<1r>

Vir digni{sime}

{Quanta cum voluptate legi Epistolas} {illeg}rissimorū Clarissimorū virorū D. Leibni{tij & D. Tschurnhausij vix dixerim. Perele}gans Sane est Leibnitij methodus perveni{endi ad series convergentes, & satis ostendisse}t ingeniū Authoris etsi nihil aliud scripsisset. Sed qu{æ} al{ibi per Epistolam sparguntur suo} nomine dignissima, efficiunt etiam ut ab eo speremus maxima. Diversitas {mod}orū quibus eodem tenditur, eò magis {illeg} \placuit/, quod mihi tres methodi perveniendi ad ejusmodi series innotuere, et tamen illa Leibnitij ante lectas literas ejus penitus {me latuit} |adeò ut novam nobis communicandam vix expectarem.| Unam \e meis/ priùs descripsi, jā addo aliam. illā sc: quâ primùm incidi in has series: nam incidi in eas antequam scirem divisiones et extractiones radicū qui{illeg}|b|us jam utor. et hujus explicatione pendendum est fundamentū Theorematis sub initio Epistolæ prioris positi quod D. Leibnitius a me desiderat.

Sub initio studiorū meorū Mathematicorū ubi incideram in opera Celeberrimi Wallisij nostri, considerando series quarum intercalatione ipse exhibet aream circuli, et Hyperbolæ, utpote quod in serie curvarū quarū basis sive axis communis sit x, et ordinatim applicatæ, ${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{0}{2}}.{\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{1}{2}}.{\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{2}{2}}.{\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{3}{2}}.{\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{4}{2}}.{\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{5}{2}}.\text{&c}$. si areæ alternarū quæ sunt $x.x-\frac{1}{3}{x}^{3}.x-\frac{2}{3}{x}^{3}+\frac{1}{5}{x}^{5}.x-\frac{3}{3}{x}^{3}+\frac{3}{5}{x}^{5}-\frac{1}{7}{x}^{7}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ interpolari poss{illeg}\e/nt, haberemus areas intermediarū quarū prima ${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{1}{2}}$ est circulus: ad has interpolandas notabam, quod in omnibus primus terminus esset x, quodq secundi termini $\frac{0}{3}{x}^{3}.\frac{1}{3}{x}^{3}.$$\frac{2}{3}{x}^{3}.\frac{3}{3}{x}^{3}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{&c}$ essent in Arithmeticâ progressione, & proinde quod dui|o| primi termini serierū intercalandarū deberent esse $x-\frac{\frac{1}{2}{x}^{3}}{3}.x-\frac{\frac{3}{2}{x}^{3}}{3}.x-\frac{\frac{5}{2}{x}^{3}}{3}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{&c}$. Ad reliquas intercalandas considerabam quod denominatores $1.3.5.7\phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{&c}$ erant in arithmeticâ progressione, et proinde quod {illeg} primi {illeg} adeoq solæ numeratorū coefficientes numerales restabant investigandæ. Hæ autem in alternis datis areis erant figuræ potestatū numeri 11 nempe \harum/ ${\stackrel{‾}{11|}}^{0}.{\stackrel{‾}{11|}}^{1}.{\stackrel{‾}{11|}}^{2}.{\stackrel{‾}{11|}}^{3}.{\stackrel{‾}{11|}}^{4}$. hoc est primò 1. dein $1,1$. tertiò $1.2.1$. quarto $1.3.3.1$. quinto $1.4.6.4.1$. Quærebam itaq quomodo in his seriebus {illeg} /ex\ datis duab primis figuris reliquæ derivari possent, et inveni quod positâ secundâ figura m, reliquæ producerentur per continuam multiplicationē terminorū hujus seriei $\frac{m-0}{1}×\frac{m-1}{2}×\frac{m-2}{3}×\frac{m-3}{4}×\frac{m-4}{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. E. gr. sit $m=4$, et erit $4×$ $4×\frac{m-1}{2}$ hoc est 6 tertius terminus, & $6×\frac{m-2}{3}$ hoc est 4 quartus, et $4×\frac{m-3}{4}$ hoc est 1 quintus, & $1×\frac{m-4}{5}$ {illeg}. hoc est 0 sextus, quo series in hoc casu terminatur. Hanc regulam itaq applicui ad series interserendas et cùm pro circulo secundus terminus esset $\frac{\frac{1}{2}{x}^{3}}{3}$, posui $m=\frac{1}{2}$, et prodierunt termini $\frac{1}{2}×\frac{\frac{1}{2}-1}{2}$ sive $-\frac{1}{8}$, $-\frac{1}{8}×$$\frac{\frac{1}{2}-2}{3}$ sive $+\frac{1}{16}$, $\frac{1}{16}×\frac{\frac{1}{2}-3}{4}$ sive $-\frac{5}{128}$ & sic in infinitū. Unde cognovi desideratā aream segmenti circularis esse $x-\frac{\frac{1}{2}{x}^{3}}{3}-\frac{\frac{1}{8}{x}^{5}}{5}-\frac{\frac{1}{16}{x}^{7}}{7}-\frac{\frac{5}{128}{x}^{9}}{9}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Et eadem ratione prodierunt etiam interserendæ areæ reliquarum curvarū, ut et area Hyperbolæ et cæterarū alternarū in hac serie ${\stackrel{‾}{1+xx|}}^{\frac{0}{2}},{\stackrel{‾}{1+xx|}}^{\frac{1}{2}}$ ${\stackrel{‾}{1+xx|}}^{\frac{2}{2}}.{\stackrel{‾}{1+xx|}}^{\frac{3}{2}}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Et eadem est ratio intercalandi alias series idq per intervalla duorū pluriumve terminorū simul deficientium. Hic fuit primus meus ingressus in has meditationes: qui memoriâ sane exciderat nisi oculos in adversaria quædam ante paucas septimanas retulissem.

Ubi verò hæc didiceram mox considerabam terminos ${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{0}{2}}.{\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{2}{2}}.{\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{4}{2}}.$${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{6}{2}}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ hoc est $1.1-xx.1-2xx+{x}^{4}.1-3xx.+3{x}^{4}-{x}^{6}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ eodem modo interpolari posse ac areas ab ipsis generatas: et ad hoc nihil aliud requiri quam omissionem <1v> denominatorū $1,3,${$5,7\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c.}$ in terminis exprimentibus areas;} hoc est coefficientes terminorū qua{ntitatis intercalandæ ${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{1}{2}}$}{${x}^{\frac{1}{2}}$}, vel ${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{3}{2}}$ vel generaliter {${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{m}$, prodire per continuam } multiplicationē terminorū hujus seriei {$m×\frac{m-1}{2}×\frac{m-2}{3}$ $×\frac{m-3}{4}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$} {illeg} $×\frac{m-2}{3}×\frac{m-3}{4}$ {illeg} Adeo ut e.g. ${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{1}{2}}$ valeret {$1-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{8}{x}^{4}$}$-\frac{1}{16}{x}^{6}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ et ${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{3}{2}}$ valeret $1-\frac{3}{2}xx+\frac{3}{8}{x}^{4}+\frac{1}{16}{x}^{6}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ et ${\stackrel{‾}{1-xx|}}^{\frac{1}{3}}$ valeret $1-\frac{1}{3}xx-\frac{1}{9}{x}^{4}-\frac{5}{81}{x}^{6}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Sic itaq innotuit mihi generalis reductio radicalium in infinitas series per regulam illam quam posui initio Epistolæ prioris antequam scirem extractionem radicū. Sed hac cognita non potuit altera me diu latere: nam ut probarem has operationes multiplicavi $1-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{8}{x}^{4}-\frac{1}{16}{x}^{6}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ in se, et factū est $1-xx$ terminis reliquis in infinitū evanescentibus per continuationem seriei. Atq ita $1-\frac{1}{3}xx-\frac{1}{9}{x}^{4}-\frac{5}{81}{x}^{6}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ bis in se ductum produxit etiam $1-xx$. Quod ut certa fuit harum conclusionū demonstratio, sic me manu duxit ad tentandū e converso, num hæ series quas sic constitit esse radices quantitatis $1-xx$ non possent inde extrahi more Arithmetico. et res bene successit. Operationis $1-xx\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left(\phantom{\frac{1}{1}}1-\frac{1}{2}xx-\frac{1}{8}{x}^{4}-\frac{1}{16}{x}^{6}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ forma in quadraticis radicibus hæc erat. $\begin{array}{l}1-xx\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left(\phantom{\frac{1}{1}}1-\frac{1}{2}xx-\frac{1}{8}{x}^{4}-\frac{1}{16}{x}^{6}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}\\ \begin{array}{ll}\underset{‾}{1\phantom{-xx}}& \\ 0-xx& \\ \underset{‾}{\phantom{0}-xx+\frac{1}{4}{x}^{4}}& \\ \phantom{0-xx}-\frac{1}{4}{x}^{4}& \\ \phantom{0-xx}\underset{‾}{-\frac{1}{4}{x}^{4}+\frac{1}{8}{x}^{6}+\frac{1}{64}{x}^{8}}& \\ \phantom{0-xx}\phantom{-}\phantom{\frac{1}{4}}{\phantom{0}}^{\phantom{4}}-\frac{1}{8}{x}^{6}-\frac{1}{64}{x}^{8}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{.}& \end{array}\end{array}$
His perspectis neglexi penitus interpolationem serierū et has operationes tanquam fundamenta magis genuina solummodo adhibui. Nec latuit reductio per divisionem, res utiq facilior. Sed et resolutionem affectarum ǽqu{illeg}ationū mox aggressus sū eamque obtinui. Unde simul ordinatim applicatæ, segmenta axium aliæq quælibet rectæ ex areis curvarum vel arcubus datis innotuere. Nam regressio ad hæc nihil indigebat præter resolutionem æquationū quibus areæ vel arcus ex datis rectis dabantur.

