061+11,23q+6,3q2+q3 0,0054+r=q) q2 q p3S +6,3q2 11,23q 0,061 p3Summa +0,00018370800,06804r+6,3r2 0,060642+11,23q +0,061 +0,000541708+11,16196r+6,3rr 0,00004853) unde prodit q3+6,3q2+11,23q+0,061 =0 . Et cùm 11,23q+0,061 \ad/ {illeg}|v|eritate prope accedit, sive ferè sit q= 0,0054 (dividendo nempe donec tot eliciantur figuræ quot locis primæ figuræ hujus & principalis quotientis exclusivè distant,) scribo 0,0054 in inferiori parte quotientis, cùm negativa sit. Et operationem sic produco quosq placuerit. Verùm si ad bis tot figuras tantùm quot in quot in quotiente jam reperiuntur, unâ dempta, operam continuare cupi{illeg}|o|, pro q substitue|o| 0,0054+r in hanc 6,3qq+11,23q+0,061 , scilicet primo ejus termino (q3) propter exilitatem suam neglecto: Et prodit 6,3rr+11,16196r+0,000541708=0 ferè sive (rejecto 6,3rr,) r= 0,000541708 11,16196 = 0,00004853 ferè, quam scribo in negativa parte quotientis. Denique negativam partem quotientis ab affirmativa subducens, habeo 2,09455147 quotientiem quæsi/tam.\

Æquationes plurium dimensionum nihilo se{illeg}|c|iùs resolvuntur, & operam sub fine, ut hic factum fuit, levabit|s|, si primos ejus terminos gradatim omiseris.

Præterea notandum est qùod in hoc exemplo si dubitarem an 0,1=p \ad/ veritati|em| satis accederet, pro 10p=||1=0 fin{illeg}|x|issem 6pp+10p1=0 & ejus radicis primam figuram in quotiente scripsissem. Et hoc modi figuram quotientis secundam vel \etiam/ tertiam quotientis figuram sic explorare convenit ubi in æquatione ista ultimò resultante quadratum coefficientis penultimi termini non sit decies major quàm factus ex ultimo termino ducto in coefficientem termini a{illeg}|n|tepenultimi. Imò laborem plerumq minues præsertim in æquationibus plurimarum dimensionum, si figuras omnes quotienti addendas dicto modo (hoc est extrahendo minorem {radicem}{radicum} ex tribus ultimis terminis æquationis novissimè p{illeg}p{illeg}t{illeg} \resultantis/ ) exquiras. Isto enim modo figuras duplo plures qualibet \2/ vice in quotiente \1/ lucraberis.

<5r>

Hæc methos|d|us de resolvendis Æquationibus pervulgata an sit nescio, certè mihi videtur præ reliquis simplex & usui accommodata. Demonstratio ejus ex ipso modo operandi putet, unde cum opus sit in memoriam facilè revocatu{illeg}|r|. Aequationes in quibus vel aliqui vel nulli termini desint eadem f{illeg}|er|e facilitate perficit. Et æquatio semper relinquitur cujus radix una cum acquisita quotiente adæquat radicem quotientis æquationis primò propositæ: unde examinatio operis hic æque poterit institui ac in reliqua Arithmetica, auferendo nempe quotientem a radice primæ æquationis (sicut Analistis notum est *[5]) ut æquatio ultima vel termini ejus duo tresve ultimi producantur inde. Quicquid laboris hic est istud r{illeg}|e|per{illeg}|i|etur in substituendo quantitates unas pro alijs reperietur. Id quod variè \possis/ perfici{illeg}|ere|, at sequentem modu maximè expeditum puto, præsertim cum numeri \2/ coefficientes \1/ constant ex pluribus figuris. Sit p+3 substituenda pro y in hanc y44y3+5y212y+17=0: cum ista potest resolvi in hanc forma y4_ × y : +5 _ × y : 12 _ × y : +17 =0 . Æquatio nova sic generabitur p1_×p+3_ =pp+2p3. & pp+2p+2inp+3=p3+5p2+8p+6. & p3+5p2+8p6in p+3=p4+8p3+23pp+18p18. & p4+8p3+23p2+18p1=0, quæ quærebatur.

