<1r>

Vir digni{sime}

{Quanta cum voluptate legi Epistolas} {illeg}rissimorū Clarissimorū virorū D. Leibni{tij & D. Tschurnhausij vix dixerim. Perele}gans Sane est Leibnitij methodus perveni{endi ad series convergentes, & satis ostendisse}t ingeniū Authoris etsi nihil aliud scripsisset. Sed qu{æ} al{ibi per Epistolam sparguntur suo} nomine dignissima, efficiunt etiam ut ab eo speremus maxima. Diversitas {mod}orū quibus eodem tenditur, eò magis {illeg} \placuit/, quod mihi tres methodi perveniendi ad ejusmodi series innotuere, et tamen illa Leibnitij ante lectas literas ejus penitus {me latuit} |adeò ut novam nobis communicandam vix expectarem.| Unam \e meis/ priùs descripsi, jā addo aliam. illā sc: quâ primùm incidi in has series: nam incidi in eas antequam scirem divisiones et extractiones radicū qui{illeg}|b|us jam utor. et hujus explicatione pendendum est fundamentū Theorematis sub initio Epistolæ prioris positi quod D. Leibnitius a me desiderat.

Sub initio studiorū meorū Mathematicorū ubi incideram in opera Celeberrimi Wallisij nostri, considerando series quarum intercalatione ipse exhibet aream circuli, et Hyperbolæ, utpote quod in serie curvarū quarū basis sive axis communis sit x, et ordinatim applicatæ, 1xx|02.1xx|12.1xx|22.1xx|32.1xx|42.1xx|52.&c. si areæ alternarū quæ sunt x.x13x3.x23x3+15x5.x33x3+35x517x7&c interpolari poss{illeg}\e/nt, haberemus areas intermediarū quarū prima 1xx|12 est circulus: ad has interpolandas notabam, quod in omnibus primus terminus esset x, quodq secundi termini 03x3.13x3. 23x3.33x3&c essent in Arithmeticâ progressione, & proinde quod dui|o| primi termini serierū intercalandarū deberent esse x12x33.x32x33.x52x33&c. Ad reliquas intercalandas considerabam quod denominatores 1.3.5.7&c erant in arithmeticâ progressione, et proinde quod {illeg} primi {illeg} adeoq solæ numeratorū coefficientes numerales restabant investigandæ. Hæ autem in alternis datis areis erant figuræ potestatū numeri 11 nempe \harum/ 11|0.11|1.11|2.11|3.11|4. hoc est primò 1. dein 1,1. tertiò 1.2.1. quarto 1.3.3.1. quinto 1.4.6.4.1. Quærebam itaq quomodo in his seriebus {illeg} /ex\ datis duab primis figuris reliquæ derivari possent, et inveni quod positâ secundâ figura m, reliquæ producerentur per continuam multiplicationē terminorū hujus seriei m01×m12×m23×m34×m45&c. E. gr. sit m=4, et erit 4× 4×m12 hoc est 6 tertius terminus, & 6×m23 hoc est 4 quartus, et 4×m34 hoc est 1 quintus, & 1×m45 {illeg}. hoc est 0 sextus, quo series in hoc casu terminatur. Hanc regulam itaq applicui ad series interserendas et cùm pro circulo secundus terminus esset 12x33, posui m=12, et prodierunt termini 12×1212 sive 18, 18× 1223 sive +116, 116×1234 sive 5128 & sic in infinitū. Unde cognovi desideratā aream segmenti circularis esse x12x33 18x55116x775128x99&c. Et eadem ratione prodierunt etiam interserendæ areæ reliquarum curvarū, ut et area Hyperbolæ et cæterarū alternarū in hac serie 1+xx|02,1+xx|12 1+xx|22.1+xx|32&c. Et eadem est ratio intercalandi alias series idq per intervalla duorū pluriumve terminorū simul deficientium. Hic fuit primus meus ingressus in has meditationes: qui memoriâ sane exciderat nisi oculos in adversaria quædam ante paucas septimanas retulissem.

Ubi verò hæc didiceram mox considerabam terminos 1xx|02.1xx|22.1xx|42.1xx|62&c hoc est 1.1xx.12xx+x4.13xx. +3x4x6&c eodem modo interpolari posse ac areas ab ipsis generatas: et ad hoc nihil aliud requiri quam omissionem <1v> denominatorū 1,3,{5,7&c. in terminis exprimentibus areas;} hoc est coefficientes terminorū qua{ntitatis intercalandæ 1xx|12}{x12}, vel 1xx|32 vel generaliter {1xx|m, prodire per continuam } multiplicationē terminorū hujus seriei {m×m12×m23 ×m34&c} {illeg} ×m23×m34 {illeg} Adeo ut e.g. 1xx|12 valeret {112x218x4} 116x6&c et 1xx|32 valeret 132xx+38x4+116x6&c et 1xx|13 valeret 113xx19x4581x6&c. Sic itaq innotuit mihi generalis reductio radicalium in infinitas series per regulam illam quam posui initio Epistolæ prioris antequam scirem extractionem radicū. Sed hac cognita non potuit altera me diu latere: nam ut probarem has operationes multiplicavi 112x218x4116x6&c in se, et factū est 1xx terminis reliquis in infinitū evanescentibus per continuationem seriei. Atq ita 113xx19x4581x6&c bis in se ductum produxit etiam 1xx. Quod ut certa fuit harum conclusionū demonstratio, sic me manu duxit ad tentandū e converso, num hæ series quas sic constitit esse radices quantitatis 1xx non possent inde extrahi more Arithmetico. et res bene successit. Operationis 1xx(11112xx18x4116x6&c forma in quadraticis radicibus hæc erat. 1xx(11112xx18x4116x6&c 1xx 0xx 0xx+14x4 0xx14x4 0xx14x4+18x6+164x8 0xx140418x6164x8.
His perspectis neglexi penitus interpolationem serierū et has operationes tanquam fundamenta magis genuina solummodo adhibui. Nec latuit reductio per divisionem, res utiq facilior. Sed et resolutionem affectarum ǽqu{illeg}ationū mox aggressus sū eamque obtinui. Unde simul ordinatim applicatæ, segmenta axium aliæq quælibet rectæ ex areis curvarum vel arcubus datis innotuere. Nam regressio ad hæc nihil indigebat præter resolutionem æquationū quibus areæ vel arcus ex datis rectis dabantur.

Eo tempore pestis ingruens coegit me hinc fugere et alia cogitare. Addidi tamen subinde condituram quandam Logarithmorū ex area hyperbolæ, quam hic subjungo. Sit dFD Hyperbola cujus centrū C, vertex F, & Figure quadratum interjectū CAFE=1. In CA cape AB, Ab hinc inde =110 sive 0.1, & erectis perpendiculis BD, bd ad Hyperbolā terminatis, erit Semisumma Spatiorū AD et Ad=0.1+0.0013+0.000015+0.00000017&c et semidifferentia =0.012+0.00014+0.0000016+0.000000018&c. Quaæ reductæ sic se habent,
0.100000000000 0.100333333333 0.100002000000 0.100000142857 0.100000001111 0.100000000009 00000 0.0050000000000 0.1000250000000 0.1000001666666 0.1000000012500 0.1000000000100 0.1000000000001 <2r>
{ 0.100335477310000000.0050251679267 }
Horu{m summa 0.1053605156577 e}st Ad et differentia 0.0953101798 043 est AD {et eadem ratione positi}s AB, Ab hinc inde =0.2, obtinebitu{illeg}|r| Ad=0.2231435{51} 3142, et AD= 0.1823215567939. Habitis sic Logarithmis Hyperbolicis num{illeg}|e|rorum quatuor decimaliū 0.8, 0.9, 1.1, & 1.2. cùm sit 1.20.8×1.20.9=2, et 0.8 et 0.9 sint minores unitate, adde Logarithmos illorū ad duplum Logarithmi 1.2, et habebis 0.6931471805597 Logarithmū hyperbolicū numeri 2. cujus triplo adde Log. 0.8, siquidem sit 2×2×20.8=10, et habebis 2.3025850929933 Logarithmū numeri 10, indeq per additionem simul prodeunt Logarithmi numerorū {illeg}|9| et 11; adeoq omniū primorū horum 2,3,5,11 Logarithmi in promptu sunt. Insuper ex sola depressione num{illeg}|e|rorū superioris computi per loca decimalia, et additione obtinentur Logarithmi decimalium 0.98, 0.99, 1.01, 1.02, ut et horum 0.998, 0.999, 1.001, 1.002, & inde per additionē et substractionem prodeunt Logarithmi {illeg} \primorum 7.13.17.37&c. Qui una {illeg}|cu|m superioribus per Logarithmum numeri 10 divisi evadunt veri/ |Logarithmi in| Tabulam inserendi. Sed hos postea p{illeg}|r|opius obtinui.