Eo tempore pestis ingruens coegit me hinc fugere et alia cogitare. Addidi tamen subinde condituram quandam Logarithmorū ex area hyperbolæ, quam hic subjungo. Sit dFD Hyperbola cujus centrū C, vertex F, & quadratum interjectū $CAFE=1$. In CA cape AB, Ab hinc inde $=\frac{1}{10}$ sive 0.1, & erectis perpendiculis BD, bd ad Hyperbolā terminatis, erit Semisumma Spatiorū AD et $Ad=0.1+\frac{0.001}{3}$$+\frac{0.00001}{5}+\frac{0.0000001}{7}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ et semidifferentia $=\frac{0.01}{2}+\frac{0.0001}{4}$$+\frac{0.000001}{6}+\frac{0.00000001}{8}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Quaæ reductæ sic se habent,
$\begin{array}{ccc}\begin{array}{r}\begin{array}{r}0.100000000000\\ \phantom{0.100}333333333\\ \phantom{0.10000}2000000\\ \phantom{0.100000}142857\\ \phantom{0.10000000}1111\\ \phantom{0.10000000000}9\end{array}\\ \begin{array}{}\end{array}\end{array}& \phantom{00000}& \begin{array}{r}\begin{array}{r}0.0050000000000\\ \phantom{0.1000}250000000\\ \phantom{0.100000}1666666\\ \phantom{0.10000000}12500\\ \phantom{0.1000000000}100\\ \phantom{0.100000000000}1\end{array}\\ \begin{array}{}\end{array}\end{array}\end{array}$ <2r>
{$\begin{array}{rrr}0.100335477310& \phantom{00000}& 0.0050251679267\end{array}$ }
Horu{m summa 0.1053605156577 e}st Ad et differentia 0.0953101798 043 est AD {et eadem ratione positi}s AB, Ab hinc inde $=0.2$, obtinebitu{illeg}|r| $Ad=0.2231435${51} 3142, et $AD=$ $0.1823215567939$. Habitis sic Logarithmis Hyperbolicis num{illeg}|e|rorum quatuor decimaliū 0.8, 0.9, 1.1, & 1.2. cùm sit $\frac{1.2}{0.8}×\frac{1.2}{0.9}=2$, et 0.8 et 0.9 sint minores unitate, adde Logarithmos illorū ad duplum Logarithmi 1.2, et habebis 0.6931471805597 Logarithmū hyperbolicū numeri 2. cujus triplo adde Log. 0.8, siquidem sit $\frac{2×2×2}{0.8}=10$, et habebis 2.3025850929933 Logarithmū numeri 10, indeq per additionem simul prodeunt Logarithmi numerorū {illeg}|9| et 11; adeoq omniū primorū horum $2,3,5,11$ Logarithmi in promptu sunt. Insuper ex sola depressione num{illeg}|e|rorū superioris computi per loca decimalia, et additione obtinentur Logarithmi decimalium 0.98, 0.99, 1.01, 1.02, ut et horum 0.998, 0.999, 1.001, 1.002, & inde per additionē et substractionem prodeunt Logarithmi {illeg} \primorum $7.13.17.37\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Qui una {illeg}|cu|m superioribus per Logarithmum numeri 10 divisi evadunt veri/ |Logarithmi in| Tabulam inserendi. Sed hos postea p{illeg}|r|opius obtinui.

Pudet dicere ad quot figurarū loca has computationes otiosus eo tempore perduxi. Nam tunc sanè nimis delectabar inventis hisce. Sed ubi prodijt ingeniosa illa N. Mercatoris Logarithmotechnia (quem suppono sua primum invenisse) cœpi ea minùs curare, suspicatus vel eum nosse extractionē radicū æquò ac divisionem fractionū, vel alios saltem, divisione patefacta, inventuros reliqua priusquam ego ætatis essem maturæ ad scribendū. Eo ipso tamen tempore quo liber iste prodijt communicatum est a D. Barrow tunc Matheseos \per amicum/ Professore ad \cum/ D. Collinsio {illeg}, compendium quoddam methodi harum serierū in quo significaveram areas, et longitudines curvarum omnium et solidorū superficies et segmenta {quævis} \contenta/ ex datis rectis vice versa ex his datis rectas determinari posse, et methodū ibi indicatam illustraveram diversis seriebus. Suborta deinceps inter nos epistolari consuetudine, D. Collinsius vir in rem mathematicā promovendam natus, non destitit suggerere ut hæc publici juris facerem: et ante annos quinq cum suadentibus amicis concilium cœperam edendi tractat{illeg}|ū|{sic} de refractione Lucis, et coloribus quem tunc in promptu habebam; cœpi de his seriebus iterum cogitare, et tractatum de ijs {iterum} \etiam/ conscripsi, ut utrumq simul ederem. Sed ex occasione Telescopij Catadioptrici epistola ad te missâ. quâ breviter explicui conceptus meos de natura lucis, inopinatū quiddam effecit ut mei interesse sentirem ad te festinanter scribere de impressione istius Epistolæ. Et subortæ statim per diversorū epistolas Objectionibus aliisq refertas crebræ interp{illeg}|e|llationes me prorsus a consilio deterruerunt, et efficerunt ut me arguerem imprudentiæ quod umbram captando eatenus perdideram quie{illeg}|t|em meam rem prorsus substantialem.

Sub id tempus Gregorius ex unica tantùm serie quadam e meis q{illeg}|u|am D. Collinsius ad eum transmiserat, post multam considerationem ut ad Collinsiū rescripsit pervenit ad eandem methodum {illeg} & tractatū de ea reliquit quem {spectamus} speramus ab amicis ejus editum iri, siquidem pro <2v> ingenio quo polle{bat non potuit non adjicere de suo mu}lta quæ rei mathematicæ interest ut non pere{ant ipse autem tractatum meum} non penitus absolver{illeg}|a|m ubi destiti a proposito, {neque in hunc usque diem mens rediit ad} reliqua adjicienda. Deerat quippe pars illa qua decr{everam explicare modum solve}ndi Problemata quæ ad Quadraturas reduci nequeunt licet {aliquid de fundame}nto ejus posuissem.

Cæterum in tractatu ipso \isto/ series infinitæ non magnam partem obtinebant Alia haud pauca congessi, inter quæ erat methodus ducendi tangentes quam Solertissimus Slusius ante annos duos tresve tibi communicavit, de quâ tu, suggerente Collinsio, rescripsisti eandem mihi ibi inno etiam innotuisse. Diversa ratione in eam incidimus. Nam res non eget demonstratione prout ego operor. Habito meo fundamento nemo potuit tangentes aliter ducere, nisi volens de recta viâ deviaret. Quinetiâ non hic hæretur ad æquationes radicalibus unam vel utramq indefinitā quantitatem involventibus utcunq affectas, Sed absq aliquâ talium æquationū reductione (quæ opus plerumq redderet immensū) tangens confestim ducitur. et eodem modo se res habet in quæstionibus de {illeg}|M|aximis et Minimis, alijsq quibusdam de quibus jam non loquor. Fundamentum harū operationū Fundamentum harū operationum satis obvium quidem, quoniam jam non possunt|m| explicationem ejus prosequi sic potius celavi. 6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8f12vx. Hoc fundamento conatus sum etiam reddere speculationes de Quadratura curvarum simpliciores, perveniq ad Theoremata quædam generalia. et ut candide agam ecce primum Theorema.

Ad c|C|urvā aliquam sit $d{z}^{\theta }×{\stackrel{‾}{e+f{z}^{\eta }|}}^{\lambda }$ ordinatim applicata termino diametri seu basis z normaliter insistens: ubi literæ d, e, f denotant quaslibet quantitates datas, & θ, η, λ indices potestatū sive dignitatum quantitatū quibus affixæ sunt. Fac $\frac{\theta +1}{\eta }=r$. $\lambda +r=s$. $\frac{d}{\eta f}×{\stackrel{‾}{e+f{z}^{\eta }|}}^{\lambda +1}=Q$. & $r\eta -\eta =\pi$, & area Curvæ erit $Qin\frac{{z}^{\pi }}{s}-\frac{r-1}{s-1}×\frac{eA}{f{z}^{\eta }}+\frac{r-2}{s-2}×\frac{eB}{f{z}^{\eta }}-\frac{r-3}{s-3}×\frac{eC}{f{z}^{\eta }}+\frac{r-4}{s-4}×\frac{eD}{f{z}^{\eta }}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ literis $A,B,C,D\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ dei|n|o denotantibus terminos proximè antecedentes, nempe A terminum $\frac{{z}^{\pi }}{s}$, B terminum $-\frac{r-1}{s-1}×\frac{eA}{f{z}^{\eta }}$ &c. Hæc series ubi r fractio est vel numerus negativus continuatur in infinitum: ubi vero r integer est et affirmativus continuatur ad tot terminos tantùm quot sunt unitates in eodem r, et sic exhibet geometricam quadraturam c|C|urvæ. Rem exemplis illustro.

Ex. 1. Proponatur Parabola cujus ordinatim applicata sit $\sqrt{}az$. Hæc in formam regulæ reducta fit ${z}^{0}×{\stackrel{‾}{0+a{z}^{1}|}}^{\frac{1}{2}}$. Quare est $d=1$. $\theta =0$. $e=0$. $f=a$. $\eta =1$. Adeoq $r=1$. $s=1\frac{1}{2}$. $Q=\frac{1}{a}×{\stackrel{‾}{az|}}^{\frac{3}{2}}$. $\pi =0$. et area quæsita $\frac{1}{a}×{\stackrel{‾}{az|}}^{\frac{3}{2}}$$in\frac{1}{1\frac{1}{2}}$, hoc est, $\frac{2}{3}z\sqrt{}az$. Et sic in genere si $c{z}^{\eta }$ ponatur ordinatim applicata, prodibit area $\frac{c}{\eta +1}{z}^{\eta +1}$ {illeg}{.}

Ex {illeg}|2.| Sit ordinatim applicata $\frac{{a}^{4}z}{{c}^{4}-2cczz+{z}^{4}}$ hæc per reductionem fit ${a}^{4}z×{\stackrel{‾}{cc-zz|}}^{-2}$, vel etiam ${a}^{4}{z}^{-3}×{\stackrel{‾}{-1+cc{z}^{-2}|}}^{-2}$. In priori casu est $d={a}^{4}$. $\theta =1$. $e=cc$. $f=-1$. $\eta =2$. $\lambda =-2$. Adeoq $r=1$. $s=-1$. $Q=\frac{{a}^{4}}{-2}×{\stackrel{‾}{cc-zz|}}^{-1}$ hoc est $=\frac{-{a}^{4}}{2cc-2zz}$. $\pi =0$. Et area curvæ $=Qin\frac{{z}^{0}}{-1}$ id est {illeg} $=\frac{-{a}^{4}}{2cc-2zz}$. In secundo autem casu est $d={a}^{4}$. $\theta =-3$ $e=-1$. $f=cc$. $\eta =-2$. $\lambda =-2$. $r=1$. $s=-1$. $Q=\frac{{a}^{4}}{-2cc}×{\stackrel{‾}{-1+cc{z}^{-2}|}}^{-1}$ id est $=\frac{-{a}^{4}zz}{2{c}^{4}-2cczz}$. {illeg} \$\pi =0$./ Et Area $=Qin\frac{{z}^{0}}{1}$ hoc est = {illeg} $\frac{{a}^{4}zz}{2{c}^{4}-2cczz}$. Area his casib diversimodè <3r> exh{ibetur computatur a diversis} finibus quorum assignatio per hos inven{tos valores arearum facilis est.}