His in numeris sic ostensis: Sit æquatio literalis, y3+aay [6] 2a3+axyx3=0, resolvenda. Primùm inquiro valorem ipsius y cùm x sit nulla, hoc est, elicio radicem hujus æquationis y3+aay2a3=0; & invenio esse +a . Itaq scribo +a in quotiente & suppon|si|{illeg}|to|{illeg} +a+p=y, ipsi \pro y/ substituo valorem istum, & terminos inde resultantes (p3+3ap2+4aap &c) margini appono: Ex quibus assumo +4aap+aax ubi p & x seorsim sunt minimarum dimensionum & eas nihilo ferè æquales suppono, sive p=x4 ferè, sive p=x4+q. Et scribens x4 in quotiente, substituo x4+q pro p . Et terminos inde resultantes iterum in margines scribo, ut vides in annexo schemate. Et inde assumo quantitates +4aaq 116axx, in quibus q & x seorsim sunt minimarum dimensionu & fingo q=xx64a ferè, sive q=+xx64a+r; & adnectens +xx64a quotienti, substituo xx64a+r pro q ; & sic procedo quousq placuerit. <5v> (ax4+x264a+131x3512a2+509x416384a3&c +a+p=y.) + y3 +aay +axy 2a3 x3 +a3+3aap+3app+p3 +a3+aap +aax+axp 2a3 x3 14x+q=p.) + p3 00+3ap2 2+4aap 00100+axp 2+aax 1x3 164x3+316xxq34xqq+q3 +316ax232axq+3aqq aax+4aaq 14axx+axq +aax x3 +xx64a+r=q.) + 3aqq 00+4aaq 212axq 1+316xxq 2116axx 16564x3 +3x44096a+332xxr+3arr +116axx+4aar 1128x312axr +3x41024a+316xxr 116aax 6564x3 + 4aa 12ax + 932x2 00) + 131128x3 15x44096a 00( 131x3512aa + 509x416384a3.

* Sin duplo tantùm plures quotienti terminos, uno dempto, jungendos adhuc vellem: primo termino (q3) æquationis novissimè resultantis misso, & ista etiam parte (34xqq) secundi {illeg}|u|bi x est tot dimensionum quot in penultimo termino quotientis; in reliquos terminos |(3aqq+4aaq&c ).| margini a{illeg}|d|scriptos, ut vides, substituo xx64a+r {illeg} pro q. Et ex ultimis duobus terminis æquationis inde (15x44096a131128x3+932xxr12axr+ +4aar) æquationis inde resultantis, facta divisione 4aa12ax+932xx)+131128x315x44096a, Elicio +131x3512aa+509x416384a3 quotienti adnectendas.

Deniq quotiens ista (ax4+xx64a&c) per Reg 2dam dabit axxx8+x3192a+131x42048a2+509x581920a3 &c pro area quæsita, quæ ad veritati|e||m| tanto magis accedit quanto x sit minor. [7] Sin velis ut valor areæ tanto magis veritati accedat quanto x sit major, exemplum esto y3+axy+xxya32x3=0; {illeg}|Itaq| hanc resoluturus excerpo terminos y3+xxy2x3 in quibus x & y vel seorsim vel simul multiplicati|æ| sunt & plurimarum \& æqualium./ ubiq dimensionum. Et ex ijs quasi nihilo æqualibus radicem elicio, quam invenio esse x , & hanc in quotiente scribo. Vel quod eodem recid{illeg}|i|t, ex y3+y2 (unitate pro x substitutâ) radicem (1) extraho & eam per x multiplico, & factum (x) in quotiente scribo. Deinde pono x+p=y , & sic procedo ut in priori exemplo donec \habeo/ quotientem xa4+aa64x+131a3512xx+509a416384x3 &c, Adeóq aream x22ax4+ aa64x131a3512x509a432768x2 de qua vide exempla tertia Reg 2a. Lucis gr{illeg}|a|tia dedi hoc exemplum in omnibus idem cum priori, modò x & a sibi invicem ibi substituantur, ut non opus {ferit} \esset/ al{illeg}|i|ud resolutionis paradigma hic adjungere.

<6r>

Nota quod area (x22ax4+ aa64x&c) limitatur a curva quæ juxta asymptoton aliquam in infinitum serpit; & termini initiales (xa4) valoris extracti de y , in asymptoton istam semper terminantur: Unde positionem asymptoti facile invenias. Idem semper notandum est cùm area designatur terminis {illeg} {illeg} plus plusq divisis per x continuò: præterquam quòd asymptoti rectæ quandóq habeatur Parabola Conica vel alia magis composita.