Pudet dicere ad quot figurarū loca has computationes otiosus eo tempore perduxi. Nam tunc sanè nimis delectabar inventis hisce. Sed ubi prodijt ingeniosa illa N. Mercatoris Logarithmotechnia (quem suppono sua primum invenisse) cœpi ea minùs curare, suspicatus vel eum nosse extractionē radicū æquò ac divisionem fractionū, vel alios saltem, divisione patefacta, inventuros reliqua priusquam ego ætatis essem maturæ ad scribendū. Eo ipso tamen tempore quo liber iste prodijt communicatum est a D. Barrow tunc Matheseos \per amicum/ Professore ad \cum/ D. Collinsio {illeg}, compendium quoddam methodi harum serierū in quo significaveram areas, et longitudines curvarum omnium et solidorū superficies et segmenta {quævis} \contenta/ ex datis rectis vice versa ex his datis rectas determinari posse, et methodū ibi indicatam illustraveram diversis seriebus. Suborta deinceps inter nos epistolari consuetudine, D. Collinsius vir in rem mathematicā promovendam natus, non destitit suggerere ut hæc publici juris facerem: et ante annos quinq cum suadentibus amicis concilium cœperam edendi tractat{illeg}|ū|{sic} de refractione Lucis, et coloribus quem tunc in promptu habebam; cœpi de his seriebus iterum cogitare, et tractatum de ijs {iterum} \etiam/ conscripsi, ut utrumq simul ederem. Sed ex occasione Telescopij Catadioptrici epistola ad te missâ. quâ breviter explicui conceptus meos de natura lucis, inopinatū quiddam effecit ut mei interesse sentirem ad te festinanter scribere de impressione istius Epistolæ. Et subortæ statim per diversorū epistolas Objectionibus aliisq refertas crebræ interp{illeg}|e|llationes me prorsus a consilio deterruerunt, et efficerunt ut me arguerem imprudentiæ quod umbram captando eatenus perdideram quie{illeg}|t|em meam rem prorsus substantialem.

Sub id tempus Gregorius ex unica tantùm serie quadam e meis q{illeg}|u|am D. Collinsius ad eum transmiserat, post multam considerationem ut ad Collinsiū rescripsit pervenit ad eandem methodum {illeg} & tractatū de ea reliquit quem {spectamus} speramus ab amicis ejus editum iri, siquidem pro <2v> ingenio quo polle{bat non potuit non adjicere de suo mu}lta quæ rei mathematicæ interest ut non pere{ant ipse autem tractatum meum} non penitus absolver{illeg}|a|m ubi destiti a proposito, {neque in hunc usque diem mens rediit ad} reliqua adjicienda. Deerat quippe pars illa qua decr{everam explicare modum solve}ndi Problemata quæ ad Quadraturas reduci nequeunt licet {aliquid de fundame}nto ejus posuissem.

Cæterum in tractatu ipso \isto/ series infinitæ non magnam partem obtinebant Alia haud pauca congessi, inter quæ erat methodus ducendi tangentes quam Solertissimus Slusius ante annos duos tresve tibi communicavit, de quâ tu, suggerente Collinsio, rescripsisti eandem mihi ibi inno etiam innotuisse. Diversa ratione in eam incidimus. Nam res non eget demonstratione prout ego operor. Habito meo fundamento nemo potuit tangentes aliter ducere, nisi volens de recta viâ deviaret. Quinetiâ non hic hæretur ad æquationes radicalibus unam vel utramq indefinitā quantitatem involventibus utcunq affectas, Sed absq aliquâ talium æquationū reductione (quæ opus plerumq redderet immensū) tangens confestim ducitur. et eodem modo se res habet in quæstionibus de {illeg}|M|aximis et Minimis, alijsq quibusdam de quibus jam non loquor. Fundamentum harū operationū Fundamentum harū operationum satis obvium quidem, quoniam jam non possunt|m| explicationem ejus prosequi sic potius celavi. 6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8f12vx. Hoc fundamento conatus sum etiam reddere speculationes de Quadratura curvarum simpliciores, perveniq ad Theoremata quædam generalia. et ut candide agam ecce primum Theorema.

Ad c|C|urvā aliquam sit dzθ×e+fzη|λ ordinatim applicata termino diametri seu basis z normaliter insistens: ubi literæ d, e, f denotant quaslibet quantitates datas, & θ, η, λ indices potestatū sive dignitatum quantitatū quibus affixæ sunt. Fac θ+1η=r. λ+r=s. dηf×e+fzη|λ+1=Q. & rηη=π, & area Curvæ erit Qinzπsr1s1×eAfzη+r2s2×eBfzηr3s3×eCfzη+r4s4×eDfzη&c literis A,B,C,D&c dei|n|o denotantibus terminos proximè antecedentes, nempe A terminum zπs, B terminum r1s1×eAfzη &c. Hæc series ubi r fractio est vel numerus negativus continuatur in infinitum: ubi vero r integer est et affirmativus continuatur ad tot terminos tantùm quot sunt unitates in eodem r, et sic exhibet geometricam quadraturam c|C|urvæ. Rem exemplis illustro.

Ex. 1. Proponatur Parabola cujus ordinatim applicata sit az. Hæc in formam regulæ reducta fit z0×0+az1|12. Quare est d=1. θ=0. e=0. f=a. η=1. Adeoq r=1. s=112. Q=1a×az|32. π=0. et area quæsita 1a×az|32in1112, hoc est, 23zaz. Et sic in genere si czη ponatur ordinatim applicata, prodibit area cη+1zη+1 {illeg}{.}

Ex {illeg}|2.| Sit ordinatim applicata a4zc42cczz+z4 hæc per reductionem fit a4z×cczz|2, vel etiam a4z3×1+ccz2|2. In priori casu est d=a4. θ=1. e=cc. f=1. η=2. λ=2. Adeoq r=1. s=1. Q=a42×cczz|1 hoc est =a42cc2zz. π=0. Et area curvæ =Qinz01 id est {illeg} =a42cc2zz. In secundo autem casu est d=a4. θ=3 e=1. f=cc. η=2. λ=2. r=1. s=1. Q=a42cc×1+ccz2|1 id est =a4zz2c42cczz. {illeg} \π=0./ Et Area =Qinz01 hoc est = {illeg} a4zz2c42cczz. Area his casib diversimodè <3r> exh{ibetur computatur a diversis} finibus quorum assignatio per hos inven{tos valores arearum facilis est.}

Exempl{um 3. Sit ordinatim applicata a5z5×} bz+zz, hoc est per reductionem ad debitam {formam vel a5z92×b+z|12} vel a5z4×1+bz1|12. Et erit in priori casu {d=a5. θ=92.} e=b. f=1. η=1. λ=12 adeoq r=72 &c. Quare cum r non sit numerus affirmativus, procedo ad alterū casū. Hic est d=a5. θ=4. e=1{illeg}. f=b. η=1. λ=12. adeoq r=3. s=312. Q=a5b×{illeg} 1+bz1|32, seu =a5z+a5bbzz zz+bz, π=2. Et area =Qin z23122212×z1312b+1112×z212×z0312bb hoc est =30bb+24bz16zz105bbzz× a5z+a5bbzzzz+bz.

Exempl. 4 Sit deniq ordinatim applicata bz13c33 accz23+3aacz43a3z2 Hæc ad formam {illeg}|R|egul{illeg}|æ| reducta f{illeg}it bz13×caz23|35. Indeq est d=b. θ=13. e=c. f=a. η=23. λ=35. r=2. s=75. Q=3b2a× {illeg} × caz23|25. Quod si res non successisset in hoc casu π=23. Et area =Q×5z237 52×5c7a, id est 30abz23+75bc28aa×caz23|25. Quod si res non successisset in hoc casu, existente r vel fractione vel numero negavitivo {sic}, tunc tentassem alterum casum purgando terminū az23 in ordinatim applicata a coefficiente z23, hoc est reducendo ordinatim applicatam ad hanc formam bz115×a+cz23|35. et si r in neutro casu fuisset{illeg} numerus integer et affirmativus conclusissem curvam ex earum numero esse quæ non possunt Geometricè quadrari. Nam quantū animadverto, hæc Regula exhibet in finitis æquationibus areas omniū Geometricam quadratura admittentiū Curvarū, quarū ordina{illeg}tim applicatæ constant ex potestatib, radicibus, vel quibuslibet dignitatibus binomij cujus{illeg}|c|\u/nq.