Exempl{um 3. Sit ordinatim applicata $\frac{{a}^{5}}{{z}^{5}}×$}$\sqrt{bz}+zz$, hoc est per reductionem ad debitam {formam vel ${a}^{5}{z}^{-\frac{9}{2}}×{\stackrel{‾}{b+z|}}^{\frac{1}{2}}$} vel ${a}^{5}{z}^{-4}×{\stackrel{‾}{1+b{z}^{-1}|}}^{\frac{1}{2}}$. Et erit in priori casu {$d={a}^{5}$. $\theta =-\frac{9}{2}$.} $e=b$. $f=1$. $\eta =1$. $\lambda =\frac{1}{2}$ adeoq $r=-\frac{7}{2}$ &c. Quare cum r non sit numerus affirmativus, procedo ad alterū casū. Hic est $d={a}^{5}$. $\theta =-4$. $e=1${illeg}. $f=b$. $\eta =-1$. $\lambda =\frac{1}{2}$. adeoq $r=3$. $s=3\frac{1}{2}$. $Q=\frac{{a}^{5}}{-b}×${illeg}${\stackrel{‾}{1+b{z}^{-1}|}}^{\frac{3}{2}}$, seu $=-\frac{{a}^{5}z+{a}^{5}b}{bzz}\sqrt{zz+bz}$, $\pi =-2$. Et area $=Qin$$\frac{{z}^{-2}}{3\frac{1}{2}}-\frac{2}{2\frac{1}{2}}×\frac{{z}^{-1}}{3\frac{1}{2}\phantom{\rule{0.3em}{0ex}}b}+\frac{1}{1\frac{1}{2}}×\frac{z}{2\frac{1}{2}}×\frac{{z}^{0}}{3\frac{1}{2}\phantom{\rule{0.3em}{0ex}}b\phantom{\rule{0.3em}{0ex}}b}$ hoc est $=\frac{-30bb+24bz-16zz}{105bbzz}×$$\frac{{a}^{5}z+{a}^{5}b}{bzz}\sqrt{zz+bz}$.

Exempl. 4 Sit deniq ordinatim applicata $\frac{b{z}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{⑤\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}{c}^{3}-3acc{z}^{\frac{2}{3}}+3aac{z}^{\frac{4}{3}}-{a}^{3}{z}^{2}}}$ Hæc ad formam {illeg}|R|egul{illeg}|æ| reducta f{illeg}it $b{z}^{\frac{1}{3}}×{\stackrel{‾}{c-a{z}^{\frac{2}{3}}|}}^{-\frac{3}{5}}$. Indeq est $d=b$. $\theta =\frac{1}{3}$. $e=c$. $f=-a$. $\eta =\frac{2}{3}$. $\lambda =-\frac{3}{5}$. $r=2$. $s=\frac{7}{5}$. $Q=\frac{3b}{-2a}×$ {illeg} $×{\stackrel{‾}{c-a{z}^{\frac{2}{3}}|}}^{\frac{2}{5}}$. Quod si res non successisset in hoc casu $\pi =\frac{2}{3}$. Et area $=Q×\frac{5{z}^{\frac{2}{3}}}{7}-$$\frac{5}{2}×\frac{5c}{-7a}$, id est $-\frac{30ab{z}^{\frac{2}{3}}+75bc}{28aa}×{\stackrel{‾}{c-a{z}^{\frac{2}{3}}|}}^{\frac{2}{5}}$. Quod si res non successisset in hoc casu, existente r vel fractione vel numero negavitivo {sic}, tunc tentassem alterum casum purgando terminū $-a{z}^{\frac{2}{3}}$ in ordinatim applicata a coefficiente ${z}^{\frac{2}{3}}$, hoc est reducendo ordinatim applicatam ad hanc formam $b{z}^{-\frac{1}{15}}×{\stackrel{‾}{-a+c{z}^{-\frac{2}{3}}|}}^{-\frac{3}{5}}$. et si r in neutro casu fuisset{illeg} numerus integer et affirmativus conclusissem curvam ex earum numero esse quæ non possunt Geometricè quadrari. Nam quantū animadverto, hæc Regula exhibet in finitis æquationibus areas omniū Geometricam quadratura admittentiū Curvarū, quarū ordina{illeg}tim applicatæ constant ex potestatib, radicibus, vel quibuslibet dignitatibus binomij cujus{illeg}|c|\u/nq.

At quando hujusmodi Curva aliqua non potest Geometricè quadrari sunt ad manus alia Theoremata pro comparatione \e/jus cum Conic{illeg}|i|s Sectionibus vel saltem cū alijs figuris simplicissimis quibuscū potest comparari \ad quod sufficit \etiam/ hoc ipsū \unicū/ jam descriptum Theorema/. Sic et pro trinomijs \etiam/ et alijs quibusdam Regulas quasdem continuavi. Sed in simplicioribus vulgoq celebratis figuris vix aliquid relatu dignū reperi quod evasit aliorū conatus, nisi fortè longitudo Cissoidis ejusmodi censeatur. Ea sic construitur.

Sit VD Cissois, AV diameter circuli ad quem aptatur, V vertex, AF Asymptoton|s| ejus, ac DB perpendiculare quodvis ad AV demissū. Cum semiaxe $AF=AV$, et semiparametro $AG=\frac{1}{3}AV$ describatur Hyperbola FkK, et inter AB et AV sumpta AC media proportionali, erigantur ad C et V perpendicula Ck et VK Hyperbolæ occurrentia in k et K et agantur rectæ KT et kt tangentes Hyperbolam in eisdem K et k et occurrentes AV, in T ac t, et ad AV <3v> constituatur rectangulum {AVnm æquale spatio TK,} kt; et Cissoidis VD longitudo erit sex{tupla altitudinis Vn demonstrat}io perbrevis est, sed ad infinitas series redeo.

[Editorial Note 1] <4r>

$\pi =0$. {Et Area $=Qin\frac{{z}^{0}}{1}$ hoc est} $=\frac{{a}^{4}zz}{2{c}^{4}-2cczz}$. Area his casibus diversimode e{xhibetur computatur} a diversis finibus, quorum assignatio per hos {inventos valores arearum fa}cilis est.

Ex. 3. {Sit ordinatim applicata} $\frac{{a}^{5}}{{z}^{5}}×\sqrt{bz}+zz$ hoc est per reductionem ad debitam {formam vel ${a}^{5}{z}^{-\frac{9}{2}}$}$×{\stackrel{‾}{b+z|}}^{\frac{1}{2}}$, vel ${a}^{5}{z}^{-4}×{\stackrel{‾}{1+b{z}^{-1}|}}^{\frac{1}{2}}$. Et erit in priori {casu $d={a}^{5}$.} $\theta =-\frac{9}{2}$. $e=b$. $f=1$. $\eta =1$. $\lambda =\frac{1}{2}$. adeoq $r=-\frac{7}{2}$ &c. Quare cùm r non sit numerus affirmativus, procedo ad alterum casum. Hic est $d={a}^{5}$. $\theta =-4$. $e=1$. $f=b$. $\eta =-1$. $\lambda =\frac{1}{2}$. adeoq $r=3$. $s=3\frac{1}{2}$. $Q=\frac{{a}^{5}}{-b}×{\stackrel{‾}{1+b{z}^{-1}|}}^{\frac{3}{2}}$, seu $=-\frac{{a}^{5}z+{a}^{5}b}{bzz}\sqrt{zz+bz}$, $\pi =-2$. Et area $=Qin$$\frac{{z}^{-2}}{3\frac{1}{2}}-\frac{2}{2\frac{1}{2}}×\frac{{z}^{-1}}{3\frac{1}{2}\phantom{\rule{0.3em}{0ex}}b}+\frac{1}{1\frac{1}{2}}×\frac{z}{2\frac{1}{2}}×\frac{{z}^{0}}{3\frac{1}{2}\phantom{\rule{0.3em}{0ex}}b\phantom{\rule{0.3em}{0ex}}b}$ hoc est $=\frac{-30bb+24bz-16zz}{105bbzz}×$$\frac{{a}^{5}z+{a}^{5}b}{bzz}\sqrt{zz+bz}$.

Ex. 4. Sit deniq ordinatim applicata $\frac{b{z}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{⑤\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}{c}^{3}-3acc{z}^{\frac{2}{3}}+3aac{z}^{\frac{4}{3}}-{a}^{3}zz}}$. Hæc ad formam Regulæ redacta fit $b{z}^{\frac{1}{3}}×{\stackrel{‾}{c-a{z}^{\frac{2}{3}}|}}^{-\frac{3}{5}}$. Indeq est $d=b$. $\theta =\frac{1}{3}$. $e=c$. $f=-a$. $\eta =\frac{2}{3}$. $\lambda =-\frac{3}{5}$. $r=2$. $s=\frac{7}{5}$. $Q=\frac{3b}{-2a}××{\stackrel{‾}{c-a{z}^{\frac{2}{3}}|}}^{\frac{2}{5}}$, $\pi =\frac{2}{3}$. Et area $=Q×\frac{5{z}^{\frac{2}{3}}}{7}-\frac{5}{2}×\frac{5c}{-7a}$, id est $-\frac{30ab{z}^{\frac{2}{3}}+75bc}{28aa}×{\stackrel{‾}{c-a{z}^{\frac{2}{3}}|}}^{\frac{2}{5}}$. Quod si res non successisset in hoc casu, existente {illeg} r vel fractione vel numero negativo, tunc tentassem alterum casum purgando terminum $-a{z}^{\frac{2}{3}}$ in ordinatim applicata a coefficiente ${z}^{\frac{2}{3}}$, hoc est reducendo ordinatim applicatam ad hanc formam $b{z}^{-\frac{1}{15}}×{\stackrel{‾}{-a+c{z}^{-\frac{2}{3}}|}}^{-\frac{3}{5}}$. Et si r in neutro casu fuisset numerus integer & affirmativus, conclusissem curvam ex earum numero esse quæ non possunt geometricè quadrari. Nam quantum animadverto, hæc Regula exhibet in finitis æquationibus areas omnium geometricam quadraturam admittentium Curvarum, quarum ordinatim applicatæ constant ex potestatibus, radicibus, vel quibuslibet dignitatibus binomij cujuscunque.