Se{illeg}|d| hunc modum missum faciens, utpote particularem quia non applicabilem curvis in orbem ad instar Ellipsium flexis; de altero modo {illeg} per exemplum y3+aay+aax2a3x3=0 supra ostenso (scilicet quo dimensiones de x in numeratoribus quotientis perpetuò fiunt plures) an{illeg}|n|otabo sequentia.

1. Si quando accida|i|t quòd valor ipsius y, cùm nulla|u| est \e{illeg}|s|se {fingitur}{fingitum}/ , sit quantitas surda vel penitus ignota, licebit illam litera aliqua\^/ designare. Ut in exemplo y3+aay+aax2a3x3=0, si radix hujus y3+aay2a3 fuisset surda vel ignota, finxissem (babxaa+3bb&c b+p=y) + y3 + aay3 + axy 2a3 x3 +b3+3bbp+3bpp+p3 +aab+aap +axb+axp 2a3 x3 abxaa+3bb͝=cc+q=p) p30000 _ + 3bpp + 3bbp + aap + axp + abx x3 a3b3x3c6&c +3a2b3x2c46ab2xc2q&c a2bx2c2+axq 00 quamlibet (b) pro ea ponendam, et |resolutionem| |ut sequitur perfecissem.|
Scribens b in quotiente, suppono b+p=y , & istum pro y substituo, ut vides; unde nova p3+3bpp &c resultat, rejectis terminis b3+aab 2a3, qui nihilo sunt æquales propterea quod b supponitur {illeg}|r|adix hujus y3+aay2a3=0. Deinde termini 3bbp+aap+abx dant abx3bb+aa quotienti apponenda|u|m & abx3bb+aa+q substituenda|u|m pro p. &c. Completo opere sum{illeg}|o| numerum aliquem pro a , & hanc y3+aay2a3=0, sicut de numerali æquatione ostensum supra, resolv{illeg}|o|; &radicem ejus pro b substituo.

2. Si dictus valor sit nihil, hoc est si in æquatione resolvenda nullus sit terminus nisi qui per x vel y sit multiplicatus, ut in hac y3axy+x3=0; tum terminos (axy+x3) seli|e|go {illeg}|i|n quibus x seorsim & y etiam seorsim si fiat |fieri potest| , alias per x multiplicata sit mini{illeg}|m|arum dimensionum. Et illi dant +x2a pro primo termino qu{illeg}|o|tientis, & x2a+p pro y substituendam. Sic {illeg}|I|n hâc y3aay+axyx3=0, \lice{illeg}|b|it/ primum terminum quotienti{illeg}|s| vel ex <6v> aayx3, vel ex y3aay elicere.

3 Deniq Si valor iste sit imaginarius ut in hoc y4+yy 2y+6xxyy2x+xx+x4=0 augeo vel imminuo quantitatem x donec dictus valor evadat realis. Sic in annexo schemate cum AC(x) nulla est tum CD(y) est imaginaria: Figure Sin minuatur AC per datam AB ut BC fiat x ; tum posito quod BC(x) sit nulla, CD(y) erit valore quadruplici ( CE , CF , CG & CH ) realis; quarum radicum ( CE , vel CF , vel CG , vel CH ) utravis esto primus terminus quotientis, prout superficiem|s| BEDC , BFDC , BGDC , vel BHDC desidera{illeg}|t|ur. ** In alijs etiam easibus, si quando hæsitas, te hoc modo extricabis **.[8]

Et hæc de areis curvarum investigandis dicta sufficiant. Imò cùm Problemata de curvarum longitudine, de quantitate & superficie solida, deq centro gravitatis omnia possunt eò tandem reduci ut quǽratur quantitas superficiei planæ linea curva terminatæ, non \opus/ est quicquam de ijs adjungere. In istis itaq \autem/ quo ego operor modo dicam brevissimè.