At quando hujusmodi Curva aliqua non potest Geometricè quadrari sunt ad manus alia Theoremata pro comparatione \e/jus cum Conic{illeg}|i|s Sectionibus vel saltem cū alijs figuris simplicissimis quibuscū potest comparari \ad quod sufficit \etiam/ hoc ipsū \unicū/ jam descriptum Theorema/. Sic et pro trinomijs \etiam/ et alijs quibusdam Regulas quasdem continuavi. Sed in simplicioribus vulgoq celebratis figuris vix aliquid relatu dignū reperi quod evasit aliorū conatus, nisi fortè longitudo Cissoidis ejusmodi censeatur. Ea sic construitur.

Sit VD Cissois, AV diameter circuli ad quem aptatur, Figure V vertex, AF Asymptoton|s| ejus, ac DB perpendiculare quodvis ad AV demissū. Cum semiaxe AF=AV, et semiparametro AG=13AV describatur Hyperbola FkK, et inter AB et AV sumpta AC media proportionali, erigantur ad C et V perpendicula Ck et VK Hyperbolæ occurrentia in k et K et agantur rectæ KT et kt tangentes Hyperbolam in eisdem K et k et occurrentes AV, in T ac t, et ad AV <3v> constituatur rectangulum {AVnm æquale spatio TK,} kt; et Cissoidis VD longitudo erit sex{tupla altitudinis Vn demonstrat}io perbrevis est, sed ad infinitas series redeo.

Quamvis multa rest{illeg}|e|nt {investiganda circa modos} approximandi, et diversa serierum genera quæ possunt {ad id conducere, tamen} vix cum D. Tschurnhausio speraverim dari posse aut simpliciora aut magis generalia fundamenta reducendi quantitates ad hoc genus serierū de quo agimus quam sunt divisiones, et extractiones radicū quibus Leibnitius et ego utimur: saltem non generaliora quia pro d|q|uadraturâ et Euthunsi Curvarum ac similibus, nullæ possunt dari series ex hisce simplicibus terminis Algebraicis, unicam tanta indefinita quantitatem involventibus constantes quas non licet hac methodo colligere nā non possunt esse plures hujusmodi convergentes series ad idem determinandū quàm sunt indefinitæ quantitates ex quarū potestatibus series conflentur, et ego quidem ex adhibita quacunq indefinita quantitate seriem novi colligere et idem credo Leibnitio in potestate esse. nam quamvis mea methodo liberū sit eligere pro conflanda serie quantitatem quamlibet indefinitā a qua quæsitū dependeat, et methodus quam ipse nobis communicavit determinata videatur ad electionem talium indefinitarum quantitatū quibus opus commodè deduci potest ad fractiones qu{illeg}|{æ}| per solam divisionem evadant series infinitæ: tamen aliæ quæcunq indefinitæ quantitates pro seriebus conflandis adhiberi possunt per methodum istam quâ affectæ \æ/quationes resolvuntur, dummodo resolvantur in proprijs terminis hoc est conficiendo s{illeg}|e|riem ex solis terminis {quos} æquatio involvit. Præterea non video cur dicatur his divisionibus et extractionibus Problemata resolvi per accidens siquidem hæ operationes eodem modo se habeant ad hoc genus Algebræ ac vulgares operationes Arithmeticæ ad Algebram vulgo notam. Quod autem ad simplicitatem methodi attinet, nolim fractiones et radicales absq præviâ reductione semper resolvi in series infinitas. Sed ubi perplexæ quantitates occurrunt tentandæ sunt omnimodæ reductiones, sive id fiat augendo, minuendo, multiplicando, vel dividendo quantitates indefinitas, sive per methodū transmutatoriam Leibnitij aut alio quocunq modo qui occurrat. Et tunc resolutio in series per divisionē et extractionem optimè adhibebitur. Hic autem præcipuè intendum est ut Denominatores fractionū et quantitates in vinculo radicū reducantur ad quam paucissimas et minimè compositas, & \et/ ad tales etiam quæ in seriem abeant citissimè convergentē, etsi radices neq convertantur in fractiones, neq deprimantur. Nam per regulā initio alterius Epistolæ, extractio altissimarū radicum æque simplex et facilis est ac extractio radicis quadraticæ vel divisio. et series quæ per divisionē eliciuntur solent minimè omniū convergere. Hactenus de seriebus, unicā indefinitam quantitatem involventibus locutus sū. Sed possunt etiam perspecta methodo series ex duabus vel pluribus assignatis definitis quantitatibus pro arbitrio confici. Quinetiam beneficio ejusdem methodi possunt series ad omnes figuras conduci efformari Gregorianis ad Circulum et Hyperbolā editis persimiles \affines/, hoc est quarū ultimus terminus exhibebit quæsitā aream. Sed

[Editorial Note 1] <4r>

π=0. {Et Area =Qinz01 hoc est} =a4zz2c42cczz. Area his casibus diversimode e{xhibetur computatur} a diversis finibus, quorum assignatio per hos {inventos valores arearum fa}cilis est.

Ex. 3. {Sit ordinatim applicata} a5z5× bz+zz hoc est per reductionem ad debitam {formam vel a5z92}×b+z|12, vel a5z4×1+bz1|12. Et erit in priori {casu d=a5.} θ=92. e=b. f=1. η=1. λ=12. adeoq r=72 &c. Quare cùm r non sit numerus affirmativus, procedo ad alterum casum. Hic est d=a5. θ=4. e=1. f=b. η=1. λ=12. adeoq r=3. s=312. Q=a5b×1+bz1|32, seu =a5z+a5bbzz zz+bz, π=2. Et area =Qin z23122212×z1312b+1112×z212×z0312bb hoc est =30bb+24bz16zz105bbzz× a5z+a5bbzzzz+bz.

Ex. 4. Sit deniq ordinatim applicata bz13c33 accz23+3aacz43a3zz. Hæc ad formam Regulæ redacta fit bz13×caz23|35. Indeq est d=b. θ=13. e=c. f=a. η=23. λ=35. r=2. s=75. Q=3b2a××caz23|25, π=23. Et area =Q×5z23752×5c7a, id est 30abz23+75bc28aa×caz23|25. Quod si res non successisset in hoc casu, existente {illeg} r vel fractione vel numero negativo, tunc tentassem alterum casum purgando terminum az23 in ordinatim applicata a coefficiente z23, hoc est reducendo ordinatim applicatam ad hanc formam bz115×a+cz23|35. Et si r in neutro casu fuisset numerus integer & affirmativus, conclusissem curvam ex earum numero esse quæ non possunt geometricè quadrari. Nam quantum animadverto, hæc Regula exhibet in finitis æquationibus areas omnium geometricam quadraturam admittentium Curvarum, quarum ordinatim applicatæ constant ex potestatibus, radicibus, vel quibuslibet dignitatibus binomij cujuscunque.

At quando hujusmodi Curva aliqua non potest Geometricè quadrari, sunt ad manus alia Theoremata pro comparatione ejus cum Conicis Sectionibus, vel saltem cum alijs figuris simplicissimis quibuscum potest comparari. Sic et pro trinomijs & alijs quibusdam {illeg} Regulas quasdem concinnavi. Sed in simplicioribus vulgoq celebratis figuris vix quo aliquid relatu{illeg} dignum reperi quod evasit conatus aliorum, nisi fortè longitudo Cissoidis ejusm{illeg}|od|i censeatur. Ea verò sic construitur.

Sit VD Cissois, AV diameter circuli ad quem Figure aptatur, V vertex, AF Asymptoton ejus, ac DB perpendiculare quodvis ad AV demissum. Cum semiaxe AF=AV, et semiparametro AG=13AV, describatur Hyperbola FkK, et inter AB et AV sumpta AC media proportionali, erigantur ad C et V perpendicula Ck et VK Hyperbolæ occurrentia in k et K et agantur rectæ KT et kt tangentes Hyperbolam in ijsdem K et k et occurrentes AV in T ac t, et ad AV constituatur rectangulum AVnm æquale spatio TKkt; et Cissoidis VD longitudo erit sextupla altitudinis Vn. Demonstratio perbrevis est. Sed ad infinitas series redeo.