At quando hujusmodi Curva aliqua non potest Geometricè quadrari, sunt ad manus alia Theoremata pro comparatione ejus cum Conicis Sectionibus, vel saltem cum alijs figuris simplicissimis quibuscum potest comparari. Sic et pro trinomijs & alijs quibusdam {illeg} Regulas quasdem concinnavi. Sed in simplicioribus vulgoq celebratis figuris vix quo aliquid relatu{illeg} dignum reperi quod evasit conatus aliorum, nisi fortè longitudo Cissoidis ejusm{illeg}|od|i censeatur. Ea verò sic construitur.

Sit VD Cissois, AV diameter circuli ad quem aptatur, V vertex, AF Asymptoton ejus, ac DB perpendiculare quodvis ad AV demissum. Cum semiaxe $AF=AV$, et semiparametro $AG=\frac{1}{3}AV$, describatur Hyperbola FkK, et inter AB et AV sumpta AC media proportionali, erigantur ad C et V perpendicula Ck et VK Hyperbolæ occurrentia in k et K et agantur rectæ KT et kt tangentes Hyperbolam in ijsdem K et k et occurrentes AV in T ac t, et ad AV constituatur rectangulum AVnm æquale spatio TKkt; et Cissoidis VD longitudo erit sextupla altitudinis Vn. Demonstratio perbrevis est. Sed ad infinitas series redeo.

Ex eo quod D. Tschurnhausius desiderat in nostris seriem pro determinando arcu ex data Tangente, credo eum vix animadvertisse solutionem Problematis istius neutiquam per meam methodum neutiquam difficiliorem esse quam determinationes arcuum ex sinu recto et verso quas <5r> posui: {illeg} {desc}riptionem omnium particularium sed sed {sic} in {illeg} {illeg}am et alteram in diversis rerum generibus {illeg} conducere ad ostendandam universalitatem {illeg} computi ad contenta et superficies solidorum (qu{illeg} {illeg} ferè generis ac difficultatis) satis putab posui tantùm con{illeg} {illeg} segmenti{illeg} cujusdam Elliptici: ad cujus computi methodum Gregorius etiam de suo pervenit, & seriem ad me transmitti curavit. Similiter ad curvas Mechanicas instantia \in Quadratrice/ sufficere videbatur: & ad areas Geometricarum curvarum deli|e|gi \delegi/ astronomicum Problema Kepleri, missis facilioribus et elegantioribus seriebus quibus segmenta conicarum Sectionum {illeg} \ex/hibentur: {illeg} Et hoc Problema non nisi in unico casu solvi; cùm tamen diversæ ejusmodi series ad diversas partes Ellipseos aptari deberent siquis inde vellet computare Tabulas Astronomicas. Sed et ad sectionem angulorum in data ratione (quod est Problema cæteris nobilius) dedi tantum instantiam in sectione per chordas, propterea quod series pro sectione per sinus versos \&/ tangentes et secantes \vel per sinus rectas et versos {mixtum}{mixtis}/ eruuntur. Et proinde non est quod he|æ|reatis ad omissionem præfatæ seriei: cujus computum utiq ex facillimis est, & quæ (meo saltem judicio) utilitate cedit istis quas posuit. Illud enim revera simplicius est quod Problema minore labore solvit. Sic quamvis hæc æquatio {illeg} ${x}^{3}-x=1$ appareat simplicior hacce $yy-2y\sqrt{\frac{81}{25}-\sqrt{}20}=\sqrt{}20$, tamen in confesso est posteriorem revera simpliciorem esse propterea quod radicem ejus y Geometra facilius eruit. Et eadem rationem series pro obtinendis arcubus circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendo sectore per sinum rectum versumve simpliciores haberi debent quam series pro obtinendo eodem sectore per Tangentem. Nam si e.g. posito radio 1 velis arcum ${45}^{gr}$ ex tangente eruere ad usq 15 loca figurarum, opus esset 500000000000 500000000000000 terminis circiter, huius seriei $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$$+\frac{1}{9}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ si integros terminos ejus semper adjeceris, vel dimidio numero seriei $\frac{1}{3}+\frac{1}{35}+\frac{1}{99}+\frac{1}{195}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ quorum computo milleni anni requirerentur. At si eundem arcum ex sinu recto ad eundem locorum numerum velis computare, quadraginta termini seriei huius $\sqrt{}\frac{1}{2}×\stackrel{‾}{1+\frac{1}{12}+\frac{3}{160}+\frac{5}{896}}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ sufficerent: quorum computatio vix ultra duos tresve dies ut conjicio requireret. Et tamen hic non est optimus modus computandi totam perip{illeg}|h|eriam. Nam series ex sinu recto triginta graduum vel ex sinu verso sexaginta graduum conflata, multò citiùs dabit arcum suum, {illeg}|c|ujus sextuplum vel duodecuplum; est tota perif|p|\h/eria. Idem fit per cosecantem arcus ${30}^{gr}$ ope hujus seriei $\frac{rr}{x}+\frac{{r}^{4}}{6{x}^{3}}+\frac{3{r}^{6}}{40{x}^{5}}+\frac{5{r}^{8}}{112{x}^{7}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}}$, ubi r denotat radium, et x cosecantem arcûs per seriem expressi. Neq minori labore eruitur area totius Circuli ex segmento cujus sagitta est quadrans diametri. Ejus computi specimen siquidem ad manus est, visum fuit apponere; & una adjungere aream Hyperbolæ siquidem {illeg} \quæ/ eodem calculo proderit.

Posito axe transverso $=1$ et sinu verso seu segmenti sagitta $=x$. Erit $\frac{1}{2}$ segmentum $\begin{array}{l}\text{Hyperbolæ}\\ \text{Circuli}\end{array}\right\}={x}^{\frac{1}{2}}in\stackrel{‾}{\frac{2}{3}x±\frac{xx}{5}-\frac{{x}^{3}}{28}±\frac{{x}^{4}}{72}}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Hæc autem series sic in infinitum producitur. Sit $2{x}^{\frac{3}{2}}=a$. $\frac{ax}{2}=b$. $\frac{bx}{4}$$=c$. $\frac{3cx}{6}=d$. $\frac{5dx}{8}=e$. $\frac{7ex}{10}=f$. &c. Et erit $\frac{1}{2}$ segm. $\begin{array}{l}\text{Hyperbolæ}\\ \text{circuli}\end{array}\right\}=\frac{a}{3}±\frac{b}{5}-\frac{c}{7}±\frac{d}{9}-\frac{e}{11}±\frac{f}{13}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$, eorumq semisum <5v> ma $\frac{a}{3}-\frac{c}{7}-${$\frac{e}{11}$ &c et semidifferentia $\frac{b}{5}$}$+\frac{d}{9}+\frac{f}{13}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. His ita præparatis su{ppono x esse $\frac{1}{4}$ quadrant}em nempe axis et prodit $a\left(\frac{1}{4}\right)=$ {0.25. $b\left(=\frac{ax}{2}=\frac{0.25}{1×8}\right)$$=0.03125$.} $c\left(=\frac{bx}{4}=\frac{0.03125}{2×8}\right)$$=0.001953125$. {$d\left(=\frac{3cx}{6}=\frac{0.001953125}{8}\right)=0.000244140625$.} {illeg} Et sic procedo usq dum {venero ad} terminum depressimum qui potest ingredi opus. Deinde hos terminos per $3,5,7\phantom{\rule{1em}{0ex}}9,11\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ divisos dispono in duas tabulas, affirmativos \ambiguos/ in unam et negativos \ambiguos/ /negativos\ in aliā et addo ut hic vides.
$\begin{array}{ccc}\begin{array}{r}\begin{array}{r}+0.0833333333333333\\ ±\phantom{0,00}62500000000000\\ \phantom{0,0000}271267361111\\ \phantom{0,000000}5135169396\\ \phantom{0,0000000}144628917\\ \phantom{0,000000000}4954581\\ \phantom{0,0000000000}190948\\ \phantom{0,000000000000}7963\\ \phantom{0,0000000000000}352\\ \phantom{0,00000000000000}16\\ \phantom{0,000000000000000}1\end{array}\\ \begin{array}{r}0.0896109885646618\end{array}\end{array}& \phantom{00000000}& \begin{array}{r}\begin{array}{r}-0.0002790178571429\\ \phantom{0,00000}34679066051\\ \phantom{0,0000000}834465027\\ \phantom{0,00000000}26285354\\ \phantom{0,0000000000}961296\\ \phantom{0,00000000000}38676\\ \phantom{0,000000000000}1663\\ \phantom{0,00000000000000}75\\ \phantom{0,000000000000000}4\end{array}\\ \begin{array}{r}0.0002825719389575\end{array}\end{array}\end{array}$
Dein a priori summa aufero posteriorem et restat 0.0893284166257043 area \semi-/segmenti Hyperbolici Addo etiam eas{illeg}|d|em summas & aggregatum aufero a primo termino duplicato 0.1666666666666666 et restat 0.0767731061630473 area \semi-/segmenti circularis. Huic addo triangulum istud quo completur in sectorem, hoc est triangulum $\frac{1}{32}\sqrt{}3$ seu 0.0541265877365274, Et habeo sectorem 60 graduum 0.1308996938995747, cujus sextuplum 0.7853981633974482, est area totius circuli, quæ divisa per $\frac{1}{4}$ quadrantem diametri dat totam peripheriam 3,1415926535897928. Si alias artes adhibuissem potui per eundem numerum terminorum seriei pervenisse ad multa plura loca figurarum puta viginti quinq aut amplius; sed animus fuit hic ostendere quid per simplex seriei computum præstari posset: quod sanè haud difficile est cùm in omni opere multiplicatores ac divisores magna ex parte non majores quam 11 & nunquam majores quam 41 adhibere opus sit.

Per seriem Leibnitij etiam, si ultimo loco dimi{illeg}|d|ium termini adijciatur & alia quædam similia artificia adhibeantur, potest computum produci ad multas figuras. Sed {illeg}|o|ptimus ejus usus est quando vel conjungitur cum duabus alijs persimilibus et citissime convergentibus seriebus, vel sola adhibetur ad computandum arcum ${30}^{grad.}$ posita tangente $\sqrt{}\frac{1}{3}$. Tunc enim series illa evadit $\frac{1-\frac{1}{3×3}+\frac{1}{5×9}-\frac{1}{7×27}+\frac{1}{9×81}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}}{\sqrt{}3}$, quæ citò convergit. Vel si conjunges cum alijs seriebus, pone circuli diametrum =1 & $a=\frac{1}{2}$, et area totius circuli erit $\frac{a}{1}-\frac{{a}^{3}}{3}+\frac{{a}^{5}}{5}-\frac{{a}^{7}}{7}+\text{&c}+\frac{{a}^{2}}{1}$$+\frac{{a}^{5}}{3}-\frac{{a}^{8}}{5}-\frac{{a}^{11}}{7}+\frac{{a}^{14}}{9}+\frac{{a}^{17}}{11}-\frac{{a}^{20}}{13}-\frac{{a}^{23}}{15}+\text{&c}+\frac{{a}^{4}}{1}-\frac{{a}^{10}}{3}+\frac{{a}^{16}}{5}-\frac{{a}^{22}}{7}+\frac{{a}^{28}}{9}-\text{&c}$.