[9] Sit ABD curva quævis, & AHKB rectangulum Figure cujus latus AH vel BK est unitas. Et cogita rectam DBK uniformitèr ab AH motam, areas ABD & AK describere; & quòd BK(1) est momentum quo AK(x), & BD(y) momentum quo ABD {illeg}|grada|tim augetur; et quo ex momento BD perpetim dato, possis, per prædictas regulas, a{illeg}|r|eam ABD ipso descriptam investigare, {illeg}|si|ve cum AK(x) momento 1 descripta conferre. Iam qua ratione superficies ABD ex momento suo perpetim dato {illeg} per præcedentes regulas elicitur, eâdem quælibet alia quantitas ex momenti|o| suo sic dato elicitur. Exemplo res fiet clarior. Sit [10] circulus cujus arcûs AD longitudo Figure est indaganda. Ducto tangente DHT, & completo indefinitè parvo rectangulo HGBK & posito AE=1=2AC: Erit ut BK sive GH momentum Basis AB, ad DH momentum árcus ADBT. DTBD (:xxx:). DC(12)1 momentum arcus (BK). 12:xxx(DH). Adeóq 12:xxx sive :xxx2xxx est momentum arcus AD. Quod reductum fit 12x12+14x12+316x32 +532x52+35256x72+63512x92 &c. Quare per regulam 2dam longitudo <7r> arcus AD est x12+16x32+340x52+5112x72+351152x92+632816x112 &c. Sive x12in1+16x+340x2 &c. Non secus invenies arcum LD ponendo CB esse x, \& radium CA esse 1,/ invenies arcum LD esse x+x36+340x5+5112x7 &c

Sed notandum est quod unitas ista quæ pro momento ponitur est superficies cùm de solidis, & linea cum de superficiebus, & punctu cum de lineis (ut in hoc exemplo) agitur. Nec vereor loqui de unitate in punctis \sive lineis infinitè parvis |siquidem|/, proportiones ib{illeg}|i| jam contemplantur Geometræ dum utuntur methodis Indivisibilium.

Ex his fiat conjectura de superficiebus & quantitatibus solidi|o||rum| ac de centris gravitatum. Verum si e contra ex area vel longitudine [11] \&c:/ curvæ &c {illeg} {illeg}|al|icujus datæ longit{illeg}|u|do Basis AB desi{illeg}|d|eratur, ex æquationibus per præcedend|t|es regulas inventis extrahatur radix de x. Ut si ex area ABDC Hyperbolæ Figure [12](11+x=y) datâ cup{illeg}|i|o basin AB cognoscere, areâ ista z nominatâ, radicem hujus z(ABCD) = x x22+x33x44 &c: extraho, neglectis illis terminis in quibus x est plurium dimensionum quam z in quotiente desideratur. Ut si vellem quod z ad quinq tantùm dimensiones in quotiente ascent|d|at, negligo omnes x66+x77x88 &c, & radicem hujus tantùm 15x514x4+13x312x2+xz=0 extraho. (z+12z2+16z3+124z4+1120z5 z+p=x) + 15x5 14x4 + 13x3 12x2 + x z +15z5&c. 14z4z3p&c. +13z3+z2p+zpp&c. 12z2zp12pp. +z+p z 12z2+q=p) + zp2 12p2 00 z3p 00+ z2p 00 zp 00+ p + 15z5 14z4 + 13z3 12z2 +14z5&c. 18z412z2q&c. 12z5&c. +12z4+z2q. 12z3zq. +12z2+q. +15z5. 14z4. +13z3. 12z2 1 z + 12z2 00) 16z3 18z4 + 120z5 00( 16z3 + 124z4 + 1120z5 [13] Analysin ut vides exhibui propter adnotanda duo sequentia. 1 Quòd inter substituendum, istos terminos semper omitto quos nulli deinceps usui fore prævideam. Cujus rei regula esto, quòd post primum terminum ex qualibet quantitate sibi collaterali resultantem non addo plures \terminos/ dextrorsum quàm istius primi termini \index/ dimensio\nis ab indice/ a dimensione|is| maximâ|æ| unitatibus distat. Ut in hoc exemplo ubi maxima dimensio est 5 <7v> omisi omnes \terminos/ post z5 , post z4 pos{illeg}|ui| unicum, & duos tantùm post z3 . Cùm radix extrahenda (x) sit parium ubiq, vel imparium dimensionum; Hæc esto regula; Quod post primum terminum ex qualibet quantitate sibi collaterali resultantem non addo plures \terminos/ dextrorsum, quàm istius primi termini \index/ dimensio\nis ab indice/ a dimensione|is| maximæ unitatib binis unitatibus distat; vel ternis unitatibus, si \indices/ dimensionu ipsius x unitatibus ubiq ternis a seinvicem {sic} distant. & sic de reliquis.