Vix {illeg} cum D. Tschunhausio speraverim dari posse aut simpliciora aut magis generalia fundamenta reducendi quantitates ad has serieres quam sunt divisiones et extractiones radicum quibus Leibnitius & ego <4v> utimur: saltem {non generaliora quia pro} quadratura et eutheunsi curvaru{m ac similibus, nullæ possunt} dari series ex \hisce/ simplicibus terminis {Algebraicis, unicam tanta indefinita quantitatem involventibus constantes quas} non licet hac methodo colligere. Nam non {possunt esse plures hujusmodi conve}rgentes series pro eodem quæsito determinando {illeg} quantitates ex {illeg} quarum potestatibus series con{flentur, et e}go quidem ex adhibita quacunque indefinita quantitate \(lineam rectam intelligo quon{illeg} cujus longitudine area determinatur/ seriem novi colligere et idem credo Leibnitio in potestate esse. Nam quamvis mea methodo liberum sit eligere pro conflanda serie quantitatem quamlibet indefinitam a cujus assumptione quantitas quæsita \redditur/ determinata{illeg} \redditur/ \{sic} qua quæsitum dependeat/, et methodus quam ipse nobis communicavit determinata videatur ad electionem talium indefinitarum quantitatū quibus opus commodè deducitur ad fractiones quæ per solam divisionem evadunt series infinitæ: tamen aliæ quæcunq indefinitæ quantitates pro seriebus conflandis adhiberi possunt per methodum istam qua affectæ æquationes resolvuntur, dummodo methodus illa semper resolvātur æquationes in proprijs terminis, hoc est co\n/f{illeg}\iciendo/ seriem ex solis terminis quos æquatio involvit. Præterea non video cur dicatur his divisionibus et extractionibus Problemata resolvi per accidens, siquidem hæ operationes eodem modo se habeant ad hoc genus Algebræ, ac vulgares operationes Arithmeticæ ad Algebram vulgo notam. Quod verò ad simplicitatem methodi attinet nolim {illeg} fractiones et radicales absq prævia reductione semper resol{illeg}|v|i in series infinitas. Regulæ non solent sic adhiberi. Sed ubi perplexæ quantitates occurrunt tentandæ sunt omnimodæ reductiones, sive id fiat augendo, minuendo, multiplicando, vel dividendo quantitates indefinitas, sive per methodum transmutatoriam Leibnitij aut alio quocunq modo qui occurrat: et tunc \vix/ speranda erit reductio \resolutio/ in serie{illeg}|s| per divisionem et extractionem optimè succedunt adhibe{illeg}tur. Dum verò locutus sum de prævijs reductionibus, non intendo ut radices semper deprimantur, \ad humiliores/ vel reducantur ad fractiones, (Nam per Regulam initio alterius Epistolæ positam, extractio altissimarum radicum æque simplex {illeg}|et| facilis est ac extractio radicis quadraticæ vel divisio, et series quæ per divisionem eliciuntur solent minimè omnium \minùs/ convergere:) {illeg} \Et proinde/ {illeg} \sufficit hoc {tantum} requiro {illeg}tantum ut/ denominatores fractionum et quantitates in vinculo radicum reducantur ad quam paucissimas et minimè compositas, {illeg} et ad tales etiam quæ in seriem abeant citissimè convergentem. Hactenus locutus {illeg} de seriebus unicam indefinitam quantitatem involventibus locutus sum: sed possunt etiam perspectâ methodo series ex duabus vel pluribus assignatis definitis quantitatibus pro arbitrio confici. Quinetiam beneficio ejusdem methodi possunt series ad omnes figuras efformari Gregorianis ad c|C|irculum et Hyperbolam editis persimiles; hoc est quarum ultimus terminus exhibebit quæsitam aream. Sed calculum hic onerosiorem nolim lubens subire. \Præsertim cum/ In hacce etiam \rerum/ varietate hoc \etiam/ nobis de{illeg}|si|t, ut ante calculum semper sciamus eligere meliora, et in series citissimè omnium convergentes incidere.

Ex eo quod D. Tschurnhausius desiderat in nostris seriem pro determinando arcu ex data Tangente, credo eum vix animadvertisse solutionem Problematis istius neutiquam per meam methodum neutiquam difficiliorem esse quam determinationes arcuum ex sinu recto et verso quas <5r> posui: {illeg} {desc}riptionem omnium particularium sed sed {sic} in {illeg} {illeg}am et alteram in diversis rerum generibus {illeg} conducere ad ostendandam universalitatem {illeg} computi ad contenta et superficies solidorum (qu{illeg} {illeg} ferè generis ac difficultatis) satis putab posui tantùm con{illeg} {illeg} segmenti{illeg} cujusdam Elliptici: ad cujus computi methodum Gregorius etiam de suo pervenit, & seriem ad me transmitti curavit. Similiter ad curvas Mechanicas instantia \in Quadratrice/ sufficere videbatur: & ad areas Geometricarum curvarum deli|e|gi \delegi/ astronomicum Problema Kepleri, missis facilioribus et elegantioribus seriebus quibus segmenta conicarum Sectionum {illeg} \ex/hibentur: {illeg} Et hoc Problema non nisi in unico casu solvi; cùm tamen diversæ ejusmodi series ad diversas partes Ellipseos aptari deberent siquis inde vellet computare Tabulas Astronomicas. Sed et ad sectionem angulorum in data ratione (quod est Problema cæteris nobilius) dedi tantum instantiam in sectione per chordas, propterea quod series pro sectione per sinus versos \&/ tangentes et secantes \vel per sinus rectas et versos {mixtum}{mixtis}/ eruuntur. Et proinde non est quod he|æ|reatis ad omissionem præfatæ seriei: cujus computum utiq ex facillimis est, & quæ (meo saltem judicio) utilitate cedit istis quas posuit. Illud enim revera simplicius est quod Problema minore labore solvit. Sic quamvis hæc æquatio {illeg} x3x=1 appareat simplicior hacce yy2y812520=20, tamen in confesso est posteriorem revera simpliciorem esse propterea quod radicem ejus y Geometra facilius eruit. Et eadem rationem series pro obtinendis arcubus circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendo sectore per sinum rectum versumve simpliciores haberi debent quam series pro obtinendo eodem sectore per Tangentem. Nam si e.g. posito radio 1 velis arcum 45gr ex tangente eruere ad usq 15 loca figurarum, opus esset 500000000000 500000000000000 terminis circiter, huius seriei 113+1517+19&c si integros terminos ejus semper adjeceris, vel dimidio numero seriei 13+135+199+1195&c quorum computo milleni anni requirerentur. At si eundem arcum ex sinu recto ad eundem locorum numerum velis computare, quadraginta termini seriei huius 12×1+112+3160+5896&c sufficerent: quorum computatio vix ultra duos tresve dies ut conjicio requireret. Et tamen hic non est optimus modus computandi totam perip{illeg}|h|eriam. Nam series ex sinu recto triginta graduum vel ex sinu verso sexaginta graduum conflata, multò citiùs dabit arcum suum, {illeg}|c|ujus sextuplum vel duodecuplum; est tota perif|p|\h/eria. Idem fit per cosecantem arcus 30gr ope hujus seriei rrx+r46x3+3r640x5+5r8112x7&c, ubi r denotat radium, et x cosecantem arcûs per seriem expressi. Neq minori labore eruitur area totius Circuli ex segmento cujus sagitta est quadrans diametri. Ejus computi specimen siquidem ad manus est, visum fuit apponere; & una adjungere aream Hyperbolæ siquidem {illeg} \quæ/ eodem calculo proderit.