Hic consideravimus series quatenus adhibentur ad computandum totum circulum. Sed quando computandæ sunt partes ejus, tunc quælibet series habet proprium usum et in suo genere optimus est. Si datur Tangens haud re{illeg}|c|urrendum erit ad sinum aliquem ut inde computetur arcus, neq vice versa dato sinu quærenda erit Tangens. Sed Series dato congruens adhibenda erit, tanquam \est/ æquatio pro solvendo proprio problemata.

Credo Cl. Leibnitium vix animum advertisse seriei meæ {illeg} pro determinatione sinus versi ex dum posuit seriem pro determinatione cosinus ex arcu dato, vix animum advertisse seriei meam pro determinatione sinus versi ex eodem area, {illeg} siquidem hæc idem sunt. Neq {illeg} observasse videtur morem meum generaliter usurpandi li

<6r> [Editorial Note 2]

cal{culū hic onerosiorem nolim lube}ns subire. Possunt deniq series ex termin{is compositis eadem methodo constitui} Quemadmodū si sit $\sqrt{aa-ax+\frac{{x}^{3}}{a}}$ ordinatim {applicata curvæ alicujus pone} $aa-ax=zz$ et ex binomio $zz-\frac{{x}^{3}}{a}$ extractâ radic{e prodibit $z+\frac{{x}^{3}}{2ax}-\frac{{x}^{6}}{8aa{z}^{3}}$} &c. cujus seriei omnes termini quadrari possunt per {Theorema jam} ante descriptū. Sed hæc minoris facio quod ubi series simplices non sunt satis tractabiles, aliam nondum communicatam methodum habeo qua pro lubitu acceditur ad qu{æ}sitū. Ejus fundamentum est commoda expedita et generalis solutio hujus Problematis Curvam Geometricam describere quæ per data quodcunq puncta transibit. Docuit Euclides descriptionem c|C|irculi per tria data puncta. Potest etiam Conica sectio describi per quinque data puncta & Curva trium dimensionū per octo data puncta, ad{illeg}|e|o ut in potestate habeam {illeg} descriptionem omniū curvarū istius ordinis quæ per octo tantùm puncta determinantur. Hæc statim Geometricè fiunt nullo calculo interposito: Sed superius Problema est alterius generis. et quamvis prima fronte intractabile videatur; tamen res aliter se habet. est enim fere ex pulcherrimis quæ solvere desiderem.

Seriei a D. Leibnitio pro quadratura Conicarū Sectionū propositæ affinia sunt Theoremata quædam quæ pro comparatione Curvarū cum Co{illeg}|n|icis sectionibus in Catalogū dudū retuli. Possum utiq cū Conicis sectionibus geometricè comparare curvas omnes numero infinitas quarū ordinatim applicatæ sunt $\frac{d{z}^{\eta -1}}{e+f{z}^{\eta }+g{z}^{2\eta }}$ vel $\frac{d{z}^{2\eta -1}}{e+f{z}^{\eta }+g{z}^{2\eta }}$ &c. Aut $\frac{d{z}^{\frac{1}{2}\eta -1}}{e+f{z}^{\eta }+g{z}^{2\eta }}$ vel $\frac{d{z}^{\frac{3}{2}\eta -1}}{e+f{z}^{\eta }+g{z}^{2\eta }}$ &c. Aut $\frac{d}{z}\sqrt{e+f{z}^{\eta }+g{z}^{2\eta }}$ vel $d{z}^{\eta -1}×\sqrt{e+f{z}^{\eta }+g{z}^{2\eta }}$ &c. Aut $\frac{d{z}^{\eta -1}}{\sqrt{e+f{z}^{\eta }+g{z}^{2\eta }}}$ vel $\frac{d{z}^{2\eta -1}}{\sqrt{e+f{z}^{\eta }+g{z}^{2\eta }}}$ &c. Aut $\frac{d{z}^{\eta -1}×\sqrt{e+f{z}^{\eta }}}{g+h{z}^{\eta }}$. vel $\frac{d{z}^{2\eta -1}×\sqrt{e+f{z}^{\eta }}}{g+h{z}^{\eta }}$ &c Aut $\frac{d{z}^{\eta -1}}{\stackrel{‾}{g+h{z}^{\eta }}×\sqrt{e+f{z}^{\eta }}}$, vel $\frac{d{z}^{2\eta -1}}{\stackrel{‾}{g+h{z}^{\eta }}×\sqrt{e+f{z}^{\eta }}}$ &c. Aut $\frac{d}{z}\sqrt{}\frac{e+f{z}^{\eta }}{g+h{z}^{\eta }}$ vel $d{z}^{\eta -1}×\sqrt{}\frac{e+f{z}^{\eta }}{g+h{z}^{\eta }}$ &c
Hic d, e, f, g significant quasvis datas quantitates cum suis signis + et − affectas, z axem vel basem Curvæ, et η, $2\eta$, $\frac{1}{2}\eta -1$, $\frac{3}{2}\eta -1$, $\eta -1$, $2\eta -1$ indices potestatum vel dignitatū z sive sint affirmativi, vel negativi, sive integri vel fracti; et singula bina Theoremata sunt duo primi termini seriei in infinitū progredientis. In tertio et quarto $4eg$ debet esse non magis majus quam $ff$ nisi e et g sint contrarij signi in cæteris nulla est limitatio. Horum aliqua (nempe {illeg} secundū, tertium, quartum, quintū et decimum tertium) ex areis duarū Conicarū Sectionum conjunctis constant. Alia quædam ut {illeg} \nonum/ decimū et duodecimum, sunt aliter satis composita: et omnia quidem in continuatione & progressionū citò evadunt compositissima: adeò ut vix per transmutationes figurarū quibus Gregorius et alij usi sunt absq {illeg}|u|lteriori fundamento inveniri posse putem. Ego equidem haud quicquam generale in has his obtinere potui antequam abstraherem a contemplatione figurarū et rem totā ad simplicem considerationem solarū ordinatim applicatarū reducerem sed cū hæc et his longè generaliora sint in potestate, non dubitabitur credo de binomialibus longe facilioribus quæ in his contin{illeg}entur & prodeunt ponendo tantū literam aliquā e vel f $g=0$, et $\eta =1$ vel 2: etsi series in quas ista resolvuntur {illeg}|no|n posuerim <6v> in epistola priori, inte{ntus non in omnia particularia enumer}anda, sed in illustrandam methodū p{er unam et alteram in singulis rerum} generibus instantiam quæ ad ostendendam ejus g{eneralitatem sufficere videbatu}r.

Cæterū hæc Theo{remata dant series plusqu}am uno modo nam primum si ponatur $f=0$ et $\eta =1$ {evadit $\frac{d}{e+gzz}$: unde} prodit series nobis communicat{illeg}|a|, sed si ponatur $2eg=ff$ et $\eta =1$, inde tandem obtinemus hanc seriem $1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$$-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\text{&c}$ pro longitudine quadrantalis arcus cujus chorda est unitas, vel quod perinde est hanc $\frac{1}{2}+\frac{1}{15}-\frac{1}{63}+\frac{1}{143}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ pro longitudine dimidii ejus. et ha{illeg}|s| {illeg} fortè quia æque simpli{illeg}|c||es| {illeg} \sunt/ ac alteræ, et magis converg{illeg}|unt|, non repudiabitis. Sed ego rem aliter æstimo {illeg}. Illud enim melius quod utilius est et problema minori labore solvit. Sic quamvis hæc æquatio ${x}^{3}-x=1$ appareat simplicior hacce $yy-2y\sqrt{\frac{81}{25}-\sqrt{}20}=\sqrt{}20$ tamen in confesso est posteriorem esse revera simpliciorē propterea quod radicem ejus y Geometra facilius eruit. et ob hanc rationem series pro obtinendis arcubus circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendis sectoribus conicarū Sectionum, pro optimis habeo quæ componuntur ex potestatibus sinuum. Nam siquis vellet per simplex computum hujus seriei {illeg} $1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\text{&c}$ colligere longitudinem quadrantis ad viginti figurarum loca decimalia, opus esset 5000000000 terminis seriei circiter, ad quorū calculū milleni anni requirerentur: & res tardius obtineretur tangentem 45 grad. \juxta seriem Leibnitij nobis communicatam/ Sed adhibito sinu recto $45$ grad quinquaginta quinq vel sexaginta termini hujus seriei $\sqrt{}\frac{1}{2}×\stackrel{‾}{1+\frac{1}{12}+\frac{3}{160}+\frac{5}{896}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}}$ sufficerent, quorū computatio tribus ut opinor vel quatuor diebus absolvi posset. Et tamen hic non est optimus \modus/ computandi totam Peripheriam nam series ex sinu recto triginta graduum vel ex sinu verso sexaginta graduum conflata, multò citiùs dabit arcū suum cujus sextuplum vel duodecuplū est tota peripheria. Neq minori labore eruitur area totius c|C|irculi ex segmento cujus sagitta est quadrans diametri. Ejus computi specimen, siqui\d/em ad manus est, visū fuit apponere & unâ adjungere aream Hyperbolæ quæ eodem calculo prodit.