2 Cùm video|a||m| p q vel r &c: in æquatione novissimè resultante esse unius tantùm dimensionis, ejus valorem, hoc est, reliquos terminos quotienti addendos, per divisionem quæro. Ut hic vides factu.

[14] Si ex dato arcu αD sinus AB desideratur; Figure æquationis z=x+x36+3x540+5x7112 &c supra inventæ (posito nempe AB=x, αD=z & =1,) radix extracta erit x=z16z3+1120z515040z7+1362880z9 &c. Et præterea si cosinum Aβ ex \isto/ a{illeg}|r|cu dato cupis, fac (=:1xx:)=112z2 +z424z6720+z840320z103628800 &c.

[15] Hic obiter notetur, qd 5 vel 6 terminis istarum radicum {illeg}|c|ognitis eas plerumq ex analogia observata poteris ad arbitrium producere. Sic hanc x=z+12z2+16z3+124z4+1120z5 &c produces dividendo ultimum {illeg}|t|erminum {illeg}|p|er hos ordine numeros 2.3.4.5.6.7. &c., {illeg} Et hanc x=zz36+z5120z75040 &c per hos 2×3.4×5.6×7.8×9.10×11 \&c/ & hanc x=1z22+z424z6720 &c per. hos 1×2.3×4.5×6.7×8.9×10. &c Et hanc z=x+16x3+3x540+5x7112 &c p|m|ultiplicando per hos 1×12×3.3×34×5. 5×56×7.7×78×9 &c. Et sic de reliquis.

[16] Et hæc de curvis Geometricis dicta sufficiant. Quin etiam si curva m{illeg}|e|chanica est Methodum tamen nostram nequaquam respuit. Exemplo sit Trochoides, ADFG cujus Figure vertex A & axis AH, & AKH rota qua describitur. Et quæratur superficies ABD. Iam posito AB=x, BD=y ut supra, & AH=1; primò quæro longitudinem ipsius BD. Nempe ex natura Trochoidis KD=arcuiAK, quare tota BD=BK+arcAK. Sed est BK(=:xx2)= =x1212x32 + \/ 18x52116x72 &c, & (ex prædictis) arcusAK= <8r> =x12+16x32+340x52+5112x72 &c. Ergo tota BD=2x1213x32120x52 156x72 &c. Et (per Reg 2) areaABD=43x32215x52170x721252x92 &c.

Vel brevius sic: Cùm recta AK tangenti TD parallela es|si|t erit AB ad BK sicut momentum linæ AB, momento linæ BD, hoc {illeg} x {illeg}:xxx{illeg} est x.:xxx 1.1x:xxx_:=x1212x1218x32116x525128x72 &c. Quare (per Reg 2) BD=2x1213x32120x52156x725576x92 &c Et superficies ABD=43x215 43x32215x52170x721252x9253168x112 &c.

Non dissimili modo (posito C centro circuli & CB=x) obtinebis aream CBDF &c.

Sit area \ABDV/ Quadratricis VDE (cujus vertex Figure est V , & A centru circuli \ VK / interioris \ VK / cui aptatur) invenienda. Ducta qualibet AKD demitto perpendiculares DB , DC , KG . Eritq KG.AGAB(x).BD(y). sive x×AGKG=y. Verum ex natura Quadratricis erit DB= BA(=DC)=v|a|rcui VK; sv|i|ve VK=x. Quare \posito AV=1 erit/ GK=x16x3+1120x5 &c {illeg}|e|x supra ostensis, & GA=112x2+124x41720x6 &c. Adeóq y(=x×AGKG) = 112x2+124x41720x6 116xx+1120x415040x6 Sive, divisione facta, y=113x2145x42945x6 &c & (per Reg 2) areaAVDB=x19x31225x526615x7 &c.