Posito axe transverso =1 et sinu verso seu segmenti sagitta =x. Erit 12 segmentum HyperbolæCirculi} =x12in23x±xx5x328±x472&c. Hæc autem series sic in infinitum producitur. Sit 2x32=a. ax2=b. bx4=c. 3cx6=d. 5dx8=e. 7ex10=f. &c. Et erit 12 segm. Hyperbolæcirculi} =a3±b5c7±d9e11±f13&c, eorumq semisum <5v> ma a3c7{e11 &c et semidifferentia b5} +d9+f13&c. His ita præparatis su{ppono x esse 14 quadrant}em nempe axis et prodit a14= {0.25. b=ax2=0.251×8 =0.03125.} c=bx4=0.031252×8=0.001953125. {d=3cx6=0.0019531258=0.000244140625.} {illeg} Et sic procedo usq dum {venero ad} terminum depressimum qui potest ingredi opus. Deinde hos terminos per 3,5,79,11&c divisos dispono in duas tabulas, affirmativos \ambiguos/ in unam et negativos \ambiguos/ /negativos\ in aliā et addo ut hic vides.
+0.0833333333333333 ±0,0062500000000000 0,0000271267361111 0,0000005135169396 0,0000000144628917 0,0000000004954581 0,0000000000190948 0,0000000000007963 0,0000000000000352 0,0000000000000016 0,0000000000000001 0.0896109885646618 00000000 0.0002790178571429 0,0000034679066051 0,0000000834465027 0,0000000026285354 0,0000000000961296 0,0000000000038676 0,0000000000001663 0,0000000000000075 0,0000000000000004 0.0002825719389575
Dein a priori summa aufero posteriorem et restat 0.0893284166257043 area \semi-/segmenti Hyperbolici Addo etiam eas{illeg}|d|em summas & aggregatum aufero a primo termino duplicato 0.1666666666666666 et restat 0.0767731061630473 area \semi-/segmenti circularis. Huic addo triangulum istud quo completur in sectorem, hoc est triangulum 1323 seu 0.0541265877365274, Et habeo sectorem 60 graduum 0.1308996938995747, cujus sextuplum 0.7853981633974482, est area totius circuli, quæ divisa per 14 quadrantem diametri dat totam peripheriam 3,1415926535897928. Si alias artes adhibuissem potui per eundem numerum terminorum seriei pervenisse ad multa plura loca figurarum puta viginti quinq aut amplius; sed animus fuit hic ostendere quid per simplex seriei computum præstari posset: quod sanè haud difficile est cùm in omni opere multiplicatores ac divisores magna ex parte non majores quam 11 & nunquam majores quam 41 adhibere opus sit.

Per seriem Leibnitij etiam, si ultimo loco dimi{illeg}|d|ium termini adijciatur & alia quædam similia artificia adhibeantur, potest computum produci ad multas figuras. Sed {illeg}|o|ptimus ejus usus est quando vel conjungitur cum duabus alijs persimilibus et citissime convergentibus seriebus, vel sola adhibetur ad computandum arcum 30grad. posita tangente 13. Tunc enim series illa evadit 113×3+15×917×27+19×81&c3, quæ citò convergit. Vel si conjunges cum alijs seriebus, pone circuli diametrum =1 & a=12, et area totius circuli erit a1a33+a55a77+&c+a21 +a53a85a117+a14 9+a1711a2013a2315+&c+a41a103+a165a227+a289&c.

Hic consideravimus series quatenus adhibentur ad computandum totum circulum. Sed quando computandæ sunt partes ejus, tunc quælibet series habet proprium usum et in suo genere optimus est. Si datur Tangens haud re{illeg}|c|urrendum erit ad sinum aliquem ut inde computetur arcus, neq vice versa dato sinu quærenda erit Tangens. Sed Series dato congruens adhibenda erit, tanquam \est/ æquatio pro solvendo proprio problemata.

Credo Cl. Leibnitium vix animum advertisse seriei meæ {illeg} pro determinatione sinus versi ex dum posuit seriem pro determinatione cosinus ex arcu dato, vix animum advertisse seriei meam pro determinatione sinus versi ex eodem area, {illeg} siquidem hæc idem sunt. Neq {illeg} observasse videtur morem meum generaliter usurpandi li

<6r> [Editorial Note 2]

cal{culū hic onerosiorem nolim lube}ns subire. Possunt deniq series ex termin{is compositis eadem methodo constitui} Quemadmodū si sit aaax+x3a ordinatim {applicata curvæ alicujus pone} aaax=zz et ex binomio zzx3a extractâ radic{e prodibit z+x32axx68aaz3} &c. cujus seriei omnes termini quadrari possunt per {Theorema jam} ante descriptū. Sed hæc minoris facio quod ubi series simplices non sunt satis tractabiles, aliam nondum communicatam methodum habeo qua pro lubitu acceditur ad qu{æ}sitū. Ejus fundamentum est commoda expedita et generalis solutio hujus Problematis Curvam Geometricam describere quæ per data quodcunq puncta transibit. Docuit Euclides descriptionem c|C|irculi per tria data puncta. Potest etiam Conica sectio describi per quinque data puncta & Curva trium dimensionū per octo data puncta, ad{illeg}|e|o ut in potestate habeam {illeg} descriptionem omniū curvarū istius ordinis quæ per octo tantùm puncta determinantur. Hæc statim Geometricè fiunt nullo calculo interposito: Sed superius Problema est alterius generis. et quamvis prima fronte intractabile videatur; tamen res aliter se habet. est enim fere ex pulcherrimis quæ solvere desiderem.

Seriei a D. Leibnitio pro quadratura Conicarū Sectionū propositæ affinia sunt Theoremata quædam quæ pro comparatione Curvarū cum Co{illeg}|n|icis sectionibus in Catalogū dudū retuli. Possum utiq cū Conicis sectionibus geometricè comparare curvas omnes numero infinitas quarū ordinatim applicatæ sunt dzη1e+fzη+gz2η vel dz2η1e+fzη+gz2η &c. Aut dz12η1e+fzη+gz2η vel dz32η1e+fzη+gz2η &c. Aut dze+fzη+gz2η vel dzη1×e+fzη+gz2η &c. Aut dzη1e+fzη+gz2η vel dz2η1e+fzη+gz2η &c. Aut dzη1×e+fzηg+hzη. vel dz2η1×e+fzηg+hzη &c Aut dzη1g+hzη×e+fzη, vel dz2η1g+hzη×e+fzη &c. Aut dze+fzηg+hzη vel dzη1×e+fzηg+hzη &c
Hic d, e, f, g significant quasvis datas quantitates cum suis signis + et − affectas, z axem vel basem Curvæ, et η, 2η, 12η1, 32η1, η1, 2η1 indices potestatum vel dignitatū z sive sint affirmativi, vel negativi, sive integri vel fracti; et singula bina Theoremata sunt duo primi termini seriei in infinitū progredientis. In tertio et quarto 4eg debet esse non magis majus quam ff nisi e et g sint contrarij signi in cæteris nulla est limitatio. Horum aliqua (nempe {illeg} secundū, tertium, quartum, quintū et decimum tertium) ex areis duarū Conicarū Sectionum conjunctis constant. Alia quædam ut {illeg} \nonum/ decimū et duodecimum, sunt aliter satis composita: et omnia quidem in continuatione & progressionū citò evadunt compositissima: adeò ut vix per transmutationes figurarū quibus Gregorius et alij usi sunt absq {illeg}|u|lteriori fundamento inveniri posse putem. Ego equidem haud quicquam generale in has his obtinere potui antequam abstraherem a contemplatione figurarū et rem totā ad simplicem considerationem solarū ordinatim applicatarū reducerem sed cū hæc et his longè generaliora sint in potestate, non dubitabitur credo de binomialibus longe facilioribus quæ in his contin{illeg}entur & prodeunt ponendo tantū literam aliquā e vel f g=0, et η=1 vel 2: etsi series in quas ista resolvuntur {illeg}|no|n posuerim <6v> in epistola priori, inte{ntus non in omnia particularia enumer}anda, sed in illustrandam methodū p{er unam et alteram in singulis rerum} generibus instantiam quæ ad ostendendam ejus g{eneralitatem sufficere videbatu}r.