Posito axe transverso $=1$, et sinu verso seu segmenti sagitta $=x$ erit semisegmentū $\begin{array}{l}\text{Hyperbolæ}\\ \text{Circuli}\end{array}\right\}={x}^{\frac{1}{2}}in\stackrel{‾}{\frac{2}{3}x±\frac{xx}{5}-\frac{{x}^{3}}{28}±\frac{{x}^{4}}{72}}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Hæc autem series sic in infinitū producitur. Sit $2{x}^{\frac{3}{2}}=a$. $\frac{ax}{2}=b$. $\frac{bx}{4}$$=c$. $\frac{3cx}{6}=d$. $\frac{5dx}{8}=e$. $\frac{7ex}{10}=f$ &c et erit semisegm. $\begin{array}{l}\text{Hyperbolæ}\\ \text{circuli}\end{array}\right\}=\frac{a}{3}±\frac{b}{5}-\frac{c}{7}±\frac{d}{9}-\frac{e}{11}±\frac{f}{13}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ eorumq semisumma $\frac{a}{3}-\frac{c}{7}$\$-\frac{e}{11}$/ &c et semidifferentia $\frac{b}{5}+\frac{d}{9}+\frac{f}{13}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. His ita præparatis suppono x esse $\frac{1}{4}$ quadrantem nempe axis et prodit $a\left(\frac{1}{4}\right)=${illeg} \0.25/. $b\left(=\frac{ax}{2}=\frac{0.25}{1×8}\right)$$=0.03125$. $c\left(=\frac{bx}{4}=\frac{0.03125}{2×8}\right)$$=0.001953125$. $d\left(=\frac{3cx}{6}=\frac{0.001953125}{8}\right)=0.000244140625$. Et sic procedo usq dum venero ad terminū depressimum qui potest ingredi opus. Deinde hos terminos per $3,5,7\phantom{\rule{1em}{0ex}}9,11\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ respectivè divisos dispono in duas tabulas, ambiguos cū primo in unam et negativos in aliam et addo ut hic vides
$\begin{array}{ccc}\begin{array}{r}\begin{array}{r}0,0833333333333333\\ \phantom{0,00}62500000000000\\ \phantom{0,0000}271267361111\\ \phantom{0,000000}5135169396\\ \phantom{0,0000000}144628917\\ \phantom{0,000000000}4954581\\ \phantom{0,0000000000}190948\\ \phantom{0,000000000000}7963\\ \phantom{0,0000000000000}352\\ \phantom{0,00000000000000}16\\ \phantom{0,000000000000000}1\end{array}\\ \begin{array}{}\end{array}\end{array}& \phantom{00000000}& \begin{array}{r}\begin{array}{r}0,0002790178571429\\ \phantom{0,00000}34679066051\\ \phantom{0,0000000}834465027\\ \phantom{0,00000000}26285354\\ \phantom{0,0000000000}961296\\ \phantom{0,00000000000}38676\\ \phantom{0,000000000000}1663\\ \phantom{0,00000000000000}75\\ \phantom{0,000000000000000}4\end{array}\\ \begin{array}{}\end{array}\end{array}\end{array}$ <7r>
$\begin{array}{ccc}0,0896109885646618& \phantom{00000000}& 0,0002825719389575\end{array}$
Tunc a {priori suma aufero posteriorem et} restat 0,0893284166257043 area semisegmenti |Hyperbolici. Addo etiam easdem summas & aggregatum aufero a primo termino duplicato 0.1666666666666666, et restat 0.0767731061630473 area semi{illeg}|s|egmenti circularis &c| {huic addo triangul}ū istud quo completur in sectorem, h. e. triangulū $\frac{1}{32}\sqrt{}3${, seu 0,05412658}77365274, & habeo sectorem sexaginta graduū 0,1308996938995747, cujus sextuplum 0,7853981633974482 est area totius circuli, quæ divisa per $\frac{1}{4}$ quadrantem diametri dat totā peripheriam 3,1415926535897928. Si alias artes adhibuissem potui per eundem numer{illeg}|ū| terminorū seriei potuisse pervenisse ad multa plura loca figurarū, puta viginti quinq aut amplius; sed animus fuit hic ostendere quid per simplex seriei computū præstari posset: Quod sanè haud difficile est cùm in omni opere multiplicatores ac divisores magnâ ex parte non majores quàm 11 & nunquam majores quàm 41 adhibere opus sit.

Per seriem Leibnitij etiam si ultimo log \c/o dimidiū termini adijciatur, et alia quædam similia artificia adhibeantur, potest computum produci ad multas figuras. \ut et ponendo summam terminorum $1-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{15}+\frac{1}{17}-\frac{1}{23}+\frac{1}{25}-\frac{1}{31}+\frac{1}{33}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ esse ad totam seriem $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$, ut $1+\sqrt{}2$ ad {illeg} 2/ Sed optimus ejus usus videtur esse quando vel conjungitur cū duabus alijs persimilibus et citissimè convergentibus seriebus, vel sola adhibetur ad computandū arcum 30 grad. posita tangente $\sqrt{}\frac{1}{3}$. Tunc enim series illa evadit $\frac{1-\frac{1}{3×3}+\frac{1}{5×9}-\frac{1}{7×27}+\frac{1}{9×81}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}}{\sqrt{}3}$, quæ citò convergit vel si conjunges cum alijs seriebus, pone circuli diametrum $=1$ & a$=\frac{1}{2}$ & area totius circuli erit $\frac{a}{1}-\frac{{a}^{3}}{3}+\frac{{a}^{5}}{5}-\frac{{a}^{7}}{7}+\text{&c}+\frac{aa}{1}+\frac{{a}^{5}}{3}-\frac{{a}^{8}}{5}-\frac{{a}^{11}}{7}+\frac{{a}^{14}}{9}+$$\frac{{a}^{17}}{11}-\text{&c}+\frac{{a}^{4}}{1}-\frac{{a}^{10}}{3}+\frac{{a}^{16}}{5}-\frac{{a}^{22}}{7}+\frac{{a}^{28}}{9}+\text{&c}$.

Hic consideravimus series quatenus adhibentur ad computandū totū circulum. Sed quando computandæ sunt partes ejus, tunc quælibet series habet proprium usum & in suo genere optima est. Si datur Tangens satis parva, vel satis magna, non recurrendum erit ad sinum aliquem ut inde computetur arcus, neq vice versâ. Series dato congruens est æquatio pro solvendo proprio problemate.

Credo Cl. Leibnitiū, dum posuit seriem pro determinatione cosinus ex arcu dato, vix animū advertisse \ad/ seriem meam pro determinatione sinus versi ex eodem arcu siquidem hæc idem sunt. Neq observasse videtur morem me{illeg}|u|m generaliter usurpandi literas[Editorial Note 3] pro quantitatibus cum signis suis + et − affectis, dum dividit hanc seriem $\frac{z}{b}+\frac{zz}{2abb}+\frac{{z}^{3}}{6aa{b}^{3}}+\frac{{z}^{4}}{24{a}^{3}{b}^{4}}+\text{&c}$. Nam cum area Hyperbolicâ BE hic significata per z sit affirmativa vel negativa prout jaceat ex una vel altera parte ordinatim applicatæ BC; si area illa in numeris data sit l, & l substituatur in serie pro z, orietur vel $\frac{l}{b}+\frac{ll}{2abb}+\frac{{l}^{3}}{6aa{b}^{3}}+\frac{{l}^{4}}{24{a}^{3}{b}^{4}}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ vel $-\frac{l}{b}+\frac{ll}{2abb}-\frac{{l}^{3}}{6aa{b}^{3}}+\frac{{l}^{4}}{24{a}^{3}{b}^{4}}$ &c prout l sit affirmativa vel negativa. Hoc est posito $a=1=b$ et l logarithmo Hyperbolico: numerus ei correspondens erit $1+\frac{l}{1}+\frac{ll}{2}+\frac{{l}^{3}}{3}+\frac{{l}^{4}}{4}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ si l sit affirmativus, et $1-\frac{l}{1}+\frac{ll}{2}-\frac{{l}^{3}}{6}+\frac{{l}^{4}}{24}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ si l sit affirmativus negativus. Hoc modo fugio multiplicationem Theorematum quæ alias in nimiam molem crescerent. Nam v.g. illud unicum Theorema quod supra posui pro quadratura Curvarū resolvendū esset in triginta duo Theoremata si pro signorū varietate multiplicaretur.

Præterea quæ habentur de inventione numeri unitate majoris per datū Logarithmum Hyperbolicum ope seriei $\frac{l}{1}-\frac{ll}{1×2}+\frac{{l}^{3}}{1×2×3}-\frac{{l}^{4}}{1×2×3×4}+\text{&c}$ potius quam ope seriei \$\frac{l}{1}+\frac{ll}{1×2}+\frac{{l}^{3}}{1×2×3}+\frac{{l}^{4}}{1×2×3×4}+\text{&c}$ mihi quidem haud ita {eam} sunt/. Nam si unus terminus adjiciatur amplius ad seriem posteriorem quam ad priorem posterior magis appropinquabit. Et certè minor est labor computare unam vel duas primas figuras adjecti hujus termini quā dividere unitatem per prodeuntem logarithmū Hyperbolicū ad multa figurarū loca extensum, ut inde obtineatur Logarithmus {illeg} Hyperbolicus quæsitus. <7v> \quæsitus/ Utraq igitu{r series (si duas di{illeg}cere fas est \sit/) officio suo} {illeg} fungatur Potest tamen $\frac{l}{1}+\frac{{l}^{3}}{1×2×3}+${$\frac{{l}^{5}}{1×2×3×4×5}+\text{&c}$ series ex dimidiá} parte terminorū constans optimè adhiberi siquidem hæ{c dabit semidifferentiam duorum} numerorū ex qua et rectangulo dato uterq datur. Sic & ex {serie $\frac{l}{1}+\frac{ll}{1×2}+\frac{{l}^{4}}{1×2×3×4}$} &c datur semisumma numerorum indeq etiam numeri. Unde prodit relatio serierū inter se quâ ex unâ datâ dabitur altera.

Theorema de inventione arcûs ex dato cosinu, ponendo radium 1, cosinum c, & arcum $\sqrt{6-\sqrt{24c+12}}$, minus appropinquat quàm prima fronte videtur. Posito quidem sinu verso v, error erit $\frac{{v}^{3}}{90}+\frac{{v}^{4}}{194}+\text{&c}$. Potest fieri ut $120-27v$ ad $120-17v$ ita chorda $\left(\sqrt{}2v\right)$ ad arcum, et error erit tantū $\frac{61{v}^{3}\sqrt{}20}{44800}$ circiter qui semper minor est quam $5\frac{1}{4}$ minuta secunda, dum arcus non sit major quàm $45\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}gr.$ & singulis etiam bisectionibus diminuitur 128 vicibus

Series $\frac{{a}^{3}}{1×2×3}-\frac{{a}^{5}}{1×2×3×4×5}+\frac{{a}^{7}}{1×2×3×4×5×6×7}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ applicari posset ad computationem Tabulæ segmentorū ut observat vir c|C|larissimus, sed res optimè absolvitur per Canonem sinuum. Utpote cognitâ quadrantis areâ, per continuas additionē nonæ partis ejus habebis sectores ad singulos decem gradus in semicirculo, dein per continuam additionem {illeg} \decimæ partis/ partis {sic} \h/ujus habebis sectores ad gradus: et sic ad decimas partes graduum et ultra procedi procedi {sic} potest. |{illeg} Eodem modo Leibnitius collegit seriem $\frac{{a}^{3}}{1×2×3}-\frac{{a}^{5}}{1×2×3×4×5}${.}| Tunc, radio existente 1, ab uno quoq sectore et ejus complemento ad $180\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}gr$ aufer dimidium communis sinus recti & relinquentur segmenta in Tabulam referenda. Cæterum quamvis series hic non prosint, in alijs tamen locum obtine\n/t; et quoniam hoc ad earū usum spectat, non gravabor in aliquibus attingere.