[17] Sic longitudo Quadratricis VD, licet calculo difficiliori, determinabilis est. Nec quicquam hujus modi scio ad quod hæc methodus idq varijs modis, sese non extendit. Imo tangentes ad curvas Mechanicas (si quando id non alias fiat) hujus ope ducantur. Et quicquid Vulgaris Anaylysis per æquationes ex finito terminorum numero constantes (quando id sit possibile) perficit, hæc per æquationes infinitas semper perficiat: Ut nil dubitavi|e||rim| nomen Analysis etiam huic tribuere. Ratiocinia nempe in hâc non minùs certa sunt quàm in illâ, nec æquationes minùs exactæ; licet omnes earum terminos nos homines & rationis finitæ nec designare neque ita concipere possumus, ut quantitates inde desideratas exactè cognoscamus: Sicut radices surdæ finitarum æquationum nec numeris nec quavis arte Analytica {illeg} ita possunt exhiberi ut alicujus quantitas a reliquis distincta e|&| exactè cognoscatur. Geometricè quidem exhiberi possunt, quòd hisce non conceditur: Imò et istis dimensionum duabus tribúsve plurium, ante curvas in Geometriam {illeg}|s|uper inductas, constructio nulla fuit habita. Deniq ad Analytica{illeg}|m| <8v> merito pertinere censeatur cujus beneficio curvarum areæ {illeg}|&| longitudines &c (id modò fiat) exactè & Geometricè determinentur. Sed ista narrandi non est locus.

Respicienti, duo præ reliquis demonstranda occurrunt.

[18] 1 Quadratura curvarum simplicium {illeg}|i|n Reg 1. Sit itaq Figure curva alicujus ADδ Basis AB=x, perpendiculariter applicata BD=y & area ABD=z ut prius. Idem sit =o BK=v, et rectangulum BβHK(ov) =|æ|quale{illeg} spatio BβδD. Est ergo =x+o & Aδβ=z+ov. His præmissis, ex relatione inter x & z ad arbitrium assumptâ quæro y isto quem {illeg}|s|equentem v{illeg}|i|des modo.

Pro lubitu sumatur 23x32=z sive 49x3=zz . Tum x+o() &|p|ro x , & z+ov(Aδβ) pro z substitutis prodibit 49inx3+3xxo+3xoo+o3 = (ex natura curvæ) zz+2zov+oovv . Et sublatis (49x3 & zz) æqualibus, reliquisq per o divisis, restat 49in3xx+3xo+oo=2zv+ovv. Si jam supponamus Bβ esse infinite parvam, sive o esse nihil, erunt v & y æquales & termini per o multiplicati evanescent; quare restabit 49×3xx=2zv, sive 23xx(=zy)=23x32y, sive x2x32 x12(=x2x32)=y. Quare e contra si x12=y erit 23x32=z.

[19] Vel in genere si nm+n×axm+nn=z; sive, ponendo nam+n{illeg}=c & m+n=p, si cxpn=y |z|, sive cnxp=zn: tum x+o pro x & z+ov (sive, quod perinde est, z+oy) pro z substitud|t|is prodit cnxp+poc cninxp+poxp1 &c =zn+noyzn1 &c, reliquis nempe terminis qui tandem evanescerent omissis. Iam sublatis cnxp & zn æqualibus, reliquisq per o p|d|ivisis, restat {illeg} cnpxp1=nyzn1 (=nyznn)=nycnxpcxpn. Sive, dividendo per cnxp, erit px1=nycxpn. sive pcxpnn=ny; vel restituendo nam+n×a pro c & m+n pro p , hoc est \m pro pn &/ na pro pc, fiet axmn=y. Quare e contra si axmn=y erit nm+naxm+nn =z. Q.E.D.

[20] Hic in transitu notetur modus quo curvæ to{illeg}|t| quot placuerit, quarum areæ sunt cognitæ, possunt inveniri; sumendo nempe quamlibet æquationem pro relatione inter inter aream z & basi{illeg}|n| x ut inde quæratur applicata y. Ut si supponis|a||s| :aa+xx:=z, ex calculo invenies xaa+xx=y. Et sic de {illeg} reliquis.