Cæterū hæc Theo{remata dant series plusqu}am uno modo nam primum si ponatur f=0 et η=1 {evadit de+gzz: unde} prodit series nobis communicat{illeg}|a|, sed si ponatur 2eg=ff et η=1, inde tandem obtinemus hanc seriem 1+131517+19+111113115+&c pro longitudine quadrantalis arcus cujus chorda est unitas, vel quod perinde est hanc 12+115163+1143&c pro longitudine dimidii ejus. et ha{illeg}|s| {illeg} fortè quia æque simpli{illeg}|c||es| {illeg} \sunt/ ac alteræ, et magis converg{illeg}|unt|, non repudiabitis. Sed ego rem aliter æstimo {illeg}. Illud enim melius quod utilius est et problema minori labore solvit. Sic quamvis hæc æquatio x3x=1 appareat simplicior hacce yy2y812520=20 tamen in confesso est posteriorem esse revera simpliciorē propterea quod radicem ejus y Geometra facilius eruit. et ob hanc rationem series pro obtinendis arcubus circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendis sectoribus conicarū Sectionum, pro optimis habeo quæ componuntur ex potestatibus sinuum. Nam siquis vellet per simplex computum hujus seriei {illeg} 1+131517+19+&c colligere longitudinem quadrantis ad viginti figurarum loca decimalia, opus esset 5000000000 terminis seriei circiter, ad quorū calculū milleni anni requirerentur: & res tardius obtineretur tangentem 45 grad. \juxta seriem Leibnitij nobis communicatam/ Sed adhibito sinu recto 45 grad quinquaginta quinq vel sexaginta termini hujus seriei 12×1+112+3160+5896&c sufficerent, quorū computatio tribus ut opinor vel quatuor diebus absolvi posset. Et tamen hic non est optimus \modus/ computandi totam Peripheriam nam series ex sinu recto triginta graduum vel ex sinu verso sexaginta graduum conflata, multò citiùs dabit arcū suum cujus sextuplum vel duodecuplū est tota peripheria. Neq minori labore eruitur area totius c|C|irculi ex segmento cujus sagitta est quadrans diametri. Ejus computi specimen, siqui\d/em ad manus est, visū fuit apponere & unâ adjungere aream Hyperbolæ quæ eodem calculo prodit.

Posito axe transverso =1, et sinu verso seu segmenti sagitta =x erit semisegmentū HyperbolæCirculi} =x12in23x±xx5x328±x472&c. Hæc autem series sic in infinitū producitur. Sit 2x32=a. ax2=b. bx4=c. 3cx6=d. 5dx8=e. 7ex10=f &c et erit semisegm. Hyperbolæcirculi} =a3±b5c7±d9e11±f13&c eorumq semisumma a3c7\e11/ &c et semidifferentia b5+d9+f13&c. His ita præparatis suppono x esse 14 quadrantem nempe axis et prodit a14={illeg} \0.25/. b=ax2=0.251×8 =0.03125. c=bx4=0.031252×8=0.001953125. d=3cx6=0.0019531258=0.000244140625. Et sic procedo usq dum venero ad terminū depressimum qui potest ingredi opus. Deinde hos terminos per 3,5,79,11&c respectivè divisos dispono in duas tabulas, ambiguos cū primo in unam et negativos in aliam et addo ut hic vides
0,0833333333333333 0,0062500000000000 0,0000271267361111 0,0000005135169396 0,0000000144628917 0,0000000004954581 0,0000000000190948 0,0000000000007963 0,0000000000000352 0,0000000000000016 0,0000000000000001 00000000 0,0002790178571429 0,0000034679066051 0,0000000834465027 0,0000000026285354 0,0000000000961296 0,0000000000038676 0,0000000000001663 0,0000000000000075 0,0000000000000004 <7r>
0,0896109885646618000000000,0002825719389575
Tunc a {priori suma aufero posteriorem et} restat 0,0893284166257043 area semisegmenti |Hyperbolici. Addo etiam easdem summas & aggregatum aufero a primo termino duplicato 0.1666666666666666, et restat 0.0767731061630473 area semi{illeg}|s|egmenti circularis &c| {huic addo triangul}ū istud quo completur in sectorem, h. e. triangulū 1323{, seu 0,05412658}77365274, & habeo sectorem sexaginta graduū 0,1308996938995747, cujus sextuplum 0,7853981633974482 est area totius circuli, quæ divisa per 14 quadrantem diametri dat totā peripheriam 3,1415926535897928. Si alias artes adhibuissem potui per eundem numer{illeg}|ū| terminorū seriei potuisse pervenisse ad multa plura loca figurarū, puta viginti quinq aut amplius; sed animus fuit hic ostendere quid per simplex seriei computū præstari posset: Quod sanè haud difficile est cùm in omni opere multiplicatores ac divisores magnâ ex parte non majores quàm 11 & nunquam majores quàm 41 adhibere opus sit.

Per seriem Leibnitij etiam si ultimo log \c/o dimidiū termini adijciatur, et alia quædam similia artificia adhibeantur, potest computum produci ad multas figuras. \ut et ponendo summam terminorum 117+19115+117123+125131+133&c esse ad totam seriem 113+1517+19111&c, ut 1+2 ad {illeg} 2/ Sed optimus ejus usus videtur esse quando vel conjungitur cū duabus alijs persimilibus et citissimè convergentibus seriebus, vel sola adhibetur ad computandū arcum 30 grad. posita tangente 13. Tunc enim series illa evadit 113×3+15×917×27+19×81&c3, quæ citò convergit vel si conjunges cum alijs seriebus, pone circuli diametrum =1 & a=12 & area totius circuli erit a1a33+a55a77+&c+aa1+a53a85a117+a14 9+a1711&c+a41a103+a165a227+a289+&c.

Hic consideravimus series quatenus adhibentur ad computandū totū circulum. Sed quando computandæ sunt partes ejus, tunc quælibet series habet proprium usum & in suo genere optima est. Si datur Tangens satis parva, vel satis magna, non recurrendum erit ad sinum aliquem ut inde computetur arcus, neq vice versâ. Series dato congruens est æquatio pro solvendo proprio problemate.

Credo Cl. Leibnitiū, dum posuit seriem pro determinatione cosinus ex arcu dato, vix animū advertisse \ad/ seriem meam pro determinatione sinus versi ex eodem arcu siquidem hæc idem sunt. Neq observasse videtur morem me{illeg}|u|m generaliter usurpandi literas[Editorial Note 3] pro quantitatibus cum signis suis + et − affectis, dum dividit hanc seriem zb+zz2abb+z36aab3+z424a3b4+&c. Nam cum area Hyperbolicâ BE hic significata Figure per z sit affirmativa vel negativa prout jaceat ex una vel altera parte ordinatim applicatæ BC; si area illa in numeris data sit l, & l substituatur in serie pro z, orietur vel lb+ll2abb+l36aab3+l424a3b4&c vel lb+ll2abbl36aab3+l424a3b4 &c prout l sit affirmativa vel negativa. Hoc est posito a=1=b et l logarithmo Hyperbolico: numerus ei correspondens erit 1+l1+ll2+l33+l44&c si l sit affirmativus, et 1l1+ll2l36+l424&c si l sit affirmativus negativus. Hoc modo fugio multiplicationem Theorematum quæ alias in nimiam molem crescerent. Nam v.g. illud unicum Theorema quod supra posui pro quadratura Curvarū resolvendū esset in triginta duo Theoremata si pro signorū varietate multiplicaretur.

Præterea quæ habentur de inventione numeri unitate majoris per datū Logarithmum Hyperbolicum ope seriei l1ll1×2+l31×2×3l41×2×3×4+&c potius quam ope seriei \l1+ll1×2+l31×2×3+l41×2×3×4+&c mihi quidem haud ita {eam} sunt/. Nam si unus terminus adjiciatur amplius ad seriem posteriorem quam ad priorem posterior magis appropinquabit. Et certè minor est labor computare unam vel duas primas figuras adjecti hujus termini quā dividere unitatem per prodeuntem logarithmū Hyperbolicū ad multa figurarū loca extensum, ut inde obtineatur Logarithmus {illeg} Hyperbolicus quæsitus. <7v> \quæsitus/ Utraq igitu{r series (si duas di{illeg}cere fas est \sit/) officio suo} {illeg} fungatur Potest tamen l1+l31×2×3+{l51×2×3×4×5+&c series ex dimidiá} parte terminorū constans optimè adhiberi siquidem hæ{c dabit semidifferentiam duorum} numerorū ex qua et rectangulo dato uterq datur. Sic & ex {serie l1+ll1×2+l41×2×3×4} &c datur semisumma numerorum indeq etiam numeri. Unde prodit relatio serierū inter se quâ ex unâ datâ dabitur altera.