Constructionem Logarithmorum non aliunde peti debere, credetis fortè ex hoc simplici processu qui ab istis pendet. Per methodum supra traditam quærantur Logarithmi Hyperbolici numerorum 10, 0.98, 0.99, 1.01, 1.02: id quod fit spatio unius et alterius horæ. dein divisis Logarithmis quatuor posteriorum per Logarithmum numeri 10, & addito indice 2, prodibunt veri Logarithmi numerorū 98, 99, 100, 101, 102, in Tabulam inserendi. Hi{illeg} per dena intervalla interpolandi sunt, et exibunt Logarithmi omnium numerorum inter 980. & 1020 & omnibus inter 980 et 1000 iterum per dena intervalla interpolatis habebitur Tabula eatinus constructa. Tunc ex his colligendi erunt Logarithmi omnium primorum numerorū et eorū multiplicium minorum quàm 100: ad quod nihil requiritur præter additionem et substractionē siquidem sit
$\sqrt{}⑩\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\frac{9984×1020}{9945}=2$. $\sqrt{}④\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\frac{8×9963}{984}=3$. $\frac{10}{2}=5$. $\frac{\sqrt{}98}{2}=7$. $\frac{99}{9}=11$. $\frac{1001}{7×11}=13$. $\frac{102}{6}=17$. $\frac{988}{4×13}=19$. $\frac{9936}{16×27}=23$. $\frac{986}{2×17}=29$. $\frac{992}{32}=31$. $\frac{999}{27}=37$. $\frac{984}{24}=41$. $\frac{989}{23}=43$. $\frac{987}{27}=47$. $\frac{9911}{11×17}=53$. $\frac{9971}{13×13}=$ 59. $\frac{9882}{2×81}=61$. $\frac{9849}{3×49}=67$. $\frac{994}{14}=71$. $\frac{9928}{8×17}=73$. $\frac{9954}{7×18}$ $=79$. $\frac{996}{12}=83$. $\frac{9968}{7×16}=89$. $\frac{9894}{6×17}=97$ et habitis sic Logarithmis omnium numerorum minorum quàm 100, restat tantùm hos etiam semel atq iterum per dena intervalla interpolare.

Constructionis Tabulæ sinuum a qua pendet tota res Trigonometrica \fundamentum optimū/ est continua additio dati anguli ad seipsum vel ad alium {illeg} datum. Utpote in angulo addendo BAE inscribantur HI, IK, KL, LM, MN, NO, OP, <8r> &c {æquales radio AB: et ad opposita later}a demittantur perpendicula BE, HQ, {IR, KS, LT, MV, NX, OY, &c. et} angulorum HIQ, IKH, KLI, LMK &c differenti{æ erunt angulus A,} sinus HQ, {IR, KS &c. et cosinus} IQ, KR, LS, &c. {detur jam aliquis} eorum LMK. et cæteri sic eruentur. Ad SV, et MV demitte perpendicula Ta & Kb, et propter sim. tri. ABE, TLa, KMb, ALT, AMV &c erit $AB.BE\colon\colon$$TL.La\left(=\frac{SL-LV}{2}\right).KT\left(\frac{1}{2}KM\right).\frac{1}{2}Mb\left(=\frac{MV-KS}{2}\right)$. Et $AB.AE\colon\colon KT.Sa\left(=\genfrac{}{}{0}{}{\phantom{0}}{\phantom{0}}\right$$\frac{SL+LV}{2})\colon\colon TL.Ta\left(=\frac{KS+MV}{2}\right)$. Unde dantur sinus et cosinus KS, MV, SL, LV, et simul pate{illeg}t ratio continuandi progressiones. Nempe $AB.2AE\colon\colon LV.TM$$+MX\colon\colon MX.VN+NY$ &c $\colon\colon MV.TL+XN\colon\colon XN:MV+OY$ &c. Vel $AB.2BE\colon\colon$$LV.XN-TL\colon\colon MV.TM-MX\colon\colon MX.OY-MV\colon\colon XN.VN-NY$ &c et retro $AB.$$2AE\colon\colon LS.KT+RK$ &c. |+ Pone ergo $AB=1$, et fac $BE×TL=La$, $AE×KT=Sa$. $Sa-La=LV$. $2AE+LV-TM=MX$, &c.| Sed nodus est inventio sinus et cosinus anguli A. Et hic subveniunt series nostræ. Utpote cognito ex superioribus Quadrantalis arcus longitudine 1.57079 &c et simul quadrato ejus 2.4694 &c; divide quadratū hoc per quadratum numeri exprimentis rationem $90\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}gr$ ad ang. A: et quoto dicto z, tres vel quatuor primi termini huius seriei $1-\frac{z}{2}+\frac{zz}{24}-\frac{{z}^{3}}{720}+\frac{{z}^{4}}{40320}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ dabunt cosinū istius anguli A. Sic primo quæri potest angulus $5\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}gr$ et inde Tabula computari ad quinos gradus, ac deinde interpolari ad gradus vel dimidios gradus per eandem methodum: nam non convenit progredi per nimios saltus. Duæ tertiæ partes {illeg}|T|abulæ sic computatæ dant reliquam tertiam partem per additionem vel substractionem more noto, siquidem posito KT cosinu ${60}^{gr}$ sit $AE=SV$ et $BE=Mb$. Tunc ad decimas et centesimas partes graduū pergendum est per aliam methodum, substitutis tamen prius Logarithmis sinuum inventorū si ejus generis {illeg}|T|abula desideretur.

Ad computum Tabularum Astronomicarū Kepleri posui fundamentū quoddam in alterâ Epistola. Ejus seriei tres primi termini et aliquando duo sufficiunt. Sed ad diversas partes Ellipseos diversæ ejusmodi series aptari debent. Vel potiùs tales series computandæ sunt quæ ex data area sectoris Ellipticæ BGE, immediatè exhibeant aream sectoris circuli cujus angulus est BEG, radius CB. Et habitis hisce, computū earum ad duos tres vel fortè quatuor terminos beneficio Logarithmorū haud gravius erit quam solita resolutio tot triangulorū in alijs Hypothesibus: imo forte minùs grave si series prius debitè concinnentur. siquidem unus Logarithmus e Tabula petitus determinet omnes istos terminos addendo ipsum et ejus multiplices ad Logarithmos datorū coefficientiū in promptu habitos. Quæ de hoc genere Tabularū dicuntur, ad alias transferri possunt ubi ratiocinia Geometrica locum non obtinent. sufficit autem per has series computare triginta, vel viginti vel aut fortè pauciores terminos Tabulæ in debitis distantijs, siqui{illeg}|de|m termini intermedij facilè interseruntur per Methodū quandam quam in usu c|C|alculatorum ferè hic descripsissem. Sed pergo ad alia.

Quæ Cl. Leibnitius a me desiderat explicanda, ex parte supra descripsi. Quod verò attinet ad inventionem terminorū p, q, r, in extractione radicis {illeg}|af|fectæ, primum p sic eruo. Descripto angulo recto BAC, latera <8v> {ejusBA, AC divi}do in partes æquales {et inde norm}ales erigo distribuentes angu{lare spa}tium in æqualia parallelogram{ma vel} quadrata, quæ concipio de{n}ominata esse a dimensionibus duarum indefinitarū specierum, puta x et y, regulariter ascendentium a termino A prout vides in fig. 1 inscriptas: ubi y denotat radicem extrahendā et x alteram indefinitam quantitatem ex cujus potestatibus series constituenda est. Deinde cùm æquatio aliqua proponitur, parallelogramma singulis ejus terminis correspondentia insignio nota aliquâ: et Regulâ ad duo vel fortè plura ex insignitis parallelogrammis applicatâ quorū unum sit humillimū in columna sinistrâ juxta AB: et alia ad regulam dextrorsū sita, cæteraq omnia non contingentia Regulam supra eam jace\a/nt: seligo terminos æquationis per parallelogramma contingentia Regulam designatos et inde quæro quantitatem Quotienti addendam.

Sic ad extrahendam radicem y ex ${y}^{6}-5x{y}^{5}+\frac{{x}^{3}}{a}{y}^{4}-7{a}^{2}{x}^{2}{y}^{2}+6{a}^{3}{x}^{3}$$+bb{x}^{4}=0$; parallelogramma hujus terminis respondentia signo notâ aliqua {illeg}ut vides in fig. 2. Dein applico Regulam DE ad inferiorem e locis signatis in sinistrâ columna, eamq ad|b| inferioribus ad superiora dextrorsū gyrare facio donec alium similiter vel fortè plura e reliquis signatis locis coeperit attingere, videoq loca sic attacta esse ${x}^{3}$, $xxyy$ et ${y}^{6}$. E terminis itaq ${y}^{6}-7aaxxyy+6{a}^{3}{x}^{3}$ tanquam nihilo æqualibus (et insuper si placet reductis ad ${v}^{6}-7vv+6=0$ ponendo $y=v\sqrt{}ax$) quæro valorem y et invenio quadruplicem $+\sqrt{}ax$, $-\sqrt{}ax$, $+\sqrt{}2ax$, ā $-\sqrt{}2ax$, quorū quemlibet pro primo termino Quotientis accipere licet prout e radicibus quampiam extrahere decretū est. Sic æquatio ${y}^{3}+axy+aay-{x}^{3}-2{a}^{3}=0$, quam resolvebam in priori epistola dat $-2{a}^{3}+aay+{y}^{3}=0$ et inde $y=a$ proximè. Cum itaq a sit primus terminus valoris y, pono p pro cæteris omnibus in infinitū, et substituo $a+p$ pro y. Obvenient hic aliquando difficultates nonnullæ, sed ex ijs credo D. Leibnitius se proprio Marte extricabit. Subsequentes vero termini $q.r.s$, {illeg}|&c| eodem modo ex æquationibus secundis, tertiis {illeg} c{illeg}|æ|terisq eruuntur quo primus p e prima; sed cura leviori, quia cæteri termini valoris y solent prodire dividendo terminū involvente infimam potestatem indefinitæ quantitatis x per coefficientem radicis $p,q,r$, aut s.