[21] Alterum demonstrandum, est literalis æquationum affectarum resolutio. Nempe quòd quòtiens, cum x sit salis parva quo magis producitur eo magis veritati accedit, ut distantia sua (p, q, vel r &c) ab exacto valore ipsius y, tandem evadat minor <9r> quavis data quantitate; Et in infinitum producta {illeg}{illeg}|s|it ipsi y æqualis. Quod sic patebit |[|1: Quoniam ex ultimo term{illeg}|i|no æquationum quarum p, q, r &c sunt radices, ista quantitas in qua x est minimæ dimensionis (hoc est, plusquam dimidium istius ultimi termini, si supponis x satis parvam) in qualibet operatione perpetuò tollitur; iste ultimus terminus (per 1.10 Elem) tandem evadet minor quavis data quantitate; et prorsus evanescet si opus infinite continuatur. Hoc est si radices æquationis resolvendæ gradatim augeantur \per negativos/ p|v|er|l| diminuantur per \affirmativos/ terminos quotienti continuo annexos, ejus ultimus terminus perpetuò decrescet, donec opere in infinitum continuato tandem evanescit. Hoc est si radices æquationis resovendæ. A{illeg}. |[|Nempe si x=12, erit x dimidium omnium x+x2+x3+x4 &c & x2 dimidiu omnium x2+x3+x4+x5 &c. Itaq si x<12 erit x plusqua Figure dimidium omnium x+x2+x3 &c: & x2 plusquam dimidium omniu x2+x3+x4 &c. Sic si xb<12 erit x plusquam dimidiu omnium x+x2b+x3bb &c et sic de reliquis. Et numeros coefficientes quod attinet, illi plerumq decrescent perpetuò, vel si quando increscant, tantum opus est ut x aliquo {ties}ad huc minor supponatur.

2 Si ultimus terminus alicujus æquationis continuò diminuatur donec tandem evanescat, una ex ejus radicibus etiam diminuetur donec cum ultimo termino simul evanescit{.}

3 Quare quantitatum|es| p, q, r &c unus valor continuo decresci{illeg}|t{illeg}| donec tandem, cùm opus in infinitum producitur, penitus evanescat.

4 Sed valores istarum p q vel r &c unà cum quotiente eatenus extractâ adæquant radices æquationis propos{illeg}|i|tæ. (Sic in resolutione æquationis y3+aay+axy2a3x3=0. supra ostensâ percipies y=a+p=a14x+q=a14x+xx64a+r &c :) Unde satis liquet propositum \quod/ quotiens infinite producta est una ex valoribus de y.

Idem patebit substituendo quotientem pro y in æquationem propositam. Videbis enim terminos illos sese perpetuò destruere in quibus x est minimarum dimensionum.

[1] Curvarum Simplicium Quadratura

[2] et compositarum ex simplicibus

[3] et aliaru omnium.

[4] Numeralis æquationum affectarum resolutio.

[5] * Geometr C{illeg}artesij

[6] Literalis æquationum affectarum resolutio

[7] Alius modus eas{illeg}dem resolvendi.

[8] ** {illeg} Deniq si index rationis de x vel y sit fractio, reduco ad integrum: ut in hoc exem: x3 \{illeg}/ xy12+xx43=0. posito y12=v, & x13=z, resultabit v6z3v+z4=0 eujus indix est v=z{illeg}+z3 &c sive restituendo y12=x13+x &c et quadrando y=x23+2x43 &c.

[9] Applicatio prædictoru ad reliqua istiusmodi Problemata.

[10] Ut ad longitudines curvaru inveniendas

[11] Prædictorum conversum

[12] Ut {inventio}{inven{illeg}||}

[13] Hæc duo priùs adnotanda essent, si tum in mentem venerant cùm de resolutione æquationis literalis hæc verba [Sin duplo tantùm plures quotienti terminos &c] habui.

[14] vel ex data longitudine curvæ.

[15] De serie progressionum continuanda.

[16] Applicatio prædictorum ad curvas Mechanicas

[17] Conclusio, quòd hæc methodus Analytica censenda est.

[18] Præparatio pro regula prima demonstranda.

[19] Demonstratio

[20] Inventio curvarum {illeg} {illeg} de {illeg} {illeg}gnit {illeg} quæ possunt quadrari.

[21] Demonstratio de resolutione {illeg} æquationum affectaru.

© 2017 The Newton Project

Professor Rob Iliffe
Director, AHRC Newton Papers Project

Scott Mandelbrote,
Fellow & Perne librarian, Peterhouse, Cambridge

Faculty of History, George Street, Oxford, OX1 2RL - newtonproject@history.ox.ac.uk

Privacy Statement

  • University of Oxford
  • Arts and Humanities Research Council
  • JISC