Theorema de inventione arcûs ex dato cosinu, ponendo radium 1, cosinum c, & arcum 624c+12, minus appropinquat quàm prima fronte videtur. Posito quidem sinu verso v, error erit v390+v4194+&c. Potest fieri ut 12027v ad 12017v ita chorda 2v ad arcum, et error erit tantū 61v32044800 circiter qui semper minor est quam 514 minuta secunda, dum arcus non sit major quàm 45gr. & singulis etiam bisectionibus diminuitur 128 vicibus

Series a31×2×3a51×2×3×4×5+a71×2×3×4×5×6×7&c applicari posset ad computationem Tabulæ segmentorū ut observat vir c|C|larissimus, sed res optimè absolvitur per Canonem sinuum. Utpote cognitâ quadrantis areâ, per continuas additionē nonæ partis ejus habebis sectores ad singulos decem gradus in semicirculo, dein per continuam additionem {illeg} \decimæ partis/ partis {sic} \h/ujus habebis sectores ad gradus: et sic ad decimas partes graduum et ultra procedi procedi {sic} potest. |{illeg} Eodem modo Leibnitius collegit seriem a31×2×3a51×2×3×4×5{.}| Tunc, radio existente 1, ab uno quoq sectore et ejus complemento ad 180gr aufer dimidium communis sinus recti & relinquentur segmenta in Tabulam referenda. Cæterum quamvis series hic non prosint, in alijs tamen locum obtine\n/t; et quoniam hoc ad earū usum spectat, non gravabor in aliquibus attingere.

Constructionem Logarithmorum non aliunde peti debere, credetis fortè ex hoc simplici processu qui ab istis pendet. Per methodum supra traditam quærantur Logarithmi Hyperbolici numerorum 10, 0.98, 0.99, 1.01, 1.02: id quod fit spatio unius et alterius horæ. dein divisis Logarithmis quatuor posteriorum per Logarithmum numeri 10, & addito indice 2, prodibunt veri Logarithmi numerorū 98, 99, 100, 101, 102, in Tabulam inserendi. Hi{illeg} per dena intervalla interpolandi sunt, et exibunt Logarithmi omnium numerorum inter 980. & 1020 & omnibus inter 980 et 1000 iterum per dena intervalla interpolatis habebitur Tabula eatinus constructa. Tunc ex his colligendi erunt Logarithmi omnium primorum numerorū et eorū multiplicium minorum quàm 100: ad quod nihil requiritur præter additionem et substractionē siquidem sit
9984×10209945=2. 8×9963984=3. 102=5. 982=7. 999=11. 10017×11=13. 1026=17. 9884×13=19. 993616×27=23. 9862×17=29. 99232=31. 99927=37. 98424=41. 98923=43. 98727=47. 991111×17=53. 997113×13= 59. 98822×81=61. 98493×49=67. 99414=71. 99288×17=73. 99547×18 =79. 99612=83. 99687×16=89. 98946×17=97 et habitis sic Logarithmis omnium numerorum minorum quàm 100, restat tantùm hos etiam semel atq iterum per dena intervalla interpolare.

Constructionis Tabulæ sinuum a qua pendet tota res Trigonometrica \fundamentum optimū/ est continua additio dati anguli ad seipsum vel ad alium {illeg} datum. Utpote in angulo addendo BAE inscribantur HI, IK, KL, LM, MN, NO, OP, <8r> &c {æquales radio AB: et ad opposita later}a demittantur perpendicula BE, HQ, {IR, KS, LT, MV, NX, OY, &c. et} angulorum HIQ, IKH, KLI, LMK &c differenti{æ erunt angulus A,} Figure sinus HQ, {IR, KS &c. et cosinus} IQ, KR, LS, &c. {detur jam aliquis} eorum LMK. et cæteri sic eruentur. Ad SV, et MV demitte perpendicula Ta & Kb, et propter sim. tri. ABE, TLa, KMb, ALT, AMV &c erit AB.BETL.La=SLLV2.KT12KM.12Mb=MVKS2. Et AB.AEKT.Sa=00 SL+LV2TL.Ta=KS+MV2. Unde dantur sinus et cosinus KS, MV, SL, LV, et simul pate{illeg}t ratio continuandi progressiones. Nempe AB.2AELV.TM +MXMX.VN+NY &c MV.TL+XNXNMV+OY &c. Vel AB.2BELV.XNTLMV.TMMXMX.OYMVXN.VNNY &c et retro AB.2AELS.KT+RK &c. |+ Pone ergo AB=1, et fac BE×TL=La, AE×KT=Sa. SaLa=LV. 2AE+LVTM=MX, &c.| Sed nodus est inventio sinus et cosinus anguli A. Et hic subveniunt series nostræ. Utpote cognito ex superioribus Quadrantalis arcus longitudine 1.57079 &c et simul quadrato ejus 2.4694 &c; divide quadratū hoc per quadratum numeri exprimentis rationem 90gr ad ang. A: et quoto dicto z, tres vel quatuor primi termini huius seriei 1z2+zz24z3720+z440320&c dabunt cosinū istius anguli A. Sic primo quæri potest angulus 5gr et inde Tabula computari ad quinos gradus, ac deinde interpolari ad gradus vel dimidios gradus per eandem methodum: nam non convenit progredi per nimios saltus. Duæ tertiæ partes {illeg}|T|abulæ sic computatæ dant reliquam tertiam partem per additionem vel substractionem more noto, siquidem posito KT cosinu 60gr sit AE=SV et BE=Mb. Tunc ad decimas et centesimas partes graduū pergendum est per aliam methodum, substitutis tamen prius Logarithmis sinuum inventorū si ejus generis {illeg}|T|abula desideretur.

Ad computum Tabularum Astronomicarū Kepleri posui fundamentū quoddam in alterâ Epistola. Ejus seriei tres primi termini et aliquando duo sufficiunt. Sed ad diversas partes Ellipseos diversæ ejusmodi series aptari debent. Vel potiùs tales series computandæ sunt quæ ex data area sectoris Ellipticæ BGE, immediatè exhibeant aream sectoris circuli cujus angulus est BEG, radius CB. Et habitis hisce, computū earum ad duos tres vel fortè quatuor terminos beneficio Logarithmorū haud gravius erit quam solita resolutio tot triangulorū in alijs Hypothesibus: imo forte minùs grave si series prius debitè concinnentur. siquidem unus Logarithmus e Tabula petitus determinet omnes istos terminos addendo ipsum et ejus multiplices ad Logarithmos datorū coefficientiū in promptu habitos. Quæ de hoc genere Tabularū dicuntur, ad alias transferri possunt ubi ratiocinia Geometrica locum non obtinent. sufficit autem per has series computare triginta, vel viginti vel aut fortè pauciores terminos Tabulæ in debitis distantijs, siqui{illeg}|de|m termini intermedij facilè interseruntur per Methodū quandam quam in usu c|C|alculatorum ferè hic descripsissem. Sed pergo ad alia.

Quæ Cl. Leibnitius a me desiderat explicanda, ex parte supra descripsi. Quod verò attinet ad inventionem terminorū p, q, r, in extractione radicis {illeg}|af|fectæ, primum p sic eruo. Descripto angulo recto BAC, latera <8v> {ejusBA, AC divi}do in partes æquales {et inde norm}ales erigo distribuentes angu{lare spa}tium in æqualia parallelogram{ma vel} quadrata, quæ concipio de{n}ominata esse a dimensionibus duarum indefinitarū specierum, puta x et y, regulariter ascendentium a termino A prout vides in fig. 1 inscriptas: ubi y denotat radicem extrahendā et x alteram indefinitam quantitatem ex cujus potestatibus series constituenda est. Deinde cùm æquatio aliqua proponitur, parallelogramma singulis ejus terminis correspondentia insignio nota aliquâ: et Regulâ ad duo vel fortè plura ex insignitis parallelogrammis applicatâ quorū unum sit humillimū in columna sinistrâ juxta AB: et alia ad regulam dextrorsū sita, cæteraq omnia non contingentia Regulam supra eam jace\a/nt: seligo terminos æquationis per parallelogramma contingentia Regulam designatos et inde quæro quantitatem Quotienti addendam.

Sic ad extrahendam radicem y ex y65xy5+x3ay47a2x2y2+6a3x3+bbx4=0; parallelogramma hujus terminis respondentia signo notâ aliqua {illeg}ut vides in fig. 2. Dein applico Regulam DE ad inferiorem e locis signatis in sinistrâ columna, eamq ad|b| inferioribus ad superiora dextrorsū gyrare facio donec alium similiter vel fortè plura e reliquis signatis locis coeperit attingere, videoq loca sic attacta esse x3, xxyy et y6. E terminis itaq y67aaxxyy+6a3x3 tanquam nihilo æqualibus (et insuper si placet reductis ad v67vv+6=0 ponendo y=vax) quæro valorem y et invenio quadruplicem +ax, ax, +2ax, ā 2ax, quorū quemlibet pro primo termino Quotientis accipere licet prout e radicibus quampiam extrahere decretū est. Sic æquatio y3+axy+aayx32a3=0, quam resolvebam in priori epistola dat 2a3+aay+y3=0 et inde y=a proximè. Cum itaq a sit primus terminus valoris y, pono p pro cæteris omnibus in infinitū, et substituo a+p pro y. Obvenient hic aliquando difficultates nonnullæ, sed ex ijs credo D. Leibnitius se proprio Marte extricabit. Subsequentes vero termini q.r.s, {illeg}|&c| eodem modo ex æquationibus secundis, tertiis {illeg} c{illeg}|æ|terisq eruuntur quo primus p e prima; sed cura leviori, quia cæteri termini valoris y solent prodire dividendo terminū involvente infimam potestatem indefinitæ quantitatis x per coefficientem radicis p,q,r, aut s.

Intelle{illeg}|x|ti credo ex superioribus regressionem ab areis curvarū ad lineas rectas fieri per hanc extractionem radicis affectæ. Sed duo alij sunt modi quibus idem perficio eorum unus affinis est computationibus quibus colligebam approximationes sub finem alterius Epistol{æ}, et intelligi potest per hoc exemplum. {Propenatur}{Proponatur} æquatio ad aream Hyperbolæ z=x+12xx+13x3+{illeg} 14x4+15x5&c et partib ejus multiplicatis in se emerget zz=xx+x3+1112x4+56x5&c. z3=x311 +32x4+74x5&c. z4=x4+2x5&c. z5=x5&c. Iam de z aufer 12zz et restat z12zz=x16x3524x41660x5&c. Huic addo 16z3 et fit z12zz+16z3 =x+124 x4+340x5&c Aufero 124z4 et restat z12zz+16z3124z4=x1120x5 &c. Addo 1120z5 et fit z12zz+16z3124z4{illeg}{sic}{illeg} +1120z5=x <9r> quam {proxime. Sive x=z12zz+16z3} 124z4+1120z5&c.

Eo{dem modo series de una inde}finita quantitate in aliam transferri possunt. Quem{admodum si posito r radio cir}culi, x sinu recto arcus z, et x+x36rr+ 3x540r4+&c longit{udine arcus istius atque }hanc seriem e sinu recto ad tangentem vellem transferre: quæro longitudinem tangentis rxrrxx et reduco in infinitam seriem x+x32rr+3x58r4+&c: Qua dicta t colligo potestates ejus t3=x3+3x52rr+&c. t5=x5+&c. Aufero jam t de z, et restat zt=x333x510&c. Addo 13t3, et fit zt+13t3 =15x5+&c. Aufero 15t5, et restat zt+13t315t5=0 quamproxime. Quare est z=t13t3+15t5&c. Sed siquis in usus Trigonometricos me jussisset exhibere expressionem arcus per Tangentem, eam non hoc circuitu sed directa methodo quæsivissem.

Per hoc genus computi colliguntur etiam Series ex duabus vel pluribus indefinitis quantitatibus constantes: et radices affectarum æquationū magna ex parte extrahuntur, sed ad hunc posteriorem usum adhibeo potius methodū in alterâ epistola descriptam tanquam generaliorem, &, (Regulis pro elisione superfluorū terminorum habitis,) paulo magis expeditam. Pro regressione vero ab areis ad lineas rectas et similibus, possunt hujusmodi Theoremata adhiberi.

Theorem. 1. Sit z=ay+byy+cy3+dy4+ey5&c et vicissim erit y=zabzza3+2bbaca5z3+5abc5b3aada7z4+3a2c221abb c+6aabd+14b4a3ea9z5+&c. ex. gr.. Proponatur æquatio ad aream Hyperbolæ z=yyy2+y33 y44+y55&c et substitutis in Regula 1 pro a, 12 pro b, 13 pro c, 14 pro d, et 15 pro e, vicissim exurget y=z+12zz+16z3+124z4+&c.

Theorem. 2. Sit z=ay+by3+cy5+dy7+ey9+&c, et vicissim erit y=zabz3a4+3bbaca7z5+8abcaad12b3a10z7+55b455abbc+10aabd+5aacca3ea13z9+&c. ex. gr. Proponatur æquatio ad arcum circuli z=yy36rr+3y540r4 |+5y7112r6+&c et substitutis in Regula 1 pro a, 16rr pro b, 340r4 pro c, 5112r6 pro d &c| pro c, 5112r6 pro d, &c {sic}; orietur y=z 36rr+z5120r4z75040r6+&c. Alterū modum regrediendi ab areis ad lineas rectas celare statui.

Ubi dixi omnia pen{illeg}|e| Problemata solu{illeg}|b|i{illeg}|l|ia existere, volui de ijs præsertim intelligi circa quæ Mathematici se hactenus occuparunt |vel saltem in quibus ratiocinia mathematica locum aliquem {obtinerent} obtinere possunt|. Nam alia sanè adeo perplex{illeg}|i|s conditionibus implicata excogitare liceat ut non satis comprehendere valeamus, et multò minus tantarum computationū onus sustinere \quod ista requirerent/. Attamen ne nimium dixisse videor, inversa de Tangentibus Problemata sunt in potestate aliaq illis difficiliora ad qu{illeg}|æ| solvenda usus sum duplici methodo, unâ concinniori alterâ generaliori: utramq visum est impresentia literis transpositis consignare. ne propter alios idem obtinentes, institutum in aliquibus mutare cogerer. 5accd et 10effh11i4l3m9n6oqqr8s11t9v3x: 11ab3cdd10e et g10ill4m7n6o3p3q6rss11t8vx, 3ac et 4egh5i4l4m5n8oq4r35614vaadd et eeeeeiijmmnnooprrrsssssttuu.

Inversum hoc Problema de tangentibus quando tangens inter punctū contactus est et axem figuræ est datæ longitudinis, non indiget his methodis. Est tamen curva illa mechanica, cujus determinatio pendet ab area Hyperbola. Ejusdem generis est etiam Problema quando pars axis inter tangentem et d|o|rdinatim applicatam datur longitudine. Sed hos casus vix numeraverim <9v> inter ludos natur{æ. Nam si in triangulo rec}tangulo quod ab illa axis parte, et tangente {ordinatim applicata constitu}itur, relatio duorū quorumlibet laterum per {æquationem quamlibet defini}tur, Problema solvi potest absq mea methodo generali {sed ubi pars axis ad punct}ū aliquod positione datū terminata ingreditur vinculū t{unc res aliter }se habere solet.

Communicatio {illeg}|R|esolutionis affectarū æquationum per methodum Leibnitij pergrata erit, juxta et explicatio quomodo se gerat ubi indices potestatum sunt fractiones ut in hac æquatione 20+x37x65y23y711=0 |20+x37|, aut surdæ quantitates ut in hac x2+x7|23=y |x2+x7|23=y|, ubi 2 et 7 non designant coefficientes ipsius x sed indices potestatū seu dignitatum ejus et 23 indicem dignitatis binomij x2+x7. Res credo mea methodo patet, aliter descripsissem. Sed meta tandem prolixæ huic Epistolæ ponenda est. Literæ sanè excellentissimi Leibnitij valde dignæ erant quibus fusius hocce responsū darem. Et volui hac vice copiosior esse quia credidi amœniora tua negotia severiori hocce scribendi genere non debere a me crebro interpellari. D. Leibnitio et D. Tschurhausio {sic} me commendatū habe.

[Editorial Note 1] Folios 4-5 are a revision, in Newton's hand, of a passage beginning with the last two lines of f. 2v, and running through ff. 3r, 3v, 6r, 6v and 7r of the document as currently paginated. The revised passage appears to have been inserted between two of the pages (ff. 3v and 6r) of the text it is intended to replace. It ends 'morem meum universaliter usurpandi li' and dovetails into the same text string in the fourth paragraph of f. 7r.

[Editorial Note 2] Here Newton's intervention ends and the original text resumes, following on directly from the end of f. 3v.

[Editorial Note 3] At this point, Newton's revised text on ff. 4-5 rejoins the main text.

© 2017 The Newton Project

Professor Rob Iliffe
Director, AHRC Newton Papers Project

Scott Mandelbrote,
Fellow & Perne librarian, Peterhouse, Cambridge

Faculty of History, George Street, Oxford, OX1 2RL - newtonproject@history.ox.ac.uk

Privacy Statement

  • University of Oxford
  • Arts and Humanities Research Council
  • JISC