Intelle{illeg}|x|ti credo ex superioribus regressionem ab areis curvarū ad lineas rectas fieri per hanc extractionem radicis affectæ. Sed duo alij sunt modi quibus idem perficio eorum unus affinis est computationibus quibus colligebam approximationes sub finem alterius Epistol{æ}, et intelligi potest per hoc exemplum. {Propenatur}{Proponatur} æquatio ad aream Hyperbolæ $z=x+\frac{1}{2}xx+\frac{1}{3}{x}^{3}+${illeg}$\frac{1}{4}{x}^{4}+\frac{1}{5}{x}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ et partib ejus multiplicatis in se emerget $zz=xx+{x}^{3}+\frac{11}{12}{x}^{4}+\frac{5}{6}{x}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. ${z}^{3}={x}^{3}\genfrac{}{}{0}{}{\phantom{1}}{\phantom{1}}$$+\frac{3}{2}{x}^{4}+\frac{7}{4}{x}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. ${z}^{4}={x}^{4}$$+2{x}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. ${z}^{5}={x}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Iam de z aufer $\frac{1}{2}zz$ et restat $z-\frac{1}{2}zz=x-$$\frac{1}{6}{x}^{3}-\frac{5}{24}{x}^{4}-\frac{16}{60}{x}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Huic addo $\frac{1}{6}{z}^{3}$ et fit $z-\frac{1}{2}zz+\frac{1}{6}{z}^{3}$$=x+\frac{1}{24}{x}^{4}+\frac{3}{40}{x}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ Aufero $\frac{1}{24}{z}^{4}$ et restat $z-\frac{1}{2}zz+\frac{1}{6}{z}^{3}-\frac{1}{24}{z}^{4}=x-\frac{1}{120}{x}^{5}$ &c. Addo $\frac{1}{120}{z}^{5}$ et fit $z-\frac{1}{2}zz+\frac{1}{6}{z}^{3}-\frac{1}{24}{z}^{4}${illeg}{sic}{illeg}$+\frac{1}{120}{z}^{5}=x$ <9r> quam {proxime. Sive $x=z-\frac{1}{2}zz+\frac{1}{6}{z}^{3}$}$-\frac{1}{24}{z}^{4}+\frac{1}{120}{z}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$.

Eo{dem modo series de una inde}finita quantitate in aliam transferri possunt. Quem{admodum si posito r radio cir}culi, x sinu recto arcus z, et $x+\frac{{x}^{3}}{6rr}+$$\frac{3{x}^{5}}{40{r}^{4}}+\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ longit{udine arcus istius atque }hanc seriem e sinu recto ad tangentem vellem transferre: quæro longitudinem tangentis $\frac{rx}{\sqrt{rr-xx}}$ et reduco in infinitam seriem $x+\frac{{x}^{3}}{2rr}+\frac{3{x}^{5}}{8{r}^{4}}+\text{&c}$: Qua dicta t colligo potestates ejus ${t}^{3}={x}^{3}+\frac{3{x}^{5}}{2rr}+\text{&c}$. ${t}^{5}={x}^{5}+\text{&c}$. Aufero jam t de z, et restat $z-t=-\frac{{x}^{3}}{3}-\frac{3{x}^{5}}{10}-\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Addo $\frac{1}{3}{t}^{3}$, et fit $z-t+\frac{1}{3}{t}^{3}$$=\frac{1}{5}{x}^{5}+\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Aufero $\frac{1}{5}{t}^{5}$, et restat $z-t+\frac{1}{3}{t}^{3}-\frac{1}{5}{t}^{5}=0$ quamproxime. Quare est $z=t-\frac{1}{3}{t}^{3}+\frac{1}{5}{t}^{5}-\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$. Sed siquis in usus Trigonometricos me jussisset exhibere expressionem arcus per Tangentem, eam non hoc circuitu sed directa methodo quæsivissem.

Per hoc genus computi colliguntur etiam Series ex duabus vel pluribus indefinitis quantitatibus constantes: et radices affectarum æquationū magna ex parte extrahuntur, sed ad hunc posteriorem usum adhibeo potius methodū in alterâ epistola descriptam tanquam generaliorem, &, (Regulis pro elisione superfluorū terminorum habitis,) paulo magis expeditam. Pro regressione vero ab areis ad lineas rectas et similibus, possunt hujusmodi Theoremata adhiberi.

Theorem. 1. Sit $z=ay+byy+c{y}^{3}+d{y}^{4}+e{y}^{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ et vicissim erit $y=\frac{z}{a}-\frac{bzz}{{a}^{3}}+\frac{2bb-ac}{{a}^{5}}{z}^{3}+\frac{5abc-5{b}^{3}-aad}{{a}^{7}}{z}^{4}+\frac{3{a}^{2}{c}^{2}-21abbc+6aabd+14{b}^{4}-{a}^{3}e}{{a}^{9}}{z}^{5}+\text{&c}$. ex. gr.. Proponatur æquatio ad aream Hyperbolæ $z=y-\frac{yy}{2}+\frac{{y}^{3}}{3}-$$\frac{{y}^{4}}{4}+\frac{{y}^{5}}{5}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{&c}$ et substitutis in Regula 1 pro a, $-\frac{1}{2}$ pro b, $\frac{1}{3}$ pro c, $-\frac{1}{4}$ pro d, et $\frac{1}{5}$ pro e, vicissim exurget $y=z+\frac{1}{2}zz+\frac{1}{6}{z}^{3}+\frac{1}{24}{z}^{4}+\text{&c}$.

Theorem. 2. Sit $z=ay+b{y}^{3}+c{y}^{5}+d{y}^{7}+e{y}^{9}+\text{&c}$, et vicissim erit $y=\frac{z}{a}-\frac{b{z}^{3}}{{a}^{4}}+\frac{3bb-ac}{{a}^{7}}{z}^{5}+\frac{8abc-aad-12{b}^{3}}{{a}^{10}}{z}^{7}+\frac{55{b}^{4}-55abbc+10aabd+5aacc-{a}^{3}e}{{a}^{13}}{z}^{9}+\text{&c}$. ex. gr. Proponatur æquatio ad arcum circuli $z=y-\frac{{y}^{3}}{6rr}$$+\frac{3{y}^{5}}{40{r}^{4}}$ |$+\frac{5{y}^{7}}{112{r}^{6}}+\text{&c}$ et substitutis in Regula 1 pro a, $\frac{1}{6rr}$ pro b, $\frac{3}{40{r}^{4}}$ pro c, $\frac{5}{112{r}^{6}}$ pro d &c| pro c, $\frac{5}{112{r}^{6}}$ pro d, &c {sic}; orietur $y=z-\frac{{}^{3}}{6rr}+\frac{{z}^{5}}{120{r}^{4}}-\frac{{z}^{7}}{5040{r}^{6}}+\text{&c}$. Alterū modum regrediendi ab areis ad lineas rectas celare statui.

Ubi dixi omnia pen{illeg}|e| Problemata solu{illeg}|b|i{illeg}|l|ia existere, volui de ijs præsertim intelligi circa quæ Mathematici se hactenus occuparunt |vel saltem in quibus ratiocinia mathematica locum aliquem {obtinerent} obtinere possunt|. Nam alia sanè adeo perplex{illeg}|i|s conditionibus implicata excogitare liceat ut non satis comprehendere valeamus, et multò minus tantarum computationū onus sustinere \quod ista requirerent/. Attamen ne nimium dixisse videor, inversa de Tangentibus Problemata sunt in potestate aliaq illis difficiliora ad qu{illeg}|æ| solvenda usus sum duplici methodo, unâ concinniori alterâ generaliori: utramq visum est impresentia literis transpositis consignare. ne propter alios idem obtinentes, institutum in aliquibus mutare cogerer. 5accd et 10effh11i4l3m9n6oqqr8s11t9v3x: 11ab3cdd10e et g10ill4m7n6o3p3q6rss11t8vx, 3ac et 4egh5i4l4m5n8oq4r35614vaadd et eeeeeiijmmnnooprrrsssssttuu.

Inversum hoc Problema de tangentibus quando tangens inter punctū contactus est et axem figuræ est datæ longitudinis, non indiget his methodis. Est tamen curva illa mechanica, cujus determinatio pendet ab area Hyperbola. Ejusdem generis est etiam Problema quando pars axis inter tangentem et d|o|rdinatim applicatam datur longitudine. Sed hos casus vix numeraverim <9v> inter ludos natur{æ. Nam si in triangulo rec}tangulo quod ab illa axis parte, et tangente {ordinatim applicata constitu}itur, relatio duorū quorumlibet laterum per {æquationem quamlibet defini}tur, Problema solvi potest absq mea methodo generali {sed ubi pars axis ad punct}ū aliquod positione datū terminata ingreditur vinculū t{unc res aliter }se habere solet.

Communicatio {illeg}|R|esolutionis affectarū æquationum per methodum Leibnitij pergrata erit, juxta et explicatio quomodo se gerat ubi indices potestatum sunt fractiones ut in hac æquatione $20+{x}^{\frac{3}{7}}-{x}^{\frac{6}{5}}{y}^{\frac{2}{3}}-{y}^{\frac{7}{11}}=0$ |$20+{x}^{\frac{3}{7}}$|, aut surdæ quantitates ut in hac ${\stackrel{‾}{{x}^{\sqrt{}2}+{x}^{\sqrt{}7}|}}^{\sqrt{}③\frac{2}{3}}=y$ |${\stackrel{‾}{{x}^{\sqrt{}2}+{x}^{\sqrt{}7}|}}^{\sqrt{}③\frac{2}{3}}=y$|, ubi $\sqrt{}2$ et $\sqrt{}7$ non designant coefficientes ipsius x sed indices potestatū seu dignitatum ejus et $\sqrt{}③\frac{2}{3}$ indicem dignitatis binomij ${x}^{\sqrt{}2}+{x}^{\sqrt{}7}$. Res credo mea methodo patet, aliter descripsissem. Sed meta tandem prolixæ huic Epistolæ ponenda est. Literæ sanè excellentissimi Leibnitij valde dignæ erant quibus fusius hocce responsū darem. Et volui hac vice copiosior esse quia credidi amœniora tua negotia severiori hocce scribendi genere non debere a me crebro interpellari. D. Leibnitio et D. Tschurhausio {sic} me commendatū habe.

[Editorial Note 1] Folios 4-5 are a revision, in Newton's hand, of a passage beginning with the last two lines of f. 2v, and running through ff. 3r, 3v, 6r, 6v and 7r of the document as currently paginated. The revised passage appears to have been inserted between two of the pages (ff. 3v and 6r) of the text it is intended to replace. It ends 'morem meum universaliter usurpandi li' and dovetails into the same text string in the fourth paragraph of f. 7r.

[Editorial Note 2] Here Newton's intervention ends and the original text resumes, following on directly from the end of f. 3v.

[Editorial Note 3] At this point, Newton's revised text on ff. 4-5 rejoins the main